Bagian 2. Probabilitas. Struktur Probabilitas. Probabilitas Subyektif. Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas

Transkripsi

1 Probabilitas Bagian Probabilitas A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < A) < 1 A) = 0 artinya A pasti terjadi A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas: Metode Klasikal Menggunakan Frekuensi Relatif Kejadian Dengan carai subyektif Metode Klasikal untuk menentukan Probabilitas Metode ini menggunakan: Eksperimen, yaitu proses yang menghasilkan outcome, dan Event, yaitu outcome dari suatu ekrperimen ne E) = N N = total banyaknya outcome yang mungkin pada suatu eksperimen n e = banyaknya outcome di mana event E terjadi Pada metode ini probabilitas dapat ditentukan sebelum eksperimen dilakukan (a priori) Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas Pada metode ini probabilitas suatu event didapat dari banyaknya event tersebut terjadi di masa lalu, dibagi dengan banyak total kesempatan event tersebut terjadi. Probabilitas Subyektif Hanya didasarkan atas perasaan, intuisi, atau pengetahuan orang yang menentukan probabilitas Meskipun bukan merupakan cara yang ilmiah, namun pendekatan ini dapat saja menghasilkan probabilitas yang cukup akurat Struktur Probabilitas Eksperimen. Contoh: Mencatat kurs US$ terhadap rupiah setiap hari Senin pukul 9 pagi selama 1 bulan Event. Contoh: mendapati kurs US$ terhadap rupiah kurang dari Elementary Event: adalah event yang tidak dapat dipecah lagi menjadi event lain. Ruang sampel (sample space): adalah daftar atau tabel lengkap yang memuat semua elementary event pada suatu eksperimen. 6

2 Struktur Probabilitas (lanjutan) Contoh Ruang : Wawancara dengan pertanyaan jenis penanaman modal (PMA atau PMDN), maka ruang sampelnya adalah: Utk 1 responden: {PMA, PMDN} Utk responden: {PMA-PMA, PMA-PMDN, PMDN-PMA, PMDN-PMDN} Struktur Probabilitas (lanjutan) Union = atau = gabungan. Simbol: U. Intersection = dan = irisan. Simbol:. Contoh: Jika diketahui = {1, 4, 7, 9} dan Y = {, 3, 4, 5, 6}, maka UY = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 9} Y = {4} Y S Y S UY Y Struktur Probabilitas (lanjutan) Mutually Exclusive Events: adalah kejadiankejadian yang tidak mempunyai irisan. Artinya, kejadian yang satu meniadakan kejadian yang Y lainnya; kedua kejadian tidak dapat terjadi secara simultan. Jadi: Y) = 0 apabila dan Y mutually exclusive. Struktur Probabilitas (lanjutan) Independent Events: adalah kejadian-kejadian satu sama lain tidak saling mempengaruhi. Artinya, terjadi atau tidak terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi Y terjadi atau tidak terjadinya kejadian yang lainnya. Jadi: Y) = ) dan Y ) = Y) apabila dan Y adalah kejadian independen. Y) artinya probabilitas bahwa terjadi apabila diketahui Y telah terjadi. Struktur Probabilitas (lanjutan) Collectively Exhaustive Events: adalah daftar semua kejadian elementer (elementary events) yang mungkin terjadi pada sebuah eksperimen. Jadi sebuah ruang sampel selalu terdiri atas Collectively Exhaustive Events. Komplemen dari kejadian A, diberi notasi A yang artinya bukan A adalah semua kejadian elementer pada suatu eksperimen yang bukan A. Jadi: A)+A ) = 1 S Aturan hitungan mn Untuk suatu operasi yang dapat dilakukan dengan m cara dan operasi ke dua yang dapat dilakukan dengan n cara, maka kedua operasi dapat terjadi dalam mn cara. Aturan ini dapat dikembangkan untuk tiga atau lebih operasi. A A 7

3 Pengambilan dari Suatu Populasi Pengambilan sampel berukuran n dari dari populasi berukuran N dengan penggantian (with replacement) akan menghasilkan N n kemungkinan Pengambilan sampel berukuran n dari dari populasi berukuran N tanpa penggantian (without replacement) akan menghasilkan N N! C n N kemungkinan = = n n!( N n)! Marginal, Union, Joint, and Conditional Probabilities Marginal Probability: A) = probabilitas bahwa A terjadi Union Probability: AUB) = probabilitas bahwa A atau B terjadi Joint Probability: AB) = A B) = probabilitas bahwa A dan B terjadi Conditional Probability: A B) = probabilitas bahwa A terjadi apabila diketahui B telah terjadi Aturan Perjumlahan Aturan Umum Perjumlahan: UY) = ) + Y) Y) Aturan Khusus Perjumlahan: Apabila dan Y adalah kejadian yang mutually exclusive, maka UY) = ) + Y) Aturan Perkalian Aturan Umum Perkalian: Y) = ) * Y ) = Y) * Y) Aturan Khusus Perkalian: Apabila dan Y adalah kejadian yang independen, maka UY) = ) * Y) Aturan untuk Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Probabilitas bahwa terjadi apabila diketahui Y telah terjadi Y ) )* Y ) P ( Y ) = = Y ) Y ) Contoh Soal tentang Probabilitas Di sebuah kota, diketahui bahwa: 41% penduduk mempunyai sepeda motor 19% mempunyai sepeda motor dan mempunyai mobil % mempunyai mobil Apakah kepemilikan sepeda motor dan kepemilikan mobil di kota tersebut independen? Gunakan data di atas untuk menjawabnya. Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak berapa probabilitas bahwa ia memiliki sepeda motor dan tidak memiliki mobil? Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak dan diketahui ia memiliki mobil, berapa probabilitas bahwa ia tidak memiliki sepeda motor? Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak, berapakah probabilitas bahwa ia tidak memiliki sepeda motor dan tidak memiliki mobil? 8

4 Jawab S M S = memiliki sepeda motor; M = memiliki mobil S) = 0.41, SM) = 0.19, M) = 0.. Karena S)M) SM), maka kepemilikan sepeda motor dan kepemilikan mobil tidak independen. dengan diagram Venn didapatkan SM ) = 0.. S M) = S M) / M) = 0.03 / 0. = S M ) = 0.56 (dari diagram Venn) Contoh Soal tentang Probabilitas Hasil sebuah survai yang menanyakan Apakah Anda mempunyai komputer dan/atau kalkulator di rumah? adalah sebagai berikut. Apakah kepemilikan kalkulator dan kepemilikan komputer independen? Kalkulator Komputer Ya Tdk Ya Tdk 3 15 Jawab A = memiliki komputer; B = memiliki kalkulator Kalkulator Ya Komputer Ya Tdk 49 A) = = B) = = AB) = = A)*B) = 0.653*0.76 = AB) A dan B tidak independen Tdk Bagian 3 Variabel Acak Diskret Variabel Acak () Variabel Acak Diskret Variabel acak diskret: hanya mempunyai sejumlah terbatas nilai Variabel acak kontinu: dapat mempunyai tak hingga nilai Rata-rata µ = E( ) = * ) ) f() Deviasi Standar σ = ( µ ) * ) ) =1 f ( x) dx =1 9

5 Distribusi Binomial Distribusi Binomial n = # trials = # sukses p = probabilitas sukses pada satu trial q = 1 - p = probabilitas gagal pada satu trial Rata-rata Distribusi Binomial µ = n* p Deviasi Standar Distribusi Binomial n! ) = p!( n )! σ = q n n * p * q Distribusi Binomial (lanjutan) Terjadi pada: eksperimen yang terdiri atas n trials, dengan setiap trial mempunyai probabilitas sukses p (konstan) MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Binomial Distribusi Poisson Distribusi Poisson: λ e ) =! = 0, 1,,. λ = rata-rata e =.7188 Rata-rata Distribusi Poisson µ = λ Deviasi standar Distribusi Poisson σ = λ Distribusi Poisson merepresentasikan kejadian yang amat jarang. = banyaknya kejadian tersebut terjadi pada suatu waktu atau area MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Poisson λ Bagian 4 Distribusi Normal dan Normal Standar Distribusi Normal (=Gauss) Parameter: µ = rata-rata, dan σ = deviasi standar f(x) Variabel Acak Kontinu µ 10

6 Distribusi Normal dan Normal Standar (lanjutan) Distribusi Normal Standar = distribusi normal untuk µ = 0 dan σ = 1. Konversi dari yang terdistribusi normal ke Z yang terdistribusi normal standar: µ z = σ MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Normal Pilihan Distribusi Probabilitas di dalam MINTAB Calc -> Probability Distribution -> [nama distribusinya, misalnya Normal]. Ada 3 Pilihan: Probability Density Cumulative Probability Inverse Cumulative Probabilty Probability Density Cumulative Probability f(x) f(x) f(input) = output (untuk kontinu) = input) = output (untuk diskret) < input) = output output output µ input µ input Inverse Cumulative Probabilty f(x) < output) = input Contoh Soal Distribusi Kontinu Contoh: Diketahui terdistribusi normal dengan rata-rata 10 dan deviasi standar 15. Carilah x agar >x) = 5%. intput µ output Ans: x =

7 Pendekatan Normal untuk Binomial Binomial: diskret, parameter n dan p Normal: kontinu, parameter µ dan σ Untuk n besar, distribusi binomial akan menyerupai distribusi normal. Jadi untuk masalah binomial dengan n besar, dapat didekati dengan distribusi normal Ingat: Untuk diskret: =x) = ada nilai Untuk kontinu: =x) = 0 Contoh Pendekatan Normal untuk Binomial Untuk yang terdistribusi bimonial dengan n = 80 dan p = 0.3, carilah =4) >30) 30<<34) <33) Jawab: Untuk distribusi bimonial: Rata-rata = µ = np = 80*0.3 = 4 Deviasi Standar = σ = n * p * q = Rata-rata dan deviasi standar tersebut digunakan sebagai parameter distribusi normal = 4) = 3.5 < < 4.5) = < Z < ) diskret kontinu = -0.1 < Z < 0.1) = * = koreksi kontinuitas Cek dengan rumus Binomial: 80! 4 = 4) = !(80 4)! 80 4 = > 30) = > 30.5) = Z > ) diskret kontinu = Z > ) = = koreksi kontinuitas < 34) = 30.5 < < 34.5) = < Z < ) = < Z <.5617) diskret kontinu = = koreksi kontinuitas ) = < 33.5) = Z < ) = Z <.3177) diskret kontinu koreksi kontinuitas = = Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial (lanjutan) x f ( x) = λe λ Adalah distribusi kontinu dengan x 0 λ > 0 e = Adalah kelompok distribusi dengan parameter = λ yang terjadi pada = 0 Mempunyai ekor di sebelah kanan Nilai x mulai dari nol sampai tak hingga Puncaknya selalu ada di = 0 Kurvanya selalu mengecil untuk yang membesar Menunjukkan distribusi probabilitas untuk waktu antara kejadian acak Rata-rata dan deviasi standarnya: 1 µ = dan λ 1 σ = λ 1

8 f() λ Distribusi Eksponensial (lanjutan) x ) 0 = e λx 0 Contoh Soal Distribusi Eksponensial Di restoran sebuah kota kecil kedatangan pelanggan dapat dianggap terdistribusi Poisson dengan rata-rata 3. pelanggan per 30 menit. Berapa menit waktu rata-rata antar kedatangan pelanggan di restoran tersebut? Berapa probabilitas bahwa antar kedatangan pelanggan ada selang 1 jam atau kurang? Berapa probabilitas bahwa dua pelanggan datang dengan selang waktu kedatangan 15 menit atau lebih? x 0 Jawab µ = 1/3. = Jadi rata-rata 0.313*30 menit = 9.39 menit waktu antar kedatangan pelanggan 1 jam = interval, yaitu * 30 menit. Jadi x =. >) = 1-exp( -3.*) = menit = 0.5 interval. Jadi x = 0.5. >0.5) = exp( -3.*0.5) = 0.0 Bagian 5 Sampling dan Distribusi Sampling Sampling (pengambilan sampel) Dapat menghemat biaya Dapat menghemat waktu Untuk sumberdaya yang terbatas, pengambilan sampel dapat memperluas cakupan studi Bila proses riset bersifat destruktif, pengambilan sampel dapat menghemat produk Apabila akses ke seluruh populasi tidak dapat dilakukan, pengambilan sampel adalah satusatunya pilihan Random Sampling Simple random sampling Stratified random sampling Systematic random sampling Cluster random sampling 13

9 Nonrandom Sampling Convenience sampling Judgement sampling Quota sampling Sampling Distribution (distribusi sampling) untuk Rata-rata Populasi Rata-rata = µ Deviasi standar = σ Rata-rata sampel = Rata-rata sampel = Jadi Variabel acak Rata-rata sampel = Teorema Limit Tengah untuk Ratarata Sampling Distribution (distribusi sampling) untuk Proporsi Apabila sampel berukuran n besar (>30) diambil dari populasi yang mempunyai rata-rata µ dan deviasi standar σ, maka rata-rata sampel akan terdistribusi normal dengan rata-rata µ dan deviasi standar σ/ n Khusus: apabila populasinya terdistribusi normal, maka n pada teorema di atas tidak harus besar. Jadi Z µ σ n = adalah normal standar Proporsi = p Λ pˆ Populasi Proporsi = P Variabel acak Proporsi = Proporsi = p Λ p Λ Teorema Limit Tengah untuk Proporsi Apabila sampel berukuran n diambil dari populasi yang proporsinya P, dengan n*p > 5 dan n*q > 5, maka proporsi sampel p Λ akan terdistribusi normal dengan rata-rata P dan deviasi standar (P*Q/n). Jadi Z = pˆ P P* Q adalah Normal standar n Bagian 6 Estimasi untuk Populasi Tunggal 14

10 Statistika Inferensial Populasi Estimasi Interval untuk µ Selang kepercayaan σ 100(1-α)% untuk µ ± Zα pada sampel besar: n σ σ Artinya: P µ Zα + Zα = 100(1 α)% n n Distribusi Normal Standar Simpulkan (estimasi) tentang parameter mendapatkan statistik α 1-α α Note: apabila σ tidak diketahui dapat digantikan dengan s Estimasi: Estimasi titik, estimasi interval, uji hipotesa Z α 0 Z α Z Estimasi Interval untuk µ (lanjutan) MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample z Estimasi Interval untuk µ (lanjutan) Output MINITAB: Confidence Intervals The assumed sigma = 10 Variable N Mean StDev SE Mean 95.0 % CI HrgTanah ( 890.9, 957.5) Estimasi Interval untuk µ, sampel kecil. Asumsi: Populasi terdistribusi Normal Selang kepercayaan 100(1-α)% untuk µ pada sampel kecil: s P tα, n 1 n t ± α,n 1 s n s Artinya: µ + t α = 100(1 α )%, n 1 n Estimasi Interval untuk µ sampel kecil (lanjutan) MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample t α 1-α distribusi t dengan df = n-1 α t α, n 1 0 t α, n 1 t 15