Terima hipotesis Tidak membuat kesalahan Kesalahan tipe II Tolak hipotesis Kesalahan tipe I Tidak membuat kesalahan

Transkripsi

1 PENGUJIAN HIPOTESIS Hipotesis Statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Dengan mengambil suatu sampel acak dari populasi tersebut dan menggunakan informasi yang dimiliki sampel tersebut, diputuskan apakah hipotesis tersebut kemungkinan besar benar atau salah. Penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan bahwa hipotesis itu salah, sedangkan menerima suatu hipotesis semata-mata mengimplikasikan bahwa kita tidak mempunyai bukti untuk mempercayai sebaliknya. Oleh karena itu, statistikawan atau peneliti selalu mengambil sebagai hipotesisnya suatu pernyataan yang diharapkan akan ditolak. Misalnya kalau ia menaruh perhatian pada suatu jenis vaksin baru, ia harus mengasumsikan bahwa vaksin itu tidak lebih baik dari pada yang beredar di pasaran, baru kemudian ia berusaha untuk menolak asumsi itu. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak disebut hipotesis nol dengan lambang H0, yang merupakan hipotesis yang akan diuji dan nantinya akan diterima atau ditolak tergantung pada hasil eksperimen atau pemilihan sampelnya. Penolakan H0 mengakibatkan penerimaan hipotesis alternatif, yang dilambangkan dengan H. Hipotesis nol mengenai suatu parameter populasi harus menyatakan dengan pasti suatu nilai bagi parameter itu, sedangkan hipotesis alternatifnya mengijinkan beberapa kemungkinan nilai. Taraf Kesalahan Pengujian Hipotesis Terdapat dua cara untuk menaksir parameter populasi berdasarkan data sampel, yaitu a point estimate yang berdasarkan satu nilai data sampel dan interval estimate atau sering disebut confidence interval yang berdasarkan nilai interval data sampel. Menaksir parameter populasi dengan menggunakan a point estimate akan mempunyai resiko kesalahan yang lebih tinggi dibandingkan dengan yang menggunakan interval estimate. Makin besar interval taksirannya maka akan semakin kecil kesalahannya. Kesalahan Pengujian Hipotesis Dalam menaksir parameter populasi berdasarkan data sampel, kemungkinan akan terdapat dua kesalahan yaitu: Kesalahan tipe I, adalah suatu kesalahan bila menolak H0 yang benar (seharusnya diterima). Dalam hal ini tingkat kesalahan dinyatakan dengan α. Kesalahan tipe II, adalah kesalahan bila menerima H0 yang salah (seharusnya ditolak). Tingkat kesalahan untuk hal ini dinyatakan dengan β. Keputusan Keadaan sebenarnya Hipotesis benar Hipotesis salah Terima hipotesis Tidak membuat kesalahan Kesalahan tipe II Tolak hipotesis Kesalahan tipe I Tidak membuat kesalahan Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis -

2 Bila nilai statistik (data sampel) yang diperoleh dari hasil pengumpulan data sama dengan nilai parameter populasi atau masih berada pada nilai interval parameter populasi, maka hipotesis yang dirumuskan 00% diterima. Tetapi jika nilai statistik di luar nilai parameter populasi akan terdapat kesalahan. Kesalahan ini semakin besar bila nilai statistik jauh dari nilai parameter populasi. Tingkat kesalahan ini dinamakan level of significance atau tingkat signifikansi. Biasanya tingkat signifikansi yang diambil adalah % dan 5%. Suatu hipotesis terbukti mempunyai kesalahan % bila penelitian yang dilakukan pada 00 sampel yang diambil dari populasi yang sama, akan mendapat satu kesimpulan salah yang diberlakukan untuk populasi. Uji Satu-Arah dan Dua-Arah Suatu uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat satu-arah, seperti H0: θ = θ0 H: θ > θ0 atau mungkin H0: θ = θ0 H: θ > θ0 disebut uji satu-arah. Uji hipotesis statistik yang alternatifnya bersifat dua-arah, seperti H0: θ = θ0 H: θ θ0 disebut uji dua-arah. H0 selalu dituliskan dengan tanda sama dengan sehingga menspesifikasi suatu nilai tunggal. Dengan demikian, peluang melakukan kesalahan tipe I dapat dikendalikan. Pemilihan uji satu-arah atau dua-arah, tergantung pada kesimpulan yang akan ditarik jika H0 ditolak. Lokasi wilayah kritik dapat ditentukan setelah hipotesis alternatif H dinyatakan. Soal: Sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata rokok yang diproduksinya tidak melebihi,5 miligram. Nyatakan hipotesis nol dan alternatif yang akan digunakan untuk menguji pernyataan perusahaan rokok tersebut, dan tentukan wilayah kritiknya. Seorang agen real estate menyatakan bahwa 60% di antara semua rumah pribadi yang baru selesai dibangun merupakan rumah dengan tiga kamar tidur. Untuk menguji pernyataan ini diperiksalah sejumlah rumah; proporsi rumah yang mempunyai tiga kamar tidur dicatat dan digunakan sebagai statistik uji. Nyatakan hipotesis nol dan alternatif yang digunakan dalam uji ini dan kemudian tentukan lokasi wilayah kritiknya. Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis -

3 Uji Mengenai Nilai Tengah H0 Nilai Statistik Uji H Wilayah Kritik x µ 0 µ < µ0 z < z z = α µ = µ0 σ / n µ > µ0 z > z α σ diketahui, σ = s, atau n 30 µ µ0 z < z α/ dan z > z α/ x µ 0 µ < µ0 t < t t = α µ = µ0 s / n µ > µ0 t > t α v=n, σ tidak diketahui dan n < 30 µ µ0 t < t α/ dan t > t α/ ( x x ) d0 z = µ µ < d0 z < z α µ µ = d0 ( σ / n) + ( σ / n ) µ µ > d0 z > z α µ σ dan σ diketahui µ d0 z < z α/ dan z > z α/ ( x x ) d0 t = sp ( / n) + ( / n ) µ µ < d0 t < t α v = n + n, µ µ = d0 µ µ > d0 t > t α σ = σ tetapi tidak diketahui, s p = ( n ) s ( n ) µ µ d0 t < t α/ dan t > t α/ + s n + n µ µ = d0 µd = d0 ( x x ) t = d0 ( s / n ) + ( s / n ) ( s / n + s / n ) v = ( s / n ) ( s / n ) n + n σ σ dan tidak diketahui d d0 t = sd / n v=n, pengamatan berpasangan µ µ < d0 µ µ > d0 µ µ d0 µd < d0 µd > d0 µd d0 t < t α t > t α t < t α/ dan t > t α/ t < t α t > t α t < t α/ dan t > t α/ Langkah-langkah pengujian hipotesis:. Nyatakan H0-nya.. Pilih H yang sesuai. 3. Tentukan taraf signifikansinya. 4. Tentukan wilayah kritiknya kemudian pilih statistik uji yang sesuai. 5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data sampelnya. 6. Keputusan: Tolak H0 jika nilai statistik uji jatuh pada daerah kritik, sedangkan bila nilai statistik jatuh di luar wilayah kritik, terima H0. Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 3

4 Soal: Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang dikatakan mempunyai kekuatan dengan nilai tengah 8 kilogram dan simpangan baku 0,5 kilogram. Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kilogram lawan alternatifnya µ 8 kilogram bila sampel acak 50 batang pancing itu setelah dites memberikan kekuatan nilai tengah 7,8 kilogram. Gunakan taraf signifikansi 0,0. Suatu contoh acak 00 catatan kematian di Amerika Serikat selama tahun lalu menunjukkan umur rata-rata 7,8 tahun, dengan simpangan baku 8,9 tahun. Apakah ini menunjukkan bahwa harapan umur sekarang ini lebih dari 70 tahun? Gunakan taraf signifikansi 0,05. Secara teknis, populasi yang terdiri dari seluruh pelat baja yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan industri besi baja memiliki nilai tengah panjang 80 cm dengan simpangan baku sebesar 7 cm. Sesudah berselang 3 tahun, teknisi perusahaan meragukan hipotesis tentang nilai tengah pelat baja tersebut. Guna meyakinkan kebenaran hipotesis di atas, sebuah sampel acak sebanyak 00 unit pelat baja dipilih dan hasil pengukuran panjang nilai tengahnya ternyata sebesar 83 cm. Teknisi masih percaya bahwa simpangan baku tetap tidak berubah. Apakah ada alasan guna meragukan bahwa nilai tengah panjang pelat baja yang dihasilkan pabrik tersebut tidak sama dengan 80 cm. Gunakan taraf signifikansi 0,05. Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 4

5 Jika teknisi pada soal sebelumnya menemukan metode baru guna memproduksi pelat baja di atas. Teknisi berpendapat bahwa dengan metode baru, panjang pelat baja dapat bertambah panjang paling sedikit cm, tanpa harus menambah biaya produksi dan simpangan bakunya diperkirakan tidak berubah. Andaikan sampel acak sebanyak 00 unit pelat baja dipilih dari hasil produksi dengan menggunakan metode baru dan andaikan panjang nilai tengah pelat baja adalah 83 cm, apakah ada alasan guna menganggap bahwa hasil pelat baja dengan metode baru tersebut memang lebih panjang dari pada hasil metode lama? Gunakan taraf signifikansi 0,05. Waktu rata-rata yang diperlukan tiap mahasiswa untuk mendaftarkan diri pada semester gasal di suatu perguruan tinggi adalah 50 menit dengan simpangan baku 0 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan mesin modern sedang dicoba. Bila suatu sampel acak mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 4 menit dengan simpangan baku,9 menit dengan menggunakan sistem baru tersebut, ujilah hipotesis bahwa nilai tengah populasinya sekarang kurang dari 50 menit. Gunakan taraf signifikansi (a) 0,05 dan (b) 0,0. Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 5

6 Sebuah pelajaran matematika diberikan pada siswa dengan metode pengajaran yang biasa. Kelas lain yang terdiri dari 0 siswa diberi pelajaran yang sama tetapi dengan metode yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan. Pada akhir semester siswa kedua kelas itu diberikan ujian yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedang kelas yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan memperoleh nilai rata-rata 8 dengan simpangan baku 5. Ujilah hipotesis bahwa kedua metode mengajar itu sama, dengan menggunakan taraf signifikansi 0,0. Asumsikan bahwa kedua populasi itu menghampiri sebaran normal dengan ragam yang sama. Untuk mengetahui apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa mempunyai akibat baik atau buruk pada nilai seseorang, nilai mutu rata-rata berikut ini telah dikumpulkan selama periode 5 tahun: Tahun Anggota,0,0,3,,4 Bukan Anggota,,9,5,3,4 Dengan mengasumsikan bahwa populasinya normal, ujilah pada taraf signifikansi 0,05 apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa berakibat buruk pada nilai yang dicapai seseorang. Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 6

7 Uji Mengenai Ragam Menguji hipotesis mengenai keragaman suatu populasi atau membandingkan keragaman suatu populasi dengan keragaman populasi lainnya. H0 Nilai Statistik Uji H Wilayah Kritik σ < σ 0 χ < χ α σ (n ).s = σ 0 χ = σ > σ 0 χ > χ α σ0 σ σ χ < χ dan χ > σ = σ f = s s σ < σ > σ 0 σ σ σ α / χ α / f < f α (v, v) f > f α (v, v) f < f α / (v, v) dan f > f α / (v, v) Soal: Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 0 aki menghasilkan simpangan baku s =, tahun, apakah menurut anda σ > 0,9 tahun? Gunakan taraf signifikansi 0,05. Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 7

8 Ketika menguji kesamaan dua nilai tengah populasi dari soal pelajaran matematika dengan dua metode yang berbeda, diasumsikan bahwa ragam kedua populasinya sama tetapi nilainya tidak diketahui. Cukup beralasankah asumsi yang dibuat? Gunakan taraf signifikansi 0,0. Uji Kebaikan-Suai (Test of Goodness of Fit) Pengujian untuk menentukan apakah suatu populasi memiliki sebaran teoritik tertentu. Uji ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang teramati dalam data sampel dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada sebaran yang dihipotesiskan. Uji kebaikan-suai antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan didasarkan pada besaran k ( ) χ = oi ei i= ei sedangkan χ merupakan sebuah nilai bagi peubah acak χ yang sebaran penarikan sampelnya sangat menghampiri sebaran khi-kuadrat. Lambang oi dan ei, masing-masing, menyatakan frekuensi teramati dan frekuensi harapan bagi sel ke-i. Banyaknya derajat bebas dalam uji kebaikan-suai yang didasarkan pada sebaran khikuadrat, sama dengan banyaknya sel dikurangi dengan banyaknya besaran yang diperoleh dari data pengamatan (sampel) yang digunakan dalam perhitungan frekuensi harapannya. Soal: Pada pelemparan sebuah dadu sebanyak 0 kali, dengan hipotesis bahwa dadu itu setimbang dengan sebaran seragam, diperoleh hasil pencatatan sebagai berikut: Sisi Teramati Harapan Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 8

9 Selama 400 interval lima-menitan, menara pengamat lalu lintas udara menerima 4 pesan, dengan frekuensi pengamatan berturut-turut 3, 5, 47, 76, 68, 74, 46, 39, 5, 9, 5,, 0,. Berdasarkan data tersebut, apakah pernyataan bahwa jumlah pesan yang diterima menara tersebut untuk interval lima-menitan, merupakan variabel acak yang mengikuti distribusi Poisson dengan µ = 4,5 dapat diterima? Gunakan α = 0,05. Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 9

10 Berikut ini adalah data distribusi emisi belerang oksida. Selang Kelas (Ton) Frekuensi 5,0 8,9 3 9,0,9 0 3,0 6,9 4 7,0 0,9 5,0 4,9 7 5,0 8,9 9 9,0 3,9 Apakah data tersebut terdistribusi normal? Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis - 0

11 Uji Kebebasan Uji kebaikan-suai digunakan jika data populasi maupun sampel diklasifikasikan menurut suatu atribut tunggal yang disebut juga klasifikasi searah dan jika akan menguji distribusi probabilitas populasi. Jika data populasi atau sampel diklasifikasikan ke dalam beberapa atribut, sedangkan probabilitas klasifikasi tersebut tidak diketahui, maka uji kebaikan-suai sukar sekali dilakukan. Misalnya saja, tiap orang dapat diklasifikasikan menurut agama yang dipeluk dan ketaatan beribadah. Proporsi dari tiap golongan dalam populasi tidak diketahui. Persoalan yang ingin diketahui adalah apakah ada hubungan antara agama yang dipeluk dengan ketaatan beribadah. Pengujian demikian dinamakan uji kebebasan. Frekuensi harapan dapat diperoleh dengan menggandakan setiap peluang sel tersebut dengan jumlah total pengamatan. Protestan Katolik Yahudi Total Taat Tidak Taat Total Statistika dan Probabilitas Ferianto Raharjo Pengujian Hipotesis -