MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALA

Transkripsi

1 MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALAM STATISTIKA HARGA HARAPAN Definisi Misalkan X variabel random. Bila X variabel random kontinu dengan f.k.p. f (x) dan maka harga harapan X adalah E(X ) = x f (x)dx <, xf (x)dx

2 Teorema Misalkan X variabel random dan Y = g(x ) untuk suatu fungsi g 1 Andaikan X kontinu dengan f.k.p. f x (x). Bila g(x) f x (x)dx <, maka harga harapan Y ujud dan diberikan oleh E(Y ) = g(x)f x (x)dx 2 Andaikan X diskret dengan f.m.p. p x (x) dan misalkan penyokong X dinyatakan dengan S x. Bila x S x g(x) p x (x) <, maka harga harapan Y ujud dan diberikan oleh E(Y ) = x S x g(x)p x (x)

3 HARGA HARAPAN KHUSUS Definisi (Variansi) Misalkan X variabel random dengan mean µ berhingga dan sedemikian hingga E[(X µ) 2 ] berhingga. Dengan demikian, variansi X didefinisikan sebagai E[(X µ) 2 ]. Variansi X biasanya dinyatakan dengan σ 2 atau dengan Var(X ). Definisi Misalkan X variabel random sedemikian hingga untuk suatu h > 0, harga harapan e tx ujud untuk h < t < h. Fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai fungsi M(t) = E[e tx ] untuk h < t < h. Kita akan menggunakan singkatan f.p.m. untuk menyatakan fungsi pembangkit momen dari suatu variabel random. Teorema Misalkan X dan Y dua variabel random dengan f.p.m. masing-masing adalah M x dan M y, dan ujud dalam interval yang memuat 0. Dengan demikian, F x (z) = F y (z) untuk semua z R bila dan hanya bila M x (t) = M y (t) untuk setiap t ( h, h) untuk suatu h > 0. Contoh Misalkan X mempunyai f.k.p. f (x) = { 2(1 x) 0 < x < 1 0 yang lain

4 Dengan demikian, E(X ) = E(X 2 ) = xf (x)dx = 1 0 x 2 f (x)dx = Menggunakan teorema di atas E(6x + 3x 2 ) = 6 (x)2(1 x)dx = ( ) (x 2 )2(1 x)dx = 1 6 ( ) 1 = Contoh Misalkan X mempunyai f.m.p. x, x = 1, 2, 3 p(x) = 6 0 yang lain Dengan demikian, E(X 3 ) = 3 x 3 p(x) = x=1 3 x 3 x 6 x=1 = = = 98 6

5 Contoh Misalkan X variabel random diskret yang mempunyai f.p.m. M(t) = 1 10 et e2t e3t e4t untuk setiap t. Bila t mempunyai penyokong {x 1, x 2, x 3,...} dengan f.m.p. p(x) maka M(t) = x e tx p(x) Ini artinya 1 10 et e2t e3t e4t = p(x 1 )e x1t + p(x 2 )e x2t +... Akibatnya, atau x 1 = 1, p(x 1 ) = 1 10 ; x 2 = 2, p(x 2 ) = 2 10 ; x 3 = 3, p(x 3 ) = 3 10 ; x 4 = 4, p(x 4 ) = 4 10 p(x) = 1, x = 1, 2, 3, 4 10

6 Teorema Bila X variabel random dengan fungsi pembangkit momen M(t). Maka E(X n ) = M (n) (t) t=0 Contoh Telah diketahui bahwa deret konvergen ke π2 6, maka 6 p(x) = π 2 x 2, x = 1, 2, 3, 4 0 yang lain adalah f.m.p. dari suatu variabel random diskret. Fungsi pembangkit momen dari X bila ujud diberikan oleh M(t) = E[e tx ] = x e tx p(x) = x=1 6e tx π 2 x 2 Karena deret ini divergen untuk t > 0, maka tidak ada h > 0 sedemikian hingga M(t) ujud untuk h < t < h. Ini menunjukkan contoh adanya distribusi yang telah mempunyai fungsi pembangkit momen.

7 Contoh Misalkan X mempunyai f.p.m. M(t) = e t2 /2, < t <. Kita dapat menentukan M (n) (t) untuk setiap n untuk mencari momen. Cara lain adalah melalui ekspansi deret Mc.Laurin. e t2 /2 = ( ) t ( t 2 1! 2 2! 2 = 1 + t2 2! + (3)(1)t4 4! ) ( ) t 2 n (2n 1)...(3)(1)t 2n (2n)! Secara umum, deret Mc. laurin dari M(t) adalah M(t) = M(0) + M1 (0) 1! = 1 + E(x) 1! t + E(x 2 ) 2! t + M(2) (0) t M(n) (0) 2! 2 t E(x n ) t n Jadi, koefisien tn dalam penyajian deret Mc. Laurin dari M(t) adalah E(X n ). Oleh karena itu, untuk M(t) = e t2 /2, kita mempunyai dan E(X 2n ) = (2n 1)(2n 3)...(3)(1) = (2n)! 2 n, n = 1, 2, 3,... E(X 2n 1 ) = 0, n = 1, 2, 3,...

8 BEBERAPA KETAKSAMAAN DALAM STATISTIKA Teorema Misalkan X mempunyai mean berhingga µ dan variansi σ 2, maka untuk setiap ε > 0 P { X µ ε} σ ε 2 Teorema (Ketaksamaan Markov) Bila X variabel random yang menjalani harga-harga nonnegatif, maka untuk setiap a > 0 berlaku P {X > a} E [X ] a Contoh Misalkan diketahui jumlah item yang diproduksi suatu pabrik selama satu minggu merupakan variabel random dengan mean 500. Pernyataan tersebut memberi informasi bahwa bila X menyatakan jumlah item yang diproduksi minggu ini, maka dengan ketaksamaan Markov P {X > 1000} E(X ) 1000 = = 1 2. Bila variansi produksi minggu ini sama dengan 100, maka yang dapat dikatakan tentang probabilitas produksi minggu ini diantara 400 dan 600 adalah P (400 < X < 600) = P ( < X 500 < ) = P (100 < X 500 < 100) = P ( X 500 < 100)

9 Dengan demikian ε = 100, sehingga Akibatnya, P { X } σ = P { X 500 < 100} = Ini berarti probabilitas produksi minggu ini yang terletak diantara 400 dan 600 paling sedikit 0,99.