8.4 GEERATIG FUCTIOS
Fugs pembagt Fugs pembagt dguaa utu merepresetasa barsa secara efse dega megodea usur barsa sebaga oefse deret pagat dalam varabel. Fugs pembagt dapat dguaa utu: memecaha berbaga masalah coutg, memecaha relas recurrece, da membuta dettas ombator.
Defs Defs. Fugs pembagt geeratg fucto utu barsa blaga real: a 0, a,, a, adalah deret pagat ta hgga: G a a... a... 0 0 Cotoh. a. Fugs pembagt dar barsa {a } dega a = 5 adalah 5 0 b. Fugs pembagt dar barsa {a } dega a = + adalah 0 c. Fugs pembagt dar barsa {a } dega a = adalah 0 a.
Cotoh Tetua fugs pembagt dar barsa,,,,, Solus. Fugs pembagt dar barsa,,,,, adalah: 6 + + + + 4 + 5
Cotoh Cotoh. Fugs pembagt dar barsa,,,, adalah + + + +, ja Cotoh 4. Fugs pembagt dar barsa, a, a, a, adalah + a + a + a +, a ja a
Teorema Cotoh 5. Msal f = /-. Tetua oefse a 0, a, dalam espas f = a. Solus.. 0 0 0 j Jad, a = +.. da Maa,. da Msal 0 0 0 0 0 j j j b a g f b a g f b g a f
Koefse Bomal Dperluas Msala u blaga real da blaga bulat ta egatf. Maa oefse bomal dperluas ddefsa sebaga: u u u... u!,, ja ja Cotoh 6. Tetua la dar: a. 4 4.! / b. / / / / / / 4 5 5 5! 0, 0..
Teorema Bomal Dperluas Teorema. Msal blaga real dega < da u blaga real. Maa, u 0 Catata. Ja u blaga bulat postf maa Teorema Bomal Dperluas mejad Teorema Bomal. u.
Cotoh 7 Tetua fugs pembagt utu + - da - -, dega blaga bulat postf. Solus. Meurut Teorema, Maa, Dega meggat 0 dg C : 0,. 0 C,
Soal Tetua oefse 0 dalam deret pagat fugs-fugs berut : a. /+ b. /- c. 4 /-
Masalah Coutg da Fugs Pembagt Cotoh 8. Tetua bayaya solus dar + + = 7, bla, da blaga bulat taegatf dega 5, 6 da 4 7. Solus. Bayaya solus dyataa oleh oefse 7 dalam espas: + + 4 + 5 + 4 + 5 + 6 4 + 5 + 6 + 7. Setap betu 7 dalam perala ddapat dega megala pada fator pertama dega pd fator edua da pada fator etga yag memeuh: + + = 7. Bla dhtug, ddapat oefse 7 adalah. Jad, ada tepat solus.
Cotoh 9 Ada berapa cara utu membaga 8 ue yag det epada aa ja setap aa meerma sedtya ue da tda lebh dar 4 ue? Solus. Msala c : bayaya cara membaga ue. Karea setap aa meerma sedtya ue da tda lebh dar 4 ue, maa utu setap aa ada suatu fator yag berbetu: + + 4 dalam fugs pembagt barsa {c }. Karea ada aa maa fugs pembagtya adalah: + + 4. Cara utu membaga 8 ue adalah oefse dar 8, ya 6. Jad, ada 6 cara utu membaga 8 ue epada aa tad.
Soal Guaa fugs pembagt utu meetua bayaya cara medstrbusa 5 doat yag det epada 4 pols sehgga setap pols medapata sedtya da tda lebh dar 7 doat.
Cotoh 0 Guaa fugs pembagt utu meetua bayaya cara memlh pecaha mata uag berla Rp. 00, Rp. 500 da Rp. 000 ja ta g membayar suatu barag yag berla Rp. r, apabla: a. uruta pemlha dperhata atau b. tda dperhata. Cotoh. Utu membayar Rp. 600, ada cara bla uruta tda dperhata, yatu Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00 atau Rp. 00, Rp. 500 da ada cara bla uruta dperhata, yatu Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 00, Rp. 500, atau Rp. 500, Rp. 00
Cotoh 0 b. Ja uruta pemlha tda dperhata. Karea masg-masg pecaha dapat dperguaa beralal, maa fator yag merepresetasa pegguaa Rp. 00 adalah + + + +, fator yag merepresetasa pegguaa Rp. 500 adalah + 5 + 0 +, fator yag merepresetasa pegguaa Rp. 000 adalah + 0 + 0 + Jad, bayaya cara pemlha pecaha mata uag utu membayar seharga Rp. r adalah oefse dar r/00 dalam fugs pembagt + + + + + 5 + 0 + + 0 + 0 +
Cotoh 0 a. Ja uruta pemlha dperhata. Bayaya cara utu megguaa tepat pecaha utu membayar seharga Rp. r adalah oefse r/00 dalam + 5 + 0 Karea ta dapat megguaa berapa pu jumlah pecaha, maa bayaya cara pemlha pecaha mata uag utu membayar seharga Rp. r adalah oefse dar r/00 dalam + + 5 + 0 + + 5 + 0 + 5 0 5 0
Soal Guaa fugs pembagt utu meetua bayaya cara utu meuar uag $00 dega megguaa pecaha: a $0, $0 da $50 b $5, $0, $0 da $50 c $5, $0, $0 da $50; bla setap pecaha dguaa sedtya seal. d $5, $0 da $0; bla setap pecaha dguaa sedtya seal tap tda lebh dar 4 al.
Cotoh Guaa fugs pembagt utu meghtug bayaya cara memlh r obye dar jes beda berbeda ja ta harus memlh sedtya satu obye dar setap jesya. Solus. Msala a r : bayaya cara memlh r obye dar jes beda bla dar setap jes terplh sedtya satu obje. Karea ta perlu memlh sedtya satu obye dar setap jes, maa setap jes meyumbaga fator + + + pada fugs pembagt. Abatya, fugs pembagt G dar barsa {a r } adalah G = + + + = ++ + + = / -.
Cotoh Dega megguaa Teorema Bomal Dperluas: r r t t r r r r r r r r r r C t t C r r C r r C r G.,,,,. 0 0 0 Jad, ada Cr-,r- cara memlh.
Fugs Pembagt da Solus Relas Recurrece Cotoh. Car solus relas recurrece a = a - utu =,,, dega ods awal a 0 =. Solus. Msal G: fugs pembagt utu barsa {a }, Maa,. Jad,. maa Karea,. Jad,.. 0 0 0 0 0 a G a a G a a a a a G G a a G a G 0
Fugs Pembagt da Pembuta Idettas Cotoh. Guaa fugs pembagt utu membuta: 0 C, C,, bla bulat. Solus. C, adalah oefse dlm espas +. Aa tetap, + = [+ ]. = [C,0+C,+ + C, ]. Koefse dar dlm espas : C,0C, + C,C,- + + C,C,0. I sama dg C,, r C,- = C,. Karea C, da C, meyataa oefse dlm + maa haruslah 0 C, C,.
8.5 ICLUSIO-EXCLUSIO
Prsp Ilus-Eslus Ada berapa aggota dalam gabuga dua hmpua hgga? A A = A + A - A A
Cotoh Ada berapa blaga bulat postf lebh ecl atau sama dega 00 yag habs dbag 6 atau 9? Solus. Msala A: hmpua blaga bulat dar sampa 00 yag habs dbag 6 B: hmpua blaga bulat dar sampa 00 yag habs dbag 9. Dega megguaa prsp lus-eslus, bayaya blaga bulat dar sampa 00 yag habs dbag 6 atau 9 adalah A B A B A B 00 / 6 00 / 9 00 /8 6 5
Cotoh Msala ada 467 mahasswa agata 0 d ITB. 97 orag d ataraya adalah mahasswa Prod Iformata, 68 mahasswa Prod Matemata, da orag mahasswa double degree Iformata da Matemata. Ada berapa orag yag tda ulah d Departeme Matemata atau Iformata? Solus. Msala A: hmpua mahasswa agata 004 d Departeme Iformata B: hmpua mahasswa agata 004 d Departeme Matemata Maa A =97, B =68, da AB =. Bayaya mahasswa agata 004 d Departeme Iformata atau Matemata adalah A B = A + B - A B = 97 + 68 = 5 Jad, terdapat 467 5 = 4 mahasswa agata 004 yag tda ulah d Departeme Matemata atau Iformata.
Perluasa Prsp Ilus-Eslus utu tga hmpua Aga merah meujua daerah yag terlbat eta A dhtug, aga hjau meujua daerah yag terlbat eta B dhtug,da aga bru meujua daerah yag terlbat eta C dhtug. Terlhat bahwa daerah yag berrsa dhtug berulag-ulag. A B duraga dua merah dambl, A C duraga dua bru dambl, da B C duraga dua hjau dambl Terlhat bahwa peghtuga hampr bear, ecual pada daerah d maa etga hmpua sama-sama berrsa. Maa perlu dtambaha embal A B C.
Perluasa Prsp Ilus-Eslus utu tga hmpua Jad, A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C
Cotoh Sebaya 5 mahasswa megambl mata ulah Matemata Dsrt, 7 Kalulus Peubah Baya, da 56 Geometr. D ataraya, 5 mahasswa megambl Matemata Dsrt da Kalulus Peubah Baya, 4 Matemata Dsrt da Geometr, serta 9 orag megambl Kalulus Peubah Baya da Geometr. Ja terdapat 96 mahasswa yag megambl palg sedt satu dar etga mata ulah tersebut, berapa orag yag megambl etga mata ulah sealgus?
Cotoh Solus. Msala MD: hmpua mahasswa yag megambl mata ulah Matemata Dsrt, KPB: hmpua mahasswa yag megambl mata ulah Kalulus Peubah Baya, da G: hmpua mahasswa yag megambl mata ulah Geometr. Maa MD = 5, KPB = 7, G = 56, MD KPB = 5, MD G = 4, KPB G = 9, da MD KPB G = 96 Dega memperguaa prsp lus-eslus: MDKPBG = MD + KPB + G - MDKPB - MDG - KPBG + MDKPBG 96 = 5 + 7 + 56-5 - 4-9 + MD KPB G Jad, MD KPB G =
Soal Carlah bayaya aggota dar A B C ja terdapat 00 aggota dalam setap hmpua da ja a. etga hmpua tersebut tda ada yag salg berrsa b. terdapat 50 aggota yag sama dalam setap pasag hmpua da tda ada aggota yag sama dalam etga hmpua sealgus c. terdapat 50 aggota yag sama dalam setap pasag hmpua da 5 aggota yag sama dalam etga hmpua sealgus d. rsa setap pasag hmpua da rsa etga hmpua beruura sama
Prsp Ilus-Eslus Teorema. Msala A, A,, A hmpua hgga. Maa j j j j A A A A A A A A A A A A
Cotoh 4 Carlah bayaya aggota dar A B C D ja setap hmpua beruura 50, setap rsa dar dua hmpua beruura 0, setap rsa dar tga hmpua beruura 0, da rsa dar eempat hmpua beruura. Solus. ABCD = A + B + C + D - AB - AC - AD - BC - BD - CD + ABC + ABD + ACD + BCD - A B C D = 4. 50 6. 0 + 4. 0 = 58
Soal Soal. Ada berapa baya permutas dar e-6 huruf dalam alfabet yag memuat palg sedt satu dar ata FIGHT, BALKS, MOWER. Soal. Ada berapa baya permutas dar e-6 huruf dalam alfabet yag memuat palg sedt satu dar ata CAR, CARE, SCARE, SCARED.
Peluag gabuga ejada Teorema. Msala E, E, E tga ejada dalam ruag sampel S. Maa pe E E = pe + p E + p E - pe E - pe E - p E E + pe E E Teorema. Msala E, E,, E ejada-ejada dalam ruag sampel S. Maa j j j j E p E E E p E E p E p E p
Soal 4 Berapaah peluag bahwa eta empat aga dar sampa 00, dplh secara aca tapa pegulaga, terjad salah satu dar ejada-ejada berut: eempatya aga gajl, eempatya habs dbag tga, atau eempatya habs dbag 5.
8.6 APPLICATIOS OF ICLUSIO EXCLUSIO
Beberapa Aplas Ilus-Eslus Bayaya blaga prma yag lebh ecl dar suatu blaga bulat postf Bayaya fugs pada dar suatu hmpua hgga e hmpua hgga laya. Masalah deragemet: petpa top the hatchec problem
Betu Alteratf Ilus-Eslus Msala S: hmpua dega jumlah aggota. P P P : maa maa A : subhmpua yag memuat aggota dega sfat P. bayaya aggota dega semua sfat P P P A A A Dega prsp lus-eslus, P ' P ' P ' P P, P, P, P' P ' ' : bayaya aggota yag tda meml sfat P P, P,, P P P ' P ' A A A ' j PP P j j PP j PP P
Cotoh Ada berapa solus yag dml oleh + + = dega,, blaga bulat ta egatf da, 4, da 6. Solus. Msala P : sfat >, P : sfat > 4, da P : sfat > 6. Maa bayaya solus adalah: ' ' ' PP P P P PP PP P P P P P P
Cotoh : jumlah solus total = C+-, = 78 P : jumlah solus dega 4 = C+7-,7 = 6 P : jumlah solus dega 5 = C+6-,6 = 8 P : jumlah solus dega 6 = C+5-,5 = 5 P P : jumlah solus dega 4 da 5 = C+-, = 6 P P : jumlah solus dega 4 da 7 = C+0-,0 = P P : jumlah solus dega 5 da 7 = 0 P P P : jumlah solus dega 4, 5 da 7 = 0 Jad, P P P =78-6 - 8-5 + 6 + + 0-0 =6
The Seve of Erotosthees Mecar bayaya blaga prma yag tda melebh suatu blaga bulat postf tertetu. Suatu blaga ompost haya dapat dbag oleh blaga prma yag tda melebh aar blaga tersebut. Cotoh. Tetua bayaya blaga prma yag tda melebh 00. Solus. Fator prma dar blaga yag urag dar 00 tda aa melebh 0. Jad, blaga yag urag dar 00 habs dbag,, 5, atau 7.
The Seve of Erotosthees Msala P : sfat blaga habs dbag, P : sfat blaga habs dbag, P : sfat blaga habs dbag 5, da P 4 : sfat blaga habs dbag 7. Maa bayaya blaga prma yag lebh besar da tda melebh 00 adalah: 4 + P P P P 4 Jad, meurut lus-eslus: 7 5 00 7 5 00 7 5 00 7 00 5 00 7 5 00 7 00 5 00 7 00 5 00 00 7 00 5 00 00 00 99 99 ' ' ' ' 4 4 4 4 4 4 4 4 4 PP P P P P P PP P PP P PP P P P P P P P PP PP PP P P P P P P P P
The Seve of Erotosthees 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 4 4 4 44 45 46 47 48 49 50 5 5 5 54 55 56 57 58 59 60 6 6 6 64 65 66 67 68 69 70 7 7 7 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 84 85 86 87 88 89 90 9 9 9 94 95 96 97 98 99 00
Bayaya fugs pada Ada berapa baya fugs pada dar hmpua dega 6 aggota e hmpua dega aggota? Solus. Msala aggota-aggota dar odoma adalah b, b, da b. Msala P, P, da P adalah sfat bahwa b, b, da b tda berada dalam rage fugs. Karea fugs aa pada jhj fugs tersebut tda meml semua sfat P, P, atau P, maa bayaya fugs pada dar hmpua dega 6 aggota e hmpua dega aggota adalah P ' P ' P ' P PP P PP P P P PP P
Bayaya fugs pada : bayaya fugs dar hmpua dega 6 aggota e hmpua dega aggota = 6. P : bayaya fugs yag tda mempuya b dalam rage = 6. P P j : bayaya fugs yag tda mempuya b da b j dalam rage = 6 =. P P P : bayaya fugs yag tda mempuya b, b, da b dalam rage = 0. Jad, bayaya fugs pada dar hmpua dega 6 aggota e hmpua dega aggota adalah 6 - C, 6 + C, 0 = 540
Bayaya fugs pada & aplasya Teorema Msala m da blaga bulat postf dega m. Maa, terdapat m - C, - m + C, - m + - - C, m fugs pada dar hmpua dega m aggota e hmpua dega aggota. Soal. Terdapat berapa cara utu medelegasa lma peerjaa yag berbeda pada empat aryawa yag berbeda ja setap aryawa dtugas mmal satu peerjaa? Soal. Ada berapa cara utu medstrbusa eam maa yag berbeda pada tga aa ja setap aa medapata mmal satu maa?
Deragemets Deragemet adalah permutas obje sehgga tda ada obje yag meempat tempat aslya. Cotoh. Permutas 654 adalah deragemet dar 456. Permutas 654 bualah deragemet dar 456. D meyataa bayaya deragemet dar obye. Cotoh 4. D =
Bayaya deragemet dar obje Suatu permutas dataa meml sfat P ja permutas tersebut megabata aggota tetap pada tempatya. Jelas deragemet dalam hmpua dega aggota adalah permutas yag tda meml sfat P, =,,,. Jad, o : bayaya permutas dega aggota =! o P : bayaya permutas yag meetapa satu aggota = -! o P P j : bayaya permutas yag meetapa dua aggota = -! o P P j P jm : bayaya permutas yag meetapa m aggota = -m! ' ' ' j j j j P PP PP P PP P P P P D
Bayaya deragemet dar obje Karea terdapat C,m cara utu memlh m dar aggota, maa o P = C, -! o P P j = C, -! o Da secara umum, P P j P jm = C,m -m! Sehgga, Teorema. Bayaya deragemet dalam hmpua dega aggota adalah D!!!!!
The Hatchec Problem Seorag pegawa baru d tempat petpa top suatu rumah maa meerma ttpa top dar pegujug, tetap a lupa utu meomor toptop tersebut. Keta para pegujug heda megambl embal top merea, pegawa memlh secara aca dar top yag terssa. Berapaah peluagya bahwa tda ada seorag pu yag meerma topya embal.
Solus. The Hatchec Problem Peluag bahwa tda ada seorag pu yag meerma topya embal adalah D!!! Ja membesar tapa batas. lm D!! e 0,68!