TURUNAN FUNGSI. Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik dilambangkan dengan f () dengan definisi f ( ) f ( ) f (). Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan bawa f diturunkan untuk mendapatkan f.. Conto : Carila turunan fungsi f ang dinatakan dengan f() + pada Turunan f pada iala f () f ( ) f () ( ) 9 ( ) ( ) Conto : Carila turunan fungsi f ang ditentukan ole f() langsung dari definisi. f ( ) f ( ) ( ) f () ( ) ( ) Conto. Diketaui f() /. Carila f () langsung dari definisi. ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) Tugas Gunakan definisi fungsi turunan f () f () untuk tiap-tiap soal di bawa ini. f ( ) f ( ) untuk memeriksa nilai. f() ; f (). f() / ; f () - /. f() ; f (). f() / ; f () - /. f() ; f ()
. Turunan Beberapa Fungsi Kusus (i). Turunan fungsi-fungsi konstan Jika f() c, dengan c konstan, maka: f () f ( ) f ( ) c c. Turunan fungsi konstan adala nol. (ii). Turunan n (n bilangan bulat positif) Untuk n, maka f(), dan f (). Untuk n, maka f(), dan f () ( ). Untuk n, maka f() dan f (). Dari uraian di atas diperole ( f ( f ( ) ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ) ( ) f() f () Bila diperatikan dengan seksama, tampak pola turunan untuk,, dan seterusna, seingga dapat disimpulkan turunan dari f() n adala f () n n Kesimpulan tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi turunan sebagai berikut.. Misalkan f() n n n f ( ) f ( ) ( ), maka f () n n n n n n n n n n n ( )... n n n n n! adala kombinasi k unsur dari n unsur, dengan k k k!( n k)! n n ( ) Selanjutna f () n n n n... n ( n n n n ( n... n n n- ( n... n n n n n... n n ) Jika f() n, maka f () n n -, dengan n bilangan bulat positif. n n ) n
(iii). Turunan a n (n bilangan bulat positif) Misalkan f() a n n n a( ) a, a suatu konstanta, maka f () n n n n a[( ) ] a[( ) ]. Berdasarkan sifat it diperole n n n n n n n [( ) ] ( n... n ) a a n n n n n n n... n ( n... n ) a a n n n a ( n... n an n- Jika f() a n, maka f () an n -, dengan n bilangan bulat positif. (iv). Turunan pangkat negative dan rasional dari Untuk n -, maka f() - f ( ) f ( ), dan f () ( ) ( ) ( ) ( ) - Untuk n -, maka f() -, dan f () f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari uraian di atas diperole : f() / atau - / atau f () - / atau - - / atau Bila dicermati diperole pola bawa turunan dari f() -, maka f () - -. Juga bila f() -, maka f () - -, dan seterusna. Dengan demikian bila f() -n, maka f () -n n-, berlaku bagi n bilangan bulat untuk n. Jika f() n, maka f () n n, dengan n bilangan bulat, n. Conto : Diketaui f(). Carila f () :
f() f () Bagaimana bila f() n dengan n bilangan rasional? f ( ) f ( ) Misalkan f(), maka f () ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Jika f() n dengan n bilangan rasional, maka f () n n-. Conto Diketaui f(). Carila f () : Bila f(), maka f () : Tugas. Carila turunan dari :. ½. /. /. ½. /. - 7. - 8. - 9. -. ½. Sifat-sifat Turunan Fungsi Bila g() dan () fungsi-fungsi ang memiliki turunan dan k konstanta, berlaku: (i) Jika f() k g() maka f () k g () (ii) Jika f() ) + ) maka f () u () + v () (iii) Jika f() ) - ) maka f () u () - v () (iv) Jika f() ).) maka f () u ()) + )) ) u'( ) ) ) v'( ) (v) Jika f() maka f () ) [ )] Bukti (i). f ( ) Jika f() k g() maka f () g( ) g( ) g( ) g( ) k k f ( ) k g () kg( ) kg( )
Bukti (ii) Jika f() )+) maka f () ) ( ) )) ( ) )) ) u () + v (). ) ( ) )) ) ) ) Bukti (iii) serupa dengan bukti (ii). Bukti (iv) ). ) ). ) Jika f() )+) maka f () ). )) ). ) ) ) ) ) ).[ )). )] [ ) )] ) ).[ )). )] [ ) )] ) ).[ )). )].[ )). )] ) [ )). )].[ )). )] ) ) [ )). )].[ )). )] ) ) )v () + u ()) u ()) + )v (). Bukti (v) serupa dengan bukti (iv) Conto. Carila turunan dari f() + f() + Misalkan ), ) dan w(), maka u (), v () dan w () Selanjutna f() ) + ) w() dan f () u () + v () w () +. Conto 7 Carila turunan f() ( -)( + ) Dengan menggunakan sifat (iv) Misalkan ) - dan ) +, maka u () dan v () + Jika f() ).) maka f () u ()) + )v () seingga tururnan dari f() ( -)( +) adala f () ( +)+ ( -)( +) 8 +8²-³- Hasilna sama dengan cara mengalikan daulu ).) aitu f() ( -)( +) ⁶+³-⁴-, dan f () 8 +8²-³-. Conto 8 Carila turunan f() Dengan menggunakan sifat (iv) Misalkan ) dan ) + maka u () 8 - dan v (). ) u'( ) ) ) v'( ) Jika f() maka f (). ) [ )]
Selanjutna turunan dari f() (8 )( ) ( f () [ ] )() adala 8 ( ) Tugas Carila turunan dari fungsi-fungsi berikut.. + +. 7 +. + 9. ( + )( ). ( -7)( - +)... 7. Jika f(), f () -, g() - dan g () Carila (f-g) (); (f.g) (); dan (f/g) () 8. Jika f() 7, f (), g() dan g () - Carila (f+g) (); (f.g) (); dan (f/g) (). Arti Geometris Turunan a. Gardien Garis singgung Kurva Peratikan grafik fungsi f pada gambar berikut. 8 B C A - Gambar Titik A, B, dan C terletak pada grafik f, bila absisna berturut-turut,, dan, maka koordinat titik A(, f( )), B(, f( )), dan C(, f( )). Garis AB memotong grafik f B A f ( ) f ( ) memiliki gradien. Garis AC memotong grafik f memiliki gradien C C A A B f ( A ) f ( ). Misalkan selisi absis titik C dan absis titik C sama
7 dengan, maka +, seingga gradien garis AC sama dengan f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) Jika titik C pada grafik terus digeser mendekati titik A, maka mendekati atau f ( ) f ( ) seingga selisina aitu mendekati, ditulis dilambangkan dengan f ( ) ang memiliki makna gradien garis singgung kurva f di titik A(, f( )). Conto 9 : Tentukan gradien garis singgung kurva f() - di titik f() -, maka f () Gradien garis singgung di adala f ().. b. Kecepatan Sesaat Kita biasa mendengar pernataan-pernataan seperti Waktu berpapasan dengan mobil polisi, mobil tadi sedang bergerak dengan kecepatan meter per detik. Apaka arti m/det (pada saat ang dimaksud)? Apabila mobil itu bergerak dengan kecepatan tetap(konstan), maka mobil itu akan menempu jarak m dalam waktu dua detik, dan seterusna. Secara umum, jarak s meter, ang ditempu dalam waktu t detik, dapat diitung dengan rumus s t atau s/t, artina Jarak ang ditempu Kecepatan Waktu ang diperlukan Apabila kecepatanna tidak tetap, maka situasina menjadi lebi sulit. Misalkan suatu mobil bertolak dari titik O dan mencapai jarak s meter dari O setela bergerak t detik, dan jarak s meter dalam t detik itu memenui rumus s t. Berdasarkan rumus kecepatan di atas, maka kecepatan s/t t tidak tetap t tergantung nilai t. Jadi mobil tadi bergerak dengan kecepatan ang tidak tetap. Tetapi dari pengalaman kita merasa bawa tiap-tiap saat mobil itu memiliki suatu kecepatan, ang misalna dapat dibaca pada pengukur kecepatan. Muncul pertanaan Berapaka kecepatanna dalam m/det pada t? Jelas jawabanna tergantung pada s t dan pada t. Persamaan s t ini memasangkan suatu bilangan non-negatif s dengan tiap-tiap bilangan real t. Maka rumus s t menentukan suatu fungsi ang berdomain R. Sedangkan daera asilna adala impunan semua bilangan real non-negatif. Mencari arti kecepatan pada t jika s t Dengan menggunakan s : t t adala fungsi ang berkaitan dengan rumus s t diperole s(t) t, ang memberikan jarak ang ditempu dalam waktu t mulai dari t. Jarak ang ditempu dari t sampai t adala s() m. Jarak ang ditempu dari t sampai t adala s() m. Kecepatan rata-rata dalam selang waktu dari t sampai t adala perubaan jarak s() s() m/dtk. perubaan waktu Dengan cara ang sama diperole kecepatan rata-rata dari t sampai t, adala s(,) s(),, m/dtk.,, Untuk memperole jawaban atas pertanaan Berapaka kecepatan pada t?, biasa disebut kecepatan sesaat untuk t kita membuat daftar kecepatan rata-rata dalam selang-selang waktu ang singkat dari t sampai t +, untuk nilai-nilai positif ang makin kecil. t 7
8 Dengan mengitung s( ( ) ) s() untuk tiap-tiap, kita perole s( ( H,,,., ) s() ),,,,, s( ) s() Baris kedua menunjukkan kecepatan rata-rata pada selang ( ) waktu dari t sampai t + adala sangat dekat pada (m/det) untuk positif s( ) s() kecil. Sedangkan memiliki arti sebagai kecepatan sesaat pada t. Dengan demikian, jka jarak ang ditempu sebua benda adala s meter dalam t detik s( t ) s( t) dengan s s(t) maka kecepatan t) s (t) Conto Jarak s meter ang ditempu dalam t detik ole benda ang jatu dinatakan ole rumus s (t) t. Carila kecepatan mobil diatas sesuda detik dari saat berangkatna. Persoalan ini adala mencari kecepatan sesaat mobil ketika t, dapat diperole sebagai berikut. s (t) t, maka t) s (t).t t. Kecepatan sesaat mobil ketika t adala ). m/dtk Tugas. Tentukan gradien garis singgung f(), di titik (,).. Tentukanla koordinat titik pada kurva + + seingga garissinggung kurva di titik itu mempunai gradien. Tentukan persamaan garis singgung f() + ang melalui (-,).. Jarak s cm ang ditempu ole sebutir kelereng ang mengguling pada waktu t detik dinatakan dengan s(t) t t. Hitungla kecepatan kelereng saat t.. Sebua bola dilemparkan tegak lurus ke atas dengan kecepatan permulaan m/det. Bola itu bergerak sesuai dengan persamaan t t. Dalam rumus itu menunjukkan tinggi bola di atas titik keberangkatan diukur dengan meter, setela t detik. Carila kecepatan bola pada saat t, detik. Turunan Fungsi Trigonometri (i). Turunan sin f ( ) f ( ) sin( Misalkan f() sin, maka f () A B A B Tela kita ketaui bawa sin A sin B cos sin, ) sin 8
9 ( ) cos sin sin( ) sin maka f () cos( )sin sin sin [ ] ) [cos( ] cos( ) sin sin cos( ). ( ) cos. ( ) cos. cos.. Jika f() sin, maka f () cos. (ii). Turunan cos f ( ) f ( ) cos( ) cos Misalkan f() cos, maka f () A B A B Tela kita ketaui bawa cos A cos B - sin sin, ( ) sin sin cos( ) cos maka f () sin( )sin sin sin [ ] ) [ sin( ] sin( ) sin sin sin( ). ( ) -sin. ( ) -sin. -sin.. Jika f() cos, maka f () - sin. (iii). Turunan tan sin f() tan. Misalkan ) sin dan ) cos maka u () cos dan cos u'( ) ) ) v'( ) v () -sin. Menurut sifat (v) f () [ )] cos.cos sin ( f () [cos ] sin ) cos cos sin cos sec Tugas Carila turunan dari fungsi-fungsi berikut.. sin + cos. cot. cos. Tentukan gradien garis singggung kurva f() cos di /.. Tentukan persamaan garis singgung f() tan melalui titik ( /, ). 9
. Aturan Rantai dan Notasi Leibniz a. Teorema Aturan Rantai Jika f() (uov)() )), maka f () u ()).v () Conto : Carila f () bila f() ( + ) Cara pertama f() ( + ) 8³+²++, maka f () + + (8 + +) (+). Cara kedua Menggunakan sifat (vi) jika f() (uov)() )), maka f () u ()).v (). Untuk f() ( + ), misalkan dengan ) dan ) +, seingga f() (uov)() )). Bila ) maka u () dan bila ) + maka v () f () ( + ). ( + ). Conto : Carila f () bila f() f() ( ) f() (uov)() dengan ) dan ) + -, maka u () dan v () 9 + f () ( ) ( 9 + ) 9 b. NotasiLeibniz Fungsi f: + biasa ditulis f() +, tetapi sering juga ditulis sebagai +. Jika f() + maka f (), dan bila + sering ditulis. f ( ) f ( ) Dari definisi fungsi turunan dari f () adala f (), melambangkan perubaan nilai. Dalam berbagai penerapan kalkulus perlu sekali lambang sering ditulis sebagai, sedang perubaan nilai f atau ang sesuai disebut dilambangkan dengan f atau. f ( ) f ( ) Jika f (), maka f( + ) f() dan. d Ole Leibniz ditulis sebagai. d
8 B C A - Gambar Dengan menggunakan notasi Leibniz, Teorema Aturan Rantai dapat dinatakan d d du sebagai berikut: Jika f(u) dan u g(), maka. d du d Conto Carila bila ( + ) Misalkan v + maka ( + ) v d dv v dv dan d seingga d d d dv dv d v. v ( ) Tugas Carila turunan dari fungsi-fungsi berikut.. f() ( -). f() ( - + +). f() sin. f() cos. f() ( +) -7. 9 ( ) 7. sin ( ) 8. [( +)sin ] 9. cos. sin [cos ( )] 7. Kurva Naik dan Kurva Turun Bila suatu kurva dari grafik fungsi digambarkan pada koordinat kartesius, kurva dikatakan naik, bila makin ke kanan kurva makin tinggi, seperti terliat pada Gambar. Suatu kurva dikatakan turun bila makin ke kanan kurva makin renda, seperti pada Gambar.
8 8 f f - - Gambar Gambar Peratikan Gambar., pada interval - < < - kurva naik, pada interval - < < kurva turun, dan pada interval < < kurva naik. Sedangkan pada - dan kurva tidak naik maupun turun, dikatakan kurva mencapai stasioner. Titik A dan B disebut titik stasioner kurva. A f - - - - B - Gambar. Hubungan Turunan Fungsi dengan Grafik Fungsi Peratikan Gambar., pada interval - < < grafik naik dan garis-garis singgungna membentuk sudut lancip dengan sumbu positif, artina gradien-gradien garis singgung grafik f pada saat kurva f itu naik adala positif. Dengan kata lain, grafik fungsi f naik bila f () >. Peratikan Gambar 7., pada interval < < grafik turun dan garis-garis singgungna membentuk sudut tumpul dengan sumbu positif, artina gradien-gradien garis singgung grafik f pada saat kurva f turun adala negatif. Dengan kata lain, grafik fungsi f turun bila f () <. - - - - - - - - Gambar Gambar 7
Conto Bila f() - +7, tentukan dimana grafik f naik dan grafik f turun. f() - +7 maka f () - Grafik f naik bila f () > - > - > (-)(+)> Batas-batas interval adala (-)(+) dan - Untuk daera pada garis bilangan sebela kiri - itu daera positif (+) atau negatif (-) subsitusikan sembarang bilangan sebela kiri -, misalna - diperole (--)(-+) (-)(-) positif (+). Untuk daera pada garis bilangan antara - dan itu daera positif (+) atau negatif (-) subsitusikan sembarang bilangan sebela kiri di antara kedua bilangan, misalna diperole (-)(+) (-)() - negatif (-). Begitu juga untuk memeriksa daera garis bilangan sebela kanan, ambil bilangan, kemudian subsitusikan ke (-)(+) (-)(+). positif (+) + + + - - - + + + - Grafik f naik pada interval garis bilangan ang bertanda positif (+) aitu, - < <- dan < <. Dengan menggunakan garis bilangan ang sama, sekaligus diperole interval dimana grafik f turun, aitu pada interval garis bilangan ang bertanda negatif (-). Grafik f turun pada interval - < <. Ini sesuai dengan grafik f() - +7 pada Gambar 8. f - - - - - - Gambar 8. Tugas 7 Untuk setiap fungsi ang ditentukan dalam persamaan no. 7 tentukanla intervalinterval dimana fungsi itu naik dan dimana fungsi itu turun. f() 8 +. f() -. f(). f() 9 +. f() / + f() ( ) 7. f() + 8. Tunjukkanla grafik fungsi f() + tidak perna turun.
8. Titik Stasioner Pada Gambar 9., sebela kiri titik A kurva naik, dan sebela kanan titik A kurva turun, sedangkan di titik A kurva tidak naik maupun turun, ole karena itu A disebut titik stasioner. Titik stasioner A pada Gambar 9. ini disebut titik balik maksimum. Sedangkan pada dan Gambar., sebela kiri titik A kurva turun dan sebela kanan titik A kurva naik. Titik stasioner A pada Gambar. disebut titik balik minimum. Baik pada Gambar 9., maupun Gambar., garis singgung di titik stasioner A sejajar dengan sumbu, artina gradien garis singgung grafik fungsi f di A adala. Dengan kata lain, grafik f mencapai stasioner bila f (). A 8 - - - - A - - Gambar 9 Gambar Conto Tentukan titik stasioner dan jenisna dari grafik f() -+ Grafik f mencapai stasioner bila f () f() +, maka f () - f (), artina atau Nilai stasionerna f() -. + - Jadi titik stasionerna (,-) Gunakan garis bilangan berikut untuk memeriksa jenis stasioner. - - - + + + adala absis titik stasioner, batas kurva naik atau turun. Daera pada garis bilangan sebela kiri adala negatif (-) sebab f (). - negatif (-), sedangkan sebela kanan adala positif (+), sebab f (). positif (+). Sebela kiri kurva turun dan sebela kanan kurva naik, disimpulkan jenis titik stasioner (,-) adala titik minimum. Jawaban di atas sesuai dengan grafik f() + pada Gambar. f - - - A(,-) - Gambar.
Conto Tentukan titik-titik stasioner dan jenisna dari grafik f() Fungsi turunan dari f() adala f (). Grafik f mencapai stasioner bila f () ( )( + ), atau atau +, seingga diperole absis titik-titik stasioner,, dan -. Masing - masing ordinat titik stasionerna adala, f().., f().., dan f().(-).(-) -, seingga diperole titiktitik stasioner (,), (,) dan (-,-). Untuk memeriksa jenis titik stasioner itu, digunakan garis bilangan sebagai berikut. - - - + + + + + + - - - - Daera pada garis bilangan sebela kiri - adala negatif (-) sebab bila disubsitusi ole sebarang bilangan kurang dari - misalna -, f (-) (-) ( (-))( + (-)) -8 adala bilangan negatif.. - negatif (-). Daera antara - dan adala positif (+), sebab f (- ½) (- ½ ) ( (- ½ ))( + (- ½ )) adala bilangan positif. Daera antara dan adala positif (+), sebab f ( ½) ( ½ ) ( ½ )( + ½ ) adala bilangan positif. Daera sebela kanan negatif (-), sebab f () () ( ))( + ) -8 adala bilangan negatif. Titik (-,-) adala titik balik minimum, karena grafik sebela kiri titik ini turun dan sebela kanan titik itu naik. Nilai f(-) - disebut nilai balik minimum. Titik (,) adala titik balik maksimum, karena grafik sebela kiri titik ini naik dan sebela kanan titik itu turun. Nilai f() disebut nilai balik maksimim.. Titik (,) bukan titik balik minimum maupun minimum, karena grafik sebela kiri titik ini naik dan sebela kanan titik itu naik pula. Titik (,) pada kurva ini disebut titik belok. 8 (,) - - (,) (-,-) - - - -8 - Gambar. Dari conto di atas, secara umum, misalna a memenui f (a), maka titik (a, f(a)) adala titik balik maksimum atau titik balik maksimum atau titik belok. Jika f () ada untuk setiap titik disekitar a (aitu interval kecil pada sumbu ang memuat a) maka di sekitar a terdapat kemungkinan untuk grafik f. Titik (a,f(a)) merupakan titik balik maksimum dari f, bila Sedikit sebela kiri a (a ) a Sedikit sebela kanan a (a + ) f () Positif ( + ) Negatif (-)
Titik (a,f(a)) merupakan titik balik minimum dari f, bila Sedikit sebela kiri a (a ) a Sedikit sebela kanan a (a + ) f () Negatif ( - ) Positif (+) Titik (a,f(a)) merupakan titik belok dari f, bila Sedikit sebela kiri a (a ) a Sedikit sebela kanan a (a + ) f () Positif ( + ) Positif (+) atau Sedikit sebela kiri a (a ) a Sedikit sebela kanan a (a + ) f () Negatif ( - ) Negatif (-) Tugas 8. Tentukanla nilai-nilai stasioner fungsi ang didefinisikan berikut ini dan tentukanla jenis masing-masing nilai stasioner itu. f(). f() 9 +. f() 7. f(). f() 8. f() + /. f() ( + )( ) 9. f() ( ). f(). f() sin, 9. Perubaan Kecekungan Kurva Peratikan Gambar., kurva ini dikatakan cekung ke atas, sedangkan kurva pada Gambar., dikatakan cekung ke bawa. f - - - - - - Gambar Gambar Sekarang peratikan Gambar. kurva dari grafik f(). dan Gambar, kurva dari grafik f() -. - -
7 8 8 - - - - - -8 - - - - Gambar Gambar Untuk f(), maka f (), dan untuk f() diperole Nilai f ( - ), misal f (-). (-) (positif), juga nilai f ( + ), misal f (). (positif) seingga diperole - - -8 - Sedikit sebela kiri ( ) Sedikit sebela kanan ( + ) f () Positif ( + ) Positif (+) Untuk f() -, maka f () -, dan untuk f() diperole - Nilai f ( - ), misal f (-) -. (-) - (negatif), juga nilai f ( + ), misal f () -. - (negatif) seingga diperole Sedikit sebela kiri ( ) Sedikit sebela kanan ( + ) f () Negatif ( - ) Negatif (-) Pada Gambar., untuk - < < kurva cekung ke bawa dan untuk < < kurva cekung ke atas. Juga pada Gambar., untuk - < < kurva cekung ke atas dan untuk < < kurva cekung ke bawa.. Titik (,) pada kedua gambar tersebut disebut titik belok, aitu titik dimana terjadi perubaan kecekungan, dari cekung ke bawa menjadi cekung ke atas atau sebalikna dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawa. Hubungan Turunan dengan Kecekungan dan Titik Belok. Pada Gambar 7., kurva cekung ke atas dengan A sebagai titik stasioner. Gradien garis singgung sebela kiri titik A semuana negatif. Gradien garis singgung di titik A adala, dan gradien garis-garis singgung sebela kanan titik A semuana positif. Bila ditinjau dari kiri ke kanan gradien-gradien garis singgung kurva ang cekung ke atas adala naik. Sebelumna tela dikemukakan grafik f () naik pada interval ang memenui f () >. Tentu grafik g() naik pada interval ang memenui g () >. Jika g() f (), grafik f () naik pada interval ang memenui g () >. Karena g() f (), turunan dari g() aitu g () sama dengan turunan dari f (). Turunan dari f () ditulis f () disebut turunan kedua dari f(). Dengan demikian dapat disimpulkan, kurva f cekung ke atas pada interval ang memenui f () >. 7
8 8 A A - - - - - Gambar 7 Gambar 8. - Sebalikna pada Gambar 8., kurva cekung ke bawa, ditinjau dari kiri ke kanan gradien-gradien garis singgungna turun. Diperole kesimpulan, kurva f cekung ke bawa pada interval ang memenui f () <. Kecekungan grafik f dibatasi ole absis titik-titik belok ang memenui f (). Conto 7. Tentukan titik belok dari grafik f() - +7. Tentukan dimana kurva cekung ke atas dan dimana kurva cekung ke bawa. f() - +7, maka f () - - dan f () Catatan: f () adala turunan dari f (). Absis titik belok diperole dari f () ½ Ordinat titik belok adala f( ½ ) ( ½ ) ( ½ ) ( ½ ) + 7 ½ Jadi titik belok kurva tersebut ( ½, ½ ) Kurva cekung ke atas bila f ( ) > > > ½ Kurva cekung ke atas pada interval ½ < < Kurva cekung ke bawa bila f () < < < ½ Kurva cekung ke atas pada interval - < < ½. Jika dituliskan dengan tabel diperole Sedikit sebela kiri ½ ( ½ ) ½ Sedikit sebela kanan ½ ( ½ + ) f () Negatif ( - ) Positif (+) Kesimpulan di atas sesuai dengan grafik fungsi f() - +7 pada Gambar 9. Sebela kiri titik ( ½, ½ ) kurva cekung ke bawa dan sebela kanan titik ( ½, ½ ) kurva cekung ke atas. (½, ½ ) - - - - - - Gambar 9. Turunan kedua dari f () aitu f () dapat digunakan untuk memeriksa jenis stasioner. Dari Gambar 7. dapat diliat bawa kurva cekung ke atas, titik stasionerna adala stasioner minimum. Sedangkan dari Gambar 8., kurva ang cekung ke bawa 8
9 titik stasionerna adala stasioner maksimum. Dengan demikian bila titik A (a, f(a)) sebua titik pada kurva f, dapat disimpulkan: (i) Jika f (a), maka titik A (a, f(a)) titik belok (titik perubaan kecekungan) (ii) Jika f (a) dan f (a) >, maka titik A (a, f(a)) titik balik minimum. (iii) Jika f (a) dan f (a) <, maka titik A (a, f(a)) titik balik maksimum. Conto 8 Tentukanla nilai-nilai stasioner fungsi f ang didefinisikan dengan f() ( ) dan tentukanla jenis setiap nilai tersebut f() ( ) f () ( ) f () - Absis titik stasioner f diperole jika f () ( ) atau Ordinat titik stasionerna masing-masing adala f() untuk dan f() - 7 untuk. Jadi titik stasionerna adala (, ) dan (,-7). Untuk memeriksa jenis titik stasioner tersebut, subsitusi absisna ke dalam f () Untuk maka f ().., artina titik (,) adala titik belok. Untuk, maka f ().. 8-7 >, artina titik (,-7) adala titik balik minimum. Kesimpulan di atas sesuai dengan grafik fungsi f() ( ) pada Gambar. Titik (,) adala titik belok, titik perubaan kurva dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawa, dan titik (,-7) adala titik balik minimum. - - (,) - - - Gambar. (,-7) Tugas 9 Tentukan dimana fungsi ang diberikan cekung ke atas dan dimana cekung ke bawa. Tentukan pula titik belokna.. f() -. f() ( -) +. f() + +. f() -. f() sin, untuk 9
. Menggambar Kurva Sebelumna tela kita belajar menggambar berbagai grafik fungsi tertentu seperti, fungsi linear, kuadrat, dan lain sebagaina. Sekarang akan belajar menggambar berbagai grafik fungsi dengan memperatikan titik-titik stasioner, titik-titik balik maksimum, minimum, kecekungan, dan lain-lain. Kemampuan menggambar kurva merupakan al ang sangat penting dalam pengertian dan penggunaan Kalkulus. Dalam menggambar grafik fungsi ang dapat didefinisikan, beberapa atau semua al berikut ini sangat membantu: (i). Titik-titik potong kurva dengan sumbu dan sumbu (jika muda diterapkan). (ii). Titik-titik stasioner dan jenisna (iii) Nilai-nilai f() untuk atau -. Conto 9 Gambarla grafik kurva f() ( ) (i). Titik-titik potong dengan sumbu-sumbu: Titik potong dengan sumbu diperole jika maka f() (-) Titik potong dengan sumbu adala (,). Titik potong dengan sumbu diperole jika f(), maka ( -) diperole Titik potong dengan sumbu adala (,) dan (,). (ii). Titik-titik stasioner dan jenisna; f() ( ) ( + 9) + 9 f () + 9 f () - Titik -titik stasioner pada kurva diperole dari f () + 9 + (-)(-) (-) atau (-) atau Untuk, maka f() (-), untuk maka f() (-) Jadi titik-titik stasioner adala (, ), dan (, ) f (). - - <, jadi titik (,) adala titik balik maksimum f (). - >, jadi titik (,) adala titik balik minimum. (iii) f() ( ). Untuk nilai maka f() dan untuk nilai - maka f() - Semua keterangan di atas memungkinkan kita menggambar kurva, seperti tampak pada Gambar. (,) f - - - (,) - - Gambar.
Tugas. Gambarla kurva-kurva berikut ini:.. 9.. 8 ( ). ( ). 7. / ½. ( ) 8. 8 +.. Nilai-nilai Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dalam Interval Tertutup Grafik fungsi f ang ditentukan dengan f() ang tela dipelajari sebelumna tampak pada Gambar. 8 (,) - - (,) (-,-) - - - -8 - Gambar. Nilai maksimum f dalam interval tertutup dengan muda dapat diliat aitu 7 f(). Tetapi untuk interval ½ nilai maksimum f adala f(½ ) dan untuk interval nilai maksimum f adala f(- ). - - - - - Gambar. Dari Gambar., terliat untuk interval nilai minimum f adala f() - dan nilai maksimum f adala f(- ), dapat ditulis f() untuk interval. Dengan demikian perlu diperatikan bawa nilai balik maksimum atau minimum dari fungsi f dalam suatu interval tertutup belum tentu nilai maksimum atau minimum dari f. Nilai maksimum dan minimum fungsi f dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner f dalam interval itu atau dari nilai f pada ujung-ujung interval. Conto Tentukan nilai minimum dan maksimum dari f() - + pada interval (i) Menentukan nilai balik kurva f f() - + f () dan f () Absis titik stasioner diperole dari f ()
f() -. + - dan f () >, seingga (,-) merupakan titik balik minimum. Jadi nilai balik minimumna -. (ii) Menentukan nilai f pada batas-batas interval. f() - + f() dan f(). + 8 Dari (i) dan (ii) diperole nilai minimum dari f adala - dan nilai maksimum f adala 8. Jadi - f() - + pada interval, seperti terliat pada Gambar. 8 - Gambar. Conto Tentukan nilai minimum dan maksimum dari f() pada - (i) Menentukan nilai balik kurva f f() f () dan f () - Absis titik stasioner diperole dari f () ( - ) atau (-) atau f() () dan f() () 9 -. f (). -<, seingga (,) merupakan titik balik maksimum dan nilai balik maksimumna adala. f (). 8 >, seingga (,-) merupakan titik balik minimum dan nilai balik minimumna adala -. Nilai ini tidak diperitungkan karena di luar interval ang diberikan. (ii) Menentukan nilai f pada batas-batas interval. f() f(-) -. - dan f(). 7 - -7. Dari (i) dan (ii) diperole nilai minimum dari f adala -7dan nilai maksimum f adala. Jadi -7 f() pada interval, seperti terliat pada Gambar. - - - Gambar.
Tugas Tentukanla nilai-nilai maksimum atau minimum fungsi-fungsi berikut dalam interval tertutup ang diberikan. Natakanla asilna dalam bentuk a f() b dan tunjukkanla dengan sketsa.. f () pada interval. f () 9 pada interval. f () pada interval ½. f () pada interval. f () dalam { I }. Soal-soal tentang Maksimum dan Minimum Conto Sebidang tana terletak sepanjang suatu tembok. Tana itu kan dipagari untuk peternakan aam. Pagar kawat ang tersedia panjangna m. Peternakan itu dibuat berbentuk persegi panjang. Tentukanla ukuranna agar terdapat dera peternakan ang seluas-luasna. Pertama-tama dibuat model matematika dari soal itu, kemudian dianalisa. Jika lebar kandang meter maka panjangna ( ) meter. Jelasla bawa dan ( ). Jadi. Luas kandang dalam m adala L() ( ) L () ( ) dan L () - L (), karena L () - <, maka L() nilai balik maksimum. Jadi untuk terdapat nilai balik maksimum L().. Pada ujung-ujung interval terdapat L() dan L() Jadi luas maksimum ang ditanakan adala. m ang terjadi jika lebarna m dan panjangna m. Tugas. Tinggi meter suatu roket setela t detik adala (t) t t. Tentukanla tinggi maksimum roket itu.. Jumla dua bilangan dan adala, dan asil kalina p. Tulisla persamaan ang menatakan ubungan antara dan. Kemudian natakan p dalam. Tentukanla asil kali ang terbesar.. Keliling suatu persegipanjang m a. Jika panjangna meter dan lebarna meter tulisla persamaan paling sederana ang menatakan ubungan antara dan b. Tulisla rumus luas L m untuk persegipanjang itu. Natakan L dalam. Tentukanla ukuran persegipanjang tersebut agar luasna maksimum.. Seelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar cm dan panjang 8 cm. Pada tempat sudut karton itu dipotong bujursangkar ang sisina cm. Dari bangun ang didapat dibuat kotak tanpa tutup ang tinggina cm. Tentukanla ukuran kotak agar isina sebanak-banakna.. Pada Gambar PQRS adala persegipanjang ang lebarna cm dan panjangna cm; PW QX RY SZ cm seperti tampak pada gambar a. Dengan pengurangan luas PQRS ole luas segitiga buktikanla bawa luas segiempat WXYZ adala L cm dengan L() + b. Tentukanla luas minimum segiempat tersebut
P W Q A E B F S R D C Gambar. Gambar 7. Pada Gambar 7., tampak bujursangkar ABCD dengan sisi cm, BE cm dan CF cm. Natakanla panjang AE dan BF dalam. Tunjukkanla bawa luas DEF adala L cm dengan L() +. Kemudian tentukan seingga L minimum. 7. Segitiga siku-siku OAB terbentuk dari sumbu, sumbu dan garis g ang persamaanna 8. Titik P(,) terletak pada garis g. Dari P dibuat garisgaris tegaklurus sumbu-sumbu seingga terjadi persegipanjang dengan diagonal OP. Natakanla luas persegipanjang itu dalam. Tentukanla koordinat P seingga luas persegipanjang maksimum. 8. Suatu kotak alasna berbentuk bujursangkar dengan sisi cm dan tinggi kotak cm, atasna terbuka. Isi kotak cm a. Tulisla persamaan ang menatakan ubungan dengan.tulisla juga rumus untuk luas permukaan kotak L cm dinatakan dengan dan b. Tunjukkan bawa L() + 8/ dan kemudian tentukanla ukuran kotak agar baan untuk membuat kotak itu sesedikit mungkin.