IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com ABSTRACT Pegertia fugsi di kalkulus adalah pemetaa dari himpua bilaga real ke himpua bilaga real dega fugsi jarakya adalah ilai mutlak. Pada makalah ii aka disajika pegertia fugsi dari suatu ruag metrik ke ruag metrik yag lai yag fugsi jarakya mugki saja berbeda. Selajutya aka dibicaraka megeai limit fugsi pada ruag metrik, kekotiua fugsi pada ruag metrik, fugsi kotiu seragam pada ruag metrik, kekompaka fugsi pada ruag metrik, da teorema-teorema yag berhubuga dega hal tersebut. Kata Kuci : Ruag Metrik, Limit Fugsi, Fugsi Kotiu, Fugsi Kompak. Notio of a fuctio i calculus is a mappig from the set of real umbers to the set of real umbers with absolute value it is. O this paper will be preseted the otio of fuctios of a metric space ito the other metric space with the fuctios of the distace is probably differet. Next will be discussed regardig the limit of a fuctio o a metric space, the cotiuous fuctio o metric spaces, uiform cotiuity o the space metric, a metric space compactess fuctio ad theorems that relates to it. Key words I. Pedahulua : Metric Space, Limit Of The Fuctio, The Cotiuous Fuctio, Compact Fuctio. Sebelum kita membicaraka Limit fugsi da kekotiua fugsi pada ruag metrik terlebih dahulu kita bahas megeai defiisi metrik, defiisi persekitara pada ruag metrik, defiisi titik limit pada ruag metrik, defiisi himpua terbuka pada ruag metrik, pegertia selimut terbuka pada ruag metrik, da defiisi kompak pada ruag metrik. Misalka X himpua yag tidak kosog. Fugsi d : X x X R disebut fugsi metrik (fugsi jarak) jika utuk setiap p, q X berlaku : (i) d(p,q) 0 d(p,q) = 0 p = q (ii) d(p,q) = d(q,p) (iii) d(p,q) d(p,r) + d(r,q), r X. Himpua X dega fugsi metrik d disebut ruag metrik da ditulis dega otasi (X,d) atau X saja. 55
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Misalka (X,d) ruag metrik. Persekitara (eighborhood) dari titik p ditulis dega otasi N r (p), r > 0 da didefiisika sebagai berikut; N r (p) = {q X : d(p,q) < r}. r disebut jari-jari dari persekitara N r (p). Misalka (X,d) ruag metrik da E X. Titik p disebut titik limit dari E jika setiap persekitara N r (p) memuat titik aggota E yag tidak sama dega p. Equivale dega, p disebut titik limit dari E jika setiap persekitara N r (p) ada q N r (p) E\{p} atau equivale dega, p disebut titik limit dari E jika setiap persekitara N r (p) berlaku N r (p) E\{p}. Misalka (X,d) ruag metrik da E X. p E disebut titik dalam dari E jika ada persekitara N r (p) sehigga p N r (p) E. Selajutya E disebut himpua terbuka jika setiap aggota E merupaka titik dalam dari E. Jadi E disebut himpua terbuka jika setiap p E ada persekitara N r (p) sehigga p N r (p) E. Selimut terbuka himpua E dalam ruag metrik (X,d) adalah keluarga himpua terbuka { G } di X sehigga E G. Selajutya Himpua K dalam ruag metrik (X,d) dikataka kompak jika setiap selimut terbuka utuk K memuat selimut bagia berhiggaya utuk K. II. Pembahasa 1. Limit Fugsi Defiisi 1. Misalka X da ruag metrik, E X, f : E da p titik limit E. lim f ( x ) q jika da haya jika utuk setiap > 0 terdapat > 0 sehigga utuk setiap x E dega 0 d ( x, x p ) berlaku d ( f( x), q). Catata : px tetapi p tidak perlu aggota E. Walaupu pe mugki saja f( p) lim f( x) artiya ia tidak kotiu di p. x p d x adalah jarak pada ruag metrik X da d adalah jarak pada ruag metrik. Jika X atau digati oleh R, maka d x, d berarti ilai mutlak. 56
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Teorema 2. Misalka X da ruag metrik, E X, f : E da p titik limit E. lim f ( x ) q jika da haya jika lim f( p ) q utuk setiap barisa {p } didalam E dega p p, N da lim p p. () Diketahui p titik limit E da lim f ( x ) q. Aka diperlihatka lim f( p ) q utuk setiap barisa {p } didalam E, p p, N da lim p p. Diberika > 0 sebarag da barisa {p } didalam E, p p, N da lim p p. Karea lim f ( x ) q maka > 0 terdapat > 0 sehigga utuk setiap x E dega 0 d ( x, X p ) berlaku d ( f( x), q). Karea lim p p maka utuk > 0 di atas ada 0 N sehigga utuk setiap 0 berlaku 0 d X( p, p). Akibatya d( f( p ), q). Jadi utuk setiap > 0 terdapat 0 N sehigga utuk setiap 0 berlaku d( f( p ), q). Hal ii berarti lim f( p ) q. () Adaika lim f ( x ) q maka terdapat > 0 sehigga utuk setiap > 0 ada xe dega 0 d ( x, X p ) tetapi d ( f( x), q). 1 Karea lim p p maka utuk 0, N ada 0 N sehigga utuk setiap 0 berlaku 0 dx( p, p) tetapi d( f( p ), q). Hal ii berarti lim f( p ) q yag kotradiksi dega yag diketahui bahwa lim f( p ) q. Jadi pegadaia salah da haruslah lim f ( x ) q. Akibat 3. Jika f mempuyai titik limit di p maka limitya tuggal Misalka lim f ( x ) L 1 da lim f ( x ) L 2. Aka diperlihatka L 1 = L 2. Diberika > 0 sebarag. 57
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Karea lim f ( x ) L 1, maka terdapat 1 > 0 sehigga utuk setiap x E dega 0 d ( x, x p ) berlaku d f x L 1 ( ( ), 1) 2. Dipihak lai karea lim f ( x ) L 2, maka terdapat 2 > 0 sehigga utuk setiap x E dega 0 d ( x, x p ) berlaku 2 d ( f ( x ), L ) 2 2. Jika diambil = mi { 1, 2 }, maka utuk setiap x E dega 0 d ( x, x p ) berlaku d f x L ( ( ), 1) 2 da d ( f ( x ), L ) 2 2. Akibatya 0 d ( L1, L2) d ( L1, f( x)) d ( f( x), L2) 2 2. Karea > 0 sebarag, maka d ( L, L ) 1 2 0 atau L 1 = L 2. Defiisi 4. Jika f da g suatu fugsi yag terdefiisi pada E da suatu kostata, maka : (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (ii) (f.g)(x) = f(x).g(x) (iii) (f)(x) =.f(x) Teorema 5. Misalka X ruag metrik, E X, p titik limit E, fugsi f da g terdefiisi pada E. Jika lim f ( x) A da lim g( x) B, maka : (i) (ii) lim ( f g)( x) A B lim( f. g)( x) A. B (iii) f A g B lim ( x), asalka g(x) 0 utuk x X da B 0. (i) Diberika > 0 sebarag. Karea lim f ( x ) A, maka terdapat 1 > 0 sehigga utuk setiap x E dega 0 d ( x, x p ) berlaku d f x A 1 ( ( ), ) 2. Dipihak lai karea lim g ( x ) B, maka terdapat 2 > 0 sehigga utuk setiap x E dega 0 d ( x, x p ) berlaku d ( g( x), B) 2 2. Jika diambil = mi { 1, 2 }, maka utuk setiap x E dega 0 d ( x, x p ) berlaku d f x A ( ( ), ) 2 58
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 dad ( g ( x ), B ) 2.Akibatya d ( f( x) g( x), A B) d ( f( x), A) d ( g( x), B) 2 2. Jadi utuk setiap > 0 ada > 0 sehigga jika x E da 0 d ( x, x p ) berlaku d ( f ( x ) g ( x ), A B ). Hal ii berarti lim ( f g)( x) A B. (ii) Diberika > 0 sebarag. Karea lim f ( x ) A, maka berdasarka teorema 2, lim f( p ) A utuk setiap barisa {p } didalam E dega p p, N da lim p p. Begitu juga karea lim g ( x ) B, maka lim g( p ) B utuk setiap barisa {p } didalam E dega p p, N da lim p p. Jadi utuk setiap barisa {p } didalam E dega p p, N da lim p diperoleh p lim ( fg)( x) lim f ( x)limg( x) lim f ( p ) limg( p ) AB. (iii) aalog dega (ii) 2. Fugsi Kotiu Selajutya kita bicara kekotiua fugsi di ruag metrik. Utuk meetuka apakah suatu fugsi kotiu atau tidak, kita bisa megguaka defiisi atau boleh juga megguaka teorema, sebagaimaa dijelaska berikut ii. Defiisi 6 Misalka X da ruag metrik, E X, p E, f : E. f kotiu di p utuk setiap > 0 ada > 0 sehigga utuk setiap x E dega d X (x,p) < berlaku d (f(x),f(p)) <. Jika f kotiu di setiap titik E, maka dikataka f kotiu pada E. Teorema 7 Misalka X da ruag metrik, E X, p titik limit dari E da f : E. f kotiu di p lim f ( x) f ( p). () Diketahui f kotiu di p, aka diperlihatka lim f ( x) f ( p). 59
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Karea f kotiu di p, maka utuk setiap > 0 ada > 0 sehigga utuk setiap x E dega d X (x,p) < berlaku d (f(x),f(p)) <. Dipihak lai karea p titik limit E, maka utuk > 0 tersebut (atau utuk N (p)) ada x N (p) E\{p}. Berarti ada x E, 0 < d X (x,p) < da berakibat d (f(x),f(p)) <. Hal ii berarti lim f ( x ) f ( p ). () Diketahui lim f ( x) f ( p), aka diperlihatka f kotiu di p. Karea lim f ( x) f ( p), maka utuk setiap > 0 ada > 0 sehigga utuk setiap x E dega 0 < d X (x,p) < berlaku d (f(x),f(p)) <. Tetapi utuk x E dega d X (x,p) < tetap berlaku d (f(x),f(p)) < yag berarti f kotiu di p. Teorema 8 (Komposisi Fugsi) Misalka X, da Z ruag metrik, E X, f(e), f : E, g : f(e) Z. Jika f kotiu di p E da g kotiu di f(p) f(e), maka g o f kotiu di p. Diberika > 0 sebarag. Karea g kotiu di f(p), maka ada > 0 sehigga utuk setiap y E dega d (y,f(p)) < berlaku d Z (g(y),g(f(p))) <. Dipihak lai karea f kotiu di p, maka utuk > 0 tersebut, ada > 0 sehigga utuk setiap x E dega d X (x,p) < berlaku d (f(x),f(p)) <. Akibatya d Z (g(f(x)),g(f(p))) <. Jadi utuk setiap > 0, ada > 0 sehigga utuk setiap x E dega d X (x,p) < berlaku d Z (g(f(x)),g(f(p))) <. Hal ii berarti g o f kotiu di p. Teorema 9 Misalka X da ruag metrik, f : X. f kotiu pada X f -1 (V) terbuka didalam X, utuk setiap himpua terbuka V didalam. () Diketahui f kotiu pada X. Diambil sebarag himpua terbuka V didalam, aka diperlihatka f -1 (V) terbuka didalam X. Misalka p f -1 (V), maka f(p) V da karea V terbuka didalam, maka f(p) merupaka titik dalam dari V, artiya ada > 0 sehigga persekitara N (f(p)) V. Jadi jika y N (f(p)), maka d (y,f(p)) <. Dilai pihak karea f kotiu di p, maka utuk > 0 tersebut ada > 0 sehigga jika d X (x,p) < berlaku d (f(x),f(p)) <. 60
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Dega kata lai utuk > 0 tersebut ada > 0 sehigga jika x N (p) berlaku f(x) N (f(p)) V atau x f -1 (V), berarti N (p) f -1 (V). Jadi utuk setiap p f -1 (V), ada > 0 sehigga persekitara N (p) f -1 (V) yag berarti f -1 (V) terbuka. () Diketahui f -1 (V) terbuka didalam X utuk setiap himpua terbuka V didalam, aka diperlihatka f kotiu pada X. Diambil p X da > 0 sebarag, maka f(p). Misalka V = {y : d (y,f(p)) < }, maka V merupaka himpua terbuka didalam da berdasarka yag diketahui f -1 (V) terbuka didalam X. Akibatya ada > 0 sehigga persekitara N (p) f -1 (V), berarti jika x N (p) maka x f -1 (V) atau jika d X (x,p) < maka f(x) V atau jika d X (x,p) < maka d (f(x),f(p)) <. Jadi utuk setiap > 0 ada > 0 sehigga jika d X (x,p) < maka d (f(x),f(p)) <. Hal ii berarti f kotiu di p da karea p X sebarag maka f kotiu pada X. Akibat 10 Misalka X da ruag metrik, f : X. f kotiu pada X f -1 (W) tertutup didalam X, utuk setiap himpua tertutup W didalam. () Diketahui f kotiu pada X. Diambil sebarag himpua tertutup W didalam, aka diperlihatka f -1 (W) tertutup didalam X. W tertutup didalam maka W c terbuka didalam. Karea f kotiu pada X maka berdasarka teorema 9, f -1 (W c ) terbuka didalam X. Dipihak lai f -1 (W c ) = (f -1 (W)) c atau (f -1 (W c )) c = f -1 (W). Karea f -1 (W c ) terbuka didalam X maka f -1 (W) tertutup didalam X. () Diketahui f -1 (W) tertutup didalam X utuk setiap himpua tertutup W didalam, aka diperlihatka f kotiu pada X. Diambil sebarag himpua tertutup W didalam, maka W c terbuka didalam da berdasarka yag diketahui, f -1 (W) tertutup didalam X atau f -1 (W c ) terbuka didalam X, sebab (f -1 (W)) c = f -1 (W c ). Jadi f -1 (W c ) terbuka didalam X, utuk setiap himpua terbuka W c didalam da berdasarka teorema 9, maka f kotiu. Teorema 11 Misalka X ruag metrik. Jika f da g kotiu pada X, maka f + g, fg da f/g kotiu pada X, asalka g(x) 0 utuk setiap x X. 61
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Aka diperlihatka salah satu saja yaitu f + g kotiu da yag laiya sejala. Misalka f da g kotiu di p X, maka berdasarka teorema 7, lim f ( x ) f ( p ) da lim g ( x ) g ( p ). Jadi lim ( f g)( x) lim ( f( x) g( x)) lim f( x) lim g( x ) = f(p) + g(p) = (f + g)(p). Jadi lim ( f g)( x) ( f g)( x) yag berarti f + g kotiu di p. 3. Kekompaka Suatu Fugsi Setelah kita membicaraka limit da kekotiua fugsi di ruag metrik, selajutya kita lihat bagaimaa hubuga atara fugsi kotiu da fugsi kompak. Defiisi 12 (Fugsi Terbatas) Misalka X ruag metrik, E X da f : E R. f disebut fugsi terbatas jika ada M > 0 sehigga f(x) M, utuk setiap x E. Teorema 13 Misalka X da ruag metrik, f : X da X kompak. Jika f kotiu pada X, maka f(x) kompak. Diambil sebarag selimut terbuka {V } utuk f(x). Berarti V merupaka himpua terbuka didalam utuk setiap. Karea f kotiu pada X, maka berdasarka teorema 9, f -1 (V ) terbuka didalam X. Akibatya {f -1 (V )} merupaka selimut terbuka utuk X da karea X kompak, maka ada 1, 2,, sehigga 1 X f ( V i ) atau f( X) f f ( V i ) f( f ( V i )) V i 1 1. i1 i1 i1 i1 Jadi utuk setiap selimut terbuka {V } ada 1, 2,, sehigga f( X) yag berarti f(x) kompak. V i i1 62
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Teorema 14 Misalka X da ruag metrik, f : X, X kompak da f fugsi satu-satu da kotiu. Jika f -1 fugsi ivers dari ke X yag didefiisika f -1 (f(x)) = x, utuk setiap x X, maka f -1 kotiu. Diketahui f kotiu pada X, maka f -1 (V) terbuka didalam X, utuk setiap himpua terbuka V didalam. Aka diperlihatka f -1 kotiu pada, artiya cukup diperlihatka f(v) terbuka didalam, utuk setiap himpua terbuka V didalam X. Diambil sebarag himpua terbuka V didalam X, maka V c tertutup didalam X. Karea X kompak, maka V c kompak da karea f kotiu, maka berdasarka teorema 13, f(v c ) kompak. Berdasarka teorema Heie Borel maka f(v c ) tertutup. Selajutya berdasarka yag diketahui f fugsi satu-satu, maka f(v c ) = (f(v)) c atau (f(v c )) c = f(v). Padahal f(v c ) tertutup di dalam, maka f(v) terbuka didalam. Jadi utuk sebarag himpua terbuka V didalam X diperoleh f(v) terbuka didalam. Berdasarka teorema 9, maka f -1 kotiu pada. 4. Kotiu Seragam Pada bagia terakhir, kita lihat bagaimaa hubuga atara fugsi kompak dega fugsi kotiu seragam. Defiisi 15 Misalka X da ruag metrik, f : X. f disebut kotiu seragam pada X jika utuk setiap > 0 ada > 0 sehigga utuk setiap p, q X dega d X (p,q) < berlaku d (f(p),f(q)) <. Selajutya, setiap fugsi yag kotiu seragam adalah kotiu. Teorema 16 Misalka X da ruag metrik, X kompak da f : X. Jika f kotiu pada X, maka f kotiu seragam pada X. Diberika > 0 sebarag. Karea f kotiu pada X, maka f kotiu disetiap titik p X, artiya ada p > 0 sehigga utuk setiap q X dega d X (p,q) < p berlaku d (f(p),f(q)) < /2. 63
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 Misalka J( p) { q X : d ( p, q) 1 2 }, maka {J(p) : p X} merupaka X selimut terbuka utuk X da karea X kompak, maka ada p 1, p 2,, p sehigga X J( p i ). Diambil 1 2 mi { p1, p1,... p }, maka jelas > 0. i1 Selajutya diambil p, q X dega d X (p,q) <, maka p J(p m ) utuk suatu m, 1 1 m da diperoleh d X ( p, pm) 2 pm pm. Akibatya d (f(p),f(p m ) < /2. Lebih lajut 1 1 1 d ( p, q) d ( p, p) d ( p, q). X m X m X 2 pm 2 pm 2 pm pm Akibatya d (f(p m ),f(q) < /2. Jadi utuk setiap > 0, ada > 0 sehigga utuk setiap p,q X dega d X (p,q) < berlaku d (f(p),f(q)) d (f(p),f(p m )) + d (f(p m ),f(q)) < /2 + /2 =. Hal ii berarti f kotiu seragam pada X. p III. Kesimpula 1. Pegertia limit fugsi da kekotiua fugsi pada ruag metrik sama dega pegertia limit fugsi da kekotiua fugsi pada R di kalkulus, haya bedaya kalau di kalkulus yag dimaksud metrik/jarak adalah ilai mutlak, sedagka di sii adalah jarak yag umum yag memeuhi defiisi metrik. 2. Fugsi f : X kotiu pada X jika da haya jika f -1 (V) terbuka didalam X, utuk setiap himpua terbuka V didalam. 3. Fugsi f kotiu pada X jika da haya jika f -1 (W) tertutup didalam X, utuk setiap himpua tertutup W didalam. 4. Jika fugsi f kotiu pada ruag metrik X yag kompak maka f(x) kompak. 5. Jika fugsi f kotiu pada ruag metrik X yag kompak maka f kotiu seragam pada X. DAFTAR PUSTAKA Apostol, T.M. (1974). Mathematical Aalysis (Secod Editio). Publishig Compay, Ic. Philippies. Addiso-Wesley Mukres, J.R. (1975). Topologi (A First Course). Pretice-Hall, Ic, Eglewood Cliffs, New Jersey. USA. Rudi, Walter (1976). Priciples of Mathematical Aalysis (Third Editio). McGraw-Hill. Sigapore. 64