Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S Teknik Sipil Statistika Rentang Keyakinan hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 1
Rentang Keyakinan Es7masi Parameter Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. Parameter- parameter tsb umumnya tak diketahui. Nilai parameter tersebut diperkirakan (di- es7masi- kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data. Es7masi Es7masi tunggal (point es)mates) Rentang keyakinan (confidence intervals) hp://is7arto.staff.ugm.ac.id
Rentang Keyakinan Es7masi tunggal Contoh Nilai rata- rata sampel sbg es7masi nilai rata- rata populasi. X µ Nilai simpangan baku sampel sbg es7masi nilai simpangan baku populasi. s X σ X hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 3
Rentang Keyakinan Es7masi parameter θ! ˆθ θ! estimasi parameter Dicari suatu interval [L,U] yang memiliki probabilitas (1 α) bahwa interval tsb mengandung θ. prob(l < θ < U) = (1 α) à Pers (1) L = batas bawah rentang keyakinan. U = batas atas rentang keyakinan. (1 α) = 7ngkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient). L dan U = variabel random hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 4
Rentang Keyakinan Contoh Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 000 menunjukkan bahwa debit rata- rata adalah 77 m 3 /s. Kita dapat memperkirakan debit rata- rata Sungai A adalah 77 m 3 /s. Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi penger7an probabilitas, kita tahu bahwa debit rata- rata sama dengan 77 m 3 /s adalah hampir 7dak mungkin terjadi: prob( Q = 77 m 3 s) = 0 hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 5
Batas Bawah dan Batas Atas Metode Ostle: method of pivotal quan))es Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini 7dak bergantung pada parameter yang 7dak diketahui. Ditentukan v 1 dan v sedemikian hingga: prob( v 1 < V < v ) =1 α à Pers. () hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 6
Batas Bawah dan Batas Atas Metode Ostle: method of pivotal quan))es ( ) =1 α prob v 1 < V < v Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(l < θ < U) = 1 α L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ. hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 7
Interval Keyakinan: μ suatu distribusi normal, σ tidak diketahui Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(l < µ < U) = 1 α Misalkan variabel random V: V = X µ s X V berdistribusi t dengan (n 1) degrees of freedom n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata- rata sampel, X hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 8
V = X µ s X à berdistribusi t? Buk7 Distribusi t: X = Y ν U, ν = degree of freedom V = X µ = X µ s X n ( = X µ ) s X ( ) σ = X µ s X ( ) σ n n 1 X i X σ n σ = Y ( = X µ ) σ n 1 s X σ ν U hp://is7arto.staff.ugm.ac.id ( ) Y = X µ ν n, U = X i X σ, ν = n 1 9
Pers (): ( ) =1 α prob& v 1 < X µ prob v 1 < V < v $ % ' < v s ) =1 α X ( α a + α b = α luas = α a prob(t < v 1 ) = α a prob(t > v ) = α b dengan (n 1) degrees of freedom luas = (1 α) luas = α b hp://is7arto.staff.ugm.ac.id t α a t1 αb 10
" prob v 1 < X µ % $ < v s ' =1 α # X & " prob t < X µ % $ αa < t,n 1 αb,n 1' =1 α # & s X ( ) =1 α prob X + t αa,n 1 s X < µ < X + t α b,n 1 s X l = X + t s αa,n 1 X u = X + t s αb,n 1 X l u Jadi, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan: s X = s X n tabel distribusi t t αa,n 1 hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 11
Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan simetris, maka v 1 dan v dipilih sedemikian hingga prob(t < v 1 ) = prob(t > v ). Karena simetri, maka α a = α b = α/ Yang dicari adalah rentang keyakinan (1 α) = 100(1 α)% à maka: prob(t < v 1 ) = α/ = prob(t > v ) luas = (1 α)/ luas = (1 α)/ luas = α/ luas = α/ hp://is7arto.staff.ugm.ac.id t α = t 1 α t 1 α 1
luas = α/ luas = 1 α/ luas = 1 α/ luas = α/ tα t1 α luas = α/ t tα t1 α 1 α Distribusi t luas = 1 α luas = α/ hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 13
Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jika probabilitas rentang keyakinan simetris adalah: l = X t 1 α,n 1 s X u = X + t 1 α,n 1 s X hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 14
n Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi q batas bawah à prob(t < v 1 ) = α q batas atas à prob(t > v ) = α luas = α ( ) =1 α prob& X µ prob V > v 1 prob V < v ' > v s 1 ) =1 α X ( ' < v s ) =1 α X ( luas = 1 α luas = 1 α $ % $ & % ( ) =1 α prob X µ luas = α hp://is7arto.staff.ugm.ac.id tα t 1 α 15
Distribusi t Notasi t γ,n = nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t dengan n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada γ. misalkan: t 0.95,50 = nilai t sedemikian hingga prob(t < t 0.95,50 ) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom. hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 16
Distribusi t Dapat dibaca di tabel distribusi t Tabel Distribusi t Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel T.DIST(t,ν,true) menghitung nilai prob(t < t) untuk menghitung nilai prob(t > t) à 1 T.DIST(t,ν,true) t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya ν = degree of freedom one- tailed distribu)on T.INV(p,ν) mencari nilai t jika nilai p = prob(t < t) diketahui one- tailed distribu)on hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 17
Distribusi t untuk 50 degrees of freedom 0.95 t = 1.6 prob(t < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.94 prob(t < 1.6) = 1 T.DIST.RT(1.6,50) = 0.94 prob(t < t ) = 0.95 t = T.INV(0.95,50) = 1.68 0.95 t hp://is7arto.staff.ugm.ac.id t = 1.6 t = 1.6 prob( 1.6 < T < 1.6) = 1 T.DIST.T(1.6,50) = 0.884 t t prob(- t < T < t ) = 0.95 t = T.INV.T(1-0.95,50) = 18
Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui Apabila variansi populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.: V = X µ σ X, σ X = σ X n à V berdistribusi normal hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 19
Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui Rentang keyakinan l = X + z a σ X n u = X + z b σ X n Jika probabiitas rentang keyakinan diinginkan simetris l = X z 1 α σ X n α a z a α 1 α α b zb 1 α α hp://is7arto.staff.ugm.ac.id u = X + z 1 α σ X n z α = z 1 α z 1 α 0
Rentang Keyakinan: σ suatu distribusi normal Mencari interval [L,U] yang mengandung σ dengan peluang prob(l < σ < U) = 1 α. Didefinisikan variabel random V: V = n 1 ( ) s X σ X à V berdistribusi chi- kuadrat dengan (n 1) degrees of freedom. hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 1
( ) =1 α $ ( ) s X prob v 1 < V < v prob v 1 < n 1 ' < v σ & ) =1 α % X ( Pilih: sehingga: v 1 = χ α,n 1 v = χ 1 α,n 1 % prob ' χ α,n 1 & ( ) s X ( < n 1 ) s X σ X % atau: prob n 1 < σ χ X < n 1 ' & 1 α,n 1 ( < χ 1 α,n 1 * =1 α ) ( ) s X χ α,n 1 ( * =1 α ) hp://is7arto.staff.ugm.ac.id
Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σ X dengan 7ngkat keyakinan (1 α) adalah: batas bawah: batas atas: ( ) s X l = n 1 χ 1 α,n 1 ( ) s X u = n 1 χ α,n 1 Catatan: X berdistribusi normal χ berdistribusi chi- kuadrat hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 3
Distribusi chi- kuadrat 7dak simetris: s X l u s X n» (n 1)» distribusi mendeka7 distribusi simetris, s X berada kira- kira di tengah- tengah rentang [L,U]. α α 1 α hp://is7arto.staff.ugm.ac.id χ α χ 1 α 4
Rentang Keyakinan Satu Sisi Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan saja hanya batas bawah rentang keyakinan µ prob( L < θ) =1 α l = X t 1 α,n 1 hanya batas atas saja rentang keyakinan µ prob( θ < U) =1 α u = X + t 1 α,n 1 hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 5
hp://is7arto.staff.ugm.ac.id 6