MODUL TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR

Transkripsi

1 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR MODUL 9 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR. Pendahuluan Untuk menginginkan mengumpulkan populasi kita lakukan dengan statistik berdasarkan data yang diambil secara sampling yang telah dipelajari di atas. Data sampel dianalisa, dihitung dan dari nilai-nilai ini kita simpulkan bagaimana parameter populasi tersebut. Cara pengambilan kesimpulan mengenai paramater ini sehubungan dengan cara-cara menaksir atau estimasi harga parameter. Jadi harga parameternya sebenarnya tetap tak diketahui itu akan ditaksir atau diestimasi berdasarkan statistik dari sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.. Estimator. Parameter populasi diberi simbol jadi bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku τ, proporsi p dan sebagainya. Nilai-nilai itu ditaksir oleh harga, maka, dinamakan estimasi. Nilai merupakan hal yang boleh dibilang sangat ideal. Mungkin terlalu tinggi atau sebaliknya. Keduanya ini jelas tidak dikehendaki. Karenanya kita menginginkan estimasi yang baik. 3. Ciri-ciri penduga yang baik a. Estimator dikatakan estimator tak bisa jika rata-rata dari semua harga yang mungkin akan sama dengan : E ( ) 0 Sebaliknya, penduga dianggap bisa jika E ( ) 0 dan bisa dapat dirumuskan sebagai berikut : bias E ( ) 0 b. Konsisten, penduga yang konsisten merupakan penduga yang berkonsentrasi secara sempurna pada parameter jika sebenarnya sampel bertambah secara tidak terhitung 57

2 STATISTIKA c. Estimator bervariasi minimum ialah estimator dengan variasi terkecil diantara semua estimator untuk parameter yang sama. Jika dan estimator untuk dimana variasi untuk kecil dari variasi merupakan estimator bervariasi minimum 4. Cara-cara menaksir. Parameter hanya ditaksir oleh sebuah harga yang tertentu maka dinamakan estimator, tepatnya titik tak siran. Titik taksiran untuk sebuah parameter µ misalnya harganya akan berlainan tergantung dari pada harga yang di dapat dari sampel-sampel yang diambil. Karena orang sering merasa kurang yakin (kurang konfiden) atas hasil taksiran macam ini. Sebagai gantinya, dipakai interval taksiran atau daerah taksiran yaitu menaksir harga parameter diantara batas-batas dua harga. Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang baik dengan derajad konfidensi yang memuaskan. Jika koefisien konfidensi dinyatakan dengan α, maka 0 < α < harga yang digunakan tergantung dari pada persoalan yang dihadapi dan berapa besar si peneliti ingin yakin dalam membuat pernyataanya yang biasa digunakan ialah 0,95 atau 0,99. Perumusan yang didapat adalah sebagai berikut : P(A<0<B)=α artinya probabilitasnya adalah α bahwa interval yang sifatnya random yang terbentang dari A ke B akan berisikan θ 5. Interval Kepercayaan (Konfiden) Perubahan acak Y yang menyebar normal dengan nilai tengah populasi ini parameter rata-rata akan ditaksir, diambil sampel random berukuran n, lalu dan s dan taksiran untuk rata-rata µ ialah perubahan Y ini dapat ditransformasikan menjadi perubahan acak Z dengan cara membuat Y Z dengan daftar kurva normal diperoleh, misalnya : P (-,96 < Z <,96) = 0,95 atau Y U P,96,96 0,95 P(-,96 < Y U < +,96 τ) = 0,95 P(Y,96 τ < U < Y +,96 τ) = 0,95 58

3 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR Teladan : Dengan demikian jika ada suatu perubahan acak Y yang menyebar normal dengan nilai tengan µ yang tidak diketahui dan ragam = τ = 4 atau τ =, maka bagi suatu nilai pengamatan Y = berlaku p(,96() < µ < +,96()>)=0,95 Atau p(8,08 < µ < 5,9 >) = 0,95 Berarti bahwa selang nilai diantara 8,08 dan 5,9 akan mencakup nilai tengan µ yang tidak diketahui dengan peluang sebesar 95 % Dengan kata lain, kita yakin 95 % bahwa nilai tengah yang tidak diketahui itu ada diantara 8,08 dan 5,9 Misalkanlah bahwa ingin diduga nilai tengah µ dari perubahan acak yang menyebar secara normal dengan random yang diketahui nilainya. Dari populasi dapat diambil suatu contoh berukuran n maka µ diduga i oleh m m dengan ragam m karena n m m N, Maka N(0,) sehingga : n / n m P Z / z / ( ) / n P(m z α /.τ / v n µ < m + z α /.µ / vn) = ( α ) Di dalam praktek biasanya populasi tidak pernah diketahui sehingga batas bawah dan batas pada persamaan tadi mengandung parameter yang tidak diketahui. Untuk mengetahui hal tersebut maka biasanya ditaksir/ diduga oleh S dan V. S. Akan tetapi bila ke dalam suatu perubahan acak berbentuk disisipkan penduga s, maka ternyata tidak s s memenuhi syarat sebagai perubah acak normal baku. Perubahan acak ini telah ditentukan penyebarannya oleh student dan kemudian secara teori ditemukan oleh KA. Fisher sebagai berikut : t s 59

4 STATISTIKA Misal : jika rata-rata sampel tinggi mahasiswa antara adalah 60 cm, maka rata-rata populasi bisa antara 55-65, seperti pada gambar berikut : atau bisa antara 50-70, seperti pada gambar berikut Makin besar interval taksiran akan lebih merasa besar keyakinan benarnya, makin kecil interval taksiran akan lebih merasa kecil keyakinan benarnya. Tetapi, semakin kecil interval, semakin baik. Kita akan membuat interval yang sekecil mungkin tapi dengan tingkat keyakinan benarnya sebesar mungkin, atau tingkat keyakinannya sebesar mungkin. Tingkat keyakinan dinotasikan dengan dan dinyatakan dalam bentuk peluang P ( A < < B ) = α Artinya kita yakin α bahwa nilai akan berada antara A dan B 6. Penaksiran Rata-rata Pada sampling rata-rata Jika kita punya rata-rata populasi µ = 5, maka belum tentu rata-rata sampel = 5, bisa bervariasi. Rata-rata dari seluruh sampel yang mungkin akan berkisar antara 4,33 5,67 Peluang penyimpangan itu bisa diperhitungkan dengan Error! Not a valid embedded object. 60

5 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR Dengan cara yang sama, Jika kita punya rata-rata sampel, maka belum tentu rata-rata populasi µ =. Rata-rata populasi akan mempunyai nilai dimana z n atau µ = z n Artinya selisih µ dari adalah z z r z r Atau n Yang dituliskan dalam bentuk peluang P( z r r n n Jika digambarkan z n ) n z y Sehingga besarnya penyimpangan adalah z r n Sehingga pedugaan µ dengan interval keyakinan 95% dapat diberikan sebagai berikut : P tps / vn / u tpss / vn P tp / vn / u tps / vn 0,95 6

6 STATISTIKA Dimana : α : Koefisien konfidensi dan t p : nilai t di dapat dari daftar distribusi student dengan p = ½ ( + α) dan dk = r -. Selang kepercayaan untuk µ pada taraf kepercayaan - α bagi keadaankeadaan dengan yang tidak diketahui sebagai berikut : P tpdst Teladan : Sebuah sampel random terdiri dari 00 mahasiswa telah diambil dari sebuah Universitas, lalu nilai-nilai IQ-nya dicatat. Di dapat dan S 0 a. Jika diketahui interval taksiran rata-rata IQ dengan koefisien konfidensi 0,96 maka dipakai rumus di atas, untuk P = 0,975 dan dk = 99 dengan interpolasi di dapat t p =,987. ( (,9870). 0 < + (,987) Atau 0,0 < <4,0 Kita merasa 95 % yakin (konfiden) bahwa rata-rata IQ mahasiswa akan ada dalam interval dengan batas 0,0 dan 4,0 Kalau kita ingin menaksir variable τ dari sebuah populasi sampel variansi S perlu dihitung, dan rumus yang digunakan ialah i S n Ternyata bahwa variansi S adalah estimator tak bias untuk variansi τ tetapi simpangan baku S bukan estimator tak bias untuk simpangan baku τ jadi titik taksiran S untuk τ adalah bias. Jika populasi berdistribusi normal dengan variansi τ maka 00 % interval konfidensi untuk τ ditentukan dengan menggunakan distribusi Chi-kuadrat. Dapat ditentukan penduga selangnya karena diduga oleh S sedang : JK ( ) ( n ) S i 6

7 TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR Jumlah kuadrat simpangan n buah pengamatan dari suatu contoh acak terhadap nilai tengah populasi. Dibagi oleh ragam populasi. Penyebar secara Chi-kuadrat dengan derajat bebas r = (n ) akibatnya dapat ditentukan suatu selang yang memenuhi syarat : JK( ) P ( / / ) F() / / Karena a merupakan nilai yang menyebabkan bahwa : P s = a maka luas bagian bidang di bawah grafik yang tidak digarisi pada gambar di atas sama dengan - α P ( / JK( ) / / / JK( )) ( n X ) S / ( n X ) S / Kalau misal - α = 0,95 maka yang perlu dilihat dari daftar ialah 0,995 dan 0,05 63

8 STATISTIKA Teladan : Suatu sampel random berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan baku harga S = 7, dengan koefisien konfidensi 0,95, maka didapat 9(7,8) (9(7,8 atau 4,95 45,7 6,0 4,4 Interval taksiran untuk simpangan baku adalah :,3 < τ < 3,75 Kata merasa 95 % konfiden bahwa simpangan baku σ akan ada dalam interval yang ditasi,3 dan 3,75 64