Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA. Distribusi Normal. 1-Sep-14

Transkripsi

1 Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA Distribusi Normal 1-Sep

2 Distribusi Binomial Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai Distribusi Binomial Histogram Distribusi Probabilitas Sukses 1-Sep

3 Distribusi Binomial (2) Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5, 4, 3, 2, 1, 0? 1-Sep

4 Distribusi Binomial (3) Setiap kali pemilihan prob(as) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(as) = ¼ = 0.25 = p prob(ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(ag) = 1 p = 0.75 = q Dalam 5 kali pemilihan peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah f X x; n, p f 3;5, X 3 1-Sep

5 Distribusi Binomial (4) Dalam 5 kali pemilihan, n = 5 Koefisien binomial Jumlah sukses Jumlah perolehan sukses Peluang perolehan sukses Σ = Sep

6 Probabilitas Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana n = Frekuensi perolehan dana 1-Sep

7 Distribusi Binomial Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang 10 tahun 20 tahun n tahun diperoleh n + 1 kemungkinan hasil Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n 1 kali,... 0 kali 1-Sep

8 Probabilitas 0.30 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana n = Frekuensi perolehan dana 1-Sep

9 Probabilitas 0.25 Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana n = Frekuensi perolehan dana 1-Sep

10 Distribusi Binomial vs Kurva Normal Apabila pemilihan (experimen) dilakukan sejumlah n kali dan n >> histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki interval kecil garis yang melewati puncak-puncak histogram kurva mulus berbentuk seperti lonceng Kurva Normal 1-Sep

11 Probabilitas Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana n = Frekuensi perolehan dana 1-Sep

12 Kurva Normal Distribusi Normal Kurva Normal berbentuk seperti lonceng dengan karakteristik tertentu tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal Lebih mudah dilakukan karena karakteristik distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) tabel distribusi normal perintah dalam MS Excel 1-Sep

13 Distribusi Normal Karakteristik simetri terhadap nilai rata-rata (mean) score mengumpul di sekitar nilai rata-rata kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-rata 1-Sep

14 Distribusi Normal Luas = X 1-Sep

15 Luas = Luas = Distribusi Normal Luas = X 1-Sep

16 pdf p X (x) N(μ,σ 2 ) + p X x- x e 2 1-Sep

17 pdf p X (x) N(μ 1,σ 12 ) N(μ 2,σ 22 ) μ 1 = μ 2 = μ 3 σ 1 < σ 2 < σ 3 N(μ 3,σ 32 ) + 1-Sep

18 pdf N(μ 1,σ 12 ) N(μ 2,σ 22 ) N(μ 3,σ 32 ) p X (x) μ 1 < μ 2 < μ 3 σ 1 = σ 2 = σ 3 μ + 1-Sep

19 Distribusi Normal Jika X berdistribusi normal, N(, 2 ), maka probabilitas X x dapat dicari dengan: prob x t- X x PX x 2 e dt luas di bawah kurva pdf cdf 1-Sep

20 pdf - cdf p X (x) cdf P X (x) 1 pdf Sep

21 Distribusi Normal Luas di bawah kurva menunjukkan probabilitas suatu event menunjukkan percentile rank prob(x x) = prob( X x) = luas di bawah kurva antara s.d. x prob( X + ) = 1 = luas di bawah kurva antara s.d. + prob(x x) = prob(+ X x) = luas di bawah kurva antara x s.d. + = 1 prob(x x) 1-Sep

22 Distribusi Normal Probabilitas prob(x ) = prob(x ) = 0.50 prob(-x X ) = prob( X x) 1-Sep

23 Distribusi Normal Probabilitas prob(x = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x = 0 prob(x x) = prob(x < x) prob(x x) = prob(x > x) prob(x a X x b ) = prob(x a < X < x b ) 1-Sep

24 Distribusi Normal Standar Distribusi normal umumnya disajikan dalam bentuk distribusi normal standar dipakai nilai z scores z X X - Z berdistribusi normal dengan = 0 dan = 1, N(0,1) distribusi normal standar 1-Sep

25 1-Sep Distribusi Normal Standar - - z e z p z Z z t Z t e z P z Z d 2 1 prob 2 2

26 Distribusi Normal Standar Z X 1-Sep

27 Tabel Distribusi Normal Standar Tabel z vs ordinat kurva normal standar z vs ordinat pdf (probability density function) Tabel z vs luas di bawah kurva z vs cdf (cumulative distribution function) luas kurva dari 0 s.d. z x luas kurva dari s.d. z x 1-Sep

28 Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative) x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya mean = nilai rata-rata (aritmetik) standard_dev = nilai simpangan baku cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin menghitung pdf NORM.INV(probability,mean,standard_dev) probability = probabilitas suatu distribusi normal mean = nilai rata-rata (aritmetik) standar_dev = nilai simpangan baku 1-Sep

29 Perintah (Fungsi) MS Excel Distribusi Normal Standar Ingat NORM.S.DIST(z) menghitung nilai cdf distribusi normal standar NORM.S.INV(probability) kebalikan dari NORM.S.DIST(z) mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui Distribusi Normal Standar mean = 0 simpangan baku = 1 1-Sep

30 Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh 1 NORM.DIST(15,12,3,TRUE) rata-rata = 12 simpangan baku = 3 prob(x < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = NORM.INV(0.8,12,3) prob(x < x) = 0.8 x = NORM.INV(0.8,12,3) = Sep

31 Perintah (Fungsi) MS Excel Contoh 2 NORM.S.DIST(3) rata-rata = 0 simpangan baku = 1 prob(z < 3) = NORM.S.DIST(3) = prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3) 0.5 = prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3) NORM.S.DIST(1) prob(z > 1.5) = 1 NORM.S.DIST(1.5) NORM.S.INV(0.65) prob(z < z) = 0.65 z = NORM.S.INV(0.65) = Sep

32 Perintah (Fungsi) MS Excel Tugas Buatlah tabel distribusi normal standar tabel pdf tabel cdf Dapat memakai perintah MS Excel untuk mengerjakannya 1-Sep

33 Fungsi Linear Distribusi Normal Variabel random X berdistribusi normal, N(, 2 ) Jika Y = a + b X, maka Y berdistribusi normal N(a+b, b 2 2 ) 1-Sep

34 Teorema Limit Sentral X i, i = 1,2,,n masing-masing variabel random yang berdistribusi n normal N(, 2 ) s n X i i1 Jika n distribusi s n mendekati (asimtotis) distribusi normal N(n,n 2 ) 1-Sep

35 Kurva Normal KURVA PENGAMATAN VS KURVA TEORETIK 1-Sep

36 Kurva Normal Data Pengamatan Perbandingan antara data pengamatan vs distribusi normal Contoh data debit puncak tahunan (lihat tabel) klas ke-2: m 3 /s 250 m 3 /s debit rata-rata 659 m 3 /s 660 m 3 /s simpangan baku debit 212 m 3 /s 210 m 3 /s 1-Sep

37 Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Sep

38 Debit (m 3 /s) Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ Tahun ke- 1-Sep

39 Tabel Frekuensi Debit (m 3 /s) Frekuensi Frekuensi Relatif Sep

40 Frekuensi relatif Histogram Data Pengamatan 0.20 Data pengamatan Debit (m 3 /s) 1-Sep

41 Frekuensi relatif Histogram Data Pengamatan Distribusi normal teoretik Data pengamatan Debit (m 3 /s) 1-Sep

42 Pengamatan vs Teoretik Expektasi frekuensi relatif klas ke-2 f Q q-Q q 250 2s Q e q e 200 F Q F Z F Z F 200 Q F Q F Z Z 2 s dq dq 1-Sep

43 Tabel Frekuensi (Distribusi Normal) Debit (m 3 /s) F Q (q atas ) F Q (q bawah ) Frek. Rel Sep

44 1-Sep Pengamatan vs Teoretik Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas Q i Z i Z i Q i Q i i Q z p q z z p q p q p q q f d d

45 Pengamatan vs Teoretik Cara lain (lanjutan) i 2 : q q i p f Z Q i 100 m z 250 m i 3 3 s q i s z i Sep

46 Tabel Frekuensi (Distribusi Normal) Debit (m 3 /s) p Q (q) Frek. Rel E E E E E E E E E E E Sep

47 Hitungan dan Penggambaran Hitungan dan penggambaran dilakukan dengan spreadsheet: ST Contoh Data Debit 1-Sep

48 Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Umumnya distribusi normal cukup baik untuk mendekati distribusi-distribusi yang lain, baik distribusi diskrit atau kontinu khususnya di bagian tengah distribusi kurang baik di sisi pinggir (tail) Apabila distribusi kontinu dipakai untuk mendekati distribusi diskrit, diperlukan koreksi koreksi tengah interval, x ½, x + ½ misal: prob(x = x) prob(x ½ < X < x + ½) 1-Sep

49 Distribusi Normal vs Distribusi Random Kontinu Diskrit X = x x X y X x X x X < x X > x Kontinu x ½ X x + ½ x ½ < X < y + ½ X < x ½ X > x + ½ X x ½ X x + ½ 1-Sep

50 1-Sep