PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2009

Transkripsi

1 PNYLSAIAN SOAL UJIAN TNGAH SMSTR 9 SOAL A Pengolahan data debit, Q m /s, di suatu sungai menunjukkan bahwa sebaran peluang terjadinya suatu besaran debit, p Q (), dapat dinyatakan dengan suatu ungsi (pd) berikut: p Q a a a jika 5 jika 5 5 jika 5 untuknilai yanglain Dalam persamaan pd di atas, satuan debit adalah m /s.. Gambar pd debit sungai tersebut.. Hitung konstanta a.. Cari dan gambarkan ungsi distribusi kumulati (cd) debit Q.. Hitung debit rata-rata, Q, sungai tersebut. 5. Hitung probabilitas debit antara s.d. m /s, prob( < Q (m /s) < ). PNYLSAIAN Sketsa pd Probability density unction, pd, data debit sungai dalam soal tersebut dapat lebih mudah diahami dengan menampilkannya dalam bentuk graik. ½ a p Q () Q [m /s] Konstanta a Nilai kontanta a dicari dari deinisi bahwa luas di bawah kurva pd merupakan probabilitas (peluang) seluruh debit yang mungkin lewat di penggal sungai tersebut; jadi luas di bawah kurva pd sama dengan satu. Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9

2 p Q d d a 5 ad 5 5 ad 5 a d d 5 a5 5 a a a Tentu saja, luas di bawah kurva pd di atas dapat dihitung lebih mudah dengan memperhatikan trapesium yang dibentuk oleh salib sumbu dan kurva pd. Luas trapesium = a a Fungsi distribusi kumulati, cd P Q probq p Interval Interval 5 m /s Q d d C Syarat batas: () = C = Interval 5 5 m /s d C Syarat batas: (5) = 5/ C 5 5 Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9

3 prob(q < ) p Q () Interval 5 m /s d C Syarat batas: () = C 5 8 C Interval m /s Debit, Q [m /s] pd cd p Q 5 p Q 5 5 p Q p Q P Q p Q cd.8.6 pd debit, Q [m /s] Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9

4 prob(q < ) p Q () Debit rata-rata levasi muka air rata-rata merupakan nilai expektasi elevasi muka air, (), yang merupakan momen pertama terhadap sumbu ordinat pada pd. 5 5 p d d d Q d m s Probabilitas debit antara s.d. m /s Q [m s] probq probq prob cd.8 pd prob( < Q < ).6. prob( < Q < ) debit, Q [m /s] Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9

5 SOAL B Pengukuran evaporasi harian (dalam mm) selama hari dari suatu stasiun menunjukkan nilai evaporasi harian sebagai berikut: Buatlah tabel rekuensi dan histogram (rekuensi, bukan rekuensi relati) data evaporasi harian tersebut. Lebar klas mm dengan batas bawah klas pertama mm (rentang klas pertama - 5 mm).. Hitunglah nilai rata-rata dan simpangan baku evaporasi harian tersebut. Bulatkan kedua nilai kedalam milimeter terdekat.. Hitunglah rekuensi (bukan rekuensi relati) data evaporasi harian dalam setiap klas data menurut distribusi normal.. Buatlah gambar perbandingan antara rekuensi data dan rekuensi teoretik menurut distribusi normal (bukan rekuensi relati). 5. Hitunglah rentang keyakinan nilai rata-rata evaporasi harian dengan tingkat keyakinan 95%. PNYLSAIAN Penyelesaian soal ini dapat dilakukan dengan cepat dengan menggunakan bantuan MSxcel. Namun demikian, waktu yang disediakan cukup longgar pula apabila penyelesaian dilakukan dengan hanya menggunakan bantuan kalkulator. Hitungan disajikan dalam bentuk tabel rekuensi. Tabel. Distribusi rekuensi evaporasi harian (dalam mm) di suatu stasiun klimatologi. vaporasi harian [mm] Frekuensi [mm] [mm ] vaporasi harian rata-rata mm Simpangan baku evaporasi harian Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9 5

6 s mm Distribusi rekuensi evaporasi harian teoretis menurut distribusi normal dapat dicari dengan menggunakan bantuan tabel cd atau tabel pd distribusi normal, atau dengan menggunakan bantuan MSxcel. Frekuensi teoretik suatu variabel random yang berdistribusi normal dihitung dengan memakai persamaan berikut: p e e e p dp de e e P e P e e P e P e batas atas batas atas e batas bawah batas bawah Dalam persamaan di atas, e adalah rekuensi relati, e adalah rentang klas, e ordinat kurva normal standar, e prob e p adalah P, e batas atas dan e batas bawah adalah batas atas dan batas bawah rentang klas evaporasi harian. Dalam MSxcel, nilai P (e) dicari dengan perintah =NORMDIST( ): P (5) = NORMDIST(5,9,,TRU). Nilai 9 dan berturut-turut adalah nilai ratarata dan simpangan baku evaporasi harian. Apabila menggunakan tabel distribusi normal standar, nilai P (e) harus diubah dulu kedalam nilai normal standar. e P z P z batas atas batas bawah e e P batasatas P batasbawah s s Untuk klas pertama < < 5, rekuensi teoretik menurut distribusi normal adalah: e P P 5 9 P P Nilai P (z) selain dapat diperoleh dari tabel distribusi normal standar, dapat pula diperoleh dengan perintah =NORMSDIST( ) dalam MSxcel: P ( ) = NORMSDIST( ). Dengan ukuran sampel buah, maka rekuensi teoretik pada klas pertama adalah.. Frekuensi teoretik untuk seluruh klas interval disajikan pada Tabel. Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9 6

7 Frekuensi Tabel. Distribusi rekuensi evaporasi harian di suatu stasiun menurut distribusi normal. Data Distribusi Normal Klas (mm) Frek Frek Klas P (z) (z) Data Distribusi Normal vaporasi harian, [mm] Memperhatikan perbandingan histogram data dan distribusi normal di atas, dapat disimpulkan bahwa evaporasi harian di stasiun tersebut berdistribusi normal. Rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dengan tingkat keyakinan α = 95% dihitung dengan cara sebagai berikut: Rentang keyakinan nilai rata-rata adalah suatu rentang dengan batas bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan ( ), atau dengan probabilitas ( nilai evaporasi harian rata-rata,, berada di dalam rentang tersebut adalah prob(l < < U) = (). Jika berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang dideinisikan sebagai V s berdistribusi t. Oleh karena itu, rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dapat dinyatakan dengan persamaan berikut: prob v v s Jika nilai v dan v ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v ) = prob(t > v ), dan dengan demikian prob(t < v ) = prob(t > v ) = / (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dapat diperoleh dari: Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9 7

8 prob t a, n t, n s t s t s prob a, n, n Dalam persamaan di atas, n adalah jumlah data (n = ), t / dan t / masing-masing adalah nilai T sedemikian hingga prob(t < t /, ) = / dan prob(t < t /, ) = / untuk = n degrees o reedom, serta s evaporasi harian rata-rata dengan demikian adalah: s n dan u t s n t. s n. Nilai batas bawah dan atas rentang keyakinan Dengan nilai degrees o reedom = n = 9 dan tingkat keyakinan =.95 (/ =.5 dan / =.975), maka dengan memakai tabel distribusi t atau ungsi =TINV(...), diperoleh nilai-nilai sebagai berikut: prob(t < t.5 ) =.5 t.5 =.5 dan prob(t < t.975 ) =.975 t.975 =.5. Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata adalah: 8mm dan u 9.5 mm 9.5 sehingga: 8 mm mm. -oo- Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 9 8