Materi Kuliah: Statistik Inferensial

Transkripsi

1 TEORI PENDUGAAN STATISTIK Prof. Dr. Almasdi Syahza, SE., MP 1 Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Memilih Ukuran Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Memilih Ukuran 3 1

2 PENDUGA TUNGGAL SEBAGAI FUNGSI UNSUR POPULASI n ( ) i i S = n( n 1) atau S = f( 1,,, n ) Standar deviasi di mana: = 1 i n = 1 ( n ) n s = 1 ( i - ) n - 1 s = 1 {( 1 - ) + ( - x) + + ( n - ) } n - 1 f( 1) f( ) f( 3) 4 SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Tidak Bias Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted value, ) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi (µ) atau dapat dilambangkan dengan E( ) = µ. E( ) =µ E( ) µ Gambar A Penduga Bersifat Tidak Bias Gambar B Penduga Bersifat Bias 5 SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Efisien Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians terkecil (s x ) dari penduga-penduga lainnya. s x1 s x s x1 < s x 6

3 DEFINISI Penduga Konsisten Penduga yang konsisten (consistent estimator) adalah nilai dugaan ( ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya µ dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n). n tak terhingga n sangat besar n besar n kecil 7 Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Memilih Ukuran 8 DEFINISI interval: interval adalah menyatakan jarak di dalam mana suatu parameter populasi mungkin berada. 9 3

4 RUMUS INTERVAL PENDUGAAN (s Zs x < P < s + Zs x ) = C Di mana: S P s x Z C s Zs x s + Zs x : Statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P) : Parameter populasi yang tidak diketahui : Standar deviasi distribusi sampel statistik : Suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval, nilai Z diperoleh dari tabel luas di bawah kurva normal : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah ditentukan dahulu. : Nilai batas bawah keyakinan : Nilai batas atas keyakinan 10 CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM 0,50 0,50 95% 99% Z =-,58 Z=-1,96 0=µ Z=1,96 Z =,58 Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan nilai Z antara 1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam ± 1,96 kali standar deviasinya. Sedangkan untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya juga akan terletak di dalam ±,58 kali standar deviasinya. Interval keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah µ ± 1,96σ x dan untuk C=0,99 adalah µ ±,58s x. 11 CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM 0,50 0,50 0,05 (0,50/ ) 0,4750 (0,95/ ) 0,4750 (0,95/ ) Z= -1,96 Z= 1,96 0,05 (0,50/ ) Luas kurva adalah 1, dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5. Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang diperoleh dari 0,95/. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/ = 0,4950, nilai probabilitas ini terhubung dengan nilai Z=,58. Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P( 1,96s x < m < + 1,96s x) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P(,58s x < µ < +,58s x) = 0,

5 5

6 Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Memilih Ukuran 16 CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Interval keyakinan untuk rata-rata hitung dirumuskan ± Z α/ s/ n Untuk populasi yang terbatas, faktor koreksi menjadi (N-n)/N-1. Nilai merupakan rata-rata dari sampel, sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C Tingkat Keyakinan C/ Nilai Terdekat Nilai Z 0,99 0,495 0,4951,58 0,98 0,49 0,4901,33 0,95 0,475 0,475 1,96 0,9 0,45 0,4505 1,65 0,85 0,45 0,451 1,44 0,8 0,4 0,3997 1,8 17 CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun interval beberapa keyakinan sebagai berikut: 1. Interval keyakinan 99%: ±,58 s/ n. Interval keyakinan 98%: ±,33 s/ n 3. Interval keyakinan 95%: ± 1,96 s/ n 4. Interval keyakinan 90%: ± 1,65 s/ n 5. Interval keyakinan 85%: ± 1,44 s/ n 6. Interval keyakinan 95%: ± 1,8 s/ n 18 6

7 CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut: Batas bawah 1 - α Batas atas α / -Zα / µ Zα / α / Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan adan terdapat pada interval 1 - α dengan batas bawah -Zα / dan batas atas Zα /. 19 Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Memilih Ukuran 0 SKEMA PROSES INTERVAL KEYAKINAN Populasi Tidak Terbatas ± Z α/ s/ n Mulai Identifikasi masalah Menentukan sampel (n) dan nilai rata-rata Menentukan Keyakinan(C atau α= (1 C) dan Nilai Z Populasi Terbatas ± Z α/ s/ (N - n)/n-1 1 7

8 DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI DIKETAHUI Probabilitas ( Z α/ σ x < µ < ( ± Z α/ s/ (N n)/n 1n s x ) = C atau Probabilitas ( ± Z α/ s x ) = C Di mana: : Rata-rata dari sampel Z α/ : Nilai Z dari tingkat kepercayaan α µ : Rata-rata populasi yang diduga σ x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan α = (1 C) DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK DIKETAHUI Standar error untuk populasi tidak terbatas S S x = n Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/n > 0,05: S x = S n N n N 1 Distribusi normal standar Distribusi t dengan n=5 Distribusi t dengan n=15 Distribusi t dengan n=5 3 DISTRIBUSI SAMPLING MENDEKATI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK DIKETAHUI ( t α/ s x < µ < ( + t α/ s x ) Di mana: : Rata-rata dari sampel tα/: Nilai t dari tingkat kepercayaan α µ : Rata-rata populasi yang diduga s x : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan α : 1 C 4 8

9 Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Interval Keyakinan Selisih Rata-rata dan Memilih Ukuran 5 CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET Untuk populasi yang tidak terbatas p( 1 p) N n Sp = n 1 N 1 Untuk populasi yang terbatas p( 1 p) Sp = n 1 Bentuk pendugaan proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut: Probabilitas (p - Z α/.sp<p< p + Z α/.sp) Di mana: p : sampel Zα/: NilaiZ dari tingkat keyakinanα P : populasi yang diduga S p : Standar error/kesalahan dari proporsi C :Tingkat keyakinan α :1 C 6 Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Memilih Ukuran 7 9

10 INTERVAL KEYAKINAN UNTUK SELISIH RATA-RATA Probabilitas (( 1 - ) - Z α/. σ x1-x ) <( 1 - ) < ( 1 - ) + Z α/. σ x1-x ) Dimana standarerror dari nilai selisih rata-rata adalah: σ σ x1 x σ x1 x = + = n1 n Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan standar deviasi sampel yaitu: Di mana: s s s x1 x x 1 x = + = n1 n σ x1-x : Standar deviasi selisih rata-rata populasi s x1-x : Standar error selisih rata-rata s x1, s x1 : Standar deviasi sampel dari dua populasi n 1, n : Jumlah sampel setiap populasi 8 INTERVAL KEYAKINAN UNTUK SELISIH PROPORSI Probabilitas Probabilitas ((p 1 -p ) - Z α/. s p1-p ) <(P 1 -P ) < (p 1 -p ) + Z α/. s p1-p ) Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah: s = p1(1 p1) p(1 p) + n1 1 n 1 p1 p= p 1, p : sampel dari dua populasi S p1, s p1 : Standar error selisih proporsi dari dua populasi n 1, n : Jumlah sampel setiap populasi 9 Teori Statistik Pengujian Hipotesa Besar Pengujian Hipotesa Kecil Memilih Ukuran 30 10

11 FAKTOR UKURAN SAMPEL Faktor yang mempengaruhi jumlah sampel 1. Tingkat keyakinan yang dipilih.. Kesalahan maksimum yang diperbolehkan. 3. Variasi dari populasi. 31 RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut: n = [(Z α/.σ)/ε] Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana diuraikan sebagai berikut: P ( Z α/ < Z < Z α/ ) = C = 1 α ( Z α/ < ( µ)/(σ/ n) < Z α/ ) ( Z α/ (σ/ n) < ( µ) < Z α/ (σ/ n)) (x µ) < Z α/ (σ/ n); ingat bahwa error ε = µ ε < Z α/ (σ/ n); ε = (Z α/ ) (σ /n); n = [(Z α/.σ)/ε] 3 RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA PROPORSI POPULASI Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut: P ( Z α/ < Z < Z α/ ) = C = 1 α ( Z α/ < (p 1 p )/(σ/ n) <Z α/ ) ( Z α/ ( [(p(1 p)]/n 1) < (p 1 p ) < Z α/ ( [p(1 p)]/n 1) (p1 p) < Z α/ ( [(p(1 p)]/n 1); ingat bahwa error ε = p 1 p ε < Z α/ ( [(p(1 p)]/n 1); dikuadratkan kedua sisi menjadi ε = (Z α/ ) [(p(1 p)]/n 1; dipindahkan n 1 ke sisi kiri n 1 = (Z α/.) p(1 p) sehingga n menjadi ε n = (Z α/.) p(1 p) + 1 ε 33 11

12 TERIMA KASIH 34 1