Korelasi. Acuan. Haan, C.T., 1982, Sta$s$cal Methods in Hydrology, 1 st Ed., 3 rd Prin4ng, The Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, USA

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Progam Studi Pascasarjana Teknik Sipil Statistika Korelasi 1

2 Korelasi Acuan Haan, C.T., 1982, Sta$s$cal Methods in Hydrology, 1 st Ed., 3 rd Prin4ng, The Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, USA Chapter 11, pp

3 Korelasi Koefisien korelasi antara dua variabel random X dan Y! r X,Y = S X,Y =! 1 S r S t = 1 ( X i X) Y i Y n 1 ( Y i Ŷ ) 2, Ŷ =Y reg Y i Y ( ) 2 ( ) s X = ( X i X) 2 n 1 r X,Y = S X,Y s! X s Y ρ X,Y = σ X,Y σ! X σ Y s Y = ( Y i Y ) 2 n 1 kovarian X dan Y simpangan baku X simpangan baku Y koefisien korelasi sampel koefisien korelasi populasi 3

4 Korelasi Koefisien korelasi antara dua variabel random X dan Y r X,Y = S X,Y s! X s Y r X,Y = COVARIANCE.S(X,Y)! = STDEV.S(X) = STDEV.S(Y)! r X,Y = CORREL(X,Y) MSExcel 4

5 Koe>isien Korelasi Penger4an koefisien korelasi Koefisien korelasi menunjukkan 4ngkat keeratan hubungan linear antara suatu variabel random Y dan suatu variabel kedua yang merupakan fungsi linear dari satu atau lebih variabel(- variabel) X Se4ap variabel X dapat berupa variabel random atau bukan variabel random 5

6 Koe>isien Korelasi Nilai koefisien korelasi adalah 1 < r X,Y < 1 r X,Y = ±1 menunjukkan hubungan linear sempurna antara X dan Y r X,Y = 0 menunjukkan independensi (ke4dak- tergantungan) linear, namun dapat saja keduanya memiliki hubungan (ketergantungan) yang lain, yang 4dak linear Jika X dan Y 4dak saling tergantung (independent), maka r X,Y = 0 6

7 Inferensi terhadap Koe>isien Korelasi Populasi Dua variabel random tak berkorelasi, ρ X,Y = 0 berkorelasi, ρ X,Y 0 Situasi Sampel yang diperoleh dari variabel random yang 4dak berkorelasi jarang menunjukkan nilai r X,Y = 0 koefisien korelasi sering r X,Y 0, karena kebetulan Oleh karena itu perlu pengujian untuk mengetahui penyimpangan koefisien korelasi dari nol tersebut benar disebabkan oleh kebetulan, atau penyimpangan tersebut terlalu besar untuk dikatakan sebagai akibat kebetulan 7

8 Inferensi terhadap ρ Uji hipotesis H 0 : ρ X,Y = 0 H a : ρ X,Y 0 sta4s4k uji " t = r n 2 % $ '! # 1 r 2 & 1 2 t >t! 1 α 2,n 2 H 0 ditolak 8

9 Inferensi terhadap ρ Uji hipotesis H 0 : ρ X,Y = ρ* (ρ* konstanta) H a : ρ X,Y ρ* sta4s4k uji! z = W ω " 1+r % W = 1 ln 2 $ '= arctanhr 1 r! # & Rentang keyakinan ρ ( )( n 3) 1 2 z >! z 1 α 2 $ 1+ρ' ω = 1 ln 2 & )= arctanhρ 1 ρ! % ( # l = tanh % W z 1 α 2 % n 3! $ % ( ) 1 2 ukuran sampel n > 25 & ( ( '( H 0 ditolak # u = tanh % W + z 1 α 2 % n 3! $ % ( ) 1 2 & ( ( '( 9

10 Inferensi terhadap ρ Ada sejumlah k populasi bivariate, distribusi normal, memiliki koefisien korelasi populasi ρ 1, ρ 2,, ρ k koefisien korelasi sampel r 1, r 2,, r k ukuran sampel n 1, n 2,, n k Hipotesis H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ k = ρ* (ρ* konstanta) H a : ρ 1 ρ 2 ρ k ρ* k ( ) 2 n i 3 ( ) χ 2 = arctanhr i arctanhρ! χ2 > χ 2 1 α,k H 0 ditolak! i=1 10

11 Inferensi terhadap ρ Hipotesis H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ k (semua koefisien korelasi sama) H a : ρ 1 ρ 2 ρ k k ( ) ( ) 2 n i 3 χ 2 = W i W! χ2 > χ 2 1 α,k 1 H 0 ditolak! i=1! W = arctanhr i i W =! k i=1 ( n i 3)W i k i=1 ( n i 3) 11

12 Inferensi terhadap ρ Jika hipotesis bahwa semua koefisien korelasi 4dak ditolak, maka perlu diketahui nilai koefisien korelasi r yang mewakili nilai koefisien korelasi populasi ρ! r = tanh ( W mρ 2) W =! k i=1 k ( n i 3)W i ρ = r i k! i=1 k " n m= i 3% $ n! # i 1 ' i=1 & k i=1 k i=1 ( n i 3) ( n i 3) 12

13 Korelasi Serial Korelasi serial (serial correla$on) dikenal pula sebagai autokorelasi (autocorrela$on) yaitu korelasi antara data hasil pengukuran pada suatu waktu dengan data hasil pengukuran pada waktu sebelumnya elemen dalam sampel yang memiliki korelasi serial bukan elemen random (ingat definisi variabel random) 13

14 Korelasi Serial Pada korelasi serial, dengan demikian sampel berukuran n yang memiliki korelasi serial akan memberikan informasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan informasi yang dimiliki oleh sampel random berukuran n sebagian informasi pada sampel yang memiliki korelasi serial dapat diperoleh dari atau telah diketahui dalam data hasil pengukuran pada waktu sebelumnya 14

15 Korelasi Serial Korelasi serial (serial correla$on) dapat pula dijumpai antara suatu pengukuran pada waktu tertentu dengan pengukuran pada waktu k periode waktu sebelumnya (terdahulu), k = 1,2, asumsi selang waktu antar pengukuran adalah sama (seragam) sifat- sifat sta4s4s proses atau peris4wa yang diukur 4dak berubah terhadap waktu (bersifat permanen) ρ(k) koefisien korelasi serial populasi r(k) koefisien korelasi serial sampel 15

16 Korelasi Serial n k x i x i+k x i x i+k i=1 i=1 i=1 r(k)= 1 2 ) 2 n k # n k &, ) n k # n k & + 2 x i % x i ( ( n k ) x i=1 $ i=1 '. i+k x + % i+k ( i=1 i=1! * - * $ ' n k n k ( n k) 2, ( n k. ). - r(0) = 1 à korelasi suatu elemen data dengan dirinya sendiri adalah sama dengan satu semakin besar k, jumlah pasangan data untuk menghitung r(k) semakin sedikit; r(k) adalah nilai es4masi ρ(k) oleh karena itu, k << n 1 2 x i = X i X i x! i+k = X i+k X i+k jika ρ(k) = 0 untuk semua k, maka proses atau peris4wa atau populasi tersebut bersifat random murni 16

17 Korelasi Serial Time series sirkular yaitu $me series yang berulang, X n diiku4 oleh X 1 untuk $me series sirkular, normal, permanen asumsi n x i x i+k nx 2 i=1 r(k)= 2 ( n 1)s! X persamaan r(k) ini memberikan hasil hitungan yang mirip dengan persamaan yang panjang pada hlm sebelumnya apabila n >> dan k << n dengan asumsi di atas, maka r(k) berdistribusi normal dengan nilai rerata 1/(n 1) simpangan baku (n 2)/(n 1) 2 jika ρ(k) = 0 17

18 Korelasi Serial Rentang keyakinan ρ(k)! l = 1 ( n 1 l z n 2) u = 1 ( 1 α 2 n 1 l + z n 2) 1 α 2 Uji hipotesis H 0 : ρ(k) = 0 H a : ρ(k) 0 hipotesis ditolak jika r(k) berada di luar rentang keyakinan 18

19 Korelasi dan Analisis Regional Informasi yang dikandung dalam data dari sejumlah n stasiun di suatu wilayah yang memiliki korelasi (rerata) interstasiun ρ bar sama dengan informasi yang dikandung dalam data dari sejumlah n stasiun yang 4dak saling berkorelasi n! =! n 1+ ( n 1)ρ Seiring dengan n yang besar, maka n mendeka4 1/ρ bar! n >> n" 1 ρ Melihat hubungan antara n dan n, maka menempatkan sedikit stasiun yang 4dak saling bergantung (independent) lebih baik daripada menempatkan banyak stasiun yang saling berkorelasi 19

20 Korelasi dan Analisis Regional Korelasi dalam satu wilayah dapat dipakai untuk memperoleh nilai es4masi yang lebih baik terhadap suatu variabel hidrologik di suatu 44k lokasi melalui korelasi dengan variabel hidrologik lain di 44k lokasi tersebut atau dengan suatu karakteris4ka yang mirip di 44k lokasi yang lain sebagai contoh Y dan X adalah dua variabel random hidrologik yang 4dak berkorelasi jumlah sampel Y adalah n 1 jumlah sampel X adalah n 1 + n 2 Y dan X memiliki koefisien korelasi ρ Y,X 20

21 Korelasi dan Analisis Regional Korelasi dalam satu wilayah Data Y dapat diperpanjang dengan memakai korelasi antara Y dan X pada dasarnya ini sama dengan regresi persamaan hubungan Y dan X dibentuk dari n 1 pasangan data! y = r Y,X s Y y s X persamaan di atas dipakai untuk memperoleh sejumlah n 2 nilai Y berdasarkan n 2 data X nilai rerata Y yang baru adalah: syarat:! r >1 n Y,X ( 2 1 ) y dan x adalah deviasi (selisih) data terhadap nilai rerata masing- masing variabel Y = n Y +n Y n! 1 +n 2 21

22 Korelasi dan Sebab- Akibat Pen4ng diketahui Korelasi yang 4nggi antara dua variabel 4dak selalu berar4 adanya hubungan kausal, sebab- akibat antar kedua variabel tersebut Adanya korelasi antara debit bulanan di suatu sungai dengan debit bulanan di sungai tetangga 4dak berar4 bahwa perubahan debit bulanan di sungai yang satu akan mengakibatkan perubahan debit bulanan di sungai tetangga Perubahan debit bulanan di kedua sungai mungkin saja disebabkan oleh faktor eksternal Ingat Variabel- variabel yang independent pas4lah tak saling berkorelasi, tetapi Variabel- variabel yang tak saling berkorelasi 4dak selalu independent Kebergantungan antar variabel yang saling berkorelasi adalah kebergantungan yang bersifat stokas4k bukan kebergantungan dalam ar4 fisik, dan bukan kebergantungan dalam ar4 sebab- akibat 22

23 Korelasi Spurious Spurious correla$on (korelasi palsu ) Tampak seper4 ada korelasi antar variabel- variabel, tetapi variabel- variabel tersebut sebenarnya 4dak berkorelasi Dapat terjadi karena adanya data yang mengelompok korelasi bersama- sama kedua kelompok, r 4nggi korelasi di masing- masing kelompok, r 0 23

24 Korelasi Spurious Y dan X 4dak berkorelasi (Y dan X independent) Y dan X dibagi Z à Y dan X memiliki koefisien korelasi r >> 0 24

25 25