Teknik Pengolahan Data

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi Magister Teknik Pengelolaan Bencana Alam Teknik Pengolahan Data Probabilitas 1

2 Probabilitas Probabilitas Peluang Kemungkinan Mengapa probabilitas? Orang 7dak dapat memas7kan nilai suatu proses (misal erupsi gunung berapi) berdasarkan data erupsi selama waktu yang lalu sampai saat ini. Sifat stokas7k ataupun ke7dak- pas7an merupakan sifat yang melekat pada proses (yang melibatkan) alam. 2

3 Probabilitas, Peluang Kejadian No urut Jumlah hari terjadinya kemacetan pasokan air per bulan Frekuensi Jumlah 30 Jumlah hari saat terjadi kemacetan pasokan air PDAM selama 30 bulan terakhir. Dapatkah Saudara memas7kan jumlah hari akan terjadi kemacetan pasokan air PDAM pada bulan depan? 3

4 Probabilitas, Peluang Kejadian, Risiko Debit puncak suatu sungai selama 66 tahun Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Tahun ke- Debit (m 3 /s) Dapatkah Saudara memas7kan debit maksimum pada tahun ke- 67? 4

5 Probabilitas Definisi #1 Andaikata suatu peris7wa random dapat terjadi dalam n cara yang masing- masing memiliki kemungkinan yang sama, dan apabila sejumlah n a cara memberikan hasil A, maka probabilitas terjadinya peris7wa dengan hasil A adalah n a /n prob( A) = n a n Dalam definisi di atas, n adalah himpunan semua yang mungkin terjadi. Definisi di atas berasumsi bahwa n diketahui, padahal himpunan semua cara yang mungkin pada kenyataannya 7dak selalu diketahui atau 7dak terjadi atau 7dak diama7 atau 7dak dihitung. 5

6 Probabilitas Definisi #2 Andaikata suatu peris7wa random terjadi berkali- kali dalam jumlah yang sangat besar, n kali, dan sejumlah n a kali memiliki hasil A, maka probabilitas peris7wa dengan hasil A adalah prob( A) = lim n a n n Definisi di atas berbeda dengan definisi #1 dalam hal- hal berikut: Probabilitas suatu kejadian diperkirakan (can be es)mated) berdasarkan observasi sejumlah n kali. n di sini 7dak/bukan merupakan himpunan semua kejadian yang mungkin; dalam hal ini, 7dak diperlukan untuk mengetahui atau melakukan observasi terhadap semua kemungkinan Se7ap cara yang mungkin terjadi (dalam n tersebut) 7dak harus memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi. 6

7 Probabilitas Definisi 2: butuh berapa n? Contoh Pada 2 set pengamatan (sampel) yang 7dak saling terkait/ tergantung, perkiraan probabilitas kejadian A dapat ditetapkan berdasarkan masing- masing sampel tersebut. Kedua nilai probabilitas 7dak selalu sama satu dengan yang lain. Kedua nilai probabilitas 7dak selalu sama dengan perkiraan probabilitas A yang ditetapkan dengan pengamatan sejumlah tak- berhingga kali. Problem: berapa jumlah pengamatan n yang diperlukan untuk mendapatkan es7masi probabilitas A yang dapat diterima? 7

8 Probabilitas Kisaran (range) probabilitas Dari kedua definisi, kisaran probabilitas adalah 0 s.d. 1. prob(a) = 0 hampir 7dak mungkin terjadi (nearly impossible) prob(a) = 1 hampir pas7 terjadi (almost certain) 8

9 Probabilitas Misal suatu eksperimen (proses) menghasilkan sejumlah output yang berupa variable random Himpunan semua hasil yang mungkin didapat disebut sample space. Se7ap elemen di dalam sample space disebut sample points (element) Se7ap elemen di dalam sample space memiliki faktor/bobot/ weight (posi7f) sedemikian hingga jumlah weight seluruh elemen bernilai 1. Nilai bobot berbanding lurus dengan kemungkinan eksperimen akan memberikan hasil elemen tersebut. Bobot 7dak lain adalah probabilitas. 9

10 Sample Space Sample Elements PROBABILITAS 10

11 Sample Space & Sample Elements Contoh #1: Suatu DAS memiliki 3 stasiun: Sta- 1, Sta- 2, Sta- 3. Eksperimen: meneli7 se7ap stasiun perlu/7dak kalibrasi Output: (y,n,y) Sta- 1 perlu kalibrasi (y = yes) Sta- 2 tak perlu kalibrasi (n = no) Sta- 3 perlu kalibrasi (y = yes) 11

12 Sample Space & Sample Elements Sample space: Alterna7f 1 S 1 ={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y), (y,n,n),(n,y,n),(n,n,y),(n,n,n)} S 1 adalah discrete sample space: jumlah elemen di dalam S 1 dapat dihitung. Apabila eksperimen dilakukan satu kali saja, maka salah satu elemen S 1 pas7 terjadi. Sample space: Alterna7f 2 S 2 ={0,1,2,3} S 2 adalah discrete sample space. Hanya ingin diketahui jumlah stasiun yang perlu dikalibrasi. Tidak diperlukan untuk mengetahui stasiun mana yang perlu dikalibrasi. Informasi yang diperoleh lebih sedikit daripada S 1. 12

13 Sample Space & Sample Elements Contoh #2: Pengukuran angin: kecepatan (km/jam) dan arah ( o ). Output: (x,y) x = kecepatan (km/jam) y = arah ( o ) 13

14 Sample Space & Sample Elements Sample space: Alterna7f 1 Ω 1 = ( x, y) : x 0, 0 y 360 y ( o ) { } continuous sample space x (km/jam) Sample space: Alterna7f 2 Ω 2 = { +, } discrete sample space + = kecepatan > 60 (km/jam) = kecepatan < 60 (km/jam) 14

15 Events Event adalah suatu himpunan bagian (subset) dari sample space Suatu event terjadi jika dan hanya jika hasil dari eksperimen adalah anggota event tersebut Contoh: Kalibrasi Sta- 1, Sta- 2, Sta- 3 Event A: paling sedikit 2 stasiun perlu dikalibrasi A={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)} Event B: tak ada stasiun yang perlu dikalibrasi B={(n,n,n)} Event C: 2 stasiun perlu dikalibrasi C={(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)} 15

16 Diagram Venn Notasi: S = sample space E i = elemen di dalam S A,B = events di dalam S prob(e i ) = probabilitas elemen E i S o E 1 o E 2 A 0 prob( E i ) 1 S = i E i prob S ( ) = prob( E i ) =1 S o E 1 o E 2 A B B A B o E 3 o E n o E 3 o E n 16

17 Probabilitas suatu Event Event A A = n E i=m i 0 prob A Event A dan B n ( ) = prob( E i ) i=m 1 prob( A B) = prob( A) +prob( B) prob( A B) Apabila A dan B tak bergantung satu dengan yang lainnya (independent), maka ( ) = prob( A) +prob( B) prob A B 17

18 Probabilitas suatu Event Event A c (= komplemen event A) A A c = S prob( A A c ) = prob( A) + prob( A c ) =1 prob( A) =1 prob( A c ) 18

19 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Probabilitas suatu event (event B) bergantung pada terjadinya event lain (event A). S A A B prob( B A) = B ( ) prob( A) prob A B prob( A B) = prob A prob(b A) = prob(b) dengan syarat event A terjadi» sample space berubah dari S menjadi A,» event diwakili oleh A B, prob( A) 0 ( )prob B A ( ) 19

20 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Apabila event B tak bergantung pada event A (keduanya merupakan independent events), maka prob( B A) = prob( B) prob( A B) = prob( A) prob( B) 20

21 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Contoh Data pengamatan hari hujan di suatu wilayah menunjukkan probabilitas hari hujan sbb. hari hujan setelah hari hujan = hari tak hujan setelah hari hujan = hari tak hujan setelah hari tak hujan = hari hujan setelah hari tak hujan = Apabila dijumpai bahwa suatu hari terjadi hujan, berapakah probabilitas bahwa 2 hari berikutnya juga hujan? 21

22 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Penyelesaian Misal hari hujan (h) terjadi sbb. hari ke- 0 hari ke- 1 hari ke- 2 h h h event A event B Event A = hari ke- 1 hujan setelah hari ke- 0 hujan Event B = hari ke- 2 hujan setelah hari ke- 0 hujan Yang dicari adalah 3 hari hujan berturut- turut: ( ) = prob( A) prob B A prob A B ( ) Diketahui prob(a) = (hari hujan setelah hari hujan) prob B A ( ) = ( ) = = prob A B 22

23 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Cara penyelesaian yang lain Probabilitas hari hujan setelah hari hujan adalah p = Suatu hari (hari ke- 0) terjadi hujan hari ke- 0 hari ke- 1 hari ke- 2 h h h p = p = p = th p = th 23

24 Probabilitas Total (Total Probability) Apabila B 1, B 2,, B n adalah serangkaian events yang 7dak saling berkaitan (mutually exclusive events) dan masing- masing memiliki probabilitas 7dak sama dengan nol, prob(b i ) 0, untuk semua i: B 1 B 2 B n = S B i B j = 0, i, j ( i j) prob B i ( ) > 0, i 24

25 Probabilitas Total (Total Probability) Probabilitas suatu event A dapat dituliskan sbb. S B 2 B 1 A prob A B 3 B n ( ) = prob# $ ( A B 1 ) ( A B 2 )... ( A B n )% & = prob( A B 1 ) +prob( A B 2 ) prob( A B n ) 25

26 Probabilitas Total (Total Probability) Dari condi)onal probability: prob( A) = prob( B 1 ) prob( A B ) prob( B n ) prob( A B ) n prob A ( ) = prob( A) prob B 1 A ( ) = prob( B 1 ) prob A B 1 prob A B 1 prob B 1 A S B 2 B 1 A n ( ) = " prob( B i ) prob A B i i=1 # B 3 B n ( ) ( ) ( ) $ % 26

27 Probabilitas Total (Total Probability) Contoh Data genangan di suatu wilayah permukiman menunjukkan bahwa probabilitas terjadinya genangan adalah 0.80 saat hari hujan dan 0.25 saat tak hujan. Diketahui bahwa probabilitas hari hujan adalah Berapakah probabilitas terjadinya genangan di wilayah tersebut? 27

28 Probabilitas Total (Total Probability) Penyelesaian Jika event A = terjadi genangan event B 1 = hari hujan event B 2 = hari tak hujan ( ) +prob B 2 ( ) prob( A) = prob( B 1 ) prob A B 1 ( ) prob A B 2 = ( ) 0.25 =

29 Teorema Bayes Dari condi)onal probability ( ) = prob( A) prob B A ( ) = prob( B) prob A B prob A B prob B A ( ) ( ) Karena prob( A B) = prob( B A), maka: prob( A) prob( B A) = prob( B) prob( A B) Untuk events A dan B j, persamaan diatas menjadi prob( A) prob( B j A) = prob( B ) j prob( A B ) j (1) (2) (3) (4) 29

30 Teorema Bayes Dari total probability prob A n ( ) = " prob( B i ) prob A B i i=1 # ( ) $ % (5) Dengan (5) à (4) prob( B j A) = prob( B ) j prob( A B ) j n i=1 prob B i ( ) prob A B i ( ) (6) 30

31 Teorema Bayes Pemakaian Untuk mencari probabilitas event B j apabila diketahui event A telah terjadi. Untuk mencari (memperkirakan) probabilitas suatu event (B j ) dengan mengama7 event kedua (A). 31

32 Teorema Bayes Contoh Informasi ramalan cuaca biasa dikirimkan melalui 4 saluran: R i (i = 1,2,3,4) adalah event dimana informasi tsb dikirimkan melalui saluran i. Probabilitas masing- masing event R i adalah: 0.1, 0.2, 0.3, dan 0.4. Diketahui juga bahwa probabilitas terjadinya kesalahan pengiriman (event E) melalui masing- masing saluran adalah: 0.10, 0.15, 0.20, dan Suatu saat diketahui bahwa suatu kesalahan pengiriman telah terjadi. Berapakah probabilitas bahwa kesalahan tersebut terjadi melalui saluran ke- 2? 32

33 Teorema Bayes Penyelesaian Diketahui: prob(r 1 ) = 0.1 prob(e R 1 ) = 0.10 prob(r 2 ) = 0.2 prob(e R 2 ) = 0.15 prob(r 3 ) = 0.3 prob(e R 3 ) = 0.20 prob(r 4 ) = 0.4 prob(e R 4 ) = 0.25 Probabilitas bahwa pengiriman dilakukan melalui saluran ke- 2 dengan melihat kenyataan bahwa telah terjadi kesalahan adalah: ( ) = prob R 2 4 prob R 2 E 1 ( ) ( ) ( ) prob E R 2 ( ) prob E R i prob R i = =

34 Teorema Bayes i prob(r i ) prob(e R i ) prob(r i ).prob(e R i ) prob(r i E) Σ prob(e) 34

35 35