BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi polychoric Taksira koefisie korelasi polychoric dapat dicari dega megguaka metode taksira dua tahap Misalka U da V adalah dua variabel radom yag kotiu, selautya misalka X da Y adalah variabel-variabel ordial yag dibetuk dari variabel radom kotiu U da V maka hubuga atara variabel ordial X dega variabel radom kotiu U yag membetukya dapat ditulis sebag berikut: I ika ika ika u < a a a I u < a u (3 dimaa, a batas atas kategori pertama variabel X, a batas atas kategori kedua variabel X,, a I batas atas kategori ke- I- variabel Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
X, defiisika batas bawah kategori pertama variabel X dega a da batas atas kategori ke- I variabel X dega a I Demikia pula utuk hubuga atara variabel ordial Y dega variabel radom kotiu V yag membetukya, dega b batas atas kategori pertama variabel Y, b batas atas kategori kedua variabel Y,, b J- batas atas kategori ke- J- variabel Y, serta b - da b J Hubuga atara variabel ordial X dega variabel radom kotiu U yag membetukya dapat diilustrasika melalui gambar berikut : Gambar 3 Hubuga Variabel Ordial X dega Variabel Kotiu U demikia uga hubuga atara variabel ordial Y dega variabel radom kotiu V yag membetukya dapat diilustrasika melalui gambar berikut : Gambar 3 Hubuga Variabel Ordial Y dega Variabel Kotiu V Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
Ketika data yag teramati haya berupa variabel-variabel ordial X da Y yag dibetuk oleh variabel radom kotiu U da V, meaksir kekuata hubuga liier atara variabel radom kotiu U da V dega megguaka koefisie korelasi pearso tidak dimugkika Salah satu cara utuk megatasi permasalaha yag timbul dalam meghitug besarya korelasi dua variabel radom kotiu ika data yag teramati merupaka data ordial yag dibetuk oleh kedua variabel radom kotiu tersebut, adalah dega megguaka koefisie korelasi polychoric yag aka ditaksir dega megguaka metode taksira dua tahap Metode taksira dua tahap terdiri dari tahapa berikut : Meaksir batas batas utuk setiap kategori dari masig masig data ordial Meaksir koefisie korelasi polychoric dega megguaka taksira batas batas utuk setiap kategori dari masig masig data ordial yag diperoleh pada tahap pertama, melalui metode taksira maksimum likelihood 3 Tahap Pertama Metode Taksira Dua Tahap Seperti yag telah disebutka sebelumya, tahapa pertama dari metode taksira dua tahap adalah meaksir batas batas utuk setiap Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
3 kategori dari masig masig data ordial Pada tahapa ii, proporsi margial sampel dalam setiap kategori diguaka utuk meaksir batas batas utuk setiap kategori dari masig masig data ordial Dega demikia, distribusi dari variabel kotiu awal harus ditetuka atau diketahui Perhatika tabel, misalka variabel ordial X berasal dari variabel kotiu U yag mempuy fugsi distribusi F ( da pdf f ( da variabel ordial Y berasal dari variabel kotiu V mempuy fugsi distribusi F ( da pdf f ( maka batas batas kategori variabel X, v v a i, i, I ditaksir dega : u u ( P P P (3 a i F i da batas batas kategori variabel Y, b,, J ditaksir dega : ( P P P (3 b F dimaa: P i proporsi margial kategori ke i variabel ordial X, dega J i Pi da i P proporsi margial kategori ke - variabel ordial Y, dega Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
4 I P da i F ivers dari fugsi distribusi F ( u F ivers dari fugsi distribusi F ( v Dalam metode taksira dua tahap yag dibahas dalam tugas akhir ii, diasumsika distribusi gabuga dari variabel U da V adalah ormal bivariat stadar maka dapat dituukka U da V masig masig berdistribusi N (, (lihat lampira 3 Walaupu demikia, aka dituukka (melalui simulasi pada bab 4 bahwa taksira koefisie korelasi polychoric yag didapat robust terhadap asumsi tersebut Karea U da V masig masig berdistribusi N (, maka batas batas kategori variabel X,, i, I ditaksir dega : a i ( P P P (33 a i Φ i da batas batas kategori variabel Y, b,, J ditaksir dega : ( P P P (34 b Φ dimaa : Φ ivers fugsi distribusi ormal uivariat stadar Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
5 Proses peaksira batas batas kategori utuk masig masig variabel ordial X da Y dapat diilustrasika melalui gambar berikut : Gambar 3 Peaksira Batas Atas Kategori ke i Variabel Ordial X Gambar 3 Peaksira Batas Atas Kategori ke Variabel Ordial Y 3 Tahap Kedua Metode Taksira Dua Tahap Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
6 Peaksira besarya koefisie korelasi polychoric pada tahap kedua pada dasarya megguaka metode taksira maksimum likelihood, yag membutuhka distribusi gabuga dari variabel U da V Misalka ( X, Y, ( X, Y,, ( X, Y merupaka sampel radom bivariat dari variabel ordial X da Y maka fugsi likelihood dari sampel radom bivariat ii adalah : L I J i IJ (3 dimaa probabilitas suatu observasi atuh pada sel (i,, i,,i,,,j dari tabel kotigesi variabel ordial X da Y bayakya observasi yag atuh pada sel (i, i,,i,,,j dari tabel kotigesi variabel ordial X da Y Utuk mecari besarya probabilitas suatu observasi atuh pada sel (i,, i,,i,,, J dari tabel kotigesi variabel ordial X da Y, perhatika gambar berikut : Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
7 Gambar 3 Ilustrasi Perhituga Probabilitas suatu observasi atuh pada sel (i, aka sama dega : b b f ( u, v du dv (3 dimaa : f ( u, v adalah pdf gabuga dari variabel U da V Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
8 Jika F ( u, v adalah fugsi distribusi gabuga dari U da V maka : F(, b F(, b F(, b F(, b (33 Karea distribusi gabuga U da V diasumsika ormal bivariat stadar maka : b b Φ ( u, v du dv b b ( u ρuv v ep ρ ( ρ du dv (34 dega Φ ( u, adalah pdf ormal bivariat stadar (lihat lampira 3 v Nil pada persamaa (34 biasaya sulit atau tidak bisa didapat secara aalitis Oleh sebab itu, il pada persamaa (34 aka dihitug melalui pedekata umerik, salah satu metode yag dapat diguaka adalah metode trapezoid rule Trapezoid rule adalah salah satu metode pedekata umerik utuk Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
9 meghitug itegral berhigga f ( d, dega cara megaproksimasi daerah di bawah fugsi f ( dega sebuah trapesium, kemudia meghitug luas trapesium ii sebag aproksimasi dari f ( d, ytu melalui formula berikut : f ( d i ( f ( a f ( a (35 i Metode trapezoid rule dapat diilustrasika melalui gambar berikut : Gambar 3 Ilustrasi Metode Trapezoid Rule Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
3 Karea terdapat beberapa yag dihitug melalui persamaa (34 merupaka itegral tak berhigga maka sebelum megguaka metode trapezoid rule, batas batas itegral yag tak berhigga tersebut harus ditrasformasi terlebih dahulu agar meadi berhigga Misalka aka dihitug, berdasarka persamaa (34 : b a Φ ( u, v du dv ( u uv v b a du dv ep ρ ρ ( ρ Dega megaggap v sebag kostata, Φ ( u, aka diitegralka v terlebih dahulu terhadap u Padag trasformasi s u a ika u s maka s da ika u a maka s, sehigga diperoleh Φ (s, v ds, sebut Φ (, s (, s v g s v Dega metode trapezoid rule, s dapat dihitug g ( s, v ds ytu : g s, v ds ( g (, v g (, ( v hasil dari g ( s, v ds merupaka fugsi dari v, sebut g ( Selautya g ( aka diitegralka terhadap v utuk memperoleh, sebag berikut : v v Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
3 b g ( v dv, misal t v b ika v maka t da ika t v maka t, sehigga diperoleh : b b t t g ( v dv g b dt, sebut g ( b g 3 t Dega t t t t metode trapezoid rule, dapat dihitug g 3( t dt ytu : g t dt 3 ( g ( ( 3( g 3 Dega demikia, diperoleh besarya g ( t dt yag merupaka fugsi dari ρ ( parameter distribusi ormal 3 bivariat stadar Dega cara yag sama dapat dihitug,,,,,,,,,,, J I J I J I IJ, utuk perhituga yag memuat itegral seperti berikut : a f ( d, batas itegralya dapat ditrasformasi dega t a t Dega meyubstitusika besar pada persamaa (34 ke persamaa (3 maka fugsi likelihood (3 merupaka fugsi dari parameter ρ Fugsi loglikelihood dari sampel radom bivariat ( X, Y, ( X, Y,, ( X, Y dapat ditulis sebag berikut : Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
3 l L( ρ l( ρ I J i l (36 Taksira maksimum likelihood dari ρ diperoleh dega mecari il ρ yag memaksimumka fugsi loglikelihood (36, ytu fugsi loglikelihood (36 dituruka terhadap ρ da disamaka dega ol Perhituga taksira maksimum likelihood dari ρ ii biasaya sulit atau tidak dapat diseleska secara aalitis tetapi dapat diseleska melalui pedekata umerik, salah satu metode yag dapat diguaka adalah metode ewto raphso Metode ewto raphso adalah salah satu metode umerik utuk mecari aproksimasi akar atau pembuat ol dari fugsi beril real Misalka f ( adalah fugsi beril real, cara kera dari metode ewto raphso adalah dega meebak akar dari fugsi f ( utuk dadika sebag il awal (misal Kemudia buat garis siggug dari f ( di (, f ( da hitug uga titik potog dega sumbu dari garis siggug tersebut Misalka adalah titik potog dega sumbu dari garis siggug dari f ( di (, f (, ii merupaka aproksimasi akar f ( yag lebih bk dari Utuk lebih elasya, perhatika gambar berikut : Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
33 Gambar 33 Ilustrasi Metode Newto Raphso Karea turua ( f di titik merupaka kemiriga garis siggug dari ( f di titik maka (37 '( '( ( ( ( ( ( ( '( f f f f f f y f proses ii dilakuka secara iterasi samp koverge ke il tertetu Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
34 Kekovergea dari metode ewto raphso dapat delaska melalui teorema berikut : Teorema 3 : Misalka f C [ a, b] Jika p [ a, b] sedemikia sehigga f ( p da f '( p maka ada δ > sedemikia sehigga metode ewto raphso meghasilka barisa { } awal p [ p δ, p ] (bukti di lampira 4 δ p yag koverge ke p utuk sembarag il Metode ewto raphso dapat diguaka utuk mecari il maksimum dari fugsi loglikelihood (36 dega memadag l '( ρ sebag f ( sehigga aka diperoleh taksira maksimum likelihood dari ρ dega megguaka persamaa (37 : ρ l '( ρ ρ l ''( ρ (38 Taksira maksimum likelihood dari ρ iilah yag disebut dega koefisie korelasi polychoric atara dua variabel ordial X da Y yag teramati Karea fugsi l '( ρ memiliki dom ruag parameter distribusi ormal bivariat stadar ( ρ [, ] sedemikia sehigga l '( ρ da l '' (ρ maka Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8
35 berdasarka teorema 3 ρ aka koverge ke ρ Dega kata l, taksira koefisie korelasi polychoric pada persamaa (38 aka koverge ke il koefisie korelasi populasi, ytu koefisie korelasi polychoric aka beril atara samp dega Meaksir koefisie kolerasi, Siska Wuladari, FMIPA UI, 8