Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1 ] dan [, ], maka kemiringan garis tersebut dinatakan oleh persamaan ( 1) m (1.1) ( ) Untuk garis lurus, m bernilai konstan dimanapun titik [ 1, 1 ] dan [, ] berada. Bagaimanakah jika ang kita hadapi bukan garis lurus melainkan garis lengkung? Perhatikan Gb.1.1. 1 f() P Δ P 1 Δ (a) f() P P 1 Δ Δ (b) Gb.1.1. Tentang kemiringan garis. Pada Gb.1.1.a. / merupakan kemiringan garis lurus P 1 P dan bukan kemiringan garis lengkung f(). Jika kita perkecil, seperti terlihat pada GB.1.1.b., / menjadi / ang merupakan kemiringan garis lurus P 1 P. Jika terus kita perkecil maka kita dapatkan kemiringan garis lurus ang sangat dekat dengan titik P 1, dan jika mendekati nol maka kita mendapatkan kemiringan garis singgung kurva di titik P 1. Jadi jika kita mempunai persamaan garis f () dan melihat pada suatu titik tertentu [,], maka pada kondisi dimana mendekati nol, persamaan (1.1) dapat kita tuliskan lim lim f ( + ) f ( ) f ( ) (1.) f () merupakan fungsi dari karena untuk setiap posisi titik ang kita tinjau f () memiliki nilai berbeda; f () disebut fungsi turunan dari f (), dan kita tahu bahwa dalam hal garis lurus, f () bernilai konstan dan merupakan kemiringan garis lurus tersebut. Jadi formulasi (1.1) tidak hana berlaku untuk garis lurus. Jika mendekati nol, maka ia dapat diaplikasikan juga untuk garis lengkung, dengan pengertian bahwa kemiringan m adalah kemiringan garis lurus ang meninggung kurva lengkung di titik [,]. Perhatikan Gb. 11.. 1/1
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com (, ) ( 1, 1 ) Gb.1.. Garis singgung pada garis lengkung. Jika fungsi garis lengkung adalah f () maka f () pada titik [ 1, 1 ] adalah kemiringan garis singgung di titik [ 1, 1 ], dan f () di titik (, ) adalah kemiringan garis singgung di [, ]. Bagaimana mencari f () akan kita pelajari lebih lanjut. Jika pada suatu titik 1 di mana lim seperti ang dinatakan oleh (1.) benar ada, fungsi f() memiliki turunan di titik tersebut dan dikatakan sebagai dapat didiferensiasi di titik tersebut dan nilai lim merupakan nilai turunan di titik tersebut (ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik tersebut). Persamaan (1.) biasana ditulis d d lim d d ( ) lim (1.) f ( + ) f ( ) f ( ) d kita baca turunan terhadap dari fungsi, atau turunan fungsi terhadap. Penurunan ini d dapat dilakukan jika memang merupakan fungsi. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan. Misalna merupakan fungsi t, f (t) ; maka penurunan hana bisa dilakukan terhadap t, tidak terhadap. 1.. Fungsi Mononom Kita lihat uraian-uraian berikut ini. 1). f ( ) k, bernilai konstan. Di sini ). 1 f1( ) d df ( t) f ( t) dt dt f ( + ) f ( ) lim ( + ) f1 ( ) lim /1 Sudaratno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1 8 Gb.1.. Fungsi mononom dan turunanna. Kurva f ( ) membentuk garis lurus sejajar sumbu-; ia bernilai konstan untuk semua. 1 ). f ( ) ( + ) f ( ) lim lim lim ( + ) 4 ( + + Turunan fungsi ini membentuk kurva garis lurus dengan kemiringan 4. 4). f ( ) Turunan fungsi ini membentuk kurva parabola. 5). Secara umum, turunan mononom adalah ( + ) f ( ) lim ( + + + ) lim lim + + 6 n f ) m ) ( (1.4) ( n 1) ( m n) (1.5) Jika n pada (1.4) bernilai 1 maka kurva fungsi f () akan berbentuk garis lurus dan turunanna akan berupa nilai konstan, f ( ) k Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi, f (). Dengan demikian maka fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutna f () ang mungkin masih juga merupakan fungsi dan masih dapat diturunkan lagi untuk memperoleh fungsi turunan berikutna lagi dan demikian seterusna. f () d f ( ) kita sebut turunan pertama, d d f ( ) d turunan kedua, 6 4 1 4 5 /1
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com Contoh: d f ( ) d turunan ke-tiga, dst. 4 f4( ) ( 1) ( 1) 4 () 6 ; 4 6() 1; 4 1 6) Dari (1.4) dan (1.5) kita dapat mencari titik-potong antara kurva suatu fungsi dengan kurva fungsi turunanna. Fungsi mononom n f ( ) m memiliki turunan ( n 1) ( m n). Koordinat titik potong P antara kurva mononom f() dengan turunan pertamana diperoleh dengan n ( n 1) m ( m n) P n dan n P mp Koordinat titik potong kurva mononom dengan kurva-kurva turunan selanjutna dapat pula dicari. Gb.1.4. memperlihatkan kurva mononom 4 dan turunan-turunanna 4, 1, 4, 4. 1 4 1 1 4 4 4 4 - - -1 1 4-1 1.. Fungsi Polinom Gb.1.4. Mononom dan fungsi turunan-na. Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Kita lihat contoh-contoh berikut. 1). 1 f1( ) 4 + { 4( + ) + } { 4 + } f1 ( ) lim 4 Kurva fungsi ini dan turunanna terlihat pada Gb.1.5. 1 f 1() 4 + 8 6 f 1 () 4 4-1 -,5,5 1 1,5 - -4 Gb.1.5. f 1 () 4 + dan turunanna. 4/1 Sudaratno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com Suku ang bernilai konstan pada f 1 (), berapapun besarna, positif maupun negatif, tidak memberikan kontribusi dalam fungsi turunanna. ). f( ) 4( ) f ( ) 4 8 ). f ( ) 4 + 5 f ( ) 4 Gb.1.6. f () 4( ) dan turunanna. lim 4). f ( ) 5 + 4 + 5 4 4 { 4( + ) + ( + ) 5} { 4 + 5} 4 + 8 + { 5( + ) + 4( + ) + ( + ) 5} { 5 + 4 + 5} 4 lim 5 + 4 + 15 + 8 + 5) Secara Umum: Turunan suatu polinom, ang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan sarat setiap mononom ang membentuk polinom itu memang memiliki turunan. 1.4. Nilai Puncak 1 Kita telah melihat bahwa turunan fungsi di suatu nilai merupakan kemiringan garis singgung terhadap kurva fungsi di titik [,]. Jika titik [ p, p ] adalah titik puncak suatu kurva, maka garis singgung di titik [ p, p ] tersebut akan berupa garis mendatar ang kemiringanna nol. Dengan kata lain posisi titik puncak suatu kurva adalah posisi titik di mana turunan pertama fungsi bernilai nol. Polinom Orde Dua. Kita ambil contoh fungsi polinom orde dua (fungsi kuadrat): Turunan pertama fungsi ini adalah 5-1 1 4-5 -1-15 + 15 + 1 4 +15 Jika kita beri maka kita dapatkan nilai p dari titik puncak aitu p (15/4),75 Jika nilai p ini kita masukkan ke fungsi asalna, maka akan kita dapatkan nilai puncak p. p p + 15p + 1 (-,75) + 15 (,75) + 1 15,15 Secara umum, p dari fungsi kuadrat a + b + c dapat diberoleh dengan membuat a + b (1.6) 5/1
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com sehingga diperoleh b p a (1.7) Nilai puncak, p dari fungsi kuadrat a + b + c dapat diperoleh dengan memasukkan p b b 4ac p a p + b p + c + c (1.8) 4a 4a Maksimum dan Minimum. Bagaimanakah secara umum menentukan apakah suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum? Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. Lihat Gb.1.7. P Q Gb.1.7. Garis singgung di sekitar titik puncak. Turunan pertama di suatu titik pada kurva adalah garis singgung pada kurva di titik tersebut. Di sekitar titik maksimum, mulai dari kiri ke kanan, kemiringan garis singgung terus menurun sampai menjadi nol di titik puncak kemudian menjadi negatif. Ini berarti turunan pertama di sekitar titik maksimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik maksimum bernilai negatif. Sebalikna, di sekitar titik minimum, mulai dari kiri ke kanan, kemiringan garis singgung terus meningkat sampai menjadi nol di titik puncak kemudian menjadi positif. Ini berarti turunan pertama di sekitar titik minimum terus menurun dan berarti pula turunan kedua di titik minimum bernilai positif. Jadi apabila turunan kedua di titik puncak bernilai negatif, titik puncak tersebut adalah titik maksimum. Apabila turunan kedua di titik puncak bernilai positif, titik puncak tersebut adalah titik minimum. Dalam kasus fungsi kuadrat a + b + c, turunan pertama adalah a + b dan turunan kedua adalah a. Jadi pada fungsi kuadrat, apabila a bernilai positif maka ia memiliki nilai minimum; jika a negatif ia memiliki nilai maksimum. Contoh: Kita lihat kembali contoh fungsi kuadrat ang dibahas di atas. + 15 + 1 Nilai puncak fungsi ini adalah 15, 15 dan ini merupakan nilai minimum, karena turunan keduana 4 adalah positif. Lihat pula Gb.1.5.c. Contoh: Kita ubah contoh di atas menjadi: Turunan pertama fungsi menjadi Nilai puncak adalah p + 15 + 1 4 + 15, ang jika memberi p +,75 6/1 Sudaratno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com p (,75)^ + 15,75 + 1 + 41,15 Turunan kedua adalah 4 bernilai negatif. Ini berarti bahwa nilai puncak tersebut adalah nilai maksimum. Contoh: Dua buah bilangan positif berjumlah. Kita diminta menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga perkalianna mencapai nilai maksimum, sementara jumlahna tetap. Jika salah satu bilangan kita sebut maka bilangan ang lain adalah ( ). Perkalian antara keduana menjadi ( ) Turunan pertama ang disamakan dengan nol akan memberikan nilai ang memberikan puncak. dan nilai puncakna adalah memberikan 1 puncak 1 1 Turunan kedua adalah ; ia bernilai negatif. Jadi puncak ang kita peroleh adalah nilai maksimum; kedua bilangan ang dicari adalah 1 dan ( 1) 1. Kurva dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.1.8. 1 1 8 6 4-5 - 5 1 15 5-4 Gb.11.8. Kurva Kurva tersebut memotong sumbu- di ( ) dan 1 Dalam contoh di atas kita memperoleh hana satu nilai maksimum; semua nilai ang lain akan memberikan nilai dibawah nilai maksimum puncak ang kita peroleh. Nilai maksimum demikian ini kita sebut nilai maksimum absolut. Jika seandaina puncak ang kita peroleh adalah nilai minimum, maka ia akan menjadi minimum absolut, seperti pada contoh berikut. Contoh: Dua buah bilangan positif berselisih. Kita diminta menentukan kedua bilangan tersebut sedemikian rupa sehingga perkalianna mencapai nilai minimum, sementara selisihna tetap. Jika salah satu bilangan kita sebut (positif) maka bilangan ang lain adalah ( + ). Perkalian antara keduana menjadi ( + ) + 7/1
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com Turunan pertama ang disamakan dengan nol akan memberikan nilai ang memberikan puncak. dan nilai puncak adalah + sehingga 1 puncak 1 1 Turunan kedua adalah + ; ia bernilai positif. Jadi puncak ang kita peroleh adalah nilai minimum; kedua bilangan ang dicari adalah 1 dan ( 1+) +1. Kurva fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.1.9. Gb.1.9. Kurva ( + ) Polinom Orde Tiga. Fungsi pangkat tiga diberikan secara umum oleh Turunan dari (1.9) adalah Dengan membuat kita akan mendapatkan p. Ada dua posisi nilai puncak, aitu -5 - -15-1 -5-5 8/1 Sudaratno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom a + b + c + d (1.1) a + b + c (1.11) a p + b p + c p1, p b ± b ± b a 4b 6a ac 1ac (1.1) Dengan memasukkan p1 dan p ke penataan fungsi (1.11) kita peroleh nilai puncak p1 dan p. Namun bila p1 p berarti dua titik puncak berimpit atau kita sebut titik belok. Contoh: Kita akan mencari di mana letak titik puncak dari kurva fungsi + dan apakah nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum. Jika turunan pertama fungsi ini kita samakan dengan nol, akan kita peroleh nilai di mana puncak-puncak kurva terjadi. 6 6 6( 1) memberikan dan 1 Memasukkan nilai ang diperoleh ke persamaan asalna memberikan nilai, aitu nilai puncakna. 4-4 -6-8 -1-1
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1 memberikan memberikan puncak puncak + + Jadi posisi titik puncak adalah di P[,] dan Q[1,]. Apakah nilai puncak puncak minimum atau maksimum kita lihat dari turunan kedua dari fungsi 1 6 Untuk 6 Untuk 1 + 6 Jadi nilai puncak di P[,] adalah suatu nilai maksimum, sedangkan nilai puncak di Q[1,] adalah minimum. Kurva dari fungsi dalam contoh ini terlihat pada Gb.1.1. 15 1 5 P[,] Q[1,] R - -1,5-1 -,5,5 1 1,5,5-5 -1 s 1.5. Garis Singgung Gb.1.1. Kurva + dan garis singgung di R. Persamaan garis singgung pada titik R ang terletak di kurva suatu fungsi f () secara umum adalah s m dengan kemiringan m adalah turunan pertama fungsi di titik R. Contoh: Lihat fungsi + ang kurvana diberikan pada Gb.1.1. Turunan pertama adalah 6 6 6( 1). Titik R dengan absis, memiliki ordinat R R 8 4 + 7 ; jadi koordinat R adalah R(,7). Kemiringan garis singgung di titik R adalah m 6 1 1. Persamaan garis singgung s 1 + K. Garis ini harus melalui R(,7) dengan kata lain koordinat R harus memenuhi persamaan garis singgung. Jika koordinat R kita masukkan ke persamaan garis singgung akan kita dapatkan nilai K. s 1 + K 7 1 + K K 7 4 17. Persamaan garis singgung di titk R adalah 1 17-15 - s 1.6. Contoh Hubungan Diferensial Berikut ini adalah beberapa contoh relasi diferensial. (ref. [] Bab-) Arus Listrik. Arus litrik adalah jumlah muatan listrik ang mengalir per detik, melalui suatu luas penampang tertentu. Ia merupakan laju aliran muatan. Kalau arus diberi simbol i dan muatan diberi simbol q maka dq i dt Satuan arus adalah ampere (A), satuan muatan adalah coulomb (C). Jadi 1 A 1 C/detik. 9/1
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com Tegangan Listrik. Tegangan listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi per satuan muatan. Kalau tegangan diberi simbol v dan energi diberi simbol w, maka dw v dq Satuan daa adalah watt (W). Satuan energi adalah joule (J). Jadi 1 W 1 J/detik. Daa Listrik. Daa listrik didefinisikan sebagai laju perubahan energi. Jika daa diberi simbol p maka Dari definisi tegangan dan arus kita dapatkan dw p dt dw dw dq p vi dt dq dt Karakteristik Induktor. Karakteristik suatu piranti listrik dinatakan dengan relasi antara arus ang melewati piranti dengan tegangan ang ada di terminal piranti tersebut. Jika L adalah induktansi induktor, v L dan i L masing-masing adalah tegangan dan arus-na, maka relasi antara arus dan tegangan induktor adalah di v L L L dt Karakteristik Kapasitor. Untuk kapasitaor, jika C adalah kapasitansi kapasitor, v C dan i C adalah tegangan dan arus kapasitor, maka ic dv C dt c 1/1 Sudaratno Sudirham, Turunan Fungsi Polinom