2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu kesatua pokok bahasa. Sekarag barisa dipahami dari sudut padag aalisis sebagai betuk khusus dari fugsi. Sedagka deret aka dibahas secara khusus pada bab yag lai. 2. Pegertia barisa da limitya Deisi 2.. Barisa bilaga real adalah suatu fugsi berilai real dega domai himpua bilaga asli N. Jadi barisa adalah fugsi X : N R, dimaa setiap N ilai fugsi X() biasa ditulis sebagai X() := x da disebut suku ke- barisa X. Notasi barisa yag aka diguaka dalam buku ii adalah X, (x ), (x : N). Cotoh 2.. Beberapa barisa da cara peulisaya: a. X := (2, 4, 6, 8, ) merupaka barisa bilaga geap. Dapat juga ditulis sebagai X := (2 : N). b. Y := (,,, ). Dapat juga ditulis Y := ( : N). 2 3 c. Dalam beberapa keperlua praktis, barisa dideisika secara rekusif atau iduktif sebagai berikut { x, x 2,, x diberika, x := f(x, x 2,, x ). Barisa Fiboacci adalah barisa yag berbetuk F := (,, 2, 3, 5, 8, ). Barisa ii dapat ditulis secara rekursif sebagai berikut : x :=, x 2 :=, x := x + x 2, utuk 3. Exercise. Berikut diberika beberapa suku awal barisa (x ). Seadaiya pola seperti ii tetap, tetuka formula umum suku ke ya.
a. /2, 2/3, 3/4, 4/5,, b. /2, /4, /8, /6,, c., 4, 9, 6,, Exercise 2. Diberika barisa yag dideisika secara rekursif berikut. Tetuka 5 suku pertamaya a. y := 2, y + := 2 (y + 2/y ),. b. z :=, z 2 := 2, z +2 := (z + + z )/(z + z ), 3. c. x :=, y + := 4 (2y + 3),. Peulisa barisa megguaka kurug biasa ( ) dimaksudka utuk membedakaya dega himpua biasa yag ditulis megguaka kurug kurawal { }. Pada himpua, aggota yag sama cukup ditulis satu kali. Sedagka pada barisa, sukusuku yag berbeda ada kemugkia berilai yag sama, da semuaya harus ditulis. Sebagai cotoh ambil barisa (x ) yag dideisika x := ( ). Jadi barisaya adalah X := (,,,, ). Tetapi bila suku-suku ii dipadag sebagai aggota himpua maka ditulis X := {, }. Deisi 2.2. Misalka X = (x ) barisa bilaga real. Bilaga real x dikataka limit dari (x ) jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga asli N (umumya bergatug pada ε) sehigga berlaku x x < ε utuk setiap N. Jika x limit dari barisa X maka X dikataka koverge ke x da ditulis lim X = x, atau lim(x ) = x. Jika suatu barisa mempuyai limit kita kataka barisa itu koverge. Sebalikya jika tidak mempuyai limit kita kataka ia diverge. Diperhatika pada deisi ii peryataa x x < ε dapat ditulis sebagai x ε < x < x + ε. Ii berarti pada suatu saat, semua suku-suku barisa berada dalam "keragkeg" (x ε, x + ε). Ilustrasi geometris barisa (x ) yag koverge ke x diberika pada Gambar 2.. Kadagkala diguaka otasi x x utuk meyataka secara ituitif bahwa x "medekati" x bila. Pada deisi ii kriteria x "medekati" x diukur oleh ε > 0, sedagka kriteria dicirika oleh adaya bilaga asli N. Tidak adaya otasi pada peulisa lim(x ) dapat dipahami karea barisa yag dibahas adalah barisa takberujug, yaitu bayak sukuya takterhigga. Mucul pertayaa apakah mugki suatu barisa koverge ke dua limit yag berbeda? Jawaba diberika secara formal dalam teorema berikut. 2
Gambar 2.: Ilustrasi barisa koverge Teorema 2.. Suatu barisa bilaga real haya dapat mempuyai satu limit. Dega kata lai, jika suatu barisa koverge maka limitya tuggal. Bukti. Adaika barisa X := (x ) mempuyai dua limit yag berbeda, kataka x a da x b dega x a x b. Diberika ε := 3 x b x a. Karea lim(x ) = x a maka utuk ε ii terdapat N a sehigga x x a < ε utuk setiap N a. Juga, karea lim(x ) = x b maka terdapat N b sehigga x x b < ε utuk setiap N b. Sekarag utuk maks {N a, N b } maka berlaku x a x b = x a x + x x b x x a + x x b < ε + ε = 2 3 x a x b. Akhirya diperoleh x a x b < 2 x 3 a x b suatu peryataa yag kotradiksi.pegadaia x a x b salah da haruslah x a = x b, yaitu limitya mesti tuggal. Exercise 3. Diberika barisa bilaga real (x ). a. Tuliska deisi barisa (x ) tidak koverge ke x. b. Tuliska deisi barisa (x ) diverge. Pembahasa barisa di sii ditekaka pada pemahama teoritis buka pada aspek tekis seperti meghitug ilai limit barisa. Pekerjaa domia adalah membuktika suatu barisa dega limit telah diketahui, buka meghitug berapa ilai limit suatu barisa. Cotoh-cotoh berikut memberika gambara bagaimaa deisi diguaka utuk membuktika kebeara limit suatu barisa. 3
Cotoh 2.2. Buktika bahwa lim(/) Bukti. Secara ituitif fakta ii adalah bear karea kita membagi bilaga dega bilaga yag semaki membesar meuju takhigga sehigga hasilya mesti ol. Tapi bukti ii tidak formal karea tidak didasarka pada teori yag ada, misalya deisi. Berikut bukti formalya. Disii kita mempuyai x :=, da x Diberika ε > 0 sebarag. Harus ditemuka bilaga asli N sehigga x x = / 0 = < ε utuk setiap N. Mudah saja, pada betuk terakhir ketidaksamaa ii berlaku < ε. Diselesaika, diperoleh >. Jadi N cukup diambil sebagai bilaga asli terkecil yag lebih ε besar dari, atau ceilig dari x yaitu ε N = /ε. Sebagai cotoh, misalka diberika ε :03 maka = 76.923. Jadi cukup ε diambil N := 77. Utuk meyakika dapat diperiksa bahwa x 77 030, x 78 028, x 79 027, x 80 025, x 8 023, x 82 022 kesemuaya kurag dari 0.03. Lebih telitiya x 77 02987. Terbukti bahwa lim( ) Cotoh 2.3. Buktika lim ( + 3+2) = /3. Peyelesaia. Di sii kita mempuyai x := ( + 3+2) da x = /3. x x = + 3 + 2 3 = 3 + 3 3 2 3(3 + 2) = 3(3 + 2) Betuk terakhir ii aka kurag dari ε bila (9 + 6)ε >, yaitu > 6 ε 9ε. Jadi N cukup diambil sebagai bilaga asli terkecil yag lebih besar dari 6 ε, yaitu 9ε 6 ε N =. 9ε Sebagai cotoh, misalka diberika ε :03 maka 6 ε = 7.8803. Jadi cukup 9ε diambil N := 8. Agar lebih meyakika diambil beberapa ilai x /3, utuk = 8, 9, 0,, 2, hasilya 0.028, 0.05, 0.004, 0.0095, 0.0088, yag kesemuaya kurag dari ε :03. Terbukti bahwa lim ( + 3+2) = /3. 4
Exercise 4. Guaka deisi limit barisa utuk membuktika ( ) 3 + lim = 3 2 + 5 2. Tetuka bilaga asli terkecil N yag dapat diambil jika diberika ε :0023, juga ε :032. Ujilah kebearaya utuk = N, N +, N + 2, N + 3, N + 4. Exercise 5. Guaka deisi limit barisa utuk membuktika ( ) ( ) lim 2 + Tetuka bilaga asli terkecil N yag dapat diambil jika diberika ε := /4, juga ε := /6.Ujilah kebearaya utuk = N, N +, N + 2, N + 3, N + 4. Exercise 6. Guaka deisi limit barisa utuk membuktika ( lim ) + Tetuka bilaga asli terkecil N yag dapat diambil jika diberika ε := /4, juga bila ε := /6. Ujilah kebearaya utuk = N, N +, N + 2, N + 3, N + 4. Dari beberapa cotoh da latiha ii mestiya dapat disimpulka bahwa semaki kecil ε > 0 yag diberika maka semaki besar ideks N yag dapat diambil. Keyataa ii sesuai dega deisi bahwa semaki kecil ε > 0 maka semaki kecil lebar "keragkeg" da semaki lama pula suku-suku barisa mulai megumpul di dalam "keragkeg" ii. Kekovergea barisa (x ) ditetuka oleh pola suku-suku yag sudah jauh berada di ujug, buka oleh suku-suku awal. Walaupu pada awalya suku-suku barisa beruktuasi cukup besar amu bila pada akhirya suku-suku ii megumpul di sekitar titik tertetu maka barisa ii tetap koverge. Fakta ii diformal dalam istilah ekor barisa. Deisi 2.3. Misalka barisa X := (x, x 2, x 3,, x, ) dipotog pada suku ke m da dibetuk barisa baru X m := (x m+, x m+2, ) maka barisa X m disebut ekor ke m barisa X. Jadi ekor barisa merupaka barisa yag dibetuk dega memotog m buah suku pertama pada barisa semula. Teryata sifat kekovergea ekor barisa da barisa semula adalah idetik, seperti diugkapka pada teorema berikut. Teorema 2.2. Barisa X koverge bila haya bila ekor barisa X m juga koverge, da berlaku lim X = lim X m. 5
Bukti. ( ) Diberika ε > 0. Karea X = (x : =, 2, ) koverge, kataka lim(x ) = x maka terdapat bilaga asli N sehigga x x < ε utuk setiap = N, N +, N + 2, Misalka ekor barisa X m = {x m+ : =, 2, 3, }. Karea jika N berakibat m + N maka utuk N ii berlaku x m+ x < ε utuk setiap = N, N +, N + 2, Ii meujukka bahwa lim X m = x. ( )Diketahui X m koverge, yaitu lim X m = x maka utuk ε > 0 sebarag terdapat bilaga asli N sehigga x m+ x < ɛ utuk setiap m + = N, N +, N + 2, Dega megambil N = N m maka berlaku x x < ε utuk setiap = N, N +, N + 2, Karea itu berdasarka deisi disimpulka lim X = x. Pembuktika limit barisa lagsug dari deisi aka mejadi sulit bilamaa betuk barisa yag dihadapi cukup rumit. Melalui deisi dikembagka "alat-alat" sederhaa yag dapat diguaka utuk membuktika limit barisa, khususya barisa yag mempuyai betuk tertetu. Berikut sebuah teorema sederhaa yag dapat medeteksi dega mudah kekovergea suatu barisa. Teorema kekovergea terdomiasi (TKD) Teorema 2.3. Misalka ada dua barisa bilaga real (a ) da (x ). Jika ada C > 0 da m N sehigga berlaku maka lim(x ) = x. x x C a utuk semua m da lim(a ) = 0 Bukti. Diberika ε > 0. Karea lim(a ) = 0 maka ada N a N sehigga a < ε/c utuk setiap N a. Jadi utuk setiap N := maks {N a, m} berlaku x x C a < C(ε/C) = ε. Terbukti bahwa lim(x ) = x. 6
Dikataka teorema terdomiasi karea suku-suku x x pada akhirya selalu terdomiasi dari atas oleh barisa (a ) yag koverge ke ol. Dalam pegguaa teorema ii diperluka meemuka barisa (a ) da kostata C > 0 seperti dalam teorema. Cotoh 2.4. Bila a > 0, buktika barisa lim ( +a) Bukti. Karea a > 0 maka berlaku 0 < a < a +, da akibatya kita mempuyai a + < a. Selajutya, ( ) ( ) + a 0 = + a <. a Dega megambil C := /a da a = / da dikareaka lim a = 0 maka dega TKD disimpulka bahwa lim ( +a) Cotoh 2.5. Misalka 0 < b <, buktika lim(b ) Bukti. Ambil a := b = > 0. Dapat ditulis b = b b ketidaksamaa Beroulli berlaku da diperoleh 0 < ( + a) + a ( + a) + a < a = ( a (+a) ) ( ). (megapa?). Dega Diambil a := da C = a maka berdasarka TKD terbukti lim(b ) Exercise 7. Misalka c > 0, buktika lim(c / ) Exercise 8. Buktika lim( / ) =. Soal-soal yag dipecahka. Buktika dega megguaka deisi limit barisa ( ) a) lim =. 2 2 2 2 + b) lim ( 2 +) = 2. 2. Diberika x := l(+). a) Guaka deisi utuk membuktika lim(x ) b) Tetuka bilaga asli terkecil N bila diberika ε = 27. c) Tujukka kebeara x 0 < ε utuk = N, N +, N + 2, N + 3. 3. Buktika lim ( +) ( 4. Buktika lim (2) /) =. 5. Bila lim(x ) = x > 0, tujukka ada bilaga asli K sehigga x 2 < x < 2x utuk setiap K. 7