Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 9 Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka Jumlah Deret Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the Sum of Series Tri Mulyai,*), Moh Hasa ), Slami ) ) Jurusa Matematika, FMIPA, iversitas Jember ) SMA Negeri Jember ) Program Studi Sistem Iformasi, iversitas Jember * ) Email: threemulyai@gmailcom ABSTRACT Problems that are ofte faced to prove the truth of a formula if the preseted series is a series that is ot the formula of arithmetic ad geometric series Oe proof amog the most commoly proofs used is the proof by mathematical iductio This study was coducted to determie the sum of the first terms formula of: () arithmetic series, storied arithmetic series with the basis of arithmetic series, () geometric series, () storied arithmetic series with the basis of geometric series, ad () series which are ot arithmetic ad geometric series that the formula of the terms is give, by usig the fiite differece method ad Newto's theorem The formula of the sum of the first terms obtaied from the results of this study ad the it is verified by usig mathematical iductio Keywords : Series, fiite differece, mathematical iductio, Newto s theorem PENDAHLAN f A a k b a b k Pada beberapa buku teks umumya disajika 9 g i tetag rumus jumlah suatu deret yag buka i deret aritmatika da buka deret geometri da k a( r ) h G pembaca dimita utuk membuktika ar ; r () k ( r) kebearaya, diataraya meurut Nasutio et Berdasarka persamaa () dalam peelitia al (99); Purcell da Varberg (999); Lovasz ii, diteliti bagaimaa cara utuk medapatka et al () da Rose (7) ada beberapa rumus jumlah deretya kemudia dibuktika deret terhigga yag suku umumya kebearaya dega iduksi matematika merupaka fugsi bilaga asli, yag petig Pembuktia dega megguaka iduksi utuk diketahui jumlah suku pertamaya matematika memuat dua lagkah petig yaitu: Deret deret itu adalah: () lagkah dasar, diuji utuk = ; () lagkah iduksi, dega megasumsika a T k k bahwa peryataa bear utuk k, sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear b Q k utuk = k + k Tujua yag igi dicapai dalam peelitia ii adalah meemuka metode yag lebih c K k efisie utuk meetuka rumus jumlah k suku pertama suatu deret yag mempuyai ( ) atura tertetu Permasalaha dalam peelitia d R Tk k( k ) ii dibatasi pada: () deret aritmatika; () deret k k geometri; () deret aritmatika bertigkat ( )( ) dega ladasa deret geometri; () deret e B k( k )( k ) k dega rumus umum suku ke sudah diketahui Dasar teori yag meladasi da berkaita dega peelitia ii adalah: fugsi poliomial, Joural homepage: http://juraluejacid/idephp/jid
9 Metode Beda Higga (Mulyai, dkk) poliomial faktorial, beda higga, teorema Newto serta barisa da deret Defiisi Defiisi (Fugsi) Sebuah fugsi f adalah suatu atura padaa yag meghubugka tiap obyek dalam satu himpua, yag disebut daerah asal, dega sebuah ilai uik f() dari himpua kedua Himpua ilai yag diperoleh secara demikia disebut daerah hasil (jelajah) fugsi tersebut (Purcell da Varberg, 999) Dalam peelitia ii aka diguaka fugsi poliomial Betuk umum fugsi Poliomial dalam variable da berderajat diotasika sebagai berikut f ( ) a a a a () utuk semua variabel dalam R dimaa a, a,, a adalah bilaga real (kostata) yag disebut koefisie fugsi poliomial Defiisi (Poliomial Faktorial) Peryataa dibaca, faktorial utuk bulat positif, didefiisika sebagai berikut (Soehardjo,a) ( ) () () ( ) ( ) ( )( )( )( ) Defiisi (Beda Higga Maju) Jika merupaka fugsi dalam variabel, =f() biasa ditulis dega Suatu fugsi f yag ilaiya f(t) pada waktu t da berilai f(t+) pada waktu (t+), maka beda pertama didefiisika sebagai berikut (Soehardjo, a) f t f t f tatau ( ) ( ) (5) dega: disebut operator beda maju tigkat pertama; disebut operator beda maju tigkat dua; disebut operator beda maju tigkat tiga, da seterusya Beda higga tigkat tiga secara umum disajika pada Tabel Dari Tabel pada kolom ilaiya kosta da pada kolom da seterusya berilai, sehigga utuk poliomial berderajat dalam variable ( ), pada tabel beda kolom ke ilaiya kosta da kolom ke da seterusya berilai Beda higga yag diguaka pada peelitia ii adalah beda higga maju ( ) Tabel Beda Higga tigkat tiga secara umum Itegral Higga Jika V maka V dimaa disebut operator Itegral Higga Beberapa Rumus Itegral Higga meurut Soehardjo (a) adalah: a a ; a () ( a ) ( ) ( ) ; (7) Teorema (Teorema Newto) Jika adalah poliomial derajat dalam variabel maka dapat ditulis dalam betuk (Soehardjo, a) ( ) (8)!!!! Suku suku suatu barisa dipisahka dega tada koma da jika tada koma digati dega tada tambah maka disebut deret Deret aritmatika bertigkat adalah deret aritmatika yag mempuyai beda tetap pada tigkat yag ke- Deret aritmatika bertigkat dega ladasa deret geometri adalah suatu deret yag jika dibuat tabel beda higgaya maka pada tigkat tertetu aka membetuk deret geometri dega rasio tetap Deret tersebut mempuyai betuk suku umum f ( ) a p (9) dimaa f() adalah fugsi poliomial derajat dalam variabel Misalya: 597 5 ; 57 8 7 8
Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 9 Deret yag buka merupaka deret aritmatika da buka deret geometri tetapi mempuyai atura tertetu, misalya: () () (5) ( ( )( )) 5 5 7 ( )( ) () 5 ( )( ) Jumlah Deret Jika V adalah suatu fugsi yag beda pertamaya maka V V V V dimaa disebut operator Itegral Higga Rumus umum jumlah suku pertama dari deret yag memiliki beda tetap pada tigkat ke- dega memperguaka beda higga da teorema Newto adalah - - = å = D ] = S METODE PENELITIAN () Metode yag diguaka dalam peelitia ii adalah deskriptif aksiomatik yaitu dega meerapka teorema yag sudah ada utuk medapatka rumus jumlah suku pertama suatu deret yag mempuyai pola tertetu Secara umum cara kerja yag aka dilakuka utuk meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret dapat disajika dalam betuk skema seperti Gambar berikut Gambar Skema Keragka Berpikir HASIL da PEMBAHASAN Deret Aritmatika Berdasarka persamaa (f), jika ditetapka a, maka deret tersebut diotasika dega a ( a b) ( a b) ( a ( ) b) da jumlah suku pertamaya S a i b a bi i i i i Lagkah-lagkah peelitia, dilakuka sebagai berikut Dibuat tabel beda higga dari deret a ( a b) ( a b) ( a ( ) b) sebagai berikut Tabel Beda Higga dari a ( a b) ( a ( ) b) a b a+b b a+b Berdasarka Tabel diperoleh: b a; Dari data Tabel ditetuka dega megguaka teorema Newto persamaa (8) yaitu Joural homepage: http://juraluejacid/idephp/jid
9 Metode Beda Higga (Mulyai, dkk) ( ) S diperoleh dega megitegralka!!!! didapatka a b, dega suku ke- 8 9, persamaa () sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai sebagai berikut dega ilai = S 8 9 S didapatka dega megitegralka a b sebagai berikut S 9 S a b S 9 S a b S S a b S a b S a b S a b Cotoh Deret aritmatika bertigkat dega ladasa deret aritmatika tuk meetuka rumus jumlah suku pertama dari, berdasarka lagkah-lagkah peelitia dilakuka sebagai berikut Dibuat tabel beda higga dari deret Tabel Beda Higga dari +++++ Berdasarka Tabel diperoleh: ; 8 ; 8; da 9 Deret Geometri Berdasarka persamaa (h), jika suku awal a, maka deret tersebut dapat diotasika dega k a ar ar ar ar, r da jumlah suku pertamaya adalah i i i S ar ar i i i Lagkah-lagkah peyelesaia dalam peelitia ii dilakuka sebagai berikut Suku mum ar dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai Jumlah suku pertamaya diperoleh dega megitegralka ar, persamaa () sebagai berikut S ar r S ar a r r S a r Deret Aritmatika Bertigkat dega Ladasa Deret Geometri Dari Tabel kemudia ditetuka dega megguaka teorema Newto yaitu megguaka persamaa (8) yag didapat bahwa 8 9, dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai Cotoh tuk meetuka rumus jumlah suku pertama dari 57 8 7 8, lagkah-lagkah yag harus dilakuka adalah: Dibuat tabel beda higga dari 57 8 7 8
Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 95 Tabel Beda Higga dari 57 8 7 Dari data yag didapatka pada Tabel, kolom beda tigkat dua membetuk deret geometri dega rasio, maka suku umum f ( ) a p dega megguaka teorema Newto yaitu persamaa (8) berbetuk A B C A B C A+B+C=5 A B utuk, didapatka A+B=5 A A= A, B da C, sehigga diperoleh S diperoleh dega megitegralka, sebagai berikut S S S ( ) () S ( ) Bukti: Pembuktia rumus S 57 8 ( ) dega megguaka iduksi matematika: Lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri 5sama dega da ruas kaa ( ) 5 Jadi peryataa bear utuk = Lagkah iduksi, dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk k, yaitu k k Sk 57 8 k k( k ), () sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk k, yaitu k ( k) Sk 57 8 ( k ) k ( k ) k k Sk 57 8 ( k ) k k, () k mulai dega () ditambahka ( k ) pada kedua ruas maka diperoleh Sk k Sk k k k k( k ) ( k ) ( k ) k k ( k ) k dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap Deret dega Rumus Suku ke- Diketahui Jika suatu deret buka merupaka deret aritmatika atau buka deret geometri tetapi mempuyai pola yag jelas dega rumus suku ke- diketahui, misalya persamaa () da persamaa () Cotoh tuk medapatka rumus (b) i i lagkah-lagkahya adalah: Rumus sudah diketahui dega suku ke- sesuai dega ilai, suku ke- sesuai dega ilai ; diyataka dega megguaka poliomial faktorial yaitu persamaa () seilai dega ; S diperoleh dega megitegralka, sebagai berikut S S S ( ) ( ) S S S Joural homepage: http://juraluejacid/idephp/jid
9 Metode Beda Higga (Mulyai, dkk) Bukti: Pembuktia rumus i i dega Iduksi Matematika adalah: Lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri sama dega = da ruas kaa Jadi peryataa bear utuk = Lagkah iduksi dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk k yaitu k k k k, () sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk k yaitu ( k ) k ( k ) k ( k) ( k ) k k () mulai dega () ditambahka ( k ) pada kedua ruas maka diperoleh k k k k ( k ) ( k ) k(k) k ( k ) k k k k k k ( k ) k ( k ) k ( k ) k 7k k k k k ( k) dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap Cotoh tuk memperoleh rumus jumlah suku pertama ( S ) dari () () (5) ( ( )( )) maka lagkah-lagkah yag harus dilakuka adalah: sudah diketahui Rumus dega suku ke-sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai = ; dituliska dega megguaka poliomial faktorial yaitu persamaa () seilai dega ; S diperoleh dega megitegralka berikut, sebagai S () S () () S () S ( )( )( ) Bukti: Pembuktia rumus () () ( ( )( )) ( )( )( ) Lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri ( )( ) sama dega da ruas kaa ( )( )( ) Jadi peryataa bear utuk = Lagkah iduksi, dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk = k Sk () () ( k( k )( k )) k( k )( k )( k )() sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk k, yaitu S () () k (( k )( k )( k )) ( k )( k )( k )( k )() mulai dega () ditambahka ( k )( k )( k ) pada kedua ruas maka diperoleh Sk k Sk k( k )( k )( k ) ( k )( k )( k ) ( k )( k )( k ) k k( k )( k )( k ) ( k )( k )( k ) ( k )( k )( k )( k ) dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap Cotoh 5 tuk meetuka rumus S dari, lagkahlagkah yag harus dilakuka adalah: 5 5 7 ( )( ) rumus sudah diketahui dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai = ;
Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 97 diyataka dega megguaka poliomial faktorial yaitu persamaa () sebagai berikut () ( ) S diperoleh dega megitegralka, sebagai berikut S S S S S Cotoh tuk medapatka rumus jumlah suku pertama ( S ) dari 5 ( )( ) berdasarka lagkah-lagkah peelitia adalah sebagai berikut Rumus sudah diketahui ( )( ) dega suku ke- sesuai dega ilai =, suku ke- sesuai dega ilai = dituliska dega ( )( ) megguaka poliomial faktorial yaitu persamaa () sebagai berikut S diperoleh dega megitegralka, sebagai berikut S S S S S S S 9 7 7 S Bukti: Pembuktia rumus 7 7 S 5 ( )( ) dega megguaka iduksi matematika adalah: Lagkah dasar, diuji utuk = Ruas kiri sama dega da 8 ruas kaa 7 7 7 5 ( )( )( ) 7 8 Jadi peryataa bear utuk = Lagkah iduksi, dega megasumsika bahwa peryataa bear utuk = k 7 k 7 S () k 5 k( k )( k ) k k k sehigga harus dibuktika bahwa peryataa juga bear utuk k, yaitu 7 ( k ) 7 Sk 5 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) 7 k Sk, () ( k ( k ( k mulai dega () ditambahka pada kedua ruas k k k maka diperoleh Sk k Sk 7 k 7 7 k 7k k k k k k k k k k k k 7 k k = k k k k kk k k k k k k k k 7 = 7 Joural homepage: http://juraluejacid/idephp/jid
98 Metode Beda Higga (Mulyai, dkk) dimaa betuk ii telah sesuai dega yag dimita pada (), dega demikia telah terbukti bahwa peryataa di atas bear utuk setiap KESIMPLAN Metode beda higga da teorema Newto dapat dimafaatka da lebih efisie utuk meetuka rumus umum jumlah suku pertama suatu deret yag mempuyai atura tertetu, dega cara sebagai berikut Buat tabel beda higga Data yag diperoleh dari tabel beda higga disubtitusika ke teorema Newto utuk medapatka S didapatka dega megitegralka Berdasarka hasil metode beda higga da teorema Newto utuk meetuka rumus jumlah suku pertama suatu deret yag mempuyai atura tertetu, maka masalah yag perlu diteliti lebih lajut adalah utuk meggembagka metode lai atau utuk deret-deret lai yag lebih kompleks DAFTAR PSTAKA Lovasz,L, Pelika,J, & Vesztergombi, K Discrete Mathematics: Elemetary ad Beyod New York: Ic Nasoetio, AH, Hasibua, KM (almarhu ), Martoo, T, da Sumatri, B 99 Matematika Jakarta: Departeme Pedidika da Kebudayaa Purcell, EJ, & Varberg, D 987 Kalkulus da Geometri Aalitis jilid da jilid Edisi Kelima Alih bahasa oleh I Nyoma Susila, Baa Kartasasmita, da Rawuh 999 Departeme Matematika Istitut Tekologi Badug (ITB): Erlagga Rose, KH 7 Discrete Mathematics Ad Its Applicatios Sith EditioMc Graw Hill Iteratioal EditioPrited i Sigapore Soehardjo a Kalkulus Beda Higga Terbatas utuk ligkuga sediri, FMIPA ITS Surabaya Soehardjo b Jumlah Deret Tapa Rumus Khusus Tidak Dipublikasika Makalah Semiar Matematika Program studi tekik Maufaktur iversitas Surabaya bekerjasama dega Musyawarah Guru Matematika Kodya Jember DAFTAR PSTAKA Lovasz,L, Pelika,J, & Vesztergombi, K Discrete Mathematics: Elemetary ad Beyod New York: Ic Nasoetio, AH, Hasibua, KM (almarhu ), Martoo, T, da Sumatri, B 99 Matematika Jakarta: Departeme Pedidika da Kebudayaa Purcell, EJ, & Varberg, D 987 Kalkulus da Geometri Aalitis jilid da jilid Edisi Kelima Alih bahasa oleh I Nyoma Susila, Baa Kartasasmita, da Rawuh 999 Departeme Matematika Istitut Tekologi Badug (ITB): Erlagga Rose, KH 7 Discrete Mathematics Ad Its Applicatios Sith EditioMc Graw Hill Iteratioal EditioPrited i Sigapore Soehardjo a Kalkulus Beda Higga Terbatas utuk ligkuga sediri, FMIPA ITS Surabaya Soehardjo b Jumlah Deret Tapa Rumus Khusus Tidak Dipublikasika Makalah Semiar Matematika Program studi tekik Maufaktur iversitas Surabaya bekerjasama dega Musyawarah Guru Matematika Kodya Jember