Aalisis Tetag Graf Perfect ANALISIS TENTANG GRAF PERFET Nurul Imamah AH Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Pesatre Tiggi Darul Ulum Jombag urul.imamah86@gmail.com Abstrak Seirig perkembaga kemajua tekologi maka ilmu matematika juga semaki berkembag, salah satu aalisis matematika khususya metode graf yag perlu dikembagka adalah aalisis megeai graf perfect. Graf perfect adalah suatu graf yag memiliki bilaga chromatik (G da bilaga clique (G yag sama. Bilaga khromatik adalah bilaga terkecil pada pewaraa yag diberika pada titik-titik yag dimiliki graf G sedemikia sehigga utuk setiap dua titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda. Sedagka bilaga lique adalah order maksimum dari subgraf komplit yag dapat dibetuk dari suatu graf G dega order dari G adalah bayakya titik yag dimiliki oleh graf G. Berdasarka pembahasa pada artikel ii maka diperoleh bahwa graf kosog, graf komplit, graf bipartite komplit, graf sikel geap, da graf litasa adalah graf perfect karea masig-masig graf tersebut memiliki bilaga chromatik (G da bilaga clique (G yag sama. ata kuci: Graf, Graf Perfect, bilaga lique, bilaga hromatik Abstract As techology advaces the developmet of mathematics is also growig, oe of mathematical aalysis particularly method graph that eeds to be developed is the aalysis of the perfect graph. Perfect graph is a graph that has chromatik umbers (G ad umbers of the same clique (G. Numbers khromatik is the smallest umber i a give colorig dots owed graph G such that for every two poits are coected directly to get differet colors. While the umber lique is the maximum order of a complete subgraph which ca be formed of a graph G with the order of G is the umber of dots that are owed by the graph G. Based o the discussio i this article is obtaied that the empty graph, complete graph, complete bipartite graph, graph sikel eve, ad the graph trajectory is a graph perfect for each graph has chromatik umbers (G ad umbers of the same clique (G. eywords: Graf, Graf Perfect, lique umbers, umbers hromatik. Pedahulua. Graf Graf G didefiisika sebagai pasaga himpua (V(G,E(G dega V(G adalah himpua berhigga tak kosog dari eleme-eleme yag disebut titik (vertex, da E(G adalah himpua (boleh kosog dari pasaga tak terurut (u,v dari titik u da v yag berbeda di V yag disebut sisi (edge. Jadi dapat diketahui Gamatika Vol. II No. Nopember 0 5 e v e
Aalisis Tetag Graf Perfect Gambar. Titik da Sisi pada Graf bahwa kompoe utama terbetukya suatu graf G adalah titik. Sisi e=(u,v di dalam graf G dapat ditulis dega e= uv. Sebagai cotoh graf G pada Gambar. adalah graf dega V(G={ v, v, v, v } da E(G= { e, e, e, e, e5} dega e vv, e vv, e vv, e vv, da e5 vv. v e e e 5 v v Jika e=uv adalah sisi dari graf G, maka u da v dikataka adjacet atau terhubug lagsug, sedagka sisi e dikataka terkait lagsug atau icidet pada titik u da v.. Graf Perfect Graf perfect adalah suatu graf yag mempuyai bilaga kromatik da bilaga clique yag sama, ( ( H ( H (hartrad da Lesiak, 996:80. Bilaga clique diotasika dega (G didefiisika sebagai order dari subgraf komplit maksimum yag bisa dibetuk dari graf G. Bilaga khromatik suatu graf G diotasika dega (G didefiisika sebagai jumlah miimal wara yag diperluka utuk mewarai titik-titik pada graf G sedemikia sehigga setiap titik-titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda. Berikut ii cotoh dari graf perfect: = e v Subgraf komplit dari = = = Gamatika Vol. II No. Nopember 0 6
Aalisis Tetag Graf Perfect = Subgraf komplit maksimum dari graf adalah sediri. area subgraf komplit maksimumya adalah, maka order subgraf komplitya adalah, sehigga (. area atara satu titik dega titik yag lai salig terhubug lagsug maka pewaraa miimum yag diberika adalah, sehigga (. area terbukti ( ( =, maka graf adalah graf perfect.. Pewaraa Pewaraa Graf adalah suatu pemberia wara pada salah satu elemeelemeya (titik da sisi, sehigga eleme-eleme yag salig terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda. Ada tiga macam pewaraa graf yaitu pewaraa titik, pewaraa sisi, da pewaraa wilayah (regio. Pembahasa pada artikel ii haya terbatas pada pewaraa titik saja... Pewaraa Titik Pewaraa titik adalah memberi wara pada titk-titik suatu graf sedemikia sehigga tidak ada dua titik terhubug lagsug mempuyai wara yag sama. Bilaga romatik (G (hromatik Number adalah bayakya wara miimum yag diperluka utuk mewarai titik-titik pada graf G sedemikia sehigga setiap titik-titik yag terhubug lagsug medapatka wara yag berbeda. Jika (G = k, maka titik-titik pada graf G dapat diwarai dega k wara, tetapi tidak diwarai dega k- wara. Beberapa graf tertetu dapat lagsug ditetuka bilaga kromatikya. Graf kosog N memiliki ( G. karea semua titik tidak terhubug, jadi utuk mewarai semua titik cukup dibutuhka satu wara saja. Graf komplit memiliki ( G sebab semua titik salig terhubug sehigga diperluka wara. Pewaraa-k utuk graf G merupaka peujuka k wara pada titik G sedemikia higga titik yag berdekata medapat wara berbeda (Watkis da Wilso, 99:56. Jika G memiliki pewaraa-k, maka G dapat diwara-k. Bilaga khromatik G diotasika dega (G adalah bilaga terkecil k yag meujukka bahwa G dapat diwara-k. Berikut ii adalah cotoh pewaraa titik pada graf: (a (b (c Gambar.. Pewaraa Titik pada Gamatika Vol. II No. Nopember 0 7 5
Aalisis Tetag Graf Perfect Pewaraa-k ii dapat ditujukka dega meulis bilaga,,,, k di dekat titik pada graf. Pada Gambar.5 (a, (b, da (c masig-masig megilustrasika pewaraa-, pewaraa-, da pewaraa-5. Dega demikia, ( G karea G memiliki pewaraa- (gambar a sehigga ( G. Berikut ii adalah beberapa bilaga khromatik yag telah diketahui: ( N ( (, m (, ( (. (hartrad da Lida Lesiak, 979:7 P. Pembahasa Pembahasa megeai aalisis graf perfect ii aka diaplikasika pada berbagai macam graf yaitu graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf litasa, da graf sikel. Lagkah- lagkah meetuka graf perfect. Meetuka subgraf komplit maksimum yag dapat dibetuk dari graf G. Meetuka bilaga clique (G. Meetuka bilaga khromatik (G. Pola yag diperoleh diyataka dega teorema 5. Membuktika teorema Pembahasa megeai perfect dari suatu graf kemudia diaplikasika pada graf kosog, utuk meujukka graf kosog sebagai graf perfect, maka harus ditetuka bilaga clique da bilaga khromatik dari graf kosog dega titik ( N. Berikut ii adalah graf N dega bilaga clique da bilaga khromatikya: Perhatika graf N berikut! N : Subgraf komplit maksimum dari graf N haya =. area haya memuat titik saja, Sehigga bilaga clique ( N, da bilaga khromatik ( N karea haya satu titik yag diberi wara. Terbukti bahwa bilaga clique da bilaga khromatik ( N ( N, maka N adalah graf perfect. Selajutya aalisa graf kosog N N N,...,N sebagaimaa gambar berikut: N : N : N : N :,, Subgraf komplit maksimum dari graf N N N,...,N haya =, sehigga bilaga clique (N =. area atara titik satu dega titik yag laiya tidak terhubug lagsug, maka pewaraa miimumya haya Gamatika Vol. II No. Nopember 0 8
Aalisis Tetag Graf Perfect sehigga ( N N N,...,N =. Terbukti Bilaga clique da bilaga khromatik ( N ( N. Jadi N N N,...,N adalah graf perfect. Berikut ii adalah tabel utuk graf kosog beserta bilaga clique da bilaga khromatikya: Tabel. Graf N dega ( N da ( N Graf N Subgraf komplit maksimum ( N ( N N N N N N Dari beberapa kasus yag telah diselesaika serta berdasarka Tabel., maka terlihat pola bahwa graf kosog memiliki (N = (N =. Dega demikia dapat dihasilka teorema berikut: Teorema.: Graf kosog dega titik N adalah graf perfect Bukti : Graf N memiliki subgraf komplit maksmum, karea subgraf komplit maksimumya, maka order maksimumya adalah, sehigga ( N =. area setiap titik tidak terhubug lagsug dega titik yag lai, maka bayakya pewaraa titik yag diberika adalah, sehigga ( N =. Jadi karea ( N = ( N =, maka terbukti bahwa graf kosog adalah graf perfect. Berikut ii aalisa dari graf komplit bilaga chromatikya: Berikut ii graf Subgraf komplit dari graf dega meetuka bilaga clique da Graf komplit sama dega graf kosog N yag memuat satu titik. Subgraf komplit maksimum dari graf adalah sediri, sehigga ( =. area graf haya mempuyai satu titik, maka pewaraa miimumya juga haya sehigga ( =, Jadi karea ( = ( =, maka graf merupaka graf perfect. Selajutya utuk graf komplit = Gamatika Vol. II No. Nopember 0 9
Aalisis Tetag Graf Perfect Subgraf komplit dari graf = = Subgraf komplit maksimum dari graf Subgraf komplit maksimum dari graf adalah sediri, sehigga ( =. area atara titik satu dega titik yag lai terhubug lagsug, sehigga pewaraa pada setiap titik harus berbeda, maka bayakya wara miimumya adalah sehigga ( =. area ( = ( =, maka graf adalah graf perfect. Berikut ii Graf : Subgraf komplit dari graf = = = Subgraf komplit maksimum dari graf Subgraf komplit maksimum adalah sediri, sehigga ( =. area atara titik yag satu dega titik yag lai didalam graf tersebut terhubug lagsug, megakibatka bayakya wara miimum pada graf adalah Gamatika Vol. II No. Nopember 0 0
Aalisis Tetag Graf Perfect sehigga ( =. area ( = ( =, maka graf adalah graf perfect. Aalisa graf perfect dapat diaplikasika pada graf komplit yag lai dega yag lebih besar, sehigga didapatka Tabel. Graf komplit beserta bilaga clique da bilaga khromatikya: Tabel. Graf dega da Graf ( ( Subgraf omplit ( ( Maksimum N Berdasarka Tabel. tersebut maka pola yag dihasilka dapat dibetuk dalam teorema, berikut ii Teorema. yag dihasilka dari hasil aalisa graf perfect pada graf komplit Teorema.: Graf komplit dega titik adalah graf perfect Bukti: Graf memiliki subgraf komplit maksimum diriya sediri atau, karea subgraf komplit maksimumya adalah itu sediri, maka order maksimumya adalah, sehigga ( =. area setiap titik terhubug lagsug dega setiap titik yag lai, maka bayakya wara miimum pada graf juga sebayak, sehigga ( =. area ( = ( =, maka graf perfect. adalah graf Aalisa megeai graf perfect selajutya diaplikasika pada graf bipartite komplit, sehigga dari hasil aalisa tersebut maka diperoleh table m, sebagaimaa berikut: Tabel. Graf Graf, dega da m ( m, ( m, m, Subgraf komplit maksimum ( m, ( m,,,,, Gamatika Vol. II No. Nopember 0
Aalisis Tetag Graf Perfect v m m, Lagkah berikutya adalah membuat pola yag sudah terbetuk mejadi sebuah teorema, berikut ii Teorema. Graf bipartisi komplit dega titik m, adalah graf perfect. Teorema. Graf bipartisi komplit dega titik m, Bukti: Berikut ii adalah gambar graf m, : m, adalah graf perfect, m v Graf bipartisi komplit memiliki kompoe titik v m da v. area titik pada v m haya terhubug lagsug dega v, maka subgraf komplit maksimumya adalah, sehigga order maksimumya adalah. Oleh karea itu ( m, =. area setiap titik pada v m haya terhubug lagsug dega v, maka titik v m memiliki wara da v juga memiliki wara sehigga ( =. Jadi karea ( m, = ( m, =, maka graf m, adalah graf perfect. Berikutya adalah Proses aalisa pada graf sikel, dega hasilya diberika pada tabel : Tabel. Graf, dega da Graf 6 8 0 ( (, m Subgraf komplit ( ( maksimum Dari tabel dihasilka teorema. Teorema. Graf sikel dega titik, adalah graf perfect Bukti: Gamatika Vol. II No. Nopember 0
Aalisis Tetag Graf Perfect Graf sikel dega titik, memiliki subgraf komplit maksimum, karea haya dapat dibuat subgraf komplit maksimum dega titik saja, sehigga ( =. area titik yag terhubug lagsug pada graf adalah titik, maka bayakya pewaraa yag diberika adalah, sehigga ( =. area ( = ( =, maka terbukti bahwa graf sikel adalah graf perfect., Aalisa megeai graf perfect selajutya diaplikasika pada graf bipartite komplit, sehigga dari hasil aalisa tersebut maka diperoleh table m, sebagaimaa berikut: Tabel.5 Graf P dega ( P da ( P Graf P Subgraf komplit ( P ( P maksimum P P P P P Pola yag sudah terbetuk mejadi sebuah teorema, berikut ii Teorema.5 Graf litasa dega titik P adalah graf perfect. Teorema.5 Graf litasa dega titik P adalah graf perfect. Bukti: Graf P memiliki subgraf komplit maksimum, maka order dari subgraf komplit maksimum graf P adalah, sehigga (P =. area P haya memiliki titik, maka bayak pewaraa yag diberika adalah, sehigga ( P =. Graf litasa dega titik P memiliki subgraf komplit maksimum, sehigga (P =. area graf P haya memiliki titik terhubug lagsug, maka bayak pewaraa miimum yag diberika adalah, sehigga ( P =,. area ilai ( P = ( P = da ( P = ( P =, maka graf P adalah graf perfect.. esimpula Graf perfect adalah suatu graf yag memiliki bilaga clique da bilaga khromatik yag sama utuk setiap graf G. Berdasarka pembahasa dalam artikel ii diperoleh bahwa graf kosog, graf komplit, graf bipartisi komplit, graf sikel Gamatika Vol. II No. Nopember 0
Aalisis Tetag Graf Perfect geap, da graf litasa adalah graf perfect, karea beberapa graf tersebut memiliki bilaga clique (G da bilaga chromatik (G yag sama. Daftar Pustaka hartrad G da Lesiak. L. (986. Graphs & Digraphs, Secod Editio. Wadsworth & Brooks/ole: aliforia Golumbic. (980. Alghoritmic Graph Theory ad perfect Graphs. USA: Academic Press Murty da Body. (976. Graph Theory with Applicatios. aada: The Macmilla Press LTD Wilso, J da Watkis, J. (990, Graph ad Itroductory Approach. Ope Uiversity ourse, Sigapore. Gamatika Vol. II No. Nopember 0