BAB DISTRIBUSI PELUANG DALAM EVALUASI KEANDALAN SISTEM. Konsep Disribusi P ada bab sebelumnya elah beberapa konsep enang disribusi peluang (probabiliy disribuion) seperi probabiliy mass funcion, probabiliy densiy funcion, cummulaive disribuion funcion, expeced value, variance, sandard disribuion dan konsep-konsep lainnya. Pada bab ini akan diuraikan eknik memanfaakan disribusi peluang dalam melakukan evaluasi keandalan. Seperi elah dijelaskan pada bab bab sebelumnya, parameer-parameer yang dipergunakan dalam evaluasi keandalan adalah parameer-parameer disribusi peluang. Nilai dari parameer-parameer ini sanga erganung pada waku kegagalan, waku perawaan dsb. Dengan kaa lain, komponen-komponen di dalam sisem akan gagal idak pada waku yang sama, dan juga akan diperbaiki idak pada waku yang sama pula. Dengan demikian maka ime o failure (TTF) komponen pun akan berbeda sau sama lain. Perbedaan TTF ini akan mempengaruhi karaker sebaran daa kegagalannya yang direpresenasikan dengan perbedaan nilai parameer disribusinya. TTF komponen erenu mungkin diwakili oleh disribusi peluang yang sama, namun memiliki nilai paramerer yang berbeda. TTF komponen juga sanga mungkin diwakili oleh jenis disribusi yang berbeda, sehingga parameer yang mewakili masing-masing disribusi ersebu juga berbeda.
Komponen yang TTF nya diwakili oleh disribusi Weibull akan memiliki jenis parameer disribusi (shape parameer), γ (locaion parameer) dan η(scale parameer). Semenara iu TTF yang erdisribusi eksponensial akan diwakili oleh parameer disribusi λ (failure rae) dan TTF yang erdisribusi normal akan diwakili oleh jenis parameer σ (sandard deviaion) dan μ (mean). Pada bab sebelumnya jenis disribusi juga dikelompokkan menjadi dua kelompok uama yakni disribusi diskri dan disribusi koninyu. Yang ermasuk kedalam kelompok disribusi diskri adalah disribusi Poisson, disribusi hypergeomeric, dan disribusi binomial. Semenara yang ermasuk kelompok disribusi koninyu adalah disribusi eksponensial, disribusi normal, disribusi Weibull dsb.. Terminologi Disribusi Terminologi dan signifikansi dari disribusi peluang elah sebagian dijelaskan pada bab-bab sebelumnya. Properi seperi probabiliy densiy (mass) funcion, expeced value, mean, variance dan sandard deviaion elah pula dijelaskan pada bab sebelumnya. Pada evaluasi keandalan, properi ersebu sering diisilahkan berbeda menyesuaikan dengan properi keandalan. Pada bab ini akan dijelaskan erlebih dahulu erminologi disribusi yang akan dipergunakan di dalam evaluasi keandalan. Cummulaive disribuion funcion memiliki nilai mulai dari (nol) hingga (uniy). Pada daa diskri, perambahannya erjadi secara diskri dan pada daa koninyu perambahan diwakili oleh sebuah fungsi koninyu. Pada evaluasi keandalan, random variabel yang umum dipergunakan adalah waku (). Saa maka diasumsikan komponen mulai beroperasi dan peluang kegagalannya adalah. Dengan berambahnya waku operasi maka pada waku peluang kegagalan komponen adalah. Karakerisik ini sesuai dengan konsep cummulaive disribuion funcion dan merupakan peluang kegagalan komponen sebagai fungsi waku. Pada erminologi keandalan, cummulaive disribuion funcion lebih dikenal dengan sebuan cummulaive failure disribuion funcion aau lebih sederhana sering disebu dengan cummulaive failure disribuion (Q()).
Pada kasus prakis akan lebih mengunungkan jika kia menghiung peluang sukses pada waku erenu (R()), bukan peluang gagalnya (Q()). Peluang sukses merupakan komplemen dari peluang gagal sehingga: R() Q()... Turunan perama dari cummulaive disribuion funcion sebuah random varaibel koninyu akan menhasilkan probabiliy densiy funcion. Pada evaluasi keandalan urunan perama dari cummulaive disribuion funcion sebuah random varaibel koninyu akan menghasilkan fungsi yang kurang lebih sama dengan probabiliy densiy funcion, dan sering disebu dengan failure densiy funcion, dimana: f() dq()/d -dr()/d... sehingga Q( ) f ( ) d... Dengan demikian R( ) f ( ) d... f() Q() R() ime Gambar.- Failure densiy funcion Karena luasan oal dibawah kurva failure densiy funcion adalah sau, maka persamaan diaas dapa diulis sebagai: R ( ) f ( ) d... 3
Selain konsep cummulaive disribuion funcion dan failure densiy funcion, erdapa konsep-konsep lainnya yang sanga sering dipergunakan dalam evaluasi keandalan yakni hazard rae, failure rae, repair rae, force of moraliy, age specific failure rae, dsb. Pada bab ini hanya akan dijelaskan enang hazard rae. Konsep lainnya akan dibahas pada bab VI enang meode Markov. Hazard rae adalah ukuran laju kegagalan pada waku erenu. Ini berbeda dengan failure rae, yang memiliki makna jumlah kegagalan dalam renang waku erenu. Hazard rae sanga erganung dengan jumlah sampel yang dianalisa. Sebagai conoh, jumlah kegagalan pada komponen erenu dan pada renang waku erenu anara sampel yang berjumlah akan lebih kecil dari jumlah kegagalan dari sampel sejumlah, sekalipun hazard rae nya adalah sama. Sama halnya juga, jumlah kegagalan anara sampel sejumlah dan akan sama jika komponennya berbeda dan renang waku operasinya juga berbeda. Dalam hal ini komponen pada sampel yang perama akan memiliki hazard rae yang lebih besar dibandingkan dengan sampel yang kedua. Dengan demikian hazad rae λ() sanga erganung pada jumlah kegagalan dalam sauan waku erenu dan jumlah komponen yang dijadikan obyek analisa. Dengan demikian λ() jml gagal per uni waku/jml obyek yang dianalisa....3 Fungsi Umum Keandalan Jika sejumlah No buah komponen diuji, dan Ns() adalah jumlah komponen sukses (survive) dan Nf() jumlah komponen gagal dan No Nf() + Ns() Keandalan aau peluang sukses dari komponen erenu sebagai fungsi waku akan menjadi: Ns( ) No Nf ( ) Nf ( ) R( )... No( ) No No Peluang gagalnya komponen aau cummulaive failure disribuion Q() akan menjadi: 4
Nf ( ) Q( )... No Dari kedua persamaan diaas diperoleh dr( ) dq( ) dnf ( ).... d d No d( ) Jika d, maka dnf ( ) f ( ).... No d( ) Dengan demikian ekspresi hazard rae akan menjadi: dnf ( ) No dnf ( ) No dnf ( ) λ ( )... Ns( ) d( ) No Ns( ) d( )... Ns( ) No d( ) dr( ) λ ( ). f ( ).... R( ) R( ) d Dari ekspresi diaas dikeahui bahwa saa, maka f() karena R(). Disamping iu juga erliha baha hazard rae fungsi yang erganung pada failure densiy funcion. Dalam koneks phisik dapa dierjemahkan bahwa failure densiy funcion memungkinkan peluang gagal dihiung diseiap waku pada masa yang akan daang, semenara hazard rae memungkinkan peluang kegagalan dihiung pada masa yang akan daang dimana dikeahui bahwa sisem/komponen dalam kondisi sukses sampai waku. Dari persamaan diaas diperoleh: R( ). dr( ) R( ) o λ( ) d... ln R ( ) λ( ) d... o R( ) e λ... 5
.4 Evaluasi Fungsi Keandalan Guna memberikan ilusrasi prosedur dalam melakukan evaluasi berbagai fungsi keandalan, conoh beriku akan dievaluasi. buah komponen yang idenik dievaluasi. Diperoleh hasil evaluasi seperi pada abel beriku: 3 4 5 6 7 8 ime inerval jumlah cummulaive Jumlah failure densiy cummulaive survivor Hazard dalam jam gagal l failures Sukses funcion failure dis. funcion Rae (- ) / - 6 /ave 4 Nf Ns f Q R λ 4,4,5 85 4 86,85,4,86,4 75 5 775,75,5,775, 3 68 3 7,68,3,7, 4 6 368 63,6,368,63, 5 53 48 57,53,48,57,97 6 48 48 59,48,48,59,97 7 43 59 47,43,59,47,96 8 38 57 48,38,57,48,93 9 34 6 39,34,6,39,9 3 644 356,3,644,356,9 8 675 35,8,675,35,9 4 73 97,4,73,97,44 3 6 743 57,6,743,57,64 4 75 83 97,75,83,97,47 5 6 878,6,878,,65 6 4 938 6,4,938,6,4 7 5 98,5,98,, 8 5 995 5,5,995,5, 9 Hazard rae sebagai fungsi waku,7,6,5 hazard rae,4,3 I II III,,, 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 inerval waku Gambar.4- Hazard Rae sebagai fungsi inerval waku 6
Keandalan indeks keandalan,,8,6,4, 3 5 7 9 3 5 7 9 waku inerval Gambar.4-3 Keandalan sebagai fungsi inerval waku failure densiy funcion f(),6,4,,,8,6,4, III II I 3 5 7 9 3 5 7 9 inerval Gambar.4-4 Failure Densiy Funcion Cummulaive Failure Disribuion,,8 Q(),6,4, 3 5 7 9 3 5 7 9 inerval Gambar.4-4 Cummulaive Failure Disribuion 7
Hazard rae seperi erliha pada gambar menunjukkan benuk umum dari komponen non-elekronik yang sering dikenal dengan isilah bah-ub curve. Kurva ini dibedakan menjadi 3 periode; periode I, periode II dan periode III. Periode I sering dikenal dengan isilah burn in period aau infan moraliy period aaupun debugging period, yang diunjukkan dengan penurunan hazard rae sebagai fungsi usia komponen aau waku operasi. Tingginya hazard rae pada awal periode ini sering disebabkan karena kesalahan produksi, kesalahan disain aaupun kesalaham assembly. Periode II dikenal dengan isilah useful life period yang diandai dengan nilai hazard rae yang konsan. Hanya disribusi eksponensial yang berlaku pada periode II ini. Periode ke III merepresenasikan daerah dimana keausan komponen sudah mulai erjadi. Periode ini dikenal dengan isilah wear-ou period yang diandai dengan peningkaan hazard rae sebagai fungsi waku. Keiga periode ini juga dapa erlha pada gambar 4 yang menunjukkan failure densiy funcion. Pada gambar ini erliha bahwa periode II epa mewakili kurva negaif eksponensial. Periode III dapa diwakili oleh disribusi normal, Weibull aaupun Gamma. Secara umum bah-ub curve dapa digambarkan unuk komponen elekronik dan mekanik. Komponen elekronik umumnya diwakili oleh useful life period yang agak panjang, semenara komponen mekanik memiliki useful life period yang relaif pendek..5 Disribusi Poisson Sebuah random variabel x dikaakan memiliki disribusi poisson jika probabiliy mass funcion dari x adalah: λ x e λ p( x; λ) dimana x,,... unuk λ> x! Poison disribuion (sama seperi eksponenial disribuion) hanya berlaku jika λ (dalam koneks reliabiliy sering disebu dengan hazard rae aau failure rae) adalah konsan di sepanjang waku. λ disini bisa laju per uni waku aau per uni luas, miss: laju kegagalan komponen pada sisem mekanik, dsb. e adalah nilai dasar logarimik naural yang besarnya adalah.788. 8
Jika d adalah inerval yang cukup kecil, dimana probabilias erjadinya lebih dari sau kejadian (kegagalan) adalah nol () maka λd probabiliy of failure dalam inerval d, i.e. dalam periode (, +d) Kasus zero failure Jika Px() adalah probabilias erjadinya kegagalan sejumlah x kali dalam inerval (,), maka probabiliy of zero failure dalam renang (, +d) adalah probabiliy of zero failure dalam inerval (,) x probabiliy of zero failure dalam inerval (, +d) Po( + d) Po(). ( - λd) Jika kedua kejadian ersebu adalah bebas sau sama lain (independen) maka [ Po( + d) - Po() ] / d -λpo() Jika d, aau inerval menjadi sanga kecil dan mendekai nol (), maka dpo()/d -λpo() jika di inegralkan akan menjadi ln Po() -λ + C Pada, di asumsikan bahwa komponen dalam keadaan beroperasi, sehingga pada Po(), Ln Po() dan ini memberikan nilai C, sehingga : Po() e -λ... Rumus diaas adalan ekspresi perama dari poisson disribuion yang menunjukkan probabiliy of zero failures dalam renang waku. Dalam koneks reliabiliy, maka: Keandalan sebagai fungsi waku adalah R() e -λ Keidakhandalannya adalah Q() - R() - e -λ Probabiliy of failure densiy funcion-nya adalah f() -dr()/d λe -λ Kasus muliple failure Jika P x () adalah peluang/probabilias kegagalan erjadi x kali dalam inerval (, ), maka: 9
P x (+d) P x (). [ P(zero failure pada inerval, +d ) ] + P x- (). [ P(one failure pada inerval, +d ) ] + P x- (). [ P(wo failure pada inerval, +d ) ] +... P (). [ P(x failure pada inerval, +d ) ] Akan eapi karena d adalah inerval yang sanga kecil sehingga peluang erjadinya kegagalan lebih dari sau adalah nol (), maka: P x (+d) P x (). [ P(zero failure pada inerval, +d ) ] + P x- (). [ P(one failure pada inerval, +d ) ] P x ()(-λ d) + P x- ()( λ d) P x () - λ d [ P x () - P x- () ] Dengan demikian, maka: Px ()[ (λ) x. e -λ ]/ x!... Ekspresi λ diaas sering disimbolkan dengan μ yang idak lain adalah expeced value (E(x) (nilai harapan). Conoh 6.: Jika x adalah jumlah reak pada permukaan boiler yang dipilih secara acak dan erdisribusi poisson dengan λ 5, maka berapakah probabilias boiler yang secara acak dipilih akan memiliki reak sejumlah. P(X) [e -5. (5) ] /!.84 Peluang boiler memiliki paling banyak reak adalah: e P(XO) x 5 5 x! x e 5 ( + 5 + 5 )!.5 Pada beberapa buku saisik, disribusi Poisson dipergunakan sebagai pendekaan erhadap disribusi binomial. Hubungan anara disribusi Poisson dan binomial dapa diuraikan sebagai beriku:
Peluang sebuah kejadian sukses sejumlah r kali dalam n kali eksperimen dirumuskan dengan: n! r!( n r)! r r p q n Pr... Jika n >> r, maka: n! n( n )( n )...( n r + ) ( n r)! r n Sehingga, r n Pr r! p r q n r Demikian juga halnya jika nilai p adalah sanga kecil dan r relaif kecil jika dibandingkan dengan n, maka q n-r (-p) n, sehingga akan memberikan r r ( np) n ( np) n( n ) Pr ( p) np + ( p) +... r! r!! Jika nilai n adalah besar, maka n(n-) n, sehingga akan menghasilkan ( np) Pr r! r ( np) np +! ( np) +... r! r e np Persamaan diaas erliha idenik dengan persamaan 4, dimana np λ dan r x. Harus diinga bahwa kesearaan ini hanya berlaku jika nilai n relaif besar, n>>r dan p sanga kecil. Acuan yang biasa dipergunakan adalah jika nilai n > dan p<.5. Harus juga diinga bahwa expeced value unuk disribusi binomial adalah (np) aau (λ) dalam disribusi Poisson. Sandar deviasi unuk disribusi binomial adalah σ (npq) / aau nilainya seara dengan (λ) / pada disribusi Poisson. Conoh 6.:
Peluang sukses dari sau eksperimen adalah., berapakah peluang dalam kali eksperimen akan diperoleh sukses dengan disribusi binomial dan Poisson? Dengan disribusi binomial diperoleh: P() C. x.9 8!/(!. 8!) x. x.9 8.937 Dengan disribusi Poisson diperoleh: np x.. P(). /! e -..839 Conoh 6.3: Ulangi soal 6. diaas dengan jumlah eksperimen adalah sera peluang sukses sau eksperimen adalah.5. Dengan disribusi binomial diperoleh: P() C. x.9 8!/(!. 8!) x.5 x.995 8.43 Dengan disribusi Poisson diperoleh: np x.5. P(). /! e -..45.6 Disribusi Normal Disribusi normal sering disebu dengan disribusi Gaussian adalah salah sau jenis disribusi yang paling sering digunakan dalam menjelaskan sebaran daa. Probabiliy densiy funcion dari disribusi normal adalah simeris erhadap nilai raa-raa (mean) dan dispersi erhadap nilai raa-raanya diukur dengan nilai sandard deviasi. Dengan kaa lain parameer disribusi normal adalah mean dan sandard deviaion.
Probabiliy densiy funcion dari disribusi normal dapa diulis dengan: ( x ) f ( x) exp π... Jika mean (μ) dan sandard deviasi (σ), maka ekspresi diaas dapa diulis: ( x μ) f ( x) exp σ π σ... f(x).399/σ σ σ σ3 μ x Gambar.4-5 Probabiliy densiy funcion disribuion normal Q(x).84 λ(x).5.798/σ.59 μ - σ μ μ + σ x μ x Gambar.4-6 Cummulaive disribuion funcion dan Hazard rae Terliha bahwa kurva melewai iik dengan probabilias.5 jika random variabel x memiliki nilai μ. (expeced value). Ini adalah karakerisik khusus dari disribusi normal yang menunjukkan bahwa disribusi normal sanga simeris erhadap nilai raa-raa. 3
Nilai μ menunjukan posisi dari kurva dan sering disebu dengan isilah locaion parameer. Nilai σ menunjukkan deraja kemencengan (dispersi) dan sering dikenal dengan isilah scale parameer. Luar daerah dibawah p.d.f adalah sama dengan sau (uniy), dengan demikian maka: σ π ( x μ) exp σ dx Persamaan diaas berari bahwa luasan daerah dibawah kurva densiy funcion anara dua iik idak erbaas harus mencakup semua random variable x yang mungkin dan harus sama dengan sau. Akan eapi hiungan inegral ini sanga kompleks. Karena iu, dalam kasus disribusi normal umum digunakan eknik pendekaan dengan hiungan manual, dengan konversi sebagai beriku: z (x-μ)/σ, yang akan menyederhanakan persamaan failure densiy funcion menjadi: z f ( z) exp π,... dimana random variabel sekarang adalah z, nilai raa-raa (mean) nya adalah (nol) dan sandar deviasinya adalah (uniy). Subsiusi ini menghasilkan kurva sandard dimana deviasi dari random variabel erhadap mean diekspresikan dalam parameer z. (liha abel z pada buku-buku saisik). Pada abel ini luasan daerah dibawah kurva densiy funcion dapa dicari berdasarkan nilai μ dan nilai σ. Dari gambar.4-7 erliha bahwa oal luas dalam inerval ± 3σ adalah.997 aau mendekai (uniy). Dengan demikian nilai ± 3σ sering dipergunakan sebagai confidence limi dari disribusi normal. 4
.343.343.359.359.4.4-3 - - 3 Gambar.4-7 Sandard normal densiy funcion Kasus: PLN memasang lampu yang memiliki usia raa-raa jam pemakaian dengan sandard deviasi jam. Berapa lampu yang diharapkan gagal seelah 7 jam operasi? μ dan σ z (7-)/ -.5, Dari abel didapa luasannya adalah:.5.433.668, sehingga: 7 3 x Q(.5).668, Q(-.5).668 -.5.5 z x E(x) x.668 34 lampu Berapa lampukah diharapkan akan gagal dalam inerval waku 9 dan 3 jam. A: z (9-)/ -.5 A A A: z (3-)/.5 Dari abel A.95 A.433 Toal area adalah.95+.433.647 9 -.5 3.5 z x E(x) x.647 5 lampu Dalam berapa wakukah diperkirakan 5
bahwa % dari lampu akan mengalami kegagalan: harus dicari nilai z yang memberikan luasan % seperi pada gambar % disamping. 744 -.87 z x.5 -..4, dimana z -,87 Jadi (x-)/ -.87 X 744 jam..7 Disribusi Eksponensial Disribusi eksponensial, aau disribusi negaif eksponensial merupakan salah sau disribusi yang paling sering muncul dalam koneks evaluasi keandalan. Pada disribusi ini, laju kegagalan adalah konsan (λ C). Disribusi eksponensial adalah kasus khusus dari disribusi Poisson jika hanya kegagalan yang perama saja yang diperhiungkan. Disribusi eksponensial hanya berlaku pada useful life period saja pada bah-ub curve. Pada penjelesan sebelumnya elah diuraikan bahwa peluang sebuah komponen sukses daram renang waku jika hazard rae nya konsan adalah: R() e- λ... Dengan demikian, failure densiy funcion nya adalah: f() -dr()/d λe- λ... Densiy funcion (a) diwakili oleh cummulaive failure disribuion (Q) dan survivor funcion (R). Dua area ini dap dihiung dengan: Q( ) λ. λ. λ. e d e dan R( ) Q( ) λ. e λ. d e λ. 6
f() λ (a) Q() R() ime f() (b) f() (c) λ () (d). λ.63 λ.368λ /λ /λ Gambar.4-8 (a) Q() dan (R(), (b) failure d.f, (c) cum. Fail. Dis., (d) hazard rae Nilai harapan (expeced value (E(x)) unuk disribusi eksponensial dan sandard deviaion-nya adalah /λ. Expeced value ini berkorespondensi dengan Mean Time To Failure (MTTF) yang merupakan kebalikan dari nilai failure rae (λ). MTTF dan MTBF (Mean Time Beween Failure) adalah dua hal yang berbeda. MTTF akan relaif sama dengan MTBF jika repair ime (pada kasus repairable componen) adalah sanga kecil jika dibandingkan dengan waku operasi..8 Disribusi Weibull Disribuisi weibull juga merupakan salah sau jenis disribusi koninyu yang sering digunakan, khususnya dalam bidang keandalan dan saisik karena kemamapuannya unuk mendekai berbagai jenis sebaran daa. Failure densiy funcion: f ( ) exp dimana > dan >, > 7
f() (a) Q() (b). 4 λ () (c) 4 /.63.5 /.368/λ.5 4.5 Gambar.4-9 Weibull reliabiliy funcion. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dis. (c) hazard rae Survivor funcion : R( ) f ( ) d exp Cummulaive faiure disribuion: Q( ) R( ) exp Hazard rae: λ( ) f ( ). R( ) Dimana shape parameer, η scale paameer, γ locaion parameer < decreasing hazard rae (burn-in period) consan hazard rae (normal life period) > increasing hazard rae (wear-ou period) Unuk weibull 3 parameer, variabel ( ) dikurangi dengan locaion parameer (γ) Ada dua kasus khusus berkaian dengan disribusi Weibull. Kasus yang perama adalah saa dan yang kedua adalah saa. Saa, maka failure densiy funcion nya adalah: f ( ) exp... 8
Dan λ ) ( ) ( ) ( R f... Kedua persamaan diaas adalah idenik dengan persamaan yang bersesuaian pada disribusi eksponensial dengan /λ sebagai MTTF. Saa, maka failure densiy funcion nya adalah: exp ) ( f... Dan ) ( ) ( ) ( λ R f... Kedua persamaan diaas adalah idenik dengan persamaan yang bersesuaian pada disribusi Rayleigh dengan /λ sebagai MTTF. Nilai harapan (expeced value) dari disribusi Weibull diekspresikan dengan: + Γ exp. ) ( d E... Dimana Γ adalah fungsi Gamma yang didifinisikan sebagai: Γ ) ( d e γ γ... Sandar deviasi disribusi Weibull adalah: ) ( exp. E d σ + Γ Γ + σ... 9
.9 Disribusi Gamma Disribusi Gamma memiliki karaker yang hampir mirip dengan disribusi Weibull dengan shape parameer dan scale parameer. Dengan memvariasikan nilai kedua parameer ersebu maka ada banyak jenis sebaran daa yang dapa diwakili oleh disribusi Gamma. Failure densiy funcion: f ( ) Γ exp ( ) dimana > dan >, > Survivor funcion : R( ) f ( ) d Γ ( ) exp d Cummulaive faiure disribuion: Q( ) R( ) Γ ( ) exp d Jika z/ dan dz d, maka: Q( ) z Γ ( ) / exp [ ( z) ]dz... Ada dua kasus khusus berkaian dengan disribusi Gamma. Kasus yang perama adalah saa dan yang kedua adalah saa ineger. Saa, maka failure densiy funcion nya adalah: f ( ) exp... Persamaan diaas adalah idenik dengan persamaan yang bersesuaian pada disribusi eksponensial dengan /λ sebagai MTTF.
Saa ineger, maka failure densiy funcion nya adalah: f ( ) exp ( )... Beruru-uru expeced value dan sandar deviasi unuk disribusi Gamma adalah E() dan σ.368/ f() / Q() (b).5 (a)..63 3 3 λ () / (c) 3.5.5 Gambar.4- Gamma reliabiliy funcion. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dis. (c) hazard rae. Disribusi Rayleigh Disribusi Rayleigh adalah kasus spesial dari disribusi Weibull. Disribusi ini dienukan oleh sau parameer sama seperi pada disribusi eksponensial. Failure densiy funcion: k f ( ) k exp dimana k adalah parameer unggal yang ekuivalen dengan kasus khusus disribusi Weibull saa dan k/ Survivor / reliabiliy funcion : k R ( ) exp Cummulaive faiure disribuion: k Q ( ) R( ) exp Hazard rae : λ() k
f() (k/c) / (a) Q(). (b) λ () (c).393 K /.368/ /(k) / /(k) / /(k) / Gambar.4- Rayleigh reliabiliy funcion. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dis. (c) hazard rae. Disribusi Lognormal Disribusi lognormal sama seperi disribusi normal memiliki disribusi parameer. Probabiliy densiy funcion dari disribusi normal dapa diulis dengan: (ln μ) f ( ) exp unuk P σ π σ Dengan demikian maka random variabel X memiliki disribusi lognormal dengan parameer σ dan μ jika ln X erdisribusi normal dengan parameer σ dan μ. Namun perlu dicaa bahwa sekalipun σ dan μ adalah sandar deviasi dan nilai raa-raa dari ln X, kedua parameer ersebu bukanlah sandar deviasi dan nilai raa-raa dari X. Cummulaive failure disribuion: Q( ) exp σ π ( ln μ) σ d Jika z (ln - μ)/σ dan dz d/σ, maka: Q( ) ( z) (ln μ) / σ exp π dz... Persamaan ersebu diaas idenik dengan cummulaive failure disribuion disribusi nornmal.
Expeced value dan sandar deviasi disribusi lognormal adalah: E() exp(μ+.5σ )... σ [exp(μ+σ )- exp(μ+σ )] /... f().5 (a).3. Q()..5 (b).3..5 λ () (c).3..5 e μ e μ e μ Gambar.4- Lognormal reliabiliy funcion. (a) Fail. Dens. Func (b) cum. Fail. Dis. (c) hazard rae 3