KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2. Sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang 3. Menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang 4. Menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang. A. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Hubungan dua garis lurus dapat kita kaitkan dengan situasi sehari-hari. Jika terdapat dua garis lurus, maka ada beberapa hubungan atau situasi yang bisa terjadi. Kedua garis tersebut dapat sejajar, saling tegak lurus, berimpit, atau berpotongan. Kegiatan 4.1. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang, lakukan langkahlangkah berikut. 1. Pilih dua titik pada bidang koordinat, missal titik A dan B, kemudian hubungkan kedua titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis lurus AB, namakan garis h. 2. Hitunglah gradien garis h. 3. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis h, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 4. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis.

2 5. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilih dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 6. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai garis-garis h,, dan? 7. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai gradien dari garis-garis h,, dan. Dari kegiatan 4.1 di atas, jika kita perhatikan garis-garis h,, dan adalah garisgaris yang saling sejajar, dan jika hitung gradiennya maka mempunyai nilai gradien yang sama sehingga dapat di simpulkan bahwa garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu : = (16) Masalah 4.1 Diketahui persamaan garis =3 +5, tentukan gradien garis tersebut, kemudian tentukan gradien garis h yang sejajar dengan garis =3 +5 Dari masalah di atas, gradien garis =3 +5 adalah 3. Maka gradien garis h yang sejajar dengan garis =3 +5 adalah 3. Kegiatan 4.2.. Persamaan Gradien Garis Lurus Jika Garisnya Tegak Lurus Untuk menentukan gradien garis-garis yang saling tegak lurus maka lakukan langkah-langkah berikut. 1. Gambarlah grafik garis dengan persamaan 2 +3 6=0 2. Hitunglah gradien garis. 3. Gambarlah grafik garis h dengan persamaan 3 2 +2=0 4. Hitunglah gradien garis h. 5. Selidiki apakah garis tegak lurus pada garis h? 6. Tentukan hasil kali antara gradien garis dengan gradien garis h 7. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil langkah ke-6 berdasarkan kedudukan garis dan h? Dari kegiatan 4.2 di atas, jika kita perhatikan garis dan h diperoleh hasil kali gradien-gradien yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan demikian dapat (17)

3 diambil kesimpulan bahwa hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Persamaan garis-garis yang saling tegak lurus adalah: Masalah 4.2 = Diketahui titik 4,5 dan titik 6, 3. Jika garis tegak lurus dengan garis, tentukan gradien garis. Berdasarkan permasalahan di atas, pertama sekali kita menghitung nilai gradien yang melalui titik 4,5 dan titik 6, 3 dengan menggunakan persamaan gradien pada kegiatan 3.1 yaitu: = Maka di dapat nilai gradiennya adalah = 4 5 Setelah memperoleh nilai gradien, karena garis tegak lurus dengan maka kita menggunakan persamaan pada kegiatan 3 yaitu: maka, = 1 Sehingga diperoleh, 4 5 = 1 = 5 4 Apabila dan adalah dua buah garis lurus pada bidang XOY, maka hubungan yang mungkin terjadi antara kedua garis tersebut adalah 1. berimpit dengan Misalkan + + =0 dan + + =0 maka g 1 dan g 2 dikatakan berimpit jika dan hanya jika: = = 2. sejajar dengan (tidak berimpit) Misalkan + + =0 dan + + =0 maka g 1 dan g 2 dikatakan sejajar jika dan hanya jika: = 3. berpotongan dengan

4 Misalkan + + =0 dan + + =0 maka dan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika: Masalah 4.3 Diketahui garis 3 +2 2=0, h 4 5 7=0 dan 6 +4 4=0. Tentukan kedudukan antara garis dengan dan garis dengan h, apakah sejajar, berimpit atau berpotongan. : Garis 3 +2 2=0, dan 6 +4 4=0 = = 3 6 = 2 4 = 2 4 Kerena nilainya sama maka garis berimpit dengan garis. Garis 3 +2 2=0, h 4 5 7=0 3 4 2 5 Karena nilainya tidak sama maka garis berpotongan dengan garis h. 4.1 Kedudukan Dua Garis Lurus di Ruang Misalkan,, =,, +,, dan,, =,, +,, Ada beberapa kemungkinan kedudukan antara garis dan. 1. Garis sejajar jika dan hanya jika :,, =,, atau = = 2. Garis berimpit dengan jika dan hanya jika:,, =,,,, =,,

5 Masalah 4.4 Tunjukkan bahwa garis sejajar dengan garis. 7 = 6 2 = dan = +2 = 1 = 11 6 2 Vektor arah garis adalah 6,2,1 dan vektor arah adalah 6,2,1. Karena vektor arah sama dengan vektor arah berarti kedua garis tersebut sejajar tetapi tidak berimpit, karena hasil penggurangan 2 7,1 0,11 0 = 6,2,1 9,1,11 6,2,1. 3. Jika,,,,, maka garis dan mungkin saja berpotongan atau bersilangan. Misalkan berpotongan dengan, berarti ada titik potong,,. sehingga,, dan,, sebagai titik potong garis dan. Jika,, maka,, =,, +,,..(1) Jika,, maka,, =,,,,..(2) Dari persamaan (1) dan (2) jika di kurangkan menjadi:,, +,, =,,,, atau + = + = + = Berdasarkan teori persamaan linier, nilai dan ada, jika nilai determinannya: (18) = Merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada suatu titik. Jika nilai determinannya tidak sama dengan nol maka kedua garis tersebut bersilangan. Sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis dan adalah: = (19)

6 Masalah 4.5 Tunjukkan bahwa garis berpotongan dengan garis. Jika berpotongan maka tentukan titik potong kedua garis tersebut serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut. 1 = +1 2 3 = +10 8 dan 4= +3 4 = +1 7,, = 1, 1, 10 + 2, 3,8,, = 4, 3, 1 + 1, 4,7 Jika kita perhatikan vektor arah kedua garis tersebut tidak berkelipatan berarti kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berimpit. Untuk menunjukkan kedua garis tersebut berpotongan, kita harus mencari determinannya terlebih dahulu, dan nilai determinannya harus sama dengan nol. =0 2 1 4 1 3 4 3 1 =0 8 7 1 10 2 1 3 3 4 2 2 1 3 4 =0 8 7 9 8 7 72 + 16 + 63 27 + 28 + 96 =0 151 151 =0 0=0 Karena determinannya sama dengan nol maka garis berpotongan dengan garis. Titik potong kedua garis tersebut diperoleh dari persamaan: 2 + =3 3 4 = 2 8 + 7 =9 Cukup kita ambil dua persamaan, sehingga diperoleh nilai dan dengan cara mengeliminasikan kedua persamaan tersebut. Setelah di eliminasi maka diperoleh nilai =2 dan = 1. Untuk memperoleh titik potong kedua garis tersebut kita menggunakan persamaan:,, =,, +,,

7,, = 1, 1, 10 + 2 2, 3,8,, = 5, 7,6 Jika kita menggunakan persamaan:,, =,,,,,, = 4, 3, 1 1 1, 4,7,, = 5, 7, 6 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 5, 7,6 Bidang rata yang memuat garis dan adalah: =0 2 1 1 3 4 +1 2 1 3 4 =0 8 7 +10 8 7 8 +10 +8 +1 + 21 1 3 +10 +14 +1 + 32 1 = 0 8 80+8 +8 21 +21+3 +30 14 14+32 32=0 11 6 5 67=0 Jadi, persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut adalah 11 6 5 67=0. B. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di Ruang 4.2 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Bidang Misalkan + + =0 dan + + =0. Untuk menentukan persamaan garis lain kita menggunakan persamaan berkas garis, berkas garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Persamaan berkas garis adalah + = dimana disebut dengan parameter dan harus linier. Titik potong S kedua garis dan terletak pada garis, berarti koordinat titik potong tersebut memenuhi ke dalam persamaan garis maupun ke dalam garis. Serta untuk tiap-tiap harga bentuk + =0 selalu linier, sehingga menghasilkan sebuah garis lurus yang melalui S. Jadi dapat disimpulkan bahwa semua garis yang didapat dari persamaan + =0 selalu melalui titik potong kedua garis dan. (20) Masalah 4.6 Diketahui dua garis lurus = 1 dan = +2

8 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut. Buatlah berkas garis + = sehingga dapat di tulis menjadi: +1 + + 1 2 2 =0.. 1 1+ 1 1 2 + 1 2 = 0 Karena garis tersebut melalui titik pangkal yaitu 0,0 maka diperoleh: 0 0+1 2 =0 sehingga di dapatlah nilai =. Subsitusikan nilai = ke persamaan (1) yaitu: +1 + 1 2 + 1 2 2 =0 2 +1 + + 1 2 2 =0 2 2 +2+ + 1 2 2=0 3 3 2 =0 = 1 2 Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut adalah =. 4.3 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Ruang Jika =0= dan =0= maka persamaan umum dari garis lurus yang memotong dan adalah + = dan + = (21) Masalah 4.7 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1,1 dan memotong garis-garis lurus 2 + 4=0, +2 =0 serta +3 =4,2 +5 = 8.

9 Persamaan umum garis lurus yang memotong dan adalah: + = dan + = Pertama kita menggunakan persamaan + = 2 + 4 + +2 = 0 2 + 1+ +2 4=0 (22) Karena melalui titik 2, 1,1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (22), 2 2 + 1+ 1 + 2 1 4=0 4 1 +2 4=0 1+ =0 =1 Subsitusikan nilai =1 ke persamaan (22) sehingga diperoleh persamaan garis: 2 + 1+1 +2 1 4=0 2 +2 +2 4=0 + + 2=0 Jadi, persamaan garis lurus adalah + + =. Kedua kita menggunakan persamaan + = +3 4 + 2 +5 8 = 0 1+2 + 3+5 4+8 = 0 (23) Karena melalui titik 2, 1,1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (23), 1+2 2 + 3+5 1 4+8 = 0 2+4 +3+5 4 8 = 0 1+ =0 = 1 Subsitusikan nilai = 1 ke persamaan (23) sehingga diperoleh persamaan garis: 1+2 1 + 3+5 1 4+8 1 = 0 2 +4= 0 +2 4= 0 Jadi, persamaan garis lurus adalah + =.

10 C. Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sekarang kita perhatikan sudut yang merupakan sudut diantara dua garis lurus di bidang seperti yang terlihat pada Gambar 4.1. Jika = + dan = +. Sudut adalah sudut perpotongan antara kedua garis tersebut. tan = dan tan = = + = tan =tan tan tan tan = 1+tan.tan karena tan = dan tan = maka di peroleh suatu persamaan: tan = 1+. Supaya sudut selalu lancip, maka tan harus bernilai positif, oleh karena itu diambil harga mutlaknya yaitu: =. (24) =. (25) CATATAN (4) Jika =, maka =. Ini berarti dua garis tersebut sejajar atau berimpit. Dua garis tersebut akan sejajar apabila dan dua garis tersebut berimpit, apabila =.

11 Jika harga tan besarnya tak berhingga, yaitu =, maka +. = atau. =. Ini berarti kedua garis tersebut saling tegak lurus. Masalah 4.8 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2,1 dan mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis 2 +3 +4=0. Perhatikan gambar 4.2 di bawah ini adalah sketsa dari ketentuan-ketentuan dalam soal dan garis dan adalah garis-garis yang mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis 2 +3 =4=0. Tanjakan garis 2 +3 +4=0 adalah =. Misalkan tanjakan garis yang dicari adalah, maka tan45 = 1+. 1= 2 3 1+ 2 3 1= + 2 3 1 2 3 1 2 3 = + 2 3

12 1 2 3 = + 2 3 1 3 = 5 3 = 1 5 Jadi, persamaan garis adalah garis dengan gradien = 2,1, yaitu: = dan melalui titik 1= 1 5 2 5 5= 2 5 +3=0 Gradien garis adalah = 5, karena garis tegak lurus dengan garis sehingga diperoleh persamaan garis melalui titik 2,1 dengan gradien = 5 adalah = 1= 5 2 1= 5 +10 5 + 11=0 Berdasarkan proses di atas, persamaan garis lurus yang melalui titik 2,1 adalah + = dan + =. Sedangkan sudut antara garis dan di ruang adalah sudut antara vektor-vektor arah,, dan,, yaitu: cos =,,.,,,,,, + + cos = + + + + Jadi, persamaan untuk menentukan sudut antara dua garis lurus di ruang adalah: = CATATAN (5) (25) Jika kedua garis dan saling tegak lurus apabial dot product vektor arah mereka sama dengan nol sehingga diperoleh suatu persamaan:,,.,, = + + = (26)

13 Masalah 4.9 Tentukan sudut antara garis h,, = 1,2,0 + 2, 1,2 dan garis,, = 2, 6,3. Sudut antara garis h dan garis adalah + + cos = + + + + 2.2 1.6+2.3 cos = 2 + 1 +2 2 +6 +3 4 6+6 cos = 4+1+4 4+36+9 4 cos = 9.49 4 cos = 3.7 cos = 4 21 Jadi, sudut antara garis h dan garis adalah = cos. D. Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sebelumnya kita sudah mempelajari kegiatan 3.3 yaitu persamaan normal Hesse adalah cos + sin = dengan adalah jarak dari titik pangkal ke garis dan adalah sudut antara jarak tersebut dengan sumbu positif serta titik, yang berjarak dari garis seperti yang terlihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.

14 Gambar 4.3. Garis Lurus sejajar dengan garis Dari persamaan normal Hesse tersebut dapat ditentukan persamaan normal garis yang melalui titik, dan sejajar dengan garis. Jelas bahwa panjang normal dari normal dari garis adalah +, maka persamaan normal garis adalah + + =. Karena titik, pada garis, maka koordinat-koordinat titik memenuhi persamaan garis, sehingga diperoleh + + =. Jadi, = +. Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula jarak tersebut apabila titik-titik dan terletak sepihak terhadap garis, sehinga diperoleh = +. Karena adalah jarak, maka nilainya harus positif, sehingga harus diambil harga mutlaknya. = + (27) Jika persamaan garisnya merupakan persamaan untuk umum, maka untuk menentukan jarak suatu titik pada garis tersebut harus diubah ke persamaan normal. Karena persamaan normal garis + + =0 adalah + + + + + =0 Maka jarak titik, ke garis tersebut adalah = + + + Bentuk persamaan normal garis = + adalah =0 1+ Maka jarak titik, ke garis = + adalah (28)

15 = (29) Masalah 4.10 Tentukan jarak titik 2,3 ke garis 3 4 3=0 Jarak titik 2,3 ke garis 3 4 3=0 adalah = 3 4 3 3 + 4 3 2 4 3 3 = 9+ 16 = 6 12 3 25 = 9 5 = 9 5 Sedangkan jarak titik ke garis di ruang, kita misalkan titik,, dan garis tersebut berada di ruang. Kita dapat di menghitungnya dengan cara sebagai berikut: 1. Buat bidang melalui yang tegak lurus garis. 2. Cari titik, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. 3. Setelah dapat titik maka hubungkan titik ke sehingga terbentuklah sebuah garis lurus yaitu garis. Garis adalah suatu garis yang tegak lurus garis dan melalui titik sehingga panjang adalah jarak titik ke garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.4 dibawah ini. Gambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 16 4. Untuk mencari panjang kita menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu = + +. Masalah 4.11 Tentukan jarak titik 4, 5,3 ke garis lurus 5 = +3 3 4 = +6 5 Untuk mencari jarak titik ke garis lurus kita ikuti langkah-langkah di atas: 1. Buat bidang melalui titik,, yang tegak lurus garis Persamaan bidang rata yang melalui titik,, adalah + + = 4 + +5 + 3 = 0 Karena bidang maka = sehingga di peroleh,, =,, 3, 4,5 =,, Berarti =3, = 4 dan =5, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu 3 4 4 +5 +5 3 = 0 3 12 4 20+5 15=0 3 4 +5 47=0 (1) 2. Cari titik,, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang, kita gunakan persamaan parameter garis lurus yaitu = + = + = + = 5+ 3 = 3 4..(2) = 6+ 5 Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), untuk memperoleh niai. 3 4 +5 47=0 3 5+3 4 3 4 +5 6+5 47=0 15+9 +12+16 30+25 47=0 50+50 =0 =1

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 17 Subsitukan nilai =1 ke persamaan (2), sehingga diperoleh = 5+ 3=8 = 3 4= 7 = 6+ 5= 1 Jadi, titik adalah 8, 7, 1. 3. Jarak antara titik 4, 5,3 ke titik 8, 7, 1 adalah = + + = 8 4 + 7+5 + 1 3 = 4 + 2 + 4 = 16+4 +16 = 36=6 Jadi, jarak titik ke garis tersebut adalah 6 satuan panjang. E. Jarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang Untuk mencari jarak antara dua garis lurus dan di ruang ada beberapa hal yang harus di perhatikan yaitu: 1. Jika dan sejajar, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Pilihlah sebarang titik pada garis berarti,, b. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis, yang dengan sendirinya juga tegak lurus pada pada garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.5 di bawah ini. Gambar 4.5. Bidang rata tegak lurus terhadap dua garis yang sejajar c. Tentukan titik, titik adalah titik tembus garis pada. d. Setelah titikk di dapat maka carilah panjang dimana panjang ini adalah jarak antara garis dan garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.6 di bawah ini.

18 Gambar 4.6. Bidang rata sejajar dengan garis lurus e. Mencari panjang dengan menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu: = + + 2. Jika dan bersilangan, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Buat bidang rata yang melalui garis dan sejajar dengan garis. b. Pilih sebarang titik pada garis. c. Tentukan jarak titik ke bidang, jarak ke bidang ini adalah jarak antara garis dan garis. d. Untuk menghitung jarak titik ke bidang, kita menggunakan Masalah 4.12 persamaan jarak antara titik ke bidang rata yaitu = + + + + + Tentukan jarak antara garis lurus dan dibawah ini. 2 = 2 3 = 2 2 = 4 = 8 3 Pertama-tama kita perhatikan apakah kedua garis tersebut sejajar atau bersilangan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka kita menggunakan langkah yang pertama, dan jika tidak maka kita menggunakan langkah yang kedua. Perhatikan vektor arah kedua garis lurus tersebut, apakah sama atau tidak. Ternyata kedua garis tersebut memiliki vektor arah yang sama yaitu 2,3,1,

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 19 berarti kedua garis tersebut sejajar. Karena maka kita menggunakan langkah yang pertama yaitu: 1. Pilihlah sebarang titik pada garis, berarti,, Titik 2,0,2 yang terletak pada garis berarti 2,0,2. 2. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis yang juga akan tegak lurus dengan garis. Persamaan bidang rata yang melalui titik 2,0,2 adalah + + = 0 2 + 0 + 2 = 0 2 + + 2 = 0 Karena bidang maka = sehingga di peroleh,, =,, 2,3,1 =,, Berarti =2, =3 dan =2, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu 2 2 +3 + 2 = 0 2 4+3 + 2= 0 2 +3 + 6= 0..(1) 3. Tentukan titik,, titik adalah titik tembus garis pada. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang rata adalah dengan menggunakan persamaan parameter garis lurus yaitu = + = + = + = 2 = 4+3.(2) = 8+ Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai yaitu 2 +3 + 6= 0 2 2 +3 4+3 + 8+ 6= 0 4 +12+9 +8+ 6= 0 14 +14=0 = 1 Subsitusikan nilai = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh = 2 = 4+3 1 =1 = 8+ 1 =7 Jadi titik adalah 2,1,7. 4. Jarak antara titik,, ke titik,, adalah

20 = + + = 2 2 + 1 0 + 7 2 = 4 + 1 + 5 = 16+1+25 = 42 Jadi, jarak antara garis ke garis adalah 42 satuan panjang. Rangkuman 1. Kedudukan dua garis lurus di Bidang, Jika garis sejajar dengan garis maka = Jika garis tegak lurus dengan garis maka. = Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika = dan =. Garis berpotongan dengan garis jika dan. 2. Kedudukan dua garis lurus di Ruang, Jika garis sejajar dengan garis maka = Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika = dan,, = Garis berpotongan dengan garis jika dan hanya jika. 3. Persamaan garis lurus yang perpotongan dengan dua buah garis lurus di bidang adalah + = sedangkan persamaan garis lurus yang berpotongan dengan garis lain adalah + = dan + =. 4. Sudut antara dua buah garis lurus di bidang adalah = + sedangkan sudut antara dua buah garis lurus di ruang adalah = + + + + + + 5. Jarak sebuah titik, ke garis + + =0 adalah = + + +