BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain"

Transkripsi

1 BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Menentukan basis pada ruang Euclid R dan R 3.. Menentukan hasil operasi ektor pada ruang Euclid R dan R Operasi Aljabar Vektor Sebelum membahas operasi aljabar ektor, terlebih dahulu akan diingatkan kembali pengertian ektor dan skalar. Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah dan panjang. Secara geometris ektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai pangkal dan ujung. B A Vektor AB Vektor-ektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekialen.

2 Vektor-ektor ekialen Definisi : Jika dan w adalah dua ektor sebarang maka + w, disebut jumlah ektor dan w, diperoleh sebagai berikut : letakkan ektor w sehingga titik awal w berimpit dengan titik akhir dari, maka ektor + w dinyatakan oleh panah dari titik awal ke titik ujung w. w w +w w+ w Penjumlahan ektor Vektor yang panjangnya nol dinamakan ektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan ektor nol didefinisikan 0 + = + 0 = Jika sebarang ektor tak nol, maka (negatif ) adalah ektor yang mempunyai besaran sama seperti tetapi arahnya berlawanan dengan. Pengurangan dua ektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan negatif ektor. w = + ( w)

3 w -w -w - w- w Negatif ektor Pengurangan ektor Definisi : Perkalian ektor tak nol dengan skalar (bilangan real tak nol) k didefinisikan sebagai ektor yang panjangnya k kali panjang dan arahnya sama dengan arah jika k > 0, dan berlawanan arah dengan arah jika k < Perkalian ector dengan skalar Vektor pada Bidang (R ) Misalkan suatu ektor pada bidang, titik awal diletakkan pada pusat sistem koordinat, dan titik ujung terletak pada koordinat ( 1, ), maka ( 1, ) dinamakan komponen dari. Dalam hal ini ditulis = ( 1, ). Secara geometri 1 menyatakan komponen pada sumbu x dan menyatakan komponen pada sumbu y.

4 Jika = ( 1, ) dan w = (w 1, w ) adalah ektor-ektor pada bidang (R ), maka ekialen dengan w jika dan hanya jika 1 = w 1 dan = w. Jika = ( 1, ) dan w = (w 1, w ), maka berlaku 1. + w = ( 1+w 1, +w ). k = (k 1, k ) dengan k suatu skalar Contoh : Misalkan = (, 1) dan w = (1, 3), maka + w = (, 1) + (1, 3) = ( +1, 1+3) = ( 1, 4) = (, 1) = (.( ),.1) = ( 4, ) w = (, 1) (1, 3) = ( 1, 1 3) = ( 3, ) w = (1, 3) (, 1) = (1 ( ), 3 1) = (3, ) +w w w- -w Operasi aljabar ektor Kadang-kadang ektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah P 1(x 1,y 1) dan titik ujungnya adalah P (x,y ) maka P1 P = ( x x1, y y1). Komponen P 1P didapat dengan mengurangkan

5 koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula P1 P = OP OP1 = ( x, y ) ( x1, y1) = ( x x1, y y1) Contoh : OP 1 P 1 P OP Jika = ( 1, ) adalah ektor di R maka panjang ektor (disebut norm ) didefinisikan sebagai = 1 + Jika P 1(x 1, y 1) dan P (x, y ) adalah dua titik di R, maka jarak dua titik tersebut didefinisikan sebagai norm dari ektor P 1 P, yaitu d = ( x x1) + ( y y1)

6 Vektor pada Ruang (R 3 ) Misalkan suatu ektor pada ruang (R 3 ), maka komponen dari adalah ( 1,, 3) yang secara geometri 1 menyatakan komponen pada sumbu x dan menyatakan komponen pada sumbu y dan 3menyatakan komponen pada sumbu z. Jika = ( 1,, 3) dan w = (w 1, w, w 3), maka 1. ekialen dengan w jika dan hanya jika 1 = w 1, = w, 3 = w w = ( 1+w 1, +w, 3+w 3) 3. k = (k 1, k, k 3) dengan k suatu skalar Jika P 1(x 1, y 1, z 1) dan P (x, y, z ) adalah titik-titik di R 3, maka P 1 P = (x -x 1, y -y 1, z -z 1) Jika w = (w 1, w, w 3) suatu ektor di R 3, maka panjang ektor (norm) w didefinisikan sebagai w = w 1 + w + w3 Jika P 1(x 1, y 1, z 1) dan P (x, y, z ) adalah dua titik di R 3, maka jarak antara dua titik tersebut adalah norm dari ektor P P 1, yaitu d Contoh : = ( x x1) + ( y y1) + ( z z1) Norma ektor = (3, 4, 0) adalah = = 5

7 Jarak di antara titik P 1(, 1, 0) dan P (4, 3, 1) adalah d = ( 4 ) + ( 3 1) + ( 1 0) = = 1 Kaidah dasar ilmu hitung ektor akan ditunjukkan di dalam teorema berikut ini. Teorema : Jika u, dan w adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan k, l adalah skalar, maka hubungan yang berikut akan berlaku. 1. u + = + u. (u + ) + w = u + ( + w) 3. u + 0 = 0 + u = u 4. u + (-u) = 0 5. k(l u) = (kl) u 6. k(u + ) = k u + k 7. (k +l) u = k u + l u 8. 1 u = u

8 3.. Perkalian Titik pada Vektor Perkalian titik atau dot product dan sifat-sifat ilmu hitung dari perkalian ini akan diberikan dalam definisi berikut : Yang dimaksud sudut antara ektor u dan adalah sudut yang dibentuk antara ektor u dan yang telah dialokasikan sehingga titik asal keduanya berimpit. Definisi : Jika u dan adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan θ adalah sudut di antara u dan (0 q p), maka perkalian titik (dot product) atau perkalian dalam Eucliden antara u dan, dinotasikan dengan u. didefinisikan dengan u. = u cosθ Dari definisi tersebut, jika u = 0 atau = 0 maka jelas u. = 0. Misalkan O P = u = (u 1, u, u 3) dan O Q = = ( 1,, 3) ektorektor tak nol di R 3 z P(u 1, u,u 3 ) u Q( 1,, 3 ) O x q y Pandang segitiga OPQ. Menurut hukum kosinus pada segitiga, tentu berlaku

9 P Q = u + u cos θ (*) Mengingat bahwa P Q = u maka P Q = - u. Karena definisi hasil kali titik, persamaan (*) di atas dapat ditulis sebagai 1 u. = ( u + - u ) (**) Karena u = u 1 + u + u3, = , dan - u = ( 1 u1) + ( u ) + ( 3 u3 ), dengan penyerdehanaan akan diperoleh u. = u 11 + u + u33 Secara sama berlaku pada R. Jika u = (u 1, u ) dan = ( 1, ) ektorektor tak nol di R maka u. = u 11 + u Teorema : Misalkan u dan adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3. a.. = b. Jika u dan masing-masing tidak nol dan θ adalah sudut antara kedua ektor tersebut, maka θ adalah sudut lancip jika hanya jika u. > 0 θ adalah sudut tumpul jika hanya jika u. < 0

10 θ adalah sudut siku-siku jika hanya jika u. = 0 Jika sudut antara ektor u dan siku-siku maka dikatakan bahwa kedua ektor itu orthogonal dan dituliskan u. Jadi ektor u dan akan orthogonal jika u. = 0. Teorema : Misalkan u,, dan w adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan k adalah skalar, maka a. u. =.u b. u.( + w) = u. + u.w c. k(u.) = (ku). = u.(k) d.. > 0 jika 0 dan. = 0 jika = 0 Adakalanya kita perlu menyatakan suatu ektor u ke dalam bentuk jumlahan dua suku, yang satu sejajar ektor tak nol p sedang yang lain tegak lurus terhadap p. Keadaan ektor u dan dua ektor jumlahannya dapat digambarkan sebagai berikut. w u w 1 p Kita dapat melihat bahwa w = u - w 1 sehingga kita peroleh

11 w 1 + w = w 1 + (u - w 1) = u Dalam hal ini ektor w 1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada p atau disebut pula komponen ektor u sepanjang p, dinotasikan dengan proy pu. Vektor w dinamakan komponen ektor u yang orthogonal terhadap p. Karena w = u - w 1 maka w = u - proy pu. Teorema : Misalkan u dan adalah ektor-ektor di dalam R atau R 3 dan k adalah skalar, maka proy u u. u. = dan u - proy u = u Pada R 3, misalkan i, j, dan k menyatakan ektor satuan siku-siku berturut-turut pada komponen x, y, dan z yaitu i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1). Dapat dilihat bahwa i j, j k, dan k i serta berlaku i = j = k = 1. Dengan ektor satuan ini, setiap ektor dalam R 3 dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari perkalian skalar dengan ektor i, j, dan k. Contoh : Vektor (,-1,3) dapat dinyatakan sebagai i - j + 3k sebab (,-1,3) = (1,0,0) - (0,1,0) + 3(0,0,1).

12 3.3. Perkalian Silang pada Vektor Pada sub bab di atas telah dibahas operasi perkalian dua ektor yang hasilnya berupa skalar, pada sub bab ini akan dibahas operasi perkalian dua ektor yang hasilnya berupa ektor. Definisi : Misalkan u = (u 1, u, u 3) dan = ( 1,, 3) ektor-ektor di R 3. Hasil kali silang dari u dan, dinotasikan dalam u ä adalah ektor yang didefinisikan sebagai u ä = (u 3 - u 3, u u 1 3, u 1 - u 1) atau dapat ditulis u u3 u1 u3 u1 u u =,, Hubungan hasil kali titik dan hasil kali silang diberikan dalam teorema berikut. Teorema : Jika u dan adalah ektor-ektor di R 3, maka a. u.(uä) = 0 b..(uä) = 0 c. u = u (u.) (Identitas Lagrange) Sifat-sifat perkalian silang didefinisikan sebagai berikut. Teorema : Jika u, dan w adalah ektor-ektor di R 3, k sebarang skalar, maka :

13 a. uä = -(äu) b. uä( + w) = (uä) + (uäw) c. (u + ) ä w = (uäw) + (äw) d. k (uä) = (ku)ä = uä(k) e. uä 0 = 0ä u = 0 f. uäu = 0 Jika i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) menyatakan ektor satuan sikusiku di R 3, maka i j =,, = ( 0, 0, 1) = k Secara sama akan diperoleh pula jäk = i, käi = j jäi = -k, käj = -i, iäk = -j iäi = jäj = käk = 0 Oleh karena itu hasil kali silang u dan dapat dinyatakan pula sebagai : i u u3 u1 u3 u1 u u = i j + k = u j u k u3 3 Jika norma ektor mempunyai tafsiran geometri sebagai panjang suatu ektor, maka norma uä juga mempunyai tafsiran geometri yang khas. Dari identitas Lagrange

14 u = u (u.) dan definisi u. = u cos θ dengan q menyatakan besar sudut antara u dan, maka u = u ( u cos θ) = u ( 1 cos θ) = u sin θ sehingga diperoleh u = u sin θ Jika digambarkan, sin θ adalah tinggi jajaran genjang dengan sisi u dan. Ini berarti u menyatakan luas jajaran genjang tersebut. sin θ q u 3.4. Kombinasi linear dan kebebasan linear Pada sub bab-sub bab di atas, kita telah membahas ektor-ektor di R dan R 3 berikut beberapa operasinya. Vektor-ektor di R dapat kita nyatakan dalam bentuk -tupel ( 1, ) sedangkan ektor-ektor di R 3 kita nyatakan dalam bentuk 3-tupel ( 1,, 3) dengan 1,, dan 3 adalah bilangan-bilangan real. Vektor-ektor tersebut dapat kita perumum dengan menuliskannya dalam bentuk n-tupel (1,,..., n) dengan 1,,

15 ..., n masing-masing adalah bilangan real. Himpunan semua ektor berbentuk n-tupel ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n. Dengan perumuman ini, operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan hasil kali dalam didefinisikan secara sama seperti pada R dan R 3. Jika u = (u 1, u,..., u n) dan = ( 1,,..., n) ektor-ektor di R n dan k skalar, maka u + = (u 1+ 1, u +,, u n+ n) k = (k 1, k,..., k n) u. = u + u + K + u n 1 1 n u 1 + u + un = u K + Kita perhatikan bahwa operasi yang berlaku pada R n di atas, merupakan perumuman operasi yang sama yang berlaku pada R dan R 3. Kita dapat menunjukkan bahwa sifat-sifat yang berlaku pada R dan R 3 terkait dengan operasi di atas juga berlaku pada R n. Sekarang kita akan memperumum ektor beserta himpunan penghimpunnya dalam suatu sistem, yang akan berlaku tidak hanya pada R, R 3, dan R n tetapi juga pada sistem yang lain. Definisi : Misalkan V sebuah himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi yang kita definisikan yaitu penjumlahan (+) dan perkalian

16 skalar (bilangan real). Jika untuk setiap u,, dan w elemen pada V dan k, l sebarang skalar berlaku aksioma-aksioma : 1. u + œ V. u + = + u 3. u + ( + w) = (u + ) + w 4. Ada 0 œ V sehingga u + 0 = 0 + u = u untuk setiap u œ V. 5. untuk setiap u œ V ada -u œ V, disebut negatif u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6. k u œ V untuk setiap skalar k 7. (k +l) u = k u + l u 8. k(u + ) = k u + k 9. k(l u) = (kl) u u = u maka V kita sebut sebagai ruang ektor. Dalam hal ini elemen V kita sebut sebagai ektor. Elemen 0 pada aksioma 4 kita sebut ektor nol. Aksioma 1 dan 6 menunjukkan bahwa penjumlahan dua ektor dan perkalaian skalar dengan ektor menghasilkan suatu ektor. Contoh : a. Himpunan V = R n dengan operasi di atas merupakan ruang ektor.

17 b. Himpunan titik-titik pada sebuah garis yang melalui titik asal pada R akan membentuk ruang ektor. c. Himpunan titik-titik pada R yang terletak pada kuadran pertama bukanlah ruang ektor. d. Himpunan semua matriks berukuran x dengan elemen bilangan real, ditulis M x(r), merupakan ruang ektor. Sifat penting ektor diberikan pada teorema berikut. Teorema : Milakan u elemen suatu ruang ektor V dan k sebarang skalar, maka berlaku : a. 0u = 0 b. k 0 = 0 c. (-1)u = -u d. Jika k u = 0 maka k = 0 atau u = 0 Kadang-kadang untuk suatu keperluan, kita mengambil suatu himpunan bagian dari suatu himpunan yang masih memiliki kaidahkaidah seperti yang berlaku pada himpunannya. Hal ini juga terjadi pada ruang ektor. Definisi : Misalkan W himpunan bagian dari ruang ektor V. Jika W merupakan ruang ektor dengan operasi penjumlahan dan

18 perkalian skalar seperti yang didefinisikan pada V maka W disebut ruang bagian (subspace) dari V. Dengan definisi tersebut untuk menunjukkan apakah suatu himpunan bagian dari suatu ruang ektor merupakan ruang bagian, kita harus memeriksa apakah ke sepuluh aksioma ruang ektor juga berlaku pada himpunan bagian tersebut. Akan tetapi pada kenyataannya ada aksiomaaksioma yang otomatis berlaku pada ruang bagian karena aksioma tersebut diwarisi dari himpunannya. Aksioma tersebut adalah aksioma, 3, 7, 8, 9, dan 10. sehingga yang harus dibuktikan tinggal aksioma 1, 4, 5, dan 6. Teorema berikut memberikan cara lebih singkat karena aksioma 4 dan 5 dapat pula dihilangkan. Teorema : Misalkan W himpunan bagian dari ruang ektor V. Himpunan bagian W merupakan ruang bagian dari V jika hanya jika memenuhi: a. Jika u, œ V maka u + œ V b. Jika u œ V dan k sebarang skalar maka k u œ V Dua kondisi di atas menyatakan bahwa W tertutup di bawah operasi penjumlahan dan tertutup di bawah operasi perkalian skalar. Pada ruang ektor berlaku operasi penjumlahan ektor dan perkalian skalar dengan ektor. Kombinasi dari dua operasi tersebut menghasilkan suatu ektor yang kita definisikan sebagai berikut.

19 Definisi : Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linear (linear combination) dari ektor-ektor 1,,, n jika w dapat dinyatakan dalam bentuk w = k k + k n n dengan k i, i=1,,,n adalah skalar-skalar. Definisi : Vektor-ektor 1,,, n dikatakan merentang ruang ektor V jika setiap ektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari ektor-ektor 1,,, n, ditulis V = span{ 1,,, n}. Definisi : Jika S = { 1,,, n} adalah himpunan ektor-ektor, maka persamaan k k + k n n = 0 mempunyai paling sedikit satu penyelesaian yaitu k 1 = 0, k = 0,, k n = 0 Jika ini merupakan satu-satunya penyelesaian maka S dinamakan himpunan bebas linear (linear independent). Jika ada pemecahan lain maka S dinamakan himpunan bergantung linear / himpunan tak bebas linear (linear dependent). Dengan kata lain S = { 1,,, n} himpunan bebas linear jika k k + k n n = 0 mengakibatkan k 1 = 0, k = 0,, k n = 0. Sedangkan S = { 1,,, n} himpunan tak bebas linear jika k k + k n n = 0 dan terdapat i=1,,...,n dengan k i 0. Definisi : Misalkan V suatu ruang ektor dan S = { 1,,, n} himpunan ektor-ektor anggota V. Himpunan S disebut basis untuk V jika :

20 a. S bebas linear b. S merentang V Ruang ektor V dikatakan berdimensi hingga (finite dimensional) jika V memuat himpunan berhingga ektor-ektor yang merupakan basis. Jika tidak ada himpunan seperti ini maka V dikatakan berdimensi tak hingga (infinite dimensional). TUGAS RUMAH Materi : Perkalian Silang. 1. Jika u = (-1,-1,-1) dan = (,0,), carilah sebuah ektor yang ortogonal kepada ke dua ektor u dan.. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut P(,0,-3), Q(1,4,5) dan R(7,,9). 3. Misalkan u = (-1,3,) dan w = (1,1,-1), carilah semua ektor x yang memenuhi u x x = w. 4. Buktikan bahwa (u + k) x = u x. Materi : Ruang Vektor.

Vektor di Bidang dan di Ruang

Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = = VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang

Lebih terperinci

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

Lebih terperinci

Aljabar Linier & Matriks

Aljabar Linier & Matriks Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan

Lebih terperinci

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : 1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan

Lebih terperinci

19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =

19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a = 19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan

Lebih terperinci

18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real: 8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 4 Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan Ruang Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses

Lebih terperinci

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,

Lebih terperinci

VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain

VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering

Lebih terperinci

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus

Lebih terperinci

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal

Lebih terperinci

Materi Aljabar Linear Lanjut

Materi Aljabar Linear Lanjut Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,

Lebih terperinci

Vektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3

Vektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3 Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat, VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor

Lebih terperinci

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah

Lebih terperinci

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka

Lebih terperinci

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui

Lebih terperinci

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.

Lebih terperinci

1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1

1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1 Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

----- Garis dan Bidang di R 2 dan R

----- Garis dan Bidang di R 2 dan R ----- Garis dan Bidang di R dan R 3 ----- Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Teorema: Hasil kali titik (dot product) u dan v dapat dinyatakan pula sebagai: A. Pendekatan Geometri: R u v cos ; u,

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian

Lebih terperinci

Bab 1 : Skalar dan Vektor

Bab 1 : Skalar dan Vektor Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar

Lebih terperinci

MATA KULIAH ALJABAR LINIER

MATA KULIAH ALJABAR LINIER HAND OUT (BAHAN AJAR) MATA KULIAH ALJABAR LINIER Oleh: Saminanto, S.Pd., M.Sc PRODI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH IAIN WALISONGO SEMARANG TAHUN Aljabar Linier KATA PENGANTAR Bismillaahirrohmaanirrohiim

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A AB B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan

Lebih terperinci

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG

KARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R n

Ruang Vektor Euclid R n Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.

Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,

Lebih terperinci

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang

Lebih terperinci

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6

Lebih terperinci

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal

Lebih terperinci

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti

Aljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan

Lebih terperinci

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,

Lebih terperinci

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi

Lebih terperinci

GESERAN atau TRANSLASI

GESERAN atau TRANSLASI GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK

MATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab

Lebih terperinci

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi

Lebih terperinci

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :

Lebih terperinci

VEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector

VEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector VEKTOR Bab a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari x y + y = 8 Jawab : x + 8 + y =

Lebih terperinci

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah

Lebih terperinci

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus

Lebih terperinci

Perkalian Titik dan Silang

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut

Lebih terperinci

Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q

Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan

Lebih terperinci

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan

Lebih terperinci

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Prodcts Angle and Orthogonality in Inner Prodct Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Sqares Orthogonal Matrices;

Lebih terperinci

9.1. Skalar dan Vektor

9.1. Skalar dan Vektor ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor

Lebih terperinci

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2

IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 4/14/2012 KUMPULAN DEFINISI DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI Nama Definisi 2.1 Definisi 2.2 Definisi 2.3 Definisi 2.4 Definisi 2.5

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.

Lebih terperinci

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R} 1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 ) Vektor dalam Ruang Euklidian Sebelum kita menginjak

Lebih terperinci

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana

Lebih terperinci

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =

Lebih terperinci

BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang n Euclid 2. Transformasi Linier dari R n dan R m 3. Sifat-sifat Transformasi Linier 4.1 RUANG N EUCLID Jika di bab

Lebih terperinci

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI

Lebih terperinci

0. Diperoleh bahwa: Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar:

0. Diperoleh bahwa: Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: f g) f g C atau ( f g). Diperoleh bahwa: f g) ( f g) dg f ( f dg g) g dg f g Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: Ambil. f ) f C, R. Ditunjukkan bahwa. f C atau (. f ).. f ). diketahui

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,

Lebih terperinci

GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1

GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1 GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan

Lebih terperinci

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

Lebih terperinci

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Msayyanah, S.ST, MT . ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang ckp dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satan). Contoh

Lebih terperinci

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu

Lebih terperinci

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh . RUANG VEKTOR. VEKTOR (GEOMETRIK) PENGANTAR Jika n adalah sebah bilangan blat positif maka tpel-terorde (ordered-n-tple) adalah sebah rtan n bilangan riil (a a... a n ). Himpnan sema tpel-terorde dinamakan

Lebih terperinci

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor

Lebih terperinci