JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu PNPN PNMPTN NILI IGN INFINIT SISTM SINGUL P PNYLSIN PSMN POLINOMIL MTIKS NTUK [ ] X + Y U) Kri Suryowati Yudi Styawa Jurua Matmatia Ititut Sai da Tologi KPIN Yogyaarta Mau: 9 Mi rvii mau: 8 Jui ditrima: 5 Juli STCT Problm of olvability of polyomial quatio ad matrix igvalu rlatio to th placmt of a ifiit tat-fdbac i importat to lar bcau it dal with th proprti of dyamic ad tatic ytm. I thi ca dicud th problm with puttig th ifiit igvalu dcompoitio of th tadard th th rult ar applid to problm olvig matrix polyomial quatio. O igvalu placmt or placmt of th pol th problm i dtrmiig th tat fdbac matrix K uch that dt [ - + K] i ad with ach othr idpdt. Sigular liar ytm that ha a ifiit igvalu will b formd i uch ifiit igvalu ar placd o that th ytm ha o igvalu of ifiit tat by providig appropriat fdbac. Problm o ifiit igvalu aigmt ca b attributd to th dtrmiatio of polyomial quatio olutio i th form of matrix [ - ] X + Y U) for a matrix U) with dtu) o that cary ad ufficit coditio of xitc of olutio XY) ad form a olutio. Kyword: igular liar ytm ifiit igvalu aigmt polyomial matrix quatio INTISI Maalah olvability dari pramaa matri poliomial da aitaya dga pmpata ilai ig ifiit tat-fdbac adalah ptig diplajari ara brhubuga dga ifat-ifat diami da tati itmya. alam hal ii dibaha maalah pmpata ilai ig ifiit ata dompoii tadar mudia hailya diapliaia pada pylaia maalah pramaa poliomial matri. Pada pmpata ilai ig atau pmpata utub yag mjadi prmaalahaya yaitu pada ptua tat fdbac matri K dmiia higga dt[ + K] dga da alig idpdt. Sitm liar igular yag mmpuyai ilai ig ifiit aa dibtu dmiia ilai-ilai ig ifiit trbut ditmpata higga itm tida mmpuyai ilai-ilai ig ifiit yaitu dga mmbria tat fdbac yag uai. Prmaalaha pada pmpata ilai ig ifiit dapat diaita pada ptua olui pramaa poliomial matri yag brbtu [ ] X + Y U) utu uatu matri U) dga dtu) higga aa dibaha yarat prlu da cuup bradaa olui XY) rta btu oluiya. Kata Kuci: itm liir igular pmpata ilai ig ifiit pramaa poliomial matri riaroz@gmail.com yudita3@yahoo.com 4
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu PNHULUN Pmpata ilai ig agat ptig dalam ftivita ifat-ifat diami da ifat-ifat tati itm liar igular. Pmpata ilai ig ifiit diharapa dapat mrubah ifat itmya mlalui iput otrol higga itm loop trtutupya mmilii ifat-ifat yag diharapa. Pada itm liar igular tida haya mmilii ilai ig fiit tapi juga ilai ig ifiit yag mmpgaruhi ifatifat itm. Pada 3 Kaczor tlah mmplajari maalah pmpata ilai ig ifiit ata dompoii igular. alam artil ii aa dibaha maalah pmpata ilai ig ifiit ata dompoii tadar. Slajutya diapliaia pada prmaalaha pylaia pramaa poliomial matri. Sitm liar igular yag dimaud pada plitia ii adalah itm liar igular tim ivariat atau itm liar igular yag tida dipgaruhi olh prubaha watu yag mmpuyai btu umum x t) xt) + ut) yt) Cx t) ) dga xt) vtor adaa ut) m vtor maua vtor dali) yt) r vtor output da x xm C rx mrupaa matri-matri ota. Sitm ) diaumia rgular utu mjami bradaa da tuggala olui ai988). Stat-fdbac cotrol agat ptig dalam racaga itm. Mtod tat fdbac cotrol ata odii trttu diprlua pada trutur pmpata ilai ig dmiia higga itm loop trtutup mmpuyai ifat-ifat yag diharapa. aya yataa mujua bahwa utu itm dtrmiiti mtod adaa fdbac adalah tpat atau bai ali da prati utu mylaia au-au. Pada itm liar ormal brdaara pada aumi bahwa itm trotrol maa trdapat matri K pada tatfdbac dmiia higga dt[i + K] p) dga p) + a - - +... + a + a mrupaa poliomial barag brdrajat yag uai da dalam hal ii matri K dapat dimodifiai. Jia mggati matri K maa haya dapat mmodifiai mbarag ofii a. a a... a - ttapi tida dapat mrubah dgr pada poliomial yag dittua olh matri I. Oldr 994 da Ch C.T. 984). alam itm liar igular dgr pada poliomial aratriti itm loop trtutup dapat diubah dga pmiliha matri K yag uai pada tat fdbac. Pada pmpata ilai ig atau pmpata utub utu itm liar igular yag mjadi prmaalaha dalam hal ii adalah ptua tat-fdbac matri K dmiia higga dt[ +K] dga da alig idpdt atau alig bba. alam hal ii ilai ig ifiit aa dibtu dmiia higga ilai-ilai ig ifiit ditmpata agar itm tida mmpuyai ilai-ilai ig ifiit dga mmbria tat-fdbac yag uai. ibria tat-fdbac ut) vt) Kxt) ) dga v m vtor iput baru; K mx matri yag dicari. Kmudia dari ) da ) diprolh x t) K) x t) v t) 3) mbil xm [] himpua poliomial matri bruura xm dalam dga ofii ral da U) x [] dga dtu). Slajutya dibtu poliomial matri bagai briut [ ]X + Y U) 4) Yag mjadi prmaalaha adalah: Cara mtua formulai matri K higga dt [ + K] Syarat prlu da cuup bradaa olui pada pramaa 4) da mtua oluiya. MTO brapa ifat matri yag ptig Cull966) adalah bagai briut: Stiap matri bruura x uival dga uatu matri diag[i r ] yaitu trdapat matri oigular P da Q higga: QP diag[i r ] da r ra. Utu matri x maa matri imilar dga dituli ) jia trdapat matri oigular P x yag mmuhi P P -. Similarita mrupaa jadia huu dari rlai uivali jadi jia dua atau lbih utu 4
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu matri-matri yag imilar mmpuyai ra ama. Sitm liar ormal brbtu x x + u trotrol jia trdapat uatu tat-fdbac brupa matri K higa mmuhi dt[i + K] p) dga p) + a - - + + a + a barag poliomial dga dgr uai dgr itm. ga mggati K maa dapat dimodifiai ofii a. a a... a - ttapi tida dapat mrubah dgr pada poliomial yag dittua olh matri I Oldr 994). Pada itm liar igular tim ivariat diaumia bahwa itmya rgular utu mjami bradaa da tuggala olui itm higga itm dapat dibawa btu dompoii tadar itm ai 988 da Suryowati ). Pada maalah brjudul Fdbac ig for gularizig criptor Sytm u t al 999) dibaha ttag racaga fdbac itm liar igular utu btu itm ompoiiya dga mgguaa dompoii igular itm. fiii. Gatmachr 96) matri pcil ) rgular jia trdapat otata alar C dmiia higga poliomial. Lmma matri pcil -) rgular jia da haya jia trdapat matrix Q da P oigular higga QP diag I N) da QP diag I ) dga + x N x ilpot. x Mlalui traformai x P da dga x mrapa Lmma higga diprolh btu tadar dompoii itm liar igular bagai briut: x t) x t) + ut) y t) C x t) 5.a) N x t) x t) + ut) y t) C x t) 5.b) dga CP [ C C ] ; Q ; x x ; ; x ; x. Pramaa 5.a) mrupaa ubitm prtama yag rig dibut ubitm ormal atau ubitm prtama daga pramaa 5.b) mrupaa ubitm dua da rig dibut ubitm liar igular huu dga N matri ilpot brid. ai 988) da Suryowati )). fiii 3 itm Pada ) ibut Trotrol Jia Utu Stiap T > X ) W Trdapat Maua Kdali UT) m Yag Mmuhi x t) xt ) w x t) Slajutya dibria matri [ ] da [ N N N h- ] yag didfiiia bagai matri cotrollability utu ubitm 5.a) da ubitm 5.b). idfiiia Im Im Im dga Im ubruag cotrollability itm Im ubruag cotrollability ubitm prtama da Im f ubruag cotrollability ubitm dua. Cobb 984) Torma briut mmbria ifatifat cotrollability ytm liar igular diambil dari ai 988). Torma 4 ubitm prtama pada pramaa 5.a) cotrollabl jia da haya jia ra[- ] utu tiap C da brhigga. Subitm dua pada pramaa 5.b) cotrollabl jia da haya jia ra[ ] Sitm liar igular cotrollabl jia da haya jia dua ubitm pada pramaa 5.a) da pramaa 5.b) cotrollabl. Mial pada itm liar igular dibria tat-fdbac : ut) vt) Kxt) dga v m vtor iput baru da K mx matri yag dittua dga dmiia dari tat-fdbac trbut diprolh itm loop trtutup : x t) K) x t) v t) 6) Shigga matri K agat mmpgaruhi itm loop trtutup trbut yaitu pada pmpata ilai ig ifiit dmiia higga uai dga yag diharapa pada itm liar igular. Mial xm [] himpua poliomial matri bruura xm dalam dga ofii bilaga ral da U) x [] dga dt U) da U) [ + K] 43
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu Shigga dt [ + K] dapat dituli mbali dalam btu I dt dtu ) K dt[ ].I + K) dtu) atau [ ].X + Y U) 7) dga X I Y K. Pramaa 7) mrupaa btu pramaa poliomial matri higga jia dibria matri da U) dga dtu) maa olui X Y pada pramaa trbut dapat dittua. Lmma 5 ai 988) Trdapat matri K dmiia higga itm loop trtutup 6) tida puya utub-utub ifiit jia da haya jia dg - - K)) ra Torma 6 ai 988) Sitm liar igular pramaa ) itm loop trtutup pramaa 6) tida puya utubutub ifiit jia da haya jia itm trbut impul cotrolability yai dapat ditiadaa trm impulya dga mmbria tat proportioal muri otrol fdbac. PMHSN Pmpata Nilai ig Ifiit pada Sitm Liar Sigular Murut ai 989) Kaliath 98) Woham 979) Kaczor 993) da Kučra 98) jia itm liar igular brifat trotrol maa trdapat uatu tat-fdbac vrbtu matri K higga dt +K) p) dga p) + a - - + + a + a barag poliomial dga dgr uai dgr itm. ga mgubah btu matri K maa poliomial p) dapat dimodifiai mlalui prubaha pada ofii a. a... a - ttapi tida mgubah dgr poliomialya yag dittua olh matri I. Pada itm liir igular juga dapat diubah drajat poliomial aratriti loop trtutup mlalui pmiliha matri tat-fdbac K yag uai. Lbih jauh aa dibaha ptua tat-fdbac matri K dmiia higga dt + K) dga da alig idpd. Pmpata ilai ig ifiit itm liar igular idti dga pmpata ilai utub-utub ifiit itm yag ptig dalam ftivita ifat-ifat diami da ifat-ifat tati pada itm liar igular watu ivariat. Pmpata ilai ig ifiit diharapa dapat mrubah ifat itmya mlalui iput otrol higga itm loop trtutupya mmilii ifat-ifat yag diharapa. ibria itm ) trotrol atau trdali artiya dua ubitm trdali jia da haya jia ra[ ] utu mua fiit C da ra[ ]. riut lmma yag mdaar utu mtua matri K dmiia higga dt[ + K] Lmma 7 Jia itm liar igular ) rgulr maa trdapat matri ortogoal U da V dmiia higga U[ ]V U 8) x dga x xm ubitm ) trdali paaga matri ) rgular matri gitiga ata. a matri-matri da mmbtu bagai briut: dga ij ij 3 i x j 3 3 3 9) 3 ij 3... xm da i i i utu... - mrupaa matri ra bari puh da matri-matri oigular. Torma 8 dibria itm liar igular ) rgulr da matri dapat ditraformaia btu 8) da 9). Maa trdapat uatu matri K yag mmuhi dt[ + K] 44
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu jia da haya jia Subitm ) igular artiya dt.a) Jia > maa dgr poliomial dt[ ] atau dg{dt[ ]} >.b) uti : Syarat prlu )dari pramaa 8) da pramaa 9) diprolh dt[ +K] dtu - tv - x dt[ + K ]) dt[ ]) ) dga K KV mx da dt[ ] jia. ari 8) yag mgiuti odii ) brlau haya jia odii.a) da.b) trpuhi. Syarat cuup ) utu au iput tuggal m ). a a a a a a a a a3 a3 a3 a a b b ) ga a ii- utu i 3 da b. Kara odii dari pryataa ditahui dt maa braibat. Pralia matri [ ] dga uatu matri ortogoal pada oprai bari P mmugia dapat mmbuat tri 3 pada ol ara ii yaitu bagai briut 3) P rdui pada dga matri P diprolh bagai briut a a a a a a a a 3 3 P a a a ; 3 a a b Pb b 4) mbil a a a a 5) b ga mgguaa ) 4) da5) diprolh dt b a a a 3 3 a a a 3 3 a a a a 3 a dga dt Udt V dt P dt[ ] Slajutya ambil K ˆ. 6) mx Pilih matri ˆ dalam 6) higga Ê K a a 3 a l dga h ) l h l ) a a a 3 ll c da 3 7) c dt U - dt V - dt P dt[ ]. ga mgguaa ) 6) da 7) maa diprolh dt[ + K] c dt K 8) Cotoh. ibria matri-matri pada itm ) bagai briut Ttua matri K dmiia higga dt[ + K] dga. Pylaia:itujua bahwa itmya rgular yaitu mmuhi: a 45
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu t-) -)-) Matri da di ata dapat diajia pada pramaa 8) da 9) dga 4 3 m da 3 [] 3 [-] 33 [] 3 [-] [] 3 [-] 3 [] 33 []. Mgguaaa oprai lmtr bari da olom maa diprolh 3 P da P [ ] 3 x 4 3 5 5 ga prhituga maa dalam au ii diprolh Ê 5 ari P diprolh 4 3 5 5 3 ari P diprolh da mgguaa pramaa 6) diprolh K ˆ K 3 3 K 5 Slajutya dic bahwa : 3 -+K 5 Mtua Solui Pramaa [ ]X + Y U) dibria pramaa poliomial matri brbtu [ ]X + Y U) utu matri U) da dtu). Slajutya aa dittua olui polyomial trbut jia matrimatri da ditahui yag aitaya dga ytm liar igular. Torma briut mdaari bradaa olui pramaa poliomial matri yaitu myagut yarat prlu da cuup bradaa olui. Torma 9 pramaa poliomial matri brbtu [ ]X + Y U) utu matri U) da dtu) mmpuyai olui haya jia ra[ ] utu C dga brhigga da U) matri ral yag idp-d trhadap. uti: Pramaa I + K higga K I dt [ + K] dt K dga mrapa dt[ + K] diprolh I dt[ + K] dt K higga ra[ ]. Kmudia dari pramaa [-]X + Y U) da utu X I ; Y K diprolh U) K. x Jia diambil U) maa U) K x Lbih lajut pramaa poliomial 46
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu 47 trbut mmpuyai olui X I da Y K haya jia U) x Matri da pada pramaa 4) mmpuyai olui jia mmuhi odii Torma 9 ra[ ] utu mua brhigga C da U) matri ral yag tida mmuat. Jia itm pramaa liar igular dga ofii matri trdali cotrollabl) maa dga Lmma 7 trdapat matri oigular P da Q dmiia higga PQ PQ 3 3 3 P 9) ga i i x i i xm i... matri ra bari puh da i i x ii matri oigular. Torma dibria matri yag mmuhi aumi ra[ ] da ra [ ] utu mua brhigga C juga mmuhi U) K dga x. a matri dapat ditraformai dga matri oigular P Q dmiia mmuhi 9). Maa pramaa 4) mmpuyai olui X da Y yag mmuhi X I da Y K jia da haya jia uti yarat prlu ) pramaa [ ]X + Y U) mmpuyai olui X da Y yag mmuhi X I da YK maa dipuhi Utu mmbutia yarat prluya dga mmbutia brlauya bgai briut mgalia pramaa [-] I + K U) dga matri oigular P da Q diprolh P {[-] I + K} Q PU)Q P[-]Q + PKQ PU)Q PQ PQ + P.KQ PU)Q ) U K dga K KQ da Q PU U ) ) ) Kmudia dari P[ U)]Q PQ ) U da matri ral maa juga matri ral. ibria dga x x ). ari 9) da ) diprolh K higga K dga dmiia diprolh K da ) Sayarat cuup ) Jia diaumia U) K x dipuhi maa mrupaa matri ral da dmiia juga matri ral. Matri adalah oigular da dari ) diprolh ] [ K da Y K ] [ Q Q K ) Cotoh ibria pramaa matri briut: Y X ga brhigga da otata barag. Ttua olui pramaa di ata. Lagah-lagah pylaia bagai briut: mrubah pramaa Y X btu pramaa [ ]X + Y U). Shigga diprolh pramaa Y X ga matri da U) pada pramaa
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu 48 U) da dt U) Mgguaa Torma 9 dipria apaah pramaa trbut mmpuyai olui a[ ] ra [ - ] ra 3 C brhigga. Matri U) Trlihat matri mrupaa matri ral yag bba dari. ga dmiia brdaara Torma 9 mujua bahwa poliomial matri trbut mmpuyai olui. Mtua olui mgguaa Torma matri-matri oigular PQ 3x3 mgguaa oprai bari lmtr da oprai olom lmtr utu mmbtu matri yag uival dga matri yaitu matri da matri P juga Q brbtu bagai briut P da Q higga PQ PQ PQ P PQ ari btu traformai trbut trlihat mmuhi Torma yaitu Maa pramaa [ ]X + Y U) mmpuyai olui X da Y yag mmuhi X I da Y K Slajutya mtua matri K dga mgguaa rumu pada pramaa ) K ] [ Q KQ {[ - ] - [ ] } K [ - - ] K [ - - ] Jadi olui pramaa di ata adalah X I 3 da Y K [ - - ]. KSIMPULN ari pmbahaa di ata dapat diimpula bahwa: jia dibria itm liir igular ) da tat-fdbac ut) vt) - Kxt) dga vt) vtor iput baru maa itm loop trtutup mjadi x t) K)xt) + vt). Jia dibria matri da utu itm trbut da alar yag ta brgatug
JUNL TKNOLOGI TCHNOSCINTI ISSN: 979-845 Vol. 5 No. gutu pada dapat dittua matri K higga dt-+k) dga matri K K Q [ ] Q Poliomial [ ]X + Y U) mmpuyai olui haya jia ra[ ] utu C dga brhigga da U) matri ral yag idpd trhadap. Kmudia jia ytm tr-dali da matri U) K x rta matri dapat ditraformai dga matri oigular P Q higga mmuhi pramaa 9). ga dmiia poliomial matri vrbtu [ ]X + Y U) mmpuyai olui X da Y yaitu X I da Y K jia da haya jia. FT PUSTK u.g t al. 999 Fdbac ig for gularizig criptor Sytm Liar lgbra ad pplicatio No. 99. Ch C.T. 984. Liar Sytm Thory ad ig Holt ihart ad Wito Nw Yor. Cobb C.T. 984 Cotrollability Obrvability ad uality i Sigular Sytm I Tra ut. Cotrol Vol. C-9 No. pp. 76-8 Cull C. 966 Matric ad Liar Traformatio ddio-wly Pub. Co. Maachutt US. ai L. 988 Lctur Not i Cotrol ad Iformatio Scic Sigular Co-trol Sytm Sprigr-Vrlag r-li Hidlbrg Nw Yor. ai L. 989 Sigular Cotrol Sytm Sprigr rli. Kaczor T. 993 Liar Cotrol Sytm Vol. ad Nw Yor Wily. Kaczor T. 3 latiohip btw Ifiit igvalu igmt for Sigular ad olvability of Polyomial matrix quatio Proc. th Mditrraa Cof. Cotrol ad utomatio M 3 hod Grc. Kaliath T. 98 Liar Sytm Prtic Hall glwood Cliff. Kučra V. 98 alyi ad ig of icrt Liar Cotrol Sytm cadmia Praqu. Oldr G.J. 994 Mathmatical Sytm Thory lft Uitgvr Maatchappij lft Nthrlad. Suryowati K. t al. ompoii Stadar Sitm C) Jural Matmatia Uivrita Ngri Malag. Woham W.M. 979 Liar Multivariat Cotrol: Gomtric pproach Sprigr Nw Yor. 49