OPERASI GABUNGAN, JOIN, KOMPOSISI DAN HASIL KALI KARTESIAN PADA GRAF FUZZY SERTA KOMPLEMENNYA. Tina Anggitta Novia 1 dan Lucia Ratnasari 2

Transkripsi

1 OPERASI ABUNAN JOIN KOMPOSISI DAN HASIL KALI KARTESIAN PADA RAF FUZZY SERTA KOMPLEMENNYA Tina Anggitta Novia Lucia Ratnasari Program Studi Matmatika FMIPA UNDIP Jl Prof Sodarto SH Smarang 5075 Abstract A fuzzy graphs : V : V [ 0 ] and : VxV [ 0] u v V is a nonmpty st V togthr with a pair function This papr dscribd about som oprations on fuzzy graphs such as union join compositions and cartsian product Complmnt of union two fuzzy graphs is join of thir complmnt join complmnt of two fuzzy graphs is union thir complmnt Complmnt of composition two strong fuzzy graphs is composition of thir complmnt but complmnt of cartsian product two stong fuzzy graphs is nd not cartsian product of thir complmnt Kywords : cartsian product complmnt compositions fuzzy graphs join PENDAHULUAN Tori graf mrupakan salah satu big bahasan matmatika yang mmplajari himpunan titik yang dihubungkan olh himpunan garis [] [5] Himpunan kabur adalah suatu himpunan dimana nilai kanggotaan dari lmnnya adalah bilangan riil dalam intrval trtutup [0] [4] Tori graf fuzzy prtama kali diprknalkan olh Azril Rosnfld pada tahun 975 yang mrupakan suatu prluasan dari tori graf himpunan kabur fuzzy st Siring dngan prkmbangan jaman maka konsp graf fuzzypun juga smakin brkmbang Komplmn graf fuzzy prtama kali diprknalkan olh Mordson yang kmudian dismpurnakan olh MS Sunitha Vijayakumar Pada tulisan ini akan dibahas mngnai oprasi gabungan join komposisi hasil kali Cartsian pada graf fuzzy kmudian akan dislidiki komplmnnya disingkat dngan adalah spasang fungsi i : V [ 0] ii : VxV [ 0] yang mmnuhi u v u v V Contoh Misalkan dibrikan graf fuzzy dngan himpunan titik V { a b c d } himpunan garis E { ab b cd c d } Drajat kanggotaan dari himpunan titiknya adalah a 0 6 b 03 c 06 d drajat kanggotaan dari himpunan garisnya adalah ab 0 3 b 0 cd 0 c 0 5 d 0 3 maka graf fuzzy trsbut : RAF FUZZY Dfinisi [] Misalkan V himpunan titik brhingga suatu graf fuzzy yang : V atau dinotasikan dngan 59

2 Tina Angitta Novia Lucia Ratnasari Oprasi abungan Join Komposisi Hasil Kali Kartsian ambar raf fuzzy Dfinisi [] Suatu graf fuzzy adalah graf fuzzy kuat jika u v Contoh Misalkan dibrikan graf fuzzy dngan graf dasarnya : : ambar raf fuzzy graf dasarnya maka graf fuzzy trsbut mrupakan graf fuzzy kuat karna u v Dfinisi 3 [3] Komplmn dari suatu graf fuzzy adalah suatu graf fuzzy yang dinotasikan dimana i ii u v u v V ambar 3 Komplmn dari garf fuzzy 3 OPERASI ABUNAN JOIN KOMPOSISI DAN HASIL KALI KARTESIAN PADA RAF FUZZY Dfinisi 3 [3] Misalkan : V E : V E adalah dua graf fuzzy dngan V V φ Misalkan V V E E mrupakan gabungan dari maka gabungan dari graf fuzzy adalah sbuah graf fuzzy : dngan u jika u V u jika u V u jika E jika E Contoh 3 Misalkan dibrikan graf fuzzy : : : Contoh 3 Misalkan dibrikan graf fuzzy pada Contoh maka komplmn dari graf fuzzy trsbut adalah : ambar 4 raf fuzzy graf fuzzy Shingga gabungan dari graf fuzzy : : adalah 60

3 Jurnal Matmatika Vol 3 No 3 Dsmbr 00 : ambar 5 abungan dari graf fuzzy graf fuzzy Dfinisi 3 [3] Misalkan : V E : V E adalah dua graf fuzzy dngan V Misalkan V φ + V V E E E ' dimana E ' adalah himpunan smua garis yang mnghubungkan smua titik dari V V Maka join dari graf fuzzy adalah sbuah graf fuzzy dngan + u u jika u V V + u v jika E E jika E ' Contoh 3 Misalkan dibrikan graf fuzzy pada Contoh 3 shingga join dari kdua graf fuzzy trsbut adalah : ambar 6 Join dari graf fuzzy graf fuzzy Torma 3 [3] Misalkan mrupakan graf fuzzy maka : + + Bukti : Akan dibuktikan bahwa + akan dibuktikan + u u + : i + u + u dngan dfinisi dari komplmn u jika u V V u jika u V u jika u V u jika u V u jika u V u Shingga + u u ii + + u + v + u v jika E E u v u v jika E ' u v jika E u v jika E jika E ' u V v V u v u v 6

4 Tina Angitta Novia Lucia Ratnasari Oprasi abungan Join Komposisi Hasil Kali Kartsian jika E jika E 0 Shingga + Dari i ii trbukti + Akan dibuktikan bahwa + yaitu ditunjukkan + u u + i u u dngan dfinisi komplmn u jika u V u jika u V u jika u V u jika u V u + u Shingga + u u u v jika E u v jika E u v 0 jika u V v V E ' ii u v jika E jika E u v jika u V v V jika E E u v jika E ' + Shingga + Dari i ii trbukti + Dari trbukti bahwa komplmn dari join graf fuzzy mrupakan gabungan dari komplmnnya komplmn dari gabungan graf fuzzy mrupakan join dari gabungannya Contoh 33 Misalkan dibrikan graf fuzzy pada Contoh 3 Akan ditunjukkan bahwa + i + ambar join dari dua graf fuzzy diatas dapat dilihat pada ambar 6 di Contoh 3 shingga + + 6

5 Jurnal Matmatika Vol 3 No 3 Dsmbr 00 : ambar 7 Komplmn dari join graf fuzzy graf fuzzy ii ambar 8 Komplmn dari graf fuzzy graf fuzzy ambar komplmn dari gabungan graf fuzzy graf fuzzy ii ambar komplmn komplmn dari dua graf fuzzy diatas dapat dilihat pada ambar shingga + ambar 9 gabungan dari komplmn graf fuzzy graf fuzzy Shingga dari i ii diprolh + Akan ditunjukkan bahwa + i ambar gabungan dari dua graf fuzzy diatas dapat dilihat pada ambar 5 di Contoh 3 shingga + ambar Join dari komplmn graf fuzzy graf fuzzy Shingga dari i ii diprolh + Shingga dari trbukti bahwa komplmn dari join graf fuzzy mrupakan gabungan dari komplmnnya komplmn dari gabungan graf fuzzy mrupakan join dari gabungannya Dfinisi 33 [3] Misalkan : V E : V E adalah dua graf fuzzy dngan V misalkan V φ V V E o adalah komposisi dari dua graf dimana E u u u v : u V u v E { } { u w v w : w V E} { u u v v : u v E u v } 63

6 Tina Angitta Novia Lucia Ratnasari Oprasi abungan Join Komposisi Hasil Kali Kartsian Maka komposisi dari graf fuzzy o o o adalah graf fuzzy yang di dfinisikan olh : o u u u u u u V V o u u u v u u v o u w v w w u v o u u v v u v u v u u v v E E' ' 64 u V u v w V u v E E dimana E'' { u u u v : u V E} { u w v w : w V u v E } Contoh 34 Misalkan dibrikan graf fuzzy pada Contoh 3 shingga komposisi dari kdua graf fuzzy trsbut adalah : o ambar 3 Komposisi dari graf fuzzy graf fuzzy adalah dua graf fuzzy kuat maka o o Bukti : Untuk mmbuktikan bahwa o o Torma 3 [3] Misalkan ; ; Misalkan o dimana o o o dimana : V E V ; V ; o : E o : o o : E Untuk pmbuktian di bawah ini garis yang mnghubungkan dua titik di notasikan dngan Untuk mmbuktikan o o dibuktikan dalam bbrapa kasus Kasus u u u v E karna E graf fuzzy kuat maka 0 Juga o 0 karna E shingga o o Kasus u u u v E karna E shingga 0 u u u v u u u v 0 u u u v u u u v u u v karna E maka u u v o u u v shingga o o Kasus 3 u w v w E karna E maka 0 Kmudian karna E maka o 0 shingga o o

7 Jurnal Matmatika Vol 3 No 3 Dsmbr 00 : Kasus 4 u w v w E karna E maka 0 u w v w u w v w 0 u w v w u v w karna E di dapat shingga o o Kasus 5 u u v v u v E u v karna E maka 0 Kmudian karna E maka o 0 shingga o o Kasus 6 u u v v E u v karna E maka 0 u u v v u u v v 0 u u v v u v u v karna E di dapat o o w w u v u v u v u v Contoh 36 Misalkan dibrikan dua graf yang mrupakan graf fuzzy kuat yaitu : maka ambar 4 raf fuzzy kuat raf fuzzy kuat o ambar 5 Komposisi dari graf fuzzy kuat graf fuzzy kuat o ambar 6 komplmn dari komposisi dua graf fuzzy kuat shingga o o Dari kasus sampai kasus 6 ini mmbuktikan bahwa o o ambar 7 Komplmn dari graf fuzzy kuat graf fuzzy kuat 65

8 Tina Angitta Novia Lucia Ratnasari Oprasi abungan Join Komposisi Hasil Kali Kartsian UV05 UV U3V UV06 o ambar 8 Komposisi dari komplmn graf fuzzy kuat Shingga didapat bahwa jika mrupakan graf fuzzy kuat maka o o Dfinisi 34 [3] Misalkan : V E : V E adalah dua graf fuzzy dngan V Misalkan V φ V E '' adalah cartsian product dari dua graf dimana V V V E'' { u u u v : u V E} { u w v w : w V u v E } maka cartsian product dari adalah graf fuzzy yang di dfinisikan olh : u u u u u u V U3V08 u u u v u u v UV06 u V u v E ambar 9 Cartsian product dari graf fuzzy graf fuzzy Misalkan adalah dua graf fuzzy kuat maka tidak slalu brlaku Contoh 38 Misalkan di brikan graf fuzzy kuat pada Contoh 36 pada ambar 4 maka cartsian product-nya adalah ambar 0 Cartsian product dari graf fuzzy graf fuzzy Akan ditunjukkan bahwa jika adalah dua graf fuzzy kuat tidak slalu brlaku u w v w w w V E Cotoh 37 Misalkan dibrikan graf fuzzy pada Contoh 3 shingga Cartsian product dari kdua graf fuzzy trsbut adalah : ambar Komplmn dari Cartsian product dua graf fuzzy kuat 66

9 Jurnal Matmatika Vol 3 No 3 Dsmbr 00 : brdasarkan komplmn graf fuzzy kuat graf fuzzy kuat pada ambar maka diprolh : ambar Cartsian product dari komplmn dua graf fuzzy kuat graf fuzzy kuat Shingga didapat bahwa jika adalah dua graf fuzzy kuat maka tidak slalu brlaku 4 PENUTUP Brdasarkan pmbahasan yang tlah diuraikan diprolh: Komplmn dari gabungan dua graf fuzzy adalah join dari komplmnnya Komplmn dari join dua graf fuzzy adalah gabungan dari komplmnnya Komplmn dari komposisi dua graf fuzzy kuat adalah komposisi dari komplmnnya 3 Jika trdapat dua graf fuzzy kuat tidak slalu brlaku komplmn dari hasil kali Cartsian dua graf fuzzy adalah hasil kali Cartsian dari komplmnnya 5 DAFTAR PUSTAKA [] Chartrand L Lsniak 996 raphs & Digraphs Nw York : Drw Univrsity [] Mordson JN & Nair P 000 Fuzzy graphs and Fuzzy hyprgraphs Physica-Vrlag : Nw York [3] Sunita MS A Vijaya Kumar 00 Complmnt of A Fuzzy raph Indian J Pur Applid Mathmatical 33:9 hal [4] Susilo F 006 Himpunan Logika Kabur srta Aplikasinya Yogyakarta : raha Ilmu [5] Wilson J t al 990 raphs An Introductory Approach Nw York : Univrsity Cours raphs Ntwork and Dsign 67