H. Mama Suherma,Drs.,M.Si I TEORI PELUNG. Ruag Sampel da Peristiwa Dari masa ke masa terjadi perkembaga dalam teori peluag, baik dalam hal kosep maupu pedekataya. aragkali pembaca megeal apa yag diamaka dega defiisi klasik da defiisi relatif tetag peluag terjadiya peristiwa. Pada saat ii terdapat perkembaga yag medasar tetag kosep peluag, kosepya lebih kuat, lebih matematis da lebih mudah dikembagka. Salah satu ciriya adalah megguaka pedekata himpua da pedekata fugsi. Oleh kareaya bagi para pembaca yag igi dega mudah mempelajari kosep peluag sebaikya harus lebih dulu memahami beberapa kosep tetag himpua da fugsi. Sebelum kita membicaraka kosep peluag terjadiya peristiwa, sebaikya harus paham dulu apa itu Peristiwa, yag dimaksud adalah pegertia teoritis matematis. Lagkah yag harus ditempuh utuk mempelajari kosep peluag, dimulai dega eksperime acak, ruag sampel, lapaga sigma (Meda Peristiwa), da kemudia baru fugsi peluag atau peluag terjadiya peristiwa. Eksperime atau percobaa acak memiliki 3 ciri, yaitu: (i) Hasilya tak dapat diduga sebelumya dega derajat keyakia yag pasti. (ii) Semua hasil dapat diidetifikasi da terkadug dalam sebuah himpua. (iii) Dapat diasumsika bisa dilakuka berulag-ulag dalam kodisi yag sama. Himpua semua hasil dari suatu eksperime acak diamaka ruag sampel, da setiap aggotaya diamaka titik sampel. Ruag sampel yag diambil adalah ruag sampel yag setiap titikya (diasumsika) merupaka hasil idividual, artiya tidak dapat dipecah-pecah lagi dipadag dari berbagai segi. Notasi utuk ruag sampel, biasaya dega huruf S,, C, atau huruf laiya. Dalam buku ii aka Pegatar Statistika Matematis -------------------------------------------------------------------------------
diguaka huruf S utuk meyataka ruag sampel. Jika S terhitug maka S diamaka ruag sampel diskrit, da jika S tak terhitug (da bayak usurya tak terhigga) maka S diamaka ruag sampel kotiu. Jika setiap titik sampel dari S memiliki kesempata yag sama utuk mucul, maka S diamaka ruag sampel uiform. Cotoh. Dua dadu bersisi dilempar udi atau di tos sekaligus dari ketiggia dua meter. Dapat diperlihatka, bahwa pegetosa dua dadu ii merupaka sebuah eksperime acak, yaitu memeuhi semua ciri dari eksperime acak. Hasilya berupa pasaga sisi dadu pertama da sisi dadu kedua, da bisa diyataka dega pasaga agka. Misalya mucul pasaga (2, 4) ii berarti sisi dadu pertama mucul sisi beromor 2 da sisi dadu kedua mucul sisi beromor 4. Semua hasil yag mugki atau semua pasaga agka yag mugki mucul dapat dihimpu dalam sebuah himpua, da himpua ii adalah ruag sampel dari Eksperime cak tersebut. Ruag sampel tersebut dapat ditulis sebagai S = {(, ), (, 2),..(, ), (2, ),..(2, ),.. (, )} atau S = {(x, y): x, y =,2,3,4,5,} = {,2,3,4,5,} x {,2,3,4,5,} Kardial atau bayak aggota dari S adalah S) =3. S adalah himpua terhigga, jelas S terhitug, jadi S adalah ruag sampel diskrit. Jika diasumsika setiap titik sampel dari S memiliki kesempata yag sama utuk mucul, S adalah ruag sampel uiform. Catata: Dadu yag meghasilka ruag sampel S uiform diamaka dadu jujur atau dadu homogi. Perlu diperhatika, bahwa tidak setiap dadu bersisi, ada pula dadu yag bersisi tidak, misalya dadu bersisi 4 atau bidag 4 beratura. Dalam buku ii, jika ditulis dadu, berarti (maksudya) adalah dadu bersisi. Cotoh.2 Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 2
Seorag pegamat meayaka (mecatat) umur pegujug yag masuk pitu sebuah supermarket. Pegamata ii termasuk eksperime acak (megapa?), da ruag sampelya adalah himpua semua bilaga real positif (aggapa), sehigga: S = {x R / x > 0} = R + = (0, ), jelas, bahwa S termasuk ruag sampel kotiu. Sekarag, perhatika sebuah himpua X da (dibaca omega) yaitu koleksi dari beberapa subset X (tidak perlu semua subset X) yag aka diberika dalam defiisi berikut: Defiisi () yaitu koleksi dari beberapa subset X diamaka lapaga sigma pada X, jika tertutup terhadap kompleme da irisa terbilag. (2) Jika S ruag sampel dari suatu eksperime acak, da adalah lapaga sigma pada S, maka diamaka meda peristiwa atau lapaga peristiwa pada S, setiap aggota dari meda peristiwa diamaka peristiwa pada S. Peryataa-peryataa berikut dapat dibuktika: () Setiap lapaga sigma memuat himpua kosog da himpua semestaya, serta tertutup terhadap gabuga terbilag. (2) P (X) = 2 x = { / X}= himpua kuasa dari X, da {, X) adalah dua lapaga sigma, yag berturut-turut diamaka lapaga diskrit da lapaga idiskrit. (3) Jika da 2 dua lapaga sigma pada X maka 2 adalah lapaga sigma pada X. Tetapi 2 belum tetu sebuah lapaga sigma. Catata: erdasarka defiisi meda peristiwa, jelas secara teoritis matematis, bahwa peristiwa ialah subset dari ruag sampel S, tetapi tidak setiap subset dari S berupa peristiwa (belum tetu sebuah peristiwa), kecuali meda peristiwa yag diambil adalah himpua kuasa dari S, jika meda peristiwa pada ruag sampel S maka pasaga (S, ) diamaka ruag peristiwa. Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 3
Cotoh.3 Misalka X = {a,b,c,d,e} Jika = {,X, {a, b, c}, {d, e}} da 2 = {, {a}, {a, c}, {b, d, e}, X} Maka dapat ada tujuka bahwa merupaka sebuah lapaga sigma pada X, tetapi 2 buka sebuah lapaga sigma pada X. (keapa?). Cotoh.4 Misalka S = {,2,3,4,5,} adalah ruag sampel dari pegetosa sebuah dadu. Dapat ada tujuka bahwa = {, {}, {2, 3}, {4, 5, } {, 2, 3}, {, 4, 5, }, {2, 3, 4, 5, }, S}, 2 = {, {, 3, 5}, {2, 4, }, S} 3 = 2 S adalah meda peristiwa-meda peristiwa pada S sedagka 4 = {, {, 3, 5}, {}, {2, 4, }, {4, 5, }, {2, 3, 4, 5, }, S} buka meda peristiwa pada S (keapa?). Jika kita ambil (S, }sebagai ruag peristiwa maka {, 2, 3} S adalah sebuah peristiwa pada S tetapi {, 3, 5} S buka sebuah peristiwa relatif terhadap meda (keapa?). Relasi da Operasi pada Peristiwa Misalka (S, ) sebuah ruag peristiwa, da, atau, dua peristiwa pada S. Maka C,,, = C, S da semuaya adalah aggota dari, dega pegertia: () C peristiwa buka (2) peristiwa da (3) peristiwa atau atau keduaya (4) = C : peristiwa tapi buka (haya peristiwa ) (5) S : peristiwa yag pasti terjadi () : peristiwa yag pasti tidak terjadi (mustahil terjadi) Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 4
(7) : peristiwa terjadi maka peristiwa terjadi pula. Defiisi da dikataka dua peristiwa salig ekslusif jika =, atau dega kata lai, peristiwa yag satu mecegah terjadiya peristiwa yag lai. Cotoh.5 Misalka S = {, 2, 3, 4, 5, } ruag sampel pegetosa sebuah dadu, da diambil (S, 2 S ) sebagai ruag peristiwa. Jika peristiwa mucul bilaga gajil, peristiwa mucul bilaga geap, C peristiwa mucul bilaga prima, tetuka da berika pegertia utuk masig-masig peristiwa berikut: a. C C b. C c. C d. C e. Peyelesaia: Secara teoritis/matematis utuk peristiwa, da C adalah = {,3,5} S. = {2,4,} S, da C = {2,3,5} a. C C ={, 4, }, berarti peristiwa mucul buka bilaga prima b. C = {3,5}, berarti peristiwa mucul bilaga gajil da bilaga prima c. C = {2, 3, 4, 5, }, berarti peristiwa mucul bilaga geap atau bilaga prima atau keduaya. d. C = C C ={2}, berarti peristiwa mucul bilaga prima tetapi tidak gajil. e. =, berarti peristiwa mustahil terjadi, da dalam hal ii peristiwa mucul bilaga gajil da peristiwa mucul bilaga geap adalah dua peristiwa yag salig ekslusif..2 Peluag Peristiwa da Kombiatorial Dari pasal. kita telah megetahui pegertia peristiwa secara matematis, yaitu subset dari ruag sampel S atau tepatya aggota dari meda peristiwa. Dega kata lai kita telah memiliki ruag peristiwa (S, ). Selajutya kita igi Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 5
megetahui derajat kejadia dari peristiwa-peristiwa yag ada. Utuk ii harus dibuat suatu alat ukur atau suatu fugsi (ukura) yag meyataka derajat (ilai) kemugkia terjadiya suatu peristiwa. erdasarka sejarah perkembaga teori peluag, dikeal beberapa kosep ilai kemugkia, diataraya kosep peluag klasik da kosep peluag empiris (relatif), kedua kosep ii telah lama kita aut yag maa satu sama laiya salig melegkapi, tetapi juga keduaya memiliki kelemaha atara lai sulit dikembagka. Terdapat kosep atau defiisi peluag yag lebih matematis, da lebih kuat dega dibagu di atas kosep lapaga sigma (meda peristiwa). Tahu 933, Kolmogorov merumuska defiisi peluag sebagai berikut: Defiisi Misalka (S, ) adalah ruag peristiwa. Fugsi himpua P : R diamaka fugsi peluag pada S. Jika: (i), P () > 0 (ii) P (S) = (iii), 2,, dega i j = (i j), maka P ) Catata: ksioma (iii) pada defiisi peluag, megadug arti ),, 2 dega i j = P..., Jika P fugsi peluag, maka ) meyataka peluag atau ilai kemugkia terjadiya peristiwa. Tiga seragkai (S,, P) diamaka ruag peluag. Defiisi Kolmogorov tetag peluag ii, tidak memberika petujuk bagaimaa meetuka peluag terjadiya suatu peristiwa. Tetapi haya memberika atura atau batasa yag harus dipeuhi oleh peluag. Pada keyataaya, kita sepakat bahwa cara utuk megukur atau meghitug ilai Pegatar Statistika Matematis -------------------------------------------------------------------------------
kemugkia terjadiya peristiwa atara lai dega cara: sumsi, percobaa, pegalama da teorema. Cotoh. Misalka S = {M, } adalah ruag sampel dari pegetosa/lempar udi atau melatuka sebuah mata uag yag tidak seimbag. Kita ambil (S, ruag peristiwa dega = 2 S = {, {M}, {}, S}. Jika didefiisika fugsi himpua P: R, Dega P : 0 {M} 0, 8 {} 0, 2 S ) sebagai Maka dapat ada tujuka, bahwa P merupaka sebuah fugsi peluag. Dalam hal ii P {M} = 0, 8, P {} = 0, 2 yag memberika pegertia, bahwa peluag mucul sisi muka adalah 0,8; da peluag mucul sisi belakag adalah 0,2, kalau kita perhatika yag lazim di masyarakat adalah P {M} = P {} = 0,5 ii juga bear dega megguaka asumsi, bahwa kedua sisi dari mata uag tersebut seimbag (homogi). Cotoh.7 Misalka S = [0, ] = {x / 0 x } adalah ruag sampel dari suatu eksperime acak, da diambil meda peristiwa {, 3 3 0,,, 4 4. Padag relasi P: R dega 3 27 P 0, da 4 4 P 3, 4 37. erdasarka relasi 4 ii kita dapat medefiisika sebuah fugsi peluag, silahka ada legkapi atura fugsi P tersebut. Selajutya, berdasarka defiisi fugsi peluag kita dapat memuculka beberapa teorema, yag maa dega megguaka teorema ii kita aka dapat meghitug atau meetuka peluag suatu peristiwa. Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 7
Teorema: (Teorema Dasar Peluag) Misalka (S,, P) sebuah ruag peluag, maka (), 0 P () (2), P ( C ) = P () (rumus kompleme) (3) P ( ) = 0 (4),, P ( ) = P () + P () P ( ) (rumus pejumlaha umum) (5) Jika da salig ekslusif, maka P ( ) = P () + P () (rumus pejumlaha khusus) () Jika, maka P () P () (fugsi peluag P tak turu). erikut adalah tekik meghitug peluag suatu peristiwa dalam ruag sampel diskrit yag disajika ke dalam sebuah teorema. Teorema. Misalka (S,, P) sebuah ruag peluag () Jika S diskrit da higga, maka peluag sama dega jumlah semua peluag dari masig-masig titik atau usur yag terletak dalam (2) Jika S diskrit, higga da uiform, maka peluag sama dega hasil bagi atara kardial dega kardial S Pejelasa Karea S diskrit da higga da S, maka juga diskrit higga, sehigga dapat ditulis sebagai = {a, a 2... a k }= da (keapa demikia?) Utuk teorema bagia (2) adalah hal khusus dari teorema bagia pertama. Jika K k adalah cardial da adalah cardial S maka P () =. tura atau rumus ii biasaya diberika dimatematika sekolah sebagai defiisi klasik dari peluag. Cotoh.8 Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 8
Misalka S adalah ruag sampel pegetosa sebuah dadu tak jujur, da kita ambil (S, = 2 S ) sebagai ruag peristiwa. Selajutya lihat cotoh.5! Kita defiisika fugsi P : R, dega P : {} 0,2 {2} {3} 0,3 {4} 0,05 {5} 0, {} 0,5 Dega memperhatika sebagia pemasaga oleh fugsi P, maka kita dapat melegkapi pemasaga tersebut (semuaya ada 4 pasag), sedemikia sehigga P medefiisika sebuah fugsi peluag. Jadi kita memiliki ruag peluag (S,, P) dega S diskrit higga tidak uiform. Selajutya kita aka meghitug peluag D C, D, D, D, da dega = {, 3, 5}, = {2, 4, }, da D = {2, 3, 5) sebagai berikut: P (D C ) = - P (D) = P ({2}) P ({3}) P ({5}) = 0,2 0,3 0, = 0,4 P ( D) = P ({3,5}) = P ({3}) + P ({5}) = 0,3 + 0, = 0,4 P ( D) = P () + P (D) - P ( D) = 0,4 + 0, 0,2 = 0,8 atau dapat dihitug dega megigat D = {2,3,4,5,}. P (D ) = P (D C ) = P ({2}) = 0,2 P ( ) = P (O) = 0 Catata: Dega ruag peluag yag diberika ii, maka peluag mucul sisi dadu gajil adalah 0, da peluag mucul sisi dadu geap adalah 0,4 tetapi, jika S diskrit higga uiform maka peluag kedua peristiwa tersebut adalah sama, yaitu 0,5 = ) S) ). Dalam ragka meetuka peluag suatu peristiwa atau sukses S) (peristiwa yag diperhatika atau diharapka), maka diperluka kombiatorial atau Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 9
matematika membilag. Dega atura kombiatorial kita bisa meghitug bayak aggota atau cardial dari ruag sampel S (khusus ruag sampel uiform) da cardial dari peristiwa sukses tapa megidetifikasi S da dalam betuk himpua prisip atau atura meghitug yag aka dibicaraka adalah prisip dasar perkalia, permutasi da kombiasi. Prisip dasar perkalia Misal, =, 2,.., k dega ) = Jika dari setiap himpua diambil sebuah usur, maka bayak cara memperoleh k usur tersebut adalah =, 2,.. k (Catata: Prisip dasar perkalia ii bisa diperoleh megguaka pedekata operasi dega k tahap. Cotoh.9 Misalka dari adug ke Cirebo ada 3 rute perjalaa, dari Cirebo ke Surabaya ada 4 rute perjalaa, dari Surabaya ke Depasar ada rute perjalaa. Hitug berapa rute perjalaa dapat dilalui dari adug ke Depasar, dega syarat melalui Cirebo da Surabaya. Peyelesaia: Tiap rute dari adug ke Cirebo dapat dilajutka ke Surabaya dega 4 cara, da tiap rute ii dapat dilajutka ke Depasar dega cara, berarti terdapat 4 x cara. Karea dari adug ke Cirebo terdapat 3 cara, maka semua rute jala yag dapat dilalui adalah 3 x 4 x cara. Dalam hal ii terdapat 3 himpua, dega ) = 3, 2 ) = 4, da 3 ) = Permutasi Permutasi adalah susua dari beberapa usur dega memperhatika uruta Misalka terdapat susua dari 3 usur, yaitu a b c, a c b, b c a, b a c. Karea uruta diperhatika maka 4 susua ii berbeda. Kita aka meghitug bayak permutasi k usur berbeda dari himpua dega usur ( k ). Misal N dega ) =. Uruta pertama dapat diisi oleh usur dega cara, uruta kedua Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 0
dega (-), da seterusya sampai dega uruta ke k dapat diisi dega (-(k-) cara. Dega megguaka prisip dasar perkalia, maka bayak cara megurutka (permutasi) k usur tersebut adalah (-) (-2) (-(k-). Jika P k meyataka bayak permutasi k usur berbeda dari himpua dega usur, atau bayak permutasi k objek yag diambil dari objek, maka: da bila megguaka otasi faktorial maka Catata: P k = P k = (-) (-2) (-(k-), k =,2, ( k) ) Jika dalam permutasi diperbolehka usurya ada yag sama, maka susua tersebut diamaka permutasi berulag, da misal permutasi k usur berulag dari usur (objek), maka: P k k k P meyataka bayak 2) ila dari objek, diataraya terdapat objek jeis sama, 2 objek jeis 2 sama,.., k objek jeis k sama, maka bayak permutasi objek dari objek tersebut, adalah: P (, 2,..., ) k 3) ila susua (permutasi) dibuat meligkar atau siklis maka bayak permutasi siklis dari usur adalah (-). Cotoh.0 Terdapat dua kotak. Kotak pertama berisi 3 kartu bilaga (, 3 da 5), sedagka kotak dua berisi 4 kartu bilaga (0,2,4 da ) kita aka membuat bilaga dega 5 agka, yaitu dua agka pertama adalah kartu bilaga dari kotak da tiga agka terakhir adalah kartu bilaga dari kotak 2. a) Hitug bayak bilaga dega 5 agka yag dapat dibuat (cotoh: bilaga 3024) b) Jika betuk da ukura dari kartu-kartu bilaga idetik da diambil secara acak. Tetuka bayak aggota ruag sampel. c) Hitug peluag medapatka bilaga berilai lebih dari lima puluh ribu. Pegatar Statistika Matematis -------------------------------------------------------------------------------
Peyelesaia: a) Cotoh bilaga yag dapat dibuat atara lai adalah 3024, 3024 da 542. ayak cara meempatka dua agka pertama utuk bilaga ii yag diambil 3 dari kotak adalah P, da tiap dua agka dari kotak ii dapat 2 dipasagka (dilajutka) dega 3 agka terkahir yag diambil dari kotak 2 4 sebayak P 24 cara. Jadi bayakya bilaga dega lima agka yag dapat 3 dibuat adalah x 24 = 44. b) Ruag sampelya adalah S = {3024, 302,.., 5342} da S) = bayakya aggota ruag sampel P. P = 44. Dalam hal ii, karea betuk da ukura 3 2 4 3 kartu idetik serta diambil secara acak, maka diaggap S adalah ruag sampel uiform. Dega kata lai peluag atau kesempata titik sampel mucul (diperoleh) adalah 44 c) Misalka adalah peristiwa medapatka bilaga berilai lebih dari lima puluh ribu (cotoh: 5024, 5342, da 53240). Maka ) =. P. P =. 2. 24 = 48 2 4 3 k) 48 Jadi ) = 0, 33 s) 44 KOMINSI Kombiasi adalah susua dari beberapa usur berbeda, dega tidak memperhatika uruta. Misal terdapat susua dari 3 usur, yaitu: abc, acb, bca, bac. Karea uruta tidak diperhatika maka 4 susua dari a, b da c ii sama. Hal ii lebih cocok ditulis dalam betuk himpua, yaitu {a,b,c}. Kita aka meghitug bayak kombiasi k usur yag diambil dari himpua dega usur, atau kombiasi k objek dari objek yag berbeda. Misalka k C meyataka bayak kombiasi k usur dari sebuah himpua dega usur. Karea setiap satu kombiasi k usur dapat dibuat bahwa P k = k! Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 2
Catata:! C k, k 0,,2,..., ( k)! k! Notasi lai utuk meyataka bayak kombiasi k usur dari himpua dega usur adalah ( k ) Cotoh. Sebuah kotak berisi 40 bola teis meja. Terdiri atas 5 bola putih, 20 bola kuig, da 5 bola hijau. Diambil 5 bola secara acak. a) Tetuka bayak aggota ruag sampel, jika pegambila bola teis meja secara sekaligus, satu-satu tapa pegembalia da satu-satu dega pegembalia. b) Dega megasumsika ruag sampel uiform, da meda peristiwa yag diambil terbesar ( = 2 S ). Hitug peluag terambil 2 bola putih, 2 bola kuig, da bola hijau dalam 5 pegambila tersebut. c) Hitug peluag terambil palig bayak 2 bola kuig. Peyelesaia: a) Himpua bola teis meja dapat diidetifikasi sebagai H = {p, p 2,, p 5, k, k 2, k 20, h, h 2,, h 5 } dega H) = 40. Utuk pegambila sekaligus, berarti tidak aka terambil bola yag sama da uruta tidak diperhatika, misalya {p 2, p 7, k 3, h, h 2 } = { h 2, p 2, k 3, h, p 7 }, berarti susua bola berupa kombiasi, maka S) = ( 40 5 ) Pegambila tapa pegembalia diartika bahwa, setiap pegembalia berikutya maka usur (objek) yag telah terambil pada pegembalia sebelumya tidak dikembalika dulu. Terdapat dua kasus, yaitu uruta diperhatika, da uruta tak diperhatika. Utuk kasus pertama, S) = utuk kasus kedua S) = ( 40 5 ). 40 P 5 da Pegambila dega pegembalia, diartika, bahwa setiap pegambila berikutya, maka usur (objek) yag telah terambil pada pegambila Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 3
sebelumya dikembalika dulu. erarti boleh ada yag sama, da uruta diperhatika misalya p p 2 p 3 p 4 p 5, p p 2 k k 2 h S) = 40 5. Catata: p 2 p k k 2 h, k k k k k maka Para ahli Statistika sepakat, bahwa pegambila tapa pegembalia dega pagambila sekaligus (tapa ada pejelasa tambaha) memberika hasil yag sama, yaitu S) = ( k ). b) ggap pegembalia yag dilakuka adalah sekaligus, berarti S) = 58008, da karea diambil secara acak da ukura bolaya idetik, maka ruag sampel S adalah uiform, berarti peluag setiap titik sampel sama, yaitu 40. 5 Misalka = peristiwa terambil dua bola putih, dua bola kuig da satu bola hijau. Cotoh aggota adalah p p 2 k k 2 h, p p 3 k k 2 h,... Maka dapat diperlihatka, bahwa ) = ( 5 2 ). ( 20 2 ). ( 5 ) = 05. 90. 5 = 99750 ) Jadi ) = 0, 5 S) c) Misal = peristiwa terambil palig bayak 2 bola kuig = 0 2 Dega 0 = peristiwa terambil tepat ol bola kuig. (Cotoh: p p 2 p 3 h h 2 ) = peristiwa terambil tepat satu bola kuig. (Cotoh: k p p 2 p 3 h ) 2 = peristiwa terambil tepat dua bola kuig. (Cotoh: k k 2 p p 2 p 3 ) Yag maa 0,, 2 tiga peristiwa salig ekslusif. Dapat dijelaska, bahwa 0 ) = ) = 20 5 5 5 = 5504 5 5 4 = 9900 Maka, 2 ) = 20 2 5 5 3 = 200 ) 0 ) ) 2 ) 329004 ) = 0, 5 S) S) 58008 Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 4
.3 Peluag ersyarat Misal (S.. P) ruag peluag da... Peulisa / diartika sebagai peristiwa relatif terhadap peristiwa, atau peristiwa jika diketahui. agaimaa meghitug peluag /? P (/)? Dalam hal ii S diaggap sebagai ruag sample yag baru berarti dibadigka dega. Jika S diskrit uiform maka bayak usur yag ada di dibadigka de3ga bayak usur sehigga peluagya adalah : N ) P (/) = N ( ) N ( N ( S) N ( ) N ( S) ) P ( ) =, P ( ) O ( perhatikagambar ) P ( ) S Gambar :. Peulisa P (/) di artika sebagai peluag bersyarat dari jika diketahui Diilhami oleh keyataa ii, kita medefiisika peluag peristiwa bersyarat P utuk ruag sample S sembarag. Da dapat ditujukka bahwa P adalah bearbear sebuah fugsi peluag! Selajutya ideks dalam P bisa dihilagka, cukup dega P saja! Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 5
Defiisi : Misalka (S, Ω, P) ruag peluag, da,, Ω, dega ) : 0, maka : ) / ) = ) Catata : Pugsi himpua P : Ω x {} R (, ), ) = ) ) ) (C, ) /) = ) memeuhi ketiga aksioma dari fugsi peluag (silahka ada tujuka ) Sifat (Rumus perkalia umum). Jika da dua peristiwa dalam ruag sampel S. Maka : ) = ) /) da ) = ). /) 2. Jika, 2,.. barisa peristiwa dalam ruag sampel S, maka :, 2 = P = ). 2 / ). P 3 2. P 3 2 - = ). P i i i 2 i Cotoh. 2 Dua dadu jujur atau dua dadu homoge dilempar udi (ditos) sekaligus. Jika adalah peristiwa mucul pasaga agka kembar, adalah peeristiwa mucul agka pada dadu, C adalah peristiwa mucul agka pada II, da D adalah peristiwa mucul pasaga agka berjumlah kurag dari 4, hituglah peluag ; a),, C da D b) Peristiwa mucul pasaga agka kembar, da agka pada dadu Pegatar Statistika Matematis -------------------------------------------------------------------------------
c) Peristiwa mucul pasaga agka kembar, jika di ketahui agka pada dadu d) Peristiwa mucul agka pada dadu II, jika di ketahui agka I pada dadu da pasaga agka berjumlah kurag dari 4 e) Peristiwa mucul pasaga agka berjumlah 5, jika diketahui peristiwa atau peristiwa telah terjadi (relatif) f) C dega dua cara Peyelesaia : Ruag sampel dari eksperime tersebut adalah : S = {(, )(, 2)., (, ), (2, ), (2, 2),(2, ),(3, )., (, )} dega S) = 2 = 3 karea dadu jujur, maka kesempata mucul tiaptitik sampel tersebut adalah 3 aiform higga berarti (S.Ω =2 s. P) adalah ruag peluag dega S diskrit a) peistiwa-peristiwa,, C da D dapat ditujuka dega betuk himpua (subset da S) yaitu : ={(,), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (,)} ={(,), (,2), (,3), (,4), (,5), (,)} C ={(,), (2,), (3,), (4,), (5,), (,)} da D = {(,), (,2), (2,)}dega ) =, N () =, N (C) = da N (D) = 3 Maka ) = ) S) 3 ) = ) S) 3 ) = ) S) 3 D) 3 D) = S) 3 2 b) ) = {(,)}) = (,) = 3 Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 7
c) /) = 3 ) d) P C D) D) D) 0 e) D C ) =- D ( )) ) 2 3 3 f) Cara pertama (lagsug), yaitu C = {(,)}. Maka C) = S) C) 3 2 9 Cara kedua dega rumus C) = ). ) P ( C ) Dega ) =, /) = da P ( C 3 ) =, maka C ) =, 3, 3 Perhatika cotoh soal o.. 2, soal (b) P () =, ) =, da ) =. = P () P (), juga 3 )= 3 ) =),P ( ) ) = ) 3 =) ) ii memberika arti kepada kita bahwa terjadi tidakya peristiwa yag satu atau relatif tidakya peistiwa yag satu maka peluag peristiwa yag lai tidak berubah yaitu ) = ) juga P ( ) = ) atau ) = ).). Dua peristiwa yag seperti ii aka kita beri ama khusus yaitu peristiwa yag salig bebas (idepedet). Defeisi; Dua peristiwa da dikataka salig bebas (stokastik) atau idepedet jika peluag irisaya sama dega hasil kali masig-masig peluagya, dega kata Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 8
lai, bebas ) = ). ) da, tak bebas (idepedet/bergatuga) ) ). ) Sifat da bebas, maka ) = ), P ( ) = ) coba ada buktika! Catata Dalam pegertia sehari-hari, dua peristiwa dikataka salig bebas jika terjadi tidakya peristiwa yag satu tidak mempegaruhi terjadiya peristiwa yag lai. Sedagka dua peristiwa salig bergatuga (idepedet), jika terjadiya peristiwa yag satu mempegaruhi terjadiya peristiwa yag lai. Sebagai cotoh, misalya adalah peristiwa guug Fujiyama meletus pada suatu hari, da peristiwa Mahasiswa lulus tepat pada waktu akademik, maka kita sepakat, ) = ) da P ( ) = ) ii berarti terjadiya peristiwa yag satu tidak mempegaruhi terjadiya peristiwa yag lai (mahasiswa lulus pada waktuya). Defiisi Tiga peristiwa, da C salig bebas, jika ) = ). P (), C) = P (). P (C), P ( C) = P (). P (C) da P ( C) = P (). P (). P (C) Utuk peristiwa salig bebas, dapat didefiisika seperti utuk kebebasa 3 Peristiwa Perhatika cotoh. 2! da dua peristiwa salig bebas sebab ) = ). ) tetapi tidak ekslusif sebab. Juga da C salig bebas sebab P ( C) = P ( ). C) tetapi tidak ekslusif sebab C. egitu juga da C dua peristiwa salig bebas tetapi tidak ekslusif. karea C) = P ( ) =0 P (). P (). P (C) maka tiga peristiwa, da C tidak bebas Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 9
Sifat Jika da bebas, maka ; ) C da bebas 2) da C bebas 3) C da C bebas ukti ) Harus ditujuka, bahwa C ) = C ).) sebagai berikut : C ) = C )=). P (Terbukti) C = ) -P = ) {-)} = ).) ) Utuk (2) da (3) coba ada buktika sediri sebagai latiha! C Cotoh.3 Misalka diambil secara acak 00 pemuda dega maksud utuk diperiksa oleh tim dokter, khusus kesehata mata da betuk telapak kaki. Dari pemeriksaa diperoleh hasil 40 orag kakiya datar (kelaia telapak kaki) 50 orag haya mata rabu jauh (kelaia mata) da 20 orag mederita kedua-duaya serta 30 ora tidak mederita kedua-duaya (sehat). Secara statistik, apakah kelaia telapak kaki mempegaruhi rabu jauh da sebalikya? Peyelesaia Misalka peristiwa pemuda memiliki kelaia telapak kaki (datar) da peristiwa memiliki kelaia mata (rabu). Jika persetase kelaia diaggap sebagai peluag peristiwa, kita tujukka bahwa N () = 40. N () = 50. N ( ) = 20 da N ( ) = 30, maka ) = 0,4. ) = 0,5. ) = 0,2. C ) = 0,. P ( C ) = 0,5. Sehigga ) = 0,2 = 0,4 = 0,5 = ). ). Ii memberi maka secara statistic bahwa kelaia telapak kaki datar tidak mempegaruhi kelaia mata. egitu juga, bahwa telapak kaki baik tidak mempegaruhi mata baik. Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 20
Hal ii dapat dijelaska dega : C C ) = P ( ) C = 0,7 = 0,3 = C ). C ) Teorema ayes Laplace Misalka (S. Ω. P) ruag peluag da, 2,..., partisi dari ruag sample S, dega ) 0, =, 2, 3,..., jika peristiwa lai dalam S, maka )) = i ). P (atura elimiasi) 2) k =, 2,...,, P k = ). P k ). P i k (Dalil ) Catata, 2..., partisi dari S, jiuka 2 =, j da = S Dalam pegguaaya, 2..., diamaka peristiwa-peristiwa tahapatara (dalam hal ii haya satu tahapatara) atau disebut disebut juga peristiwa awal. Sedagka diamaka peristiwa akhir, atau peristiwa akibat. Jika kita igi meghitug peluag akhir, maka guaka atura elimiasi (), da jika peristiwa akhir telah terjadi atau telah diketahui da kita dimita utuk meetuka peluag awal, maka guaka atura L (2) i uktika Kodisi premis dari teorema L (atura da atura 2) dapat disajika seperti gambar, 2,! 2... k... a Gambar.2 Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 2
Dapat ditujukka bahwa = ( ) ( 2 ). ( ) = i Da ( ) ( ) = (i j) Sehigga, ) = P Da P = Cotoh. 4 = = = i i i i p ( ) p ( ) p ( ) P P K ( ) ) k i ). P ). P i k (terbukti) Misalka di sebuah kawasa idustri terjadi musibah kebocora mesi produksi, yag bisa berakibat ifeksi pada tubuh mausia di sekitar kawasa tersebut, kea tidakya ifeksi tergatug pada gologa darah yag dimilikiya. Misalka berdasarka ahli kesehata masyarakat diketahui peluag seseorag terkea ifeksi bagi yag bergologa darah,,, da O berturut-turut adalah 0,30 0,35 0,0 da 0,45. Tim dokter megambil seorag peduduk dari kawasa idustri tersebut secara acak dega maksud aka diperiksa apakah terkea/tidak terkea ifeksi, berdasarka PS setempat diketahui prosetase gologa darah utuk peduduk kawasa tersebut, yaitu gologa darah,,, da O berturut-turut 35%, 25%, 30%, da 0% a). Hitug peluag masyarakat dikawasa idustri tersebut terkea ifeksi 2). ila tim dokter megumumka bahwa peduduk yag diperiksa diyataka terkea ifekssi akibat musibah kebocora tersebut, berapaka peluag yag bergologa darah O Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 22
Peyelesaia a). Karea kea tidakya ifeksi tergatug pada gologa darah yag dimiliki seseorag, atau dega kata lai gologa darah mempegaruhi kea tidakya ifeksi, berarti gologa darah adalah peristiwa awal (tahap atara) da terkea ifeksi adalah peristiwa akhir (akibat). Misalka peristiwa, 2, da 4 berturut-turut adalah peduduk bergologa darah,,, da O, dega, 2, 3, da 4 adalah suatu partisi dega ) = 0,35, 2 ) = 0,25, 3 ) = 0,30 da 4 ) = 0,0 Misalka peristiwa K adalah peristiwa peduduk (masyarakat) dikawasa idustri tersebut terkea ifeksi, dega P K 3 Maka K) = =0.0 da P 4 i = ).P 4 ).P K = 0,5 4 P K K K 4 + 2).P K = 0.30, P K + 3).P 2 K = 0.35. P 2 K + 3 = 0,35 (0,30) + 0,25 (0,35) + 0,30 (o,0) + 0,40 (0,45) = 0, 3875 b) Dalam hal ii, peristiwa akhir telah diketahui (telah terjadi), yaitu peduduk (masyarakat) terkea ifeksi (sakit). erapakah peluag dari yag sakit ii bergologa darah O, berarti harus dihitug P K yaitu : 4 4 ). P K P K 4 0,0(0,5) = 0, 04 4 K) 0,375 Ii berarti peluag peduduk bergologa darah O, jika diketahui dia terkea ifeksi adalah 0,04 Soal-soal latiha. Dua mata uag yag masig-masig bersisi M da, da da dua dadu masig-masig berisi, 2, 3, 4, 5,, dilempar Di tos/dilatuka sekaligus Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 23
a) Perlihatka bahwa pegetosa ii adalah eksperime acak b) Tetuka ruag sampelya da kardialya. pakah diskrit/kotiu? 2. Misalka S = {a, b, c, d} adalah ruag sampel dari suatu eksperime acak. erika cotoh sebayak-bayakya meda peristiwa pada S yag buka terkecil da terbesar 3. Sebuah bilaga di ambil secara acak diatara o sampai dega a) Tetuka ruag sampel, da kardialya. pakah diskrit/kotiyu? b) Misalka S ruag sampel da eksperime tersebut. erika pejelasa bahwa pasaga (S 2 8 ) sebuah ruag peristiwa c) Jika adalah peristiwa bilaga yag terpilih kurag dari tulislah sebagai subset dari S. 4. Jika Ω da Ω 2 dua meda peristiwa pada S a) uktika bahwa Ω Ω 2 meda peristiwa pada S b) erika cotoh bahwa Ω Ω 2 belum tetu meda peristiwa! 5. Dua mata uag yag tidak seimbag ditos sekaligus da diperoleh ruag sampelya S = {, M, M, MM}. Dibuat pemasaga P: Ω - 3 atara lai dega : {} 0,5 {M} 0,2 {M} {MM} 0,45 Jika diambil Ω = 2 s, maka dega megguaka empat pemaga di atas kita dapat meeruska pemasaga tersebut, sedemikia sehigga triple (S. Ω P) membetuk sebuah ruag peluag a) erika pejelasa, bahwa Psebuah fugsi peluag b) Hitug peluag mucul tepat satu muka c) Hitug peluag mucul palig sedikit satu muka. Seorag peterak megirim ke sebuah toko sekerajag telur ayam kampug sebayak 40 butir dimaa 5 diataraya jelek (busuk). Pegusaha toko aka meerima semua pegirima telur. Jika empat telur yag diambil Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 24
secara acak palig bayak haya yag jelek. Hitug peluag, bahwa semua kirima itu aka diterima pegusaha toko. 7. Sebuah kelas terdiri atas 22 mahasiswa da 8 mahasiswi aka membetuk susua kepaitiaa yaitu ketua, sekretaris da bedahara. Jika tidak boleh ada jabata ragkap da setiap aggota memiliki hak yag sama utuk meduduki jabata tersebut. a) Hitug berapa bayak cara mereka membetuk susua kepaitia tersebut b) Jika persyarata ketua da bedahara harus lelaki da sekretaris harus waita. Hitug semua cara yag mugki c) erapakah peluag susua kepaitia semuaya lelaki 8. Misal ( S, Ω, P) sebuah ruag peluag, da Ω atau S. tertetu. Didefiisika fugsi P : Ω x {} R dega P (.) = P ) ) uktika, bahwa P medefiisika sebuah fugsi peluag. Catata : P terhadap = P diamaka peluag bersyarat dari relatif 9. Jika ) = 0,4. P da C ), = 0. da P = 0,8 Hitug ), ), 0. Eam batag rokok dega ukura idetik diambil secara acak tapa pegembalia dari sebuah gelas yag terdiri atas 8 batag JC, 7 batag JK, da 5 batag SK. a) Hitug peluag terambil tepat 3 batag JC, da tepat 2 batag SK b) erapakah peluag terambil semuaya JC?. Perhatika daftar 2000 pasaga usia subur (PUS) disebuah keluraha meurut keikut sertaa K da tigkat pedidika. Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 25
Tigkat pedidika Keikut sertaa K SD SMP SM PT Jumlah Ya Tidak 300 200 400 200 00 50 00 50 400 00 Jumlah 500 00 750 50 2000 Jika diambil secara acak satu PUS. Hitug peluag : a) Terambil PUS berpedidika SM b) Terambil PUS berpedidika PT da peserta K c) Terambil PUS tidak ikut K jika diketahui PUS tersebut berpedidika SD d) Terambil PUS berpedidika PT jika PUS tersebut peserta K e) Terambil PUS berpedidika SM atau berpedidika PT jika Pus tersebut tidak ikut K 2. Misalka dalam suatu PEMILU preside RI atar istri da suami salig mempegaruhi. Jika peluag istri memilih calo N adalah 0, da jika suamiya telah memilih calo X peluagya mejadi 0,8. Jika peluag suami memilih yag buka calo X adalah 0,3 a) Hitug peluag suami istri kedua-duaya memilih calo X b) erapakah peluagya palig tidak suami atau istri memilih calo X c) Jika teryata istriya telah lebih dulu memilih calo X, berapakah peluag suamiya memilih calo X? 3. Dari set kartu bridge legkapdiambil satu-satu secara acak 3 kartu tapa pegembalia. Hitug peluag pada pegembalia pertama terambil kartu kig jeis da pada pegambila kedua terambil kartu kig jeis IV da pada pegembalia ketiga terambil kig jeis III dega dua cara yaitu : a) Dega megguaka teorema dasar peluag b) Dega megguaka rumus perkalia umum utuk 3 peristiwa 4. Diketahui tukag kebu/tama oragya pelupa. Peluag lupa meyiram taama adalah 0,. Taama aka layu jika tidak disiram peluagya 0,7 Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 2
da 0,2 jika taama itu disiram. Majikaya datag da teryata taama layu. erapakah peluagya tukag kebu lupa tidak meyiramya? 5. Kotak berisi bola merah da 4 bola kuig. Kotak II berisi 5 bola merah da 0 bola kuig da 5 bola putih. Kotak III berisi 0 bola merah da 30 bola kuig. Dipilih sebuah kotak kemudia dari kotak yag terpilih diambil sebuah bola secara acak. Jika peluag terpilih kotak I, II, da III berturut-turut adalah idetik. Hitug peluag a) Terambil bola merah, 4.da 2 7, serta ukura da betuk bola b) Terpilih kotak II, jika teryata bola yag terambil berwara kuig. Jika (S, Ω, P) sebuah ruag peluag, 2,,... m, sebuah partisi dari S da C, C 2, C 3,... C 4 sebuah partisi lai dari S, dega ) = 0, C j ) = 0, i C j ) 0, utuk suatu peristiwa dalam S, maka ) = m i i i ) C j, i ), i, C j ) Catata Ii diamaka atura elimiasi (ayes) dega dua tahapatara, tahapp pertama adalah peristiwa, tahap kedua adalah peristiwa C, da adalah peristiwa akhir (akibat) Dega atura elimiasi selesaika soal berikut Misalka efektivitas peluru kedali megeai sasara dipegaruhi oleh kealitas dari sistem peragkat peluru da ketapata pemasaga peluruya. Misalka sistem peragkat peluru kedali yag diproduksi dikualifikasika mejadi 3 macam, yaki sempura, baik da jelek. Kesemuaya disimpa ditempa persediaa (gudag) bayakya berturutturut adalah 5, 0, da, 5. Pemasaga peluru terdapat 2 kodisi yaitu tepat da kurag tepat. Peluag pemasaga peluru tepat pada tempatya utuk kualifikasi sempura, baik da jelek berturut-turut adalah 0,8, 0,, da 0,7, sedagka peluag peluru kea sasara dari sistem yag Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 27
sempura adalah 0,9 utuk pemasaga tempat da 0,5 utuk pemasaga kurag tepat. Sistem yag baik adalah 0,7 utuk pemasaga tepat da 0, utuk pemasaga kurag tepat. Sistem yag jelek adalah 0,5 utuk pemasaga tepat da 0,4 utuk pemasaga kurag tepat. Jika dari tempat persediaa (gudag) diambil sebuah peragkat peluru secara acak a) Hituglah peluag peluru kedali megeai sasara b) Hituglah peluag peluru kedali tidak megeai sasara (dega dua cara). 7. Sebuah mata uag bersisi da M yag seimbag ditos berkali-kali da berheti jika sudah mucul M a) Tetuka ruag sampel S. pakah diskrit atau kotiu b) Hitug peluag diperluka 5 kali pegetosa c) Hitug peluag diperluka palig sedikit 0 kali pegetosa 8. Misal S = {x 0 < x > - } ruag sampel dari suatu eksperime acak. a) erika pejelasa bahwa fugsi S R dega C) = e dx adalah sebuah fugsi peluag b) Jika { x / 4 < x < ~} hitug ) da c ) Pegatar Statistika Matematis ------------------------------------------------------------------------------- 28