ANALISIS SISTEM KENDALI PENDAHULUAN ANALISIS WAKTU ALIH Tanggapan Waktu Alih Orde 1 Tanggapan Waktu Alih Orde Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih Penurunan Rumus Spesifikasi Tanggapan Waktu Alih Orde Tinggi ANALISIS GALAT KEADAAN TUNAK Klasifikasi Sistem Kendali Konstanta Galat Statik ANALISIS KEPEKAAN ANALISIS KESTABILAN Prinsip Dasar Kestabilan Metoda Kestabilan Routh Hurwitz Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 0
PENDAHULUAN Langkah pertama analisis : penurunan model matematis sistem. Ada beberapa metoda analisis unjuk kerja sistem : Analisis Kestabilan : Routh Hurwith, Root Locus, Bode Plot, Nyquist Plot. Analisis Waktu Alih : spesifikasi koefisien redaman dan frekuensi natural. Analisis Keadaan Tunak : Kosntanta tunak statik Analisis Kepekaan Untuk memudahkan analisis, digunakan beberapa sinyal uji dengan fungsi waktu sederhana. Sinyal-Sinyal Pengujian : fungsi step : ganguan yang muncul tiba-tiba fungsi ramp : fungsi berubah bertahap terhadap waktu fungsi percepatan fungsi impuls : gangguan sesaat yang muncul tiba-tiba fungsi sinusoidal : linearitas sistem Pemilihan sinyal uji harus mendekati bentuk input sistem pada kondisi kerjanya. Tanggapan waktu : waktu alih : keadaan awal hingga keadaan akhir. keadaan tunah : tanggapan pada waktu t Kriteria Unjuk Kerja Sistem Kendali : Kestabilan mutlak : sistem stabil bila keluarannya dapat kembali ke nilai semula setelah ada gangguan. Kestabilan relatif (tanggapan waktu alih) : sistem harus cukup cepat tanggapannya terhadap perubahan masukan dan kembali ke keadaan mantapnya. Galat keadaan mantap : perbedaan antara keluaran dengan masukan yang menunjukkan ketelitian sistem. Kepekaan sistem terhadap perubahan karakteristik komponennya. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal dari 0
ANALISIS WAKTU ALIH Fungsi alih sistem linear invarian waktu : Y( s) G( s) X ( s) sehingga Y( s) G( s) X ( s) Dalam domain waktu t y( t) x( τ ) g( t τ ) dτ 0 t g( τ ) x( t τ ) dτ 0 dengan g(t) x(t) 0 untuk t < 0 (kondisi mula 0) Tanggapan Impuls : X(s) 1 Y(s) G(s) atau y(t) g(t) fungsi tanggapan impuls. Kesimpulan : Informasi lengkap tentang karakteristik dinamis sistem dapat diperoleh dengan mengukur tanggapan sistem tersebut terhadap impuls. Pembangkitan Impuls secara praktis dilakukan dengan membuat pulsa dengan lebar yang sangat sempit dibandingkan dengan konstanta waktu sistem. memadai untuk t1 < 0,1 T Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 3 dari 0
Tanggapan Waktu Alih Sistem Orde 1 Fungsi alih : C( s) R( s) 1 Ts + 1 untuk input unit step : R( s) 1 s C(s) T 1 1 T Ts + 1 s s Ts + 1 t / T sehingga ( 1 ) c( t) e u( t) Untuk t T : C(T) 0,63 Makin kecil T, makin cepat tanggapan sistem Kemiringan kurva pada t 0 : dc dt 1 T Galat lebih kecil % dicapai pada t 4 T Bila Kurva log c( t) c(~) garis lurus, maka sistem orde-1 Konstanta waktu T ditentukan dari c( T) c(~) 0, 368 c( 0) c(~) [ ] Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4 dari 0
1 Untuk input unit ramp R (s) s C(s) t / T sehingga ( + ) 1 1 Ts + 1 s 1 s T T + s Ts + 1 Galat keadaan mantap : e(~)t c( t) t T Te u( t) Untuk input unit Impuls : R(s) 1 C( s) 1 Ts + 1 sehingga C t T e t / T ( ) u ( t ) 1 Sifat Penting Sistem Linear Invarian-Waktu : Fungsi Singular. t / T Tanggapan unit ramp: C( t) ( t T + Te u( t) ) t / T Tanggapan unit step : C( t) ( e ) u( t) 1 (turunkan dari tanggapan unit ramp) Tanggapan unit impuls: C t T e t / T ( ) u ( t ) 1 (turunkan dari tanggapan unit step) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 0
Tanggapan Waktu alih Sistem Orde- Sistem Kendali Posisi Error Detector : er K0r ec K0c dengan K 0 konstanta proporsionalitas arm detector Torsi motor : T K i a dengan K konstanta torsi motor i a arus jangkar Rangkaian jangkar : L di a R i K d θ a + a a + 3 K1e (1) dt dt dengan K 3 konstanta back emf motor θ sudut putaran poros motor Persamaan Torsi : dengan : motor J 0 momen inersi motor + beban + roda gigi terhadap poros motor b 0 koefisien gesekan motor + beban + roda gigi terhadap poros Dari (1) dan () diperoleh : () Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 0
Output : Dengan Maka : Mengingat L a kecil, maka diperoleh penjabaran sebagai berkut Daya penyederhanaan diperoleh : Atau : G( s) K Js + Bs Definisikan : Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 0
ω n frekuensi natural tak teredam σ redaman (attenuation) faktor / koefisien redaman B B B JK c Diperoleh : K J B ωn dan ωn σ J Sehingga diperoleh bentuk umum fungsi alih orde- balikan satuan : C( s) n R( s) ω s + ω s + ω n n Perilaku dinamis sistem orde- dapat dijelaskan melalui dan ω n. Tiga kasus tanggapan : 1. Teredam kurang (0 < < 1). Teredam kritis ( 1) 3. Teredam lebih ( > 1) 1 Teredam kurang dengan C( s) n R( s) ω s + n + j d s + n + j d ( ω ω )( ω ω ) ωd ωn 1 frekuensi natural teredam X jωd ξωn σ Untuk input unit step : X jωd Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 8 dari 0
C( s) ωn s s s ( + ωn + ωn ) 1 s + ωn ωn s ( s + ωn) + ωd ( s + ωn ) + ωd sehingga ω c( t) e nt 1 cos ωdt + sin ωdt 1 ω e nt sin 1 1 1 ωdt + tan ( t 0) 1 Waktu setting tercepat bila 0,5 < < 0,8 sistem teredam kritis lebih cepat dari pada sistem dengan > 1. Sistem orde- dengan sama dan ω n berbeda : bertanggapan sama untuk simpangan dan pola osilasi, disebut memiliki kestabilan relatif sama. Sinyal galat : e( t) r( t) c( t) ω e nt cos ωdt + sin ωdt ( t 0) 1 untuk 0 : sistem berosilasi pada amplitudo tetap c( t) 1 cos ωnt t 0 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 0
Teredam Kritis jω bid-s σ ω n Respon unit step : C( s) ωn n s ( s + ω ) sehingga ωnt ( ω ) c( t) 1 e 1 + t t 0 n Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 10 dari 0
3Teredam lebih Letak pole-pole jω bid-s Respon unit step : s 1 ωn ωn 1 s ωn + ωn 1 σ sehingga dengan s1 + 1 ωn s 1 ωn Bila s << s1, maka respons orde- dapat didekati dengan mengabaikan faktor s 1. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 11 dari 0
Diperoleh pendekatan : C( s) n n s R( s) ω ω 1 s + ω s s n ωn 1 + Tanggapan waktu untuk input unit step : 1 ω nt c( t) 1 e ( t 0) Untuk ξ dan ω n 1 rad/detik Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 0
SPESIFIKASI TANGGAPAN WAKTU ALIH ASUMSI : - sistem orde-, input unit step, kondisi mula nol, - tanggapan teredam kurang (sistem kendali sebenarnya). 1. Waktu tunda (t d ) : Waktu yang diperlukan agar tanggapan mencapai 50 % nilai akhir pertama kali.. Waktu naik (t r ) : Waktu yang dibutuhkan agar tanggapan naik dari : - 0 % ke 100 % dari nilai akhirnya (teredam kurang) - 10 % ke 90 % dari nilai akhirnya (teredam lebih) 3. Waktu Puncak (t p ) : Waktu yang dibutuhkan agar tanggapan mencapai puncak simpangan pertama kali. 4. Presentase simpangan puncak, M p : Perbandingan antara nilai puncak tertinggi dari kurva tangapan terhadap nilai akhir tanggapan ( ) ( ) C tp c ~ % Mp x100% C(~) % Mp merupakan indikator langsung kestabilan relatif sistem. 5. Waktu Menetap (t s ) : Waktu yang dibutuhkan agar kurva tanggapan mencapai dan tetap berada didalam batas-batas yang dekat dengan nilai akhir. Batas-batas tersebut dinyatakan dalam presentase mutlak dari nilai akhir (% atau 5%). Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 13 dari 0
t s berkaitan langsung dengan konstanta waktu terbesar sistem kendali tersebut. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 14 dari 0
PENURUNAN RUMUS SPESIFIKASI Waktu Naik : Waktu naik terjadi bila : c(t r ) 1 c(t r ) 1 1 e ωn t r cosωdt r + 1 sinω d t r ωnt Mengingat e r 0, maka Atau : cosωd t r + sinωdt r 0 1 tan ω t d r 1 ω σ d Diperoleh t r 1 ω d tan 1 ωd σ π β ω d Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 15 dari 0
Waktu Puncak : Waktu puncak terjadi pada saat : dc dt t t p ωn ω p ( sin ω t ) e n t 0 d p 1 Diperoleh : sinω d t 0 Sehingga : d t p p ω 0, π, π, 3π,K Mengingat waktu puncak terjadi pada puncak pertama, maka t p π ω d Simpangan Puncak : Simpangan puncak terjadi pada : t t p π ω d Sehingga : M c t p ( ) p e e 1 ωn ( π ω ) cosπ + 1 ( ) σ ω π 1 π d d e sinπ Diperoleh : M p ( σ ω ) e d π x100% Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 16 dari 0
Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 17 dari 0
Waktu Menetap ω e n t 1 1 c(t) 1 sin ωdt + tan 1 1 - Ditentukan oleh konstanta waktu :; τ ω n ( t 0) - Penurunan rumus berdasarkan pendekatan kurva. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 18 dari 0
Tanggapan Impuls : Untuk 0 < 1, Untuk 1, c(t) ω n 1 e ωnt sin ω n 1 t ( t 0) Untuk >1, c(t) ω n te ωn t (t 0) c(t) ω n e 1 ( 1) ω n e 1 ( 1) ωnt (t 0) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 19 dari 0
Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 0 dari 0