DASAR-DASAR TEKNIK PENGATURAN. Oleh: Mohammad Dhandhang Purwadi UNTUK KALANGAN SENDIRI JURUSAN TEKNIK MESIN, FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NASIONAL

Transkripsi

1 DASAR-DASAR TEKNIK PENGATURAN Oleh: Mohammad Dhandhang Purwadi UNTUK KALANGAN SENDIRI JURUSAN TEKNIK MESIN, FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NASIONAL 14 Juli 2002

2 Untuk: SYLVA RIJANTI, Taqiyya Maryam, Aqila Hanifah Tata letak & cetak dengan LaT E X

3 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 2 Kata Pengantar Puji syukur kehadhlirat Allah SWT, karena dengan berkah, rahmat dan hidayah-nya diktat ini dapat diselesaikan. Tujuan utama dari penulisan diktat ini adalah untuk membantu mahasiswa dalam memahami isi perkuliahan Teknik Pengaturan. Dengan adanya diktat ini diharapkan mahasiswa dapat mengefisiensikan proses dan waktu pemahaman terhadap materi yang disampaikan oleh dosen yang bersangkutan di depan kelas tanpa kehilangan waktu untuk mencatat. Dalam diktat ini dibahas masalah teknik pengaturan yang mendasar, sehingga pembaca akan dapat mengikuti isi buku ini dengan mudah. Persoalan teknik pengaturan yang lebih kompleks dan canggih, pembahasannya dapat diperoleh dari buku teks yang lengkap dan tersedia diperpustakaan universitas. 14 Juli 2002 Penulis

4 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 3 Daftar Isi 1 Pendahuluan 7 2 Transformasi Laplace dan Kebalikannya Variabel dan Fungsi Kompleks Transformasi Laplace (Laplace Transform) Transformasi Laplace Balik (Invers Laplace Transform) Metode Ekspansi Fraksional Kutup (pole) danzero Ekspansi Fraksional Dengan Kutup Berbeda Ekspansi Fraksional Dengan Kutup Kembar Contoh Penggunaan Transformasi Laplace Fungsi Alih 22 4 Diagram Blok Diagram Blok Sistem Untai Tertutup Prosedur Menggambar Diagram Blok Penyederhanaan Diagram Blok Analisis Respons Transien Sistem Orde Respons sistem orde 1 terhadap fungsi undak satuan Respons sistem orde 1 terhadap fungsi ramp satuan Respons sistem orde 1 terhadap fungsi impuls satuan Sistem Orde Respons sistem orde 2 terhadap fungsi undak satuan.. 42

5 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) Respons sistem orde dua terhadap fungsi impuls satuan Respons sistem orde dua terhadap fungsi ramp satuan Spesifikasi respons transien Spesifikasi respons transien dalam sistem orde dua Stabilitas, Kriteria Stabilitas Routh Analisis stabilitas dalam bidang kompleks Kriteria stabilitas Routh Analisis Tempat Kedudukan Akar Tempat kedudukan akar Cara menggambar tempat kedudukan akar... 66

6 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 5 Daftar Gambar 1 Sistem pengatur kecepatan gubernur Sistem pengendali kedudukan satelit Struktur sistem suspensi kendaraan bermotor Contoh diagram blok Contoh diagram blok untai tertutup Sistem peredam getaran roda sepeda motor Pembuatan diagram blok Aturan penyederhanaan diagram blok Contoh penyederhanaan diagram blok Contoh diagram blok sistem orde Grafik respons transien sistem orde 1 terhadap masukan undak satuan Bentuk fisik dan diagram blok sistem servomekanika Grafik respons transien sistem orde 2 terhadap masukan undak satuan Spesifikasi respons transien terhadap fungsi undak satuan Spesifikasi respons transien terhadap fungsi undak satuan sistem orde Metode perhitungan β Daerah stabil dan tak stabil pada koordinat kompleks Diagram blok suatu sistem untai tertutup Tempat kedudukan zero dan kutup dari persamaan (85) Langkah ke-1 dan ke-2 menggambar tempat kedudukan akar Langkah ke-3 dan ke-4 menggambar tempat kedudukan akar.. 70

7 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 6 22 Langkah 1 5 menggambar tempat kedudukan akar Gambar lengkap tempat kedudukan akar Daftar Tabel 1 Matrikulasi koefisien polinomial dalam kriteria Routh... 56

8 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 7 1 Pendahuluan Pengaturan suatu sistem mempunyai peranan penting dalam banyak bidang, diantaranya bidang rekayasa, sosial, ekonomi bahkan pemerintahan yang menyangkut berbagai aspek yang berkaitan secara canggih. Dalam bidang rekayasa (engineering), sistem pengaturan otomatis mempunyai peran yang sangat penting, misalnya dalam sistem pengendalian pesawat di luar angkasa, sistem pembidik misil taktis, sistem pilot pesawat terbang otomatis, sistem robotika. Contoh lain dapat pula berupa pengendalian tekanan, suhu dan kelembaban dalam bidang rekayasa proses. Karena pengetahuan tentang proses dan teknik pengaturan dapat memperbaiki dan megoptimalkan kinerja dari suatu sistem, maka teknik pengaturan harus difahami secara baik oleh seorang ahli yang menggeluti bidang ilmu dan teknologi. Sebelum mempelajari suatu ilmu, alangkah baiknya jika sebelumnya kita mengetahui sejarahnya, agar kita dapat lebih memahami duduk persoalannya mengapa ilmu tersebut dapat muncul kepermukaan dan dipakai oleh banyak orang. Secara historis, orang pertama yang menerapkan sistem pengaturan otomatis ialah James Watt. Pada abad delapan belas. Ilmuwan ini menerapkan sistem pengaturan gubernur sentrifugal pada mesin uapnya untuk mengatur kecepatan putaran mesin secara otomatis. Pada tahap berikutnya Minorsky, Hazen dan Nyquist mengembangkan teori tentang teknik pengaturan otomatis. Di tahun 1922 Minorsky yang bekerja dalam bidang pengendalian pesawat berhasil menunjukkan bahwa stabilitas sistem dapat ditentukan dari persamaan diferensial yang mewakili sistem tersebut. Nyquist pada tahun 1932 berhasil mengembangkan metode yang lebih sederhana dalam menentukan stabilitas suatu sistem untai tertutup berdasarkan pada respons untai

9 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 8 terbuka terhadap masukan berbentuk sinus (sinusoidal) yang tunak. Pada tahun 1934, Hazen Memperkenalkan istilah servomekanika untuk sistem pengaturan posisi dan membahas tentang perancangan rilai servomekanika yang mampu menutup dan membuka sesuai dengan perubahan masukan. Gambar 1: Sistem pengatur kecepatan gubernur Hingga tahun 1940, metode respons-frekuensi dipakai oleh para ilmuwan untuk mendapatkan kinerja yang memuaskan dari disain sistem pengaturan untai tertutup linear. Pada awal tahun 1950-an, Evan berhasil mengembangkan metode tempat kedudukan akar (root locus). Baik metode responsfrekuensi maupun tempat kedudukan akar, keduanya adalah merupakan metode yang menjadi tulang punggung dari teori teknik pengaturan otomatis klasik. Pada tahun 1950, masalah pengaturan bergeser dari perancangan komponen sistem satu persatu menjadi perancangan keseluruhan sistem yang optimal. Perkembangan teknik pengaturan menuntut penyelesaian dari suatu sistem yang terdiri dari banyak masukan (input) dan luaran (output) dengan

10 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 9 keterkaitan yang sangat canggih. Dengan tersediannya mesin penghitung (komputer) pada tahun 60-an menjadikan teknik pengaturan otomatis modern semakin mampu untuk mengatasi masalah yang canggih. Dengan tersedianya komputer digital yang semakin murah, teknik pengaturan berkembang hingga melingkupi teknik pengaturan dari sistem pengaturan yang kompleks baik yang bersifat deterministik maupun stokhasitik, dan mempunyai kemampuan belajar serta beradaptasi secara mandiri. Bahkan dengan ketersediaan perangkat yang baik sekarang ini, teori pengaturan dapat bergerak dengan meniru sistem non-teknis, misalnya biologis, biomedis, ekonomi dan sosioekonomi. Pada akhirnya penulis berharap agar diktat ini dapat dipergunakan sebagai pegangan dasar dalam mempelajari teknik pengaturan. Dalam diktat ini hanya akan dibahas mengenai teori dari teknik pengaturan yang klasik yaitu meliputi teori respons-frekuensi dan tempat kedudukan akar. Diktat ini hanya memuat hal yang dasar dan dapat dipakai dengan mudah oleh mahasiswa S-1 yang telah mempelajari dasar matematika persamaan diferensial, transformasi Laplace, operasi matrik dasar.

11 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 10 2 Transformasi Laplace dan Kebalikannya Dalam teknik pengaturan otomatis transformasi Laplace (Laplace transform) merupakan suatu metode operasional yang utama. Dengan transformasi Laplace kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial linear dengan mudah tanpa melalui metode penyelesaian persamaan diferensial yang kadang-kadang menimbulkan pesoalan aljabar yang rumit, misalnya metode variasi parameter, faktor integrasi dan lain sebagainya. Transformasi Laplace dapat mentransformasi fungsi umum (misalnya fungsi trigonometri, fungsi eksponensial dll.), operator diferensial, operator integral ke dalam bentuk persamaan aljabar biasa dalam variabel kompleks s. Dengan demikian persamaan diferensial dapat ditransformasikan dengan transformasi Laplace menjadi persamaan aljabar biasa dalam variabel komplek s. Bila variabel tak bebas pada persamaan ini diselesaikan (dengan cara mengelompokkan variabel bebas di ruas kanan dan variabel tak bebas di ruas kiri), maka penyelesaian dari persamaan diferensial dapat diperoleh dengan cara mentransformasi Laplace balik dari penyelesaian variabel tak bebas tersebut. Dalam mentransformasi Laplace dan transformasi baliknya telah tersedia tabel yang cukup seksama. Untuk ekspresi aljabar yang rumit, ekspresi tersebut dapat disederhanankan dengan teknik ekspansi fraksional. Beberapa keuntungan dari metode transformasi Laplace adalah: 1. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan diferensial dari sistem yang ditinjau (setelah dilakukan transformasi Laplace), secara grafis dapat ditentukan kinerja sistem yang bersangkutan. 2. Bila persamaan diferensial sistem telah dapat diselesaikan dengan metode transformasi Laplace, secara bersamaan akan dapat diperoleh pe-

12 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 11 nyelesaian baik komponentunak (steady state) maupun transiennya (transient). 2.1 Variabel dan Fungsi Kompleks Transformasi Laplace akan mengubah fungsi riil (dalam teknik pengaturan biasanya fungsi waktu t) menjadi fungsi kompleks, s. Variabel kompleks mempunyai dua komponen, yaitu komponen riil σ dan komponen imaginer ω. Karena itu variabel kompleks s dapat ditulis sebagai s = σ + jω. (1) Fungsi kompleks,f (s), adalah fungsi dalam variabel kompleks s yang mempunyai komponen riil F x dan komponen imaginer F y. Fungsi kompleks F (s) dapat ditulis dalam komponennya sebagai F (s) =F x + jf y, (2) besar (magnitude) dari F (s) adalah F (s) = q F 2 x + F 2 y dan sudut dari F (s) adalah θ =tan 1 (F y /F x ). F (s) mempunyai konjugate F (s) =F x jf y. Fungsi kompleks yang sering dijumpai dalam sistem pengaturan linear adalah fungsi dalam variabel s yang tunggal dan unik (berbeda dari yang lain) untuk satu nilai s tertentu. 2.2 Transformasi Laplace (Laplace Transform) Secara matematis transformasi Laplace dapat didefinisikan sebagai berikut: L[f(t)] = F (s) = Z 0 f(t)e st dt, (3)

13 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 12 dengan f(t) : Suatu fungsi waktu t yang riil, f(t) =0bilat<0, s : Variabel kompleks, L : Operator transformasi Laplace, F (s) : Fungsi kompleks hasil transformasi dari f(t), yang perlu diingat pada definisi di atas adalah transformasi Laplace dari f(t) akan menghasilkan F (s). Dengan notasi matematis dapat ditulis: L[f(t)] = F (s) 2.3 Transformasi Laplace Balik (Invers Laplace Transform) Transformasi Laplace Balik dapat didefinisikan sebagai berikut: L 1 [F (s)] = f(t) = 1 Z c+j F (s)e st ds, (4) 2πj c j dengan F (s) : Suatu fungsi kompleks dalam s, t : Variabel waktu yang bersifat riil, L 1 : Operator transformasi Laplace balik, f(t) : Fungsi waktu hasil transformasi balik dari F (s). Dalam transformasi Laplace balik, fungsi kompleks F (s) ditransformasi balik ke fungsi dengan variabel riil (biasanya waktu t), f(t). Dengan notasi matematis dapat ditulis: L 1 [F (s)] = f(t). Untuk mempermudah operasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace balik, biasanya digunakan tabel berikut ini. Pada tabel ini hanya ditampilkan transformasi dasar saja untuk selebihnya dapat dilihat pada bukubuku matematika acuan anda.

14 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 13 No f(t) F (s) 1 Impuls satuan δ(t) 1 2 Undak satuan l(t) 1 s 3 Ramp satuan 1 s 2 4 t n 1 (n 1)! (n = 1,2,3,...) 1 s n 5 t n (n=1,2,3,...) n! s n+1 6 e at 1 (s+a) 7 1 (n 1)! tn 1 e at (n=1,2,3,...) 1 (s+a) n 8 sin ωt ω s 2 +ω 2 9 cos ωt s s 2 +ω 2 Selain tabel transformasi Laplace di atas, terdapat pula sifat-sifat transformasi Laplace yang berguna, beberapa diantaranya yang sering dipakai dalam analisis teknik pengaturan otomatis adalah sebagai berikut: 1 L[Af(t)] = AF (s) 2 L[f 1 (t)+f 2 (t)] = F 1 (s)+f 2 (s) 3 L[f( t )] = af (as) a 4 L[ d f(t)] = sf (s) f(0) dt 5 L[ d2 dt 2 f(t)] = s 2 F (s) sf(0) f(0) 6 L[ R t F (s) 0 f(t)dt] = s 2.4 Metode Ekspansi Fraksional Dalam persoalan analisis teknik pengaturan otomatis sering dijumpai hasil transformasi Laplace yang dapat ditulis dalam bentuk fraksional sebagai: F (s) = B(s) A(s), (5)

15 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 14 B(s) dana(s) adalah berbentuk polinomial dalam variabel s, dan orde dari B(s) lebih kecil dari pada A(s). Bila timbul bentuk F (s) seperti persamaan (5) di atas, maka biasanya bentuk tersebut dapat diekspansi atas beberapa suku dalam bentuk yang lebih mudah untuk ditransformasi-balikkan. Ekspansi tersebut adalah sebagai berikut, F (s) =F 1 (s)+f 2 (s)+f 3 (s)+...+ F n (s). (6) Transformasi Laplace balik dari bentuk persamaan yang sudah terekspansi tersebut adalah: L 1 [F (s)] = L 1 [F 1 (s)] + L 1 [F 2 (s)] + L 1 [F 3 (s)] L 1 [F n (s)] = f 1 (t)+f 2 (t)+f 3 (t)+...+ f n (t) (7) Kutup (pole) danzero Sebelum melanjutkan pembahasan mengenai metode ekspansi fraksional, sebaiknya kita fahami lebih dahulu arti dari istilah kutup dan zero. Dalam teknik pengaturan otomatis, akan sering dijumpai persoalan fungsi kompleks dengan bentuk umum seperti dalam persamaan (5), berikut ini adalah salah satu contoh bentuk persamaan (5). F (s) = B(s) A(s) = K(s + z 1)(s + z 2 )...(s + z m ) (s + p 1 )(s + p 2 )...(s + p n ) (m <n) (8) Pada persamaan (8) di atas, F (s) berbentuk fraksional dengan pembilang B(s) dan penyebut A(s) berupa polinomial. Pembilang B(s) berupa polinomial dalam z. Akar dari persamaan B(s) =0adalah(s 1 = z 1 ), (s 2 = z 2 ),...(s m = z m ). Akar dari B(s) ini disebut zero. Jadi pada persamaan (8) terdapat m buah zero.

16 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 15 Akar dari persamaan A(s) = 0 (pada penyebut), yaitu (s 1 = p 1 ), (s 2 = p 2 ),...(s n = p n ), disebut kutup (pole), dengan demikian pada persamaan (8) terdapat n buah kutub. Contoh dari bentuk fraksional yang sering dijumpai adalah sebagai berikut: s +4 F (s) = s 2 +3s +2 = (s +4) (9) (s +1)(s +2) pada persamaan ini terdapat satu buah zero yaitu s = 4 dan dua buah kutup yaitu s = 1 dans = 2. Pada pembahasan berikutnya, akan banyak dijelaskan bahwa karakteristik atau sifat suatu sistem pengaturan otomatis akan sangat dipengaruhi oleh kondisi dan kedudukan dari kutup dan juga zero Ekspansi Fraksional Dengan Kutup Berbeda Ekspansi fraksional dilakukan terhadap suatu fungsi kompleks F (s) dengan tujuan agar diperoleh bentuk yang lebih sederhana sehingga transformasi Laplace balik dapat dilakukan dengan mudah. Bila fungsi kompleks F (s) mempunyai kutup yang berbeda satu dan lainnya, maka untuk ekspansi fraksional dapat digunakan metode sebagai berikut. Misalnya dalam persoalan teknik pengaturan ditemui fungsi kompleks F (s) yang dapat ditulis sebagai: F (s) = B(s) A(s) = K(s + z 1)(s + z 2 )...(s + z m ) (m <n). (10) (s + p 1 )(s + p 2 )...(s + p n ) Bentuk fraksional ini sulit untuk ditransformasi Laplace balik, karena hanya terdiri dari satu suku dan komposisinya cukup kompleks. Agar transformasi Laplace balik mudah dilakukan bentuk fraksional ini dapat diubah menjadi beberapa suku yang sederhana: F (s) = B(s) A(s) = a 1 + a 2 a n (11) s + p 1 s + p 2 s + p n

17 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 16 Persamaan (11) jauh lebih sederhana dari bentuk aslinya dan mudah untuk ditransformasi Laplace balikkan. Konstanta a k (k =1, 2,...n) dapat dihitung dengan persamaan berikut. a k = (s + p k ) B(s) A(s) s= p k (k =1, 2,...,n) (12) Dari uraian ekspansi fraksional di atas, jelas terlihat bahwa informasi nilai kutup-kutup (p 1,p 2,...p n ) tetap terjaga, sedang nilai zero lebur dalam a k. Pada pembahasan kemudian, akan diketahui bahwa nilai kutup dari fungsi kompleks sebuah sistem pengaturan otomatis akan mempunyai arti penting yang berkaitan dengan sifat dari sistem yang bersangkutan. Berikut ini diberikan contoh pemakaian ekspansi fraksional, bila fungsi kompleks F (s) mempunyai kutup yang berbeda. Contoh : Gunakan metode ekspansi fraksional untuk menentukan transformasi Laplace balik dari fungsi kompleks F (s) berikut ini: F (s) = s +4 s 2 +3s +2 = (s +4) (s +1)(s +2) Ekspansi fraksional dari fungsi kompleks F (s) ini adalah F (s) = (s +4) (s +1)(s +2) = a 1 s +1 + a 2 s +2 Berdasarkan persamaan (12) pada hal.16, a 1 dan a 2 dapat diperoleh sebagai berikut s +4 s +4 a 1 = (s +1) = = 1+4 (s +1)(s +2) s= 1 s +2 s= =3 s +4 s +4 a 2 = (s +2) = = 2+4 (s +1)(s +2) s = 2 s= 2 s= 2

18 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 17 Jadi F (s) = 3 s +1 + L 1 [F (s)] = L 1 3 s +1 f(t) =3e t 2e 2t 2 s +2 = 3 s +1 2 s +2 2 L 1 s Ekspansi Fraksional Dengan Kutup Kembar Dalam suatu fungsi kompleks F (s) = B(s), dapat saja terjadi akar-akar A(s) A(s) = 0 mempunyai nilai sama atau kembar. Dalam hal ini dapat saja kembar dua, tiga, empat dst. Dengan kata lain fungsi F (s) dikatakan mempunyai kutup kembar berganda. Pada kondisi yang demikian itu, metode ekspansi fraksional yang telah dibahas di atas tidak dapat digunakan lagi. Bagaimana cara melakukan ekspansi fraksional pada fungsi kompleks yang memiliki kutup kembar, mari kita perhatikan penjelasan berikut ini. Untuk lebih mudahnya, dalam menjelaskan ekspansi fraksional dengan kutup kembar, digunakan pembahasan dengan contoh. Berikut ini terdapat suatu fungsi kompleks F (s) yang dapat ditulis sebagai: F (s) = s2 +2s +3 (s +1) 3, (13) fungsi F (s) di atas mempunyai tiga buah kutup yang sama, yaitu s = 1. Fungsi F (s) pada persamaan (13) diekspansikan dalam tiga suku (sesuai dengan jumlah kutupnya) sebagai F (s) = B(s) A(s) = b 3 (s +1) 3 + b 2 (s +1) 2 + b 1 (s +1) (14) Nilai dari b 1,b 2,b 3 harus kita tentukan, caranya adalah sebagai berikut. Pertama, kalikan kedua ruas persamaan (14) dengan (s +1) 3 seperti langkah

19 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 18 berikut. atau (s +1) 3 B(s) A(s) =(s +1)3 b 3 (s +1) 3 +(s +1)3 b 2 (s +1) 2 +(s +1)3 b 1 (s +1) (15) (s +1) 3 B(s) A(s) = b 3 +(s +1)b 2 +(s +1) 2 b 1 (16) jika pada persamaan ini disubtitusikan langsung nilai s = 1 padaruaskanan (ruas kiri disubtitusikan secara tak langsung), maka akan diperoleh (s +1) 3 B(s) = b 3 (17) A(s) s= 1 dengan persamaan ini kita dapat menghitung nilai b 3. Berikutnya, bila ruas kanan persamaan (16) didiferensialkan terhadap s secara langsung, dan ruas kirinya didiferensialkan secara tak langsung, akan diperoleh d (s +1) 3 B(s) ds A(s) = b 2 +(s +1)b 1 (18) Subtitusikan nilai s = 1 secara langsung pada ruas kanan dan secara tak langsung pada ruas kiri dari persamaan (18) akan diperoleh: d (s +1) 3 B(s) = b 2 (19) ds A(s) s= 1 Sekarang kita peroleh persamaan untuk menghitung nilai b 2. Persamaan untuk menghitung b 1 dapat diperoleh dengan cara mendeferensialkan lagi persamaan (18), hasilnya adalah d 2 (s +1) 3 B(s) ds 2 A(s) =2b 1 1 2! ( d 2 ds 2 (s +1) 3 B(s) A(s) s= 1 ) = b 1 (20)

20 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 19 Langkah selanjutnya adalah menerapkan persamaan untuk menghitung b 1,b 2,b 3 yang telah kita peroleh dari persamaan (14), hasilnya adalah: b 3 = (s +1) 3 B(s) =(s 2 +2s +3) s= 1 =2 A(s) s= 1 b 2 = d (s +1) 3 B(s) d = s 2 +2s +3 ds A(s) ds s= 1 =(2s +2) s= 1 =0 b 1 = 1 ( d 2 (s +1) 3 B(s) 2! ds 2 A(s) = 1 2 (2) = 1 s= 1 ) = 1 2 ½ d 2 s= 1 ds 2 s 2 +2s +3 s= 1 ¾ Dengan lengkapnya nilai b 1,b 2,b 3, persamaan (14) dapat ditulis menjadi: F (s) = B(s) A(s) = 2 (s +1) (s +1) (s +1) Bila persamaan ini ditransformasi Laplace balikkan, akan diperoleh: L 1 [F (s)] = L L L 1 1 (s +1) 3 (s +1) 2 (s +1) f(t) =t 2 e t +0+e t =(t 2 +1)e t t Contoh Penggunaan Transformasi Laplace Pada bagian ini akan diberikan contoh penggunaan transformasi Laplace dan kebalikannya untuk persoalan yang sering timbul dalam teknik pengaturan otomatis. Contoh : Karakteristika sebuah sistem pengaturan otomatis diwakili dengan persamaan diferensial di bawah ini. Tentukan respons transien x(t) dari sistem pengaturan otomatis ini. ẍ +3ẋ +2x =0 x(0) = 2, ẋ(0) = 3

21 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 20 pada persamaan di atas ẍ = d2 x(t), ẋ = d x(t). dt 2 dt Transformasi Laplace dari komponen penyusun persamaan diferensial tersebut adalah L[x] =L[x(t)] = X(s) L[ẋ] =sx(s) x(0) = sx(s) 2 L[ẍ] =s 2 X(s) sx(0) ẋ(0) = s 2 X(s) 2 s 3 Bila hasil transformasi Laplace disubtitusikan ke dalam persamaan diferensial sistem di atas, diperoleh: [s 2 X(s) 2 s 3]+3[sX(s) 2] + 2 X(s) =0 s 2 X(s) 2 s 3+3sX(s) 6+2X(s) =0 s 2 X(s)+3sX(s)+2X(s) 2 s 3 6=0 s 2 X(s)+3sX(s)+2X(s) =2s +3+6 (s 2 +3s +2)X(s) =2s +3+6 X(s) = Dengan menerapkan ekspansi fraksional, diperoleh X(s) = 2s +9 (s +1)(s +2) = a 1 s +1 + a 2 s +2 pada persamaan ini a 1 dan a 2 dapat diperoleh dengan: 2s +9 2s +9 a 1 = (s +1) = (s +1)(s +2) s= 1 s +2 s= 1 2s +9 2s +9 a 2 = (s +2) = (s +1)(s +2) s +1 s= 2 2s +3+6 s 2 +3s +2 = 2s +9 (s +1)(s +2) s= 2 X(s) = 7 s s +2 = 7 s +1 5 s +2 = =7 = = 5

22 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 21 Respons transien x(t) dapat diperoleh dengan mentransformasi Laplace balik X(s), x(t) =L 1 [X(s)], yaitu: x(t) =L 1 [X(s)] = L 1 7 s +1 1 =7L 1 s +1 L 1 5 s +2 5 L 1 1 s +2 =7e t 5 e 2t

23 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 22 3 Fungsi Alih Di dalam teori pengaturan, istilah fungsi alih (transfer function) biasanya digunakan untuk melukiskan sifat-sifat hubungan antara masukan dan luaran suatu komponen sistem maupun sistem secara keseluruhan yang dapat diekspresikan sebagai persamaan diferensial linear dalam fungsi waktu. Secara teoritis fungsi alih dari persamaan diferensial linear dalam fungsi waktu didefinisikan sebagai perbandingan atau rasio hasil transformasi Laplace antara luaran (fungsi respons) dan masukan (fungsi pengendali) dibawah asumsi bahwa semua kondisi awal nol. Dengan persamaan matematis definisi fungsi alih G(s) dapat ditulis sebagai: Fungsi alih = G(s) = L[Luaran] L[Masukan] kondisi awal nol (21) Bila sebuah sistem diwakili dengan persamaan diferensial linear dalam fungsi waktu sebagai berikut, a 0 y (n) + a 1 y (n 1) a n 1 ẏ + a n y = b 0 x (m) + b 1 x (m 1) b m 1 ẋ + b m x, (22) maka fungsi alihnya adalah: Fungsi alih = G(s) = Y (s) X(s) = b 0s m + b 1 s m b m 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n (23) Dengan menggunakan konsep fungsi alih, dinamika sistem yang berupa persamaan diferensial (persamaan (22) ) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar biasa dalam variabel s. Pada fungsi alih di atas pangkat tertinggi dari variabel s pada penyebut adalah n, karena itu sistem pengaturan yang diwakili oleh fungsi alih tersebut dikatakan sebagai sistem orde-n. Untuk mendapatkan fungsi alih dari sebuah sistem dapat diikuti langkahlangkah berikut ini:

24 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) Tulislah persamaan diferensial yang mewakili sifat dinamika sistem 2. Lakukan transformasi Laplace pada persamaan diferensial yang diperoleh dengan asumsi semua kondisi awal nol 3. Perbandingkan antara luaran dan masukan Contoh : Sebuah sistem pengendali kedudukan satelit di luar angkasa mempunyai cara pengaturan kedudukan dengan cara penyemprotan roket seperti terlihat pada Gambar 2. Pada sistem pengendali satelit tersebut kemiringan satelit θ diatur dengan nosel roket A dan B yang bekerja secara sinkron. Semprotan roket sebuah nosel A atau B masing-masing adalah F/2 dan menghasil kan torsi T = F ` + F ` = F`. Perubahan torsi dengan waktu dinyatakan dengan T (t), dan momen inersia pada titik pusat massanya adalah J. 2 2 Tentukan fungsi alih dari sistem pengendali satelit ini. Gambar 2: Sistem pengendali kedudukan satelit

25 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 24 Tahap 1: Berdasarkan hukum Newton untuk gaya dapat diperoleh persamaan: J d2 θ(t) dt 2 = T (t). Persamaan ini mewakili sistem pengendali satelit di atas. Tahap 2: Transformasi Laplace dari persamaan sistem pengendali satelit tersebut dengan asumsi semua kondisi awal pada saat t = 0 bernilai nol diperoleh J J L[ d2 θ(t) ]=L[T(t)] dt ³ 2 s 2 Θ(s) s θ(0) θ(0) = T (s), karena semua kondisi awal nol, maka θ(0) = 0 dan θ(0) = 0. Dengan demikian persamaan diatas berubah menjadi: Js 2 Θ(s) =T (s), pada sistem pengendali satelit di atas, torsi T yang timbul karena gaya dorong nosel roket merupakan masukan, sedangkan hasil atau luarannya adalah perubahan sudut θ. Dengan demikian diperoleh fungsi alih yang tidak lain adalah perbandingan antara luaran dan masukan sebagai Fungsi alih = [Luaran] [Masukan] = Θ(s) T (s) = 1 Js 2 Contoh : Sebuah sistem suspensi kendaraan bermotor mempunyai struktur seperti Gambar 3. Pada sistem ini bekerja gaya gravitasi terhadap massa m ke arah vertikal (ke bawah). Gaya gravitasi F grv akan mendapat perlawanan dari gaya pegas F pgs dan gaya dari peredam kejut F pkj. Besarnya masing-masing gaya tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut: F grv = m.a = mẍ o, F pgs = k(x o x i ), F pkj = b(ẋ o ẋ i )

26 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 25 Gambar 3: Struktur sistem suspensi kendaraan bermotor dengan ẋ o = dx o dt dan ẍ o = d2 x o dt 2. Komposisi kesetimbangan gaya yang bekerja pada suspensi diperoleh: F grv = F pgs + F pkj mẍ o = k(x o x i ) b(ẋ o ẋ i ) Bila persamaan kesetimbangan gaya di atas ditranformasi Laplace dengan menganggap semua kondisi awal sama dengan nol, akan diperoleh ms 2 X o (s) = k(x o (s) X i (s)) b(sx o (s) sx i (s)) = (bs+k)(x i (s) X o (s)) ms 2 X o (s) =(bs+ k)(x i (s) X o (s)) bila persamaan tersebut dibagi dengan X i (s) pada kedua ruasnya (nilai persamaan tidak akan berubah), akan diperoleh ms 2 X o(s) X i (s) = (bs+ k) X i (s) (X i (s) X o (s))

27 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 26 ms 2 X µ o(s) X i (s) =(bs+ k) 1 X o(s) X i (s) X o(s) X i (s) = (bs+ k) ms 2 µ 1 X o(s) X i (s) X o (s) (bs+ k) (bs+ k) X o (s) = X i (s) ms 2 ms 2 X i (s) X o(s) (bs+ k) X o (s) (bs+ k) + = X i (s) ms 2 X i (s) ms 2 µ µ (bs+ k) Xo (s) (bs+ k) ms 2 (bs+ k) Xo (s) (bs+ k) 1+ = + = ms 2 X i (s) ms 2 ms2 ms 2 X i (s) ms 2 µ ms2 + bs+ k Xo (s) (bs+ k) = X µ o(s) ms 2 X i (s) ms 2 X i (s) = ms 2 (bs+ k) ms 2 + bs+ k ms 2 X o (s) X i (s) = (bs+ k) ms 2 + bs+ k Beberapa hal yang perlu dicatat tentang fungsi alih adalah: Fungsi alih adalah model matematis yang digunakan untuk mengkaji pengaruh masukan terhadap luaran dari persamaan diferensial suatu sistem. Fungsi alih adalah sifat unik yang dimiliki oleh sistem yang bersangkutan, tidak bergantung terhadap besarnya masukan ataupun fungsi pengendali. Di dalam fungsi alih telah terjalin satuan penting yang berkaitan dengan masukan dan luaran. Bila fungsi alih sistem telah diketahui, kita dapat mempelajari luaran sistem terhadap berbagai jenis masukan. Bila fungsialih sulit untuk diturunkan secara matematis (teoritis), fungsi alih dapat diperoleh dengan cara eksperimen dengan cara memberi masukan tertentu (yang telah diketahui) pada sistem dan mencatat perilaku luarannya.

28 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 27 4 Diagram Blok Sebuah sistem pengaturan bisa terdiri dari beberapa komponen. Untuk menunjukkan fungsi dan kinerja dari setiap komponen dalam teknik pengaturan digunakan diagram yang disebut diagram blok. Pada bagian ini akan dibahas tentang bagaimana memperoleh diagram blok dari suatu sistem, dan bagaimana teknik yang harus digunakan dalam penyederhanaan diagram blok menjadi diagram yang mudah difahami dan dianalisis. Diagram blok sebenarnya adalah suatu metode untuk merepresentasikan fungsi dari setiap komponen sistem dan arah aliran sinyal yang mengalir antara satu komponen ke komponen lain. Berbeda dengan metode matematis, metode grafis ini mempunyai suatu keuntungan yaitu bahwa aliran sinyal dapat direpresentasikan dalam bentuk yang lebih realistis dan mudah difahami. Dalam diagram blok terdapat komponen-komponen sebagai berikut: Blok, adalah suatu kesatuan yang mempunyai fungsi tertentu dan disimbolkan dengan kotak persegi panjang. Di dalam sebuah blok tertulis suatu fungsi yang menunjukkan fungsi alih dari komponen yang diwakili oleh blok tersebut. Lihat Gambar 4. Titik gabung, adalah suatu titik pertemuan antara beberapa aliran sinyal dengan operasi penjumlahan atau pengurangan. Lihat Gambar 4. Titik cabang, adalah suatu titik tempat terjadinya percabangan aliran sinyal. Lihat Gambar Diagram Blok Sistem Untai Tertutup Gambar 5 hal.29 adalah salah satu contoh dari diagram blok dengan untai tertutup yang sering dijumpai. Pada contoh diagram blok tersebut sinyal

29 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 28 Gambar 4: Contoh diagram blok luaran C(s) dipisahkan pada titik cabang dan diumpan-balikkan ke masukkan R(s) melalui suatu titik gabung pengurangan. Sebelum diumpan-balikkan ke titik gabung terlebih dahulu dilalukan pada komponen dengan fungsi alih H(s). Melalukan sinyal umpan-balik pada suatu komponen seperti ini adalah suatu hal yang sering dijumpai, karena dimensi sinyal output dan sinyal input biasanya berbeda. Dengan melalukan sinyal output pada H(s) diharapkan sinyal output diubah dimensinya sehingga mempunyai dimensi yang sama dengan sinyal input yang akan digabungkan. Perlu dicatat bahwa penggabungan dua satuan dengan dimensi yang berbeda secara fisik tidak dapat dilakukan, misalnya penggabungan dua satuan seperti suhu dan tekanan. Pada gambar tersebut luaran C(s) diperoleh dengan cara mengalikan fungsi alih komponen G(s) dengan masukkan E(s). Sedangkan sinyal kesalahan aktuasi E(s) adalah E(s) =R(s) B(s), dan umpan baliknya B(s) =H(s) C(s). Dari Gambar 5 hal.29, dapat didefinisikan Fungsi alih untai terbuka, Fungsi alih umpan maju dan Fungsi alih untai tertutup sebagai berikut:

30 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 29 Gambar 5: Contoh diagram blok untai tertutup B(s) =H(s) C(s); C(s) =G(s)E(s) B(s) =H(s) G(s) E(s) (24) Fungsi alih untai terbuka = B(s) = G(s) H(s) (25) E(s) Fungsi alih umpan maju = C(s) = G(s) (26) E(s) Fungsi alih untai tertutup dapat diturunkan sebagai berikut: C(s) =G(s) E(s) dan E(s) =R(s) B(s) = R(s) H(s) C(s) C(s) =G(s)[R(s) H(s) C(s)] C(s) +G(s) H(s) C(s) =G(s) R(s) C(s)[1+G(s) H(s)] = G(s) R(s) Fungsi alih untai tertutup = C(s) R(s) = G(s) 1+G(s) H(s) (27) 4.2 Prosedur Menggambar Diagram Blok Untuk menggambar diagram blok dari sebuah sistem, pertama kali yang harus dilakukan adalah menurunkan persamaan diferensial yang mewakili di-

31 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 30 namika proses yang terjadi pada setiap komponen dari sistem tersebut. Kemudian persamaan tersebut ditransformasi Laplace dengan asumsi semua kondisi awal nol. Selanjutnya masing-masing persamaan yang telah ditransformasi Laplace diekspresikan dengan satu blok. Pada akhir langkah, blok-blok tersebut digabungkan menjadi satu kesatuan diagram blok yang mewakili sistem secara kesatuan. Secara garis besar langkah-langkah tersebut dapat ditulis sbb: 1. Tulis persamaan diferensial dinamika proses setiap komponen sistem 2. Transformasi Laplace-kan setiap persamaan diferensial dengan mengambil asumsi bahwa kondisi awal (pada t =0)bernilainol 3. Ekspresikan setiap persamaan dengan diagram blok secara terpisah 4. Gabungkan seluruh blok diagram komponen menjadi satu kesatuan Berikut ini akan dikemukakan salah satu contoh menggambar diagram blok. Gambar 6 hal.31 adalah bentuk model dari peredam getaran pada sebuah roda dari sepeda motor. Persamaan yang mendiskripsikan bekerjanya gaya-gaya pada komponen pegas, peredam kejut dan massa m adalah sebagai berikut: mẍ 0 = F F = b(ẋ 0 ẋ i ) k(x 0 x i ). Transformasi Laplace, dari kedua persamaan di atas dengan asumsi kondisi

32 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 31 Gambar 6: Sistem peredam getaran roda sepeda motor awal nol adalah: ms 2 X 0 (s) =F (s) (28) F (s) = b [sx 0 (s) sx i (s)] k [X 0 (s) X i (s)] =(bs+ k)[x i (s) X 0 (s)] (29) Diagram blok dari persamaan (28) dan (29) dapat dilihat pada Gambar 7(a). Gambar 7(b) adalah diagram blok hasil penggabungan dari diagram blok kompenen pada Gambar 7(a) 4.3 Penyederhanaan Diagram Blok Bila sistem pengaturan yang kita amati cukup kompleks dan rumit, maka diagram blok yang dihasilkan dengan cara yang telah dijelaskan, menjadi kompleks juga. Karena itu perlu adanya penyederhanaan diagram blok dengan diagram yang lebih sederhana dan mudah untuk difahami.

33 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 32 Gambar 7: Pembuatan diagram blok Penyederhanaan yang dimaksud adalah, misalnya ada dua blok yang terpasang secara seri, maka kedua blok ini dapat disederhanakan menjadi satu blok. Beberapa hal yang harus diperhatikan dan diingat dalam menyederhanankan diagram blok adalah: Fungsi alih maju dari hasil penyederhanaan komponen harus tetap sama Fungsi alih melingkari untai yang ada harus tetap sama Dalam penyederhanaan diagram blok, terdapat beberapa aturan yang dapat dipakai sebagai pedoman penyederhaan. Aturan tersebut dapat dilihat pada Tabel yang ditunjukkan dalam Gambar 8.

34 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 33 Gambar 8: Aturan penyederhanaan diagram blok

35 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 34 Gambar 9: Contoh penyederhanaan diagram blok

36 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 35 Sebagai contoh, Gambar 9 pada hal.34 menggambarkan bagaimana penyederhanaan tersebut dapat dilakukan. Pada gambar (a), terlihat diagram blok yang sangat kompleks. Setelah dilakukan penyederhanaan, pada hasil akhir (gambar (e)) terlihat bahwa diagram blok hanya terdiri dari satu blok saja, yang merupakan fungsi alih dari seluruh sistem (pada awalnya diwakili oleh diagram blok yang rumit). Jadi jelas bahwa tujuan akhir dari penyederhanaan ini adalah mendapatkan fungsi alih dari keseluruhan sistem. Proses penyederhanaan diagram blok pada Gambar 9 hal.34 secara ringkas dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. Gambar (a) menunjukkan gambar asli dari sistem yang rumit 2. Dengan menggunakan aturan nomor 6 pada Gambar 8 yang dikenakan pada H 2, dari gambar (a) dapat diubah menjadi (b) 3. Dengan menggunakan aturan nomor 13 pada Gambar 8 yang dikenakan pada G 1, G 2,danH 1 diperoleh gambar (c). Dengan aturan yang sama yang dikenakan pada H 2 G G 1, 1 G 2 1 G 1G 2H 1 dan G 3 diperoleh gambar (d). Selanjutnya aturan yang sama menghasilkan gambar (e)

37 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 36 5 Analisis Respons Transien Dalam perancangan sebuah sistem, setelah dilakukan perancangan bentuk fisik dan model matematisnya dibuat maka dengan berbagai metode analisis, kinerja sistem dapat diselidiki. Setelah perancangan sistem selesai, diperlukan suatu analisis mengenai kinerja sistem terhadap berbagai masukan. Tetapi pada kenyataannya di lapangan, bagaimana bentuk masukan yang nyata tidak diketahui secara pasti. Karena itu untuk menguji respons transien (kinerja) sistem digunakan masukkan berupa fungsi-fungsi sederhana yang dapat mewakili kondisi umum masukan yang nyata. Dengan cara ini dapat dilakukan evaluasi terhadap sistem yang telah dirancang dan selanjutnya perbaikan dapat dilakukan dengan lebih seksama berdasarkan pertimbangan dari hasil pengujian respons transien sistem. Fungsi sederhana yang sering digunakan untuk menguji respons transien diantaranya adalah fungsi undak, fungsi ramp, fungsi percepatan, fungsi impuls dan fungsi sinus dlsb. Karena fungsi-fungsi tersebut sangat sederhana, maka analisis respons transien dapat dilakukan dengan mudah dan relatif cepat. Transformasi Laplace dari fungsi uji yang sangat sering digunakan adalah sebagai berikut: Nama fungsi Transformasi Laplace Fungsi impuls satuan 1 Fungsi undak satuan 1 s Fungsi ramp satuan 1 s 2

38 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) Sistem Orde 1 Contoh fisik dari sistem orde satu misalnya adalah rangkaian RC, sistem termal dlsb. Sebagai ilustrasi untuk sistem orde satu dapat dilihat diagram blok pada Gambar 10 berikut ini. Gambar 10: Contoh diagram blok sistem orde 1 Fungsi alih dari Gambar 10 dapat diperoleh dari gambar (b) sebagai berikut: C(s) R(s) = 1 Ts+1 (30) Pada persamaan (30) terlihat bahwa pangkat tertinggi dari s pada penyebut adalah satu, karena itu sistem di atas disebut sistem orde satu. Dalam pembahasan berikut ini, akan dibahas mengenai pengujian sistem orde 1 di atas dengan berbagai fungsi masukan agar diperoleh respons transien atau kinerja dari sistem Respons sistem orde 1 terhadap fungsi undak satuan Dari tabel transformasi Laplace diperoleh bahwa transformasi Laplace fungsi undak satuan adalah 1. Dengan demikian bila sistem orde satu di atas s diberi masukan fungsi undak satuan, maka R(s) = 1, dan persamaan (30) s

39 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 38 dapat ditulis sebagai: C(s) = 1 Ts+1 R(s) = 1 1 Ts+1 s (31) Dengan menggunakan ekspansi fraksional, seperti pada persamaan (11) hal.15, diperoleh C(s) = 1 s T Ts+1. (32) Respons transien sistem orde 1 terhadap masukan fungsi undak satuan dapat ditentukan dengan mentransformasi Laplace balik persamaan (32), yaitu: L 1 [C(s)] = L 1 [ 1 s T Ts+1 ] = L 1 [ 1 s ] T L 1 [ Ts+1 ] c(t) =1 e t/t (t 0). (33) Persamaan ini menunjukkan respons transien sistem orde 1 bila diberi masukkan fungsi undak satuan. Keluaran pada kondisi awal dapat diperoleh dengan memasukkan nilai t =0,yaituc(t) =0(e 0 = 1), dan keluaran pada kondisi mendekati jenuh dapat diperoleh dengan memasukkan nilai t =. Pada saat t = T, c(t )= Dari fungsi respons ini dapat dilihat bahwa konstanta waktu T mempunyai peran terhadap kesigapan respons terhadap masukkan. Semakin kecil nilai T, respons sistem menjadi semakin cepat. Grafik fungsi c(t) pada persamaan (33) dapat dilihat pada Gambar 11 di halaman Respons sistem orde 1 terhadap fungsi ramp satuan Transformasi Laplace dari fungsi ramp satuan adalah 1 s 2, dengan memberi masukkan R(s) = 1 s 2 persamaan (30) dapat ditulis sebagai: C(s) = 1 Ts+1 R(s) = 1 Ts+1 1 s 2. (34)

40 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 39 Gambar 11: Grafik respons transien sistem orde 1 terhadap masukan undak satuan Penerapan metode ekspansi fraksional (persamaan (11) hal.15) pada persamaan (34) menghasilkan C(s) = 1 s 2 T s + T 2 Ts+1. (35) Transformasi Laplace balik dari persamaan ini akan menghasilkan respon transien sebagai berikut. L 1 [C(s)] = L 1 [ 1 s T 2 s + T 2 Ts+1 ] L 1 [C(s)] = L 1 [ 1 s ] 2 L 1 [ T T 2 s ]+L 1 [ Ts+1 ] c(t) =t T + Te t/t (t 0). (36) Sifat-sifat dari respons transien ini dapat diselidiki dengan menggambar grafik dari fungsi c(t).

41 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) Respons sistem orde 1 terhadap fungsi impuls satuan Masukan untuk fungsi impuls satuan adalah R(s) = 1, maka persamaan (30) dapat ditulis sebagai: C(s) = 1 Ts+1 R(s) = 1 1. (37) Ts+1 Respons transien yang diperoleh dari persamaan (37)adalah c(t) = 1 T e t/t (t 0). (38) 5.2 Sistem Orde 2 Salah satu contoh fisik dari sistem orde dua adalah sistem servomekanik seperti terlihat pada Gambar 12. Gambar (a) menunjukkan skema fisik rangkaian servomekanik, gambar (b) adalah digram bloknya. Digram blok dari sistem servomekanik yang telah disederhanakan diperlihatkan pada gambar (c). Gambar 12: Bentuk fisik dan diagram blok sistem servomekanika

42 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 41 Dari diagram blok Gambar 12(c) diperoleh fungsi alih sistem sebagai berikut C(s) R(s) = K s(j s+ B)+K = K Js 2 + Bs+ K (39) dengan K = (K 0 K 1 K 2 )/(nr a ) : Konstanta J = J 0 /n 2 : Momen inersia pd poros luaran B = [b 0 +(K 2 K 3 /R a )]/n 2 :Koefisien friksi viskositas pd poros luaran Penyebut persamaan (39) menunjukkan bahwa pangkat tertinggi dari variabel s adalah 2 (dua), dengan demikian jelas sistem tersebut adalah sistem orde dua. Kutup (lihat kembali penjelasan tentang kutup di halaman 14 ) dari fungsi alih untai tertutup persamaan (39) dapat berupa bilangan kompleks atau riil. Kutup persamaan tersebut akan berupa bilangan imaginer bila B 2 4JK < 0, dan bilangan riil bila B 2 4JK 0. Dengan rumus ABC, penyebut dari persamaan (39) dapat difaktorisasi, sehingga persamaan (39) dapat ditulis sebagai C(s) R(s) = = K/J s 2 + B/Js + K/J q s + B/J + ( B/J 2 2 )2 K/J K/J s + B/J 2 q ( B/J 2 )2 K/J (40) Dalam sistem orde dua sering dipakai parameter-parameter yang berhubungan dengan konstanta B, J, dank. Parameter yang akan didefinisikan berikut ini tidak dipakai pada sistem orde satu. Berikut ini adalah definisi dari parameter atenuasi (σ), frekuensi alam tak-teredam (ω n )danrasio redaman (ζ). K J = ω2 n, B J =2ζω n =2σ (41)

43 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 42 Rasio redaman ζ itu sendiri adalah perbandingan antara redaman nyata (B) dan redaman kritis (B c =2 JK), yaitu ζ = B = B B c 2 (42) JK Dengan mensubtitusikan parameter yang telah didefinisikan pada persamaan (41) dan (42), fungsi alih sistem orde dua, persamaan (39) hal.41, dapat diubah menjadi: C(s) R(s) = ω 2 n s 2 +2ζω n s + ω 2 n (43) Kini fungsi alih sistem orde dua dapat dinyatakan dengan dua paramter, yaitu ω n dan ζ. Bila 0 < ζ < 1kutup-kutupakanberadapadadaerahtidak stabil (pada penjelasan berikutnya akan dibahas bahwa daerah tidak stabil adalah daerah yang berada disebelah kanan dalam bidang kompleks) dan sistem dalam kondisi teredam-kurang sehingga sistem akan berosilasi terus menerus. Untuk ζ =1danζ > 1, sistem akan berada dalam kondisi teredam dan teredam-lebih. Pada kondisi ini sistem tidak berosilasi. Bila ζ = 0, respons transien dari sistem akan tidak berkesudahan (terus menerus ada dan tak berhenti, lihat Gambar 13 hal.44) Respons sistem orde 2 terhadap fungsi undak satuan Sekarang kita akan menentukan respon transien dari sistem orde dua terhadap masukan fungsi undak satuan (R(s) = 1 ) dengan bentuk matematis s yang mewakilinya adalah fungsi alih persamaan (43). Tidak seperti sistem orde satu, pada sistem orde dua ini kita mempunyai tiga kemungkinan kondisi yaitu teredam-kurang 0 < ζ < 1, teredam kritis ζ = 1 dan teredam-lebih ζ > 1. Karena itu dalam menerapkan masukan fungsi undak satuan, ketiga kondisi tersebut harus diperhitungkan juga.

44 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 43 Teredam kurang (0 < ζ < 1): Fungsi alih sistem pengaturan orde dua dapat ditulis kembali sebagai berikut. C(s) R(s) = ω 2 n s 2 +2ζω n s + ω 2 n = ω 2 n (s + ζω n + jω d )(s + ζω n jω d ), (44) ω d = ω n 1 ζ2 adalah frekuensi alam teredam. Dengan memasukkan fungsi undak satuan, R(s) = 1, persamaan (44) menjadi: s C(s) = ω 2 n s 2 +2ζω n s + ω 2 n 1 s = 1 s s +2ζω n s 2 +2ζω n s + ω 2 n = 1 s s + ζω n (s + ζω n ) 2 + ωd 2 ζω n (s + ζω n ) 2 + ω 2 d (45) Transformasi Laplace balik dari persamaan ini adalah: L 1 [C(s)] = L 1 [ 1 s ] s + ζω n L 1 [ ] L 1 ζω n [ ] (s + ζω n ) 2 + ωd 2 (s + ζω n ) 2 + ωd 2 c(t) =1 e ζωn t cos ω d t e ζωn t ζω n sin ω d t ω µ d =1 e ζω n t ζω n cos ω d t + ω sin ω n 1 ζ 2 dt =1 e µcos ζωn t ζ ω d t + sin ω 1 ζ 2 dt Ã! =1 e ζω nt 1 ζ sin ω 1 ζ 2 d t +tan 1 2 ζ (t 0) (46) Persamaan (46) adalah respons transien sistem orde dua terhadap masukan undak satuan. Dari persamaan ini diketahui bahwa frekuensi dari transien osilasi adalah frekuensi alam teredam ω d yang bervariasi dengan ζ. Ilustrasi yang menggambarkan respons transien sistem orde dua dengan berbagai nilai ζ dapat dilihat pada Gambar 13

45 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 44 Gambar 13: Grafik respons transien sistem orde 2 terhadap masukan undak satuan Sinyal kesalahan (error) untuk sistem ini dapat diperoleh dari selisih antara masukan dan luaran, yaitu: Kesalahan = Masukan Luaran e(t) =r(t) c(t) µ = e ζω n t ζ cos ω d t + sin ω 1 ζ 2 dt (t 0) (47) Bila persamaan ini digambar akan diperoleh grafik kesalahan yang berbentuk osilasi sinus teredam. Pada kondisi tunak dengan t = diperoleh e( ) =0, dengan demikian pada kondisi tunak tidak ada kesalahan antara masukan dan

46 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 45 luaran atau dengan kata lain pada kondisi tunak luaran akan sesuai dengan masukan. Hal ini berlaku untuk 0 < ζ < 1, bila ζ = 0 maka akan diperoleh e(t) =cosω d t. Berarti sistem akan mempunyai kesalahan terus menerus dan berosilasi dengan modus sinusuidal, dari respons transien juga membuktikan hal ini, yaitu c(t) =1 cos ω n t Teredam kritis (ζ =1): Pada kasus ini dua kutup dari fungsi alih (C(s)/R(s)) mempunyai nilai yang hampir sama, karena itu dapat dilakukan pendekatan teredam kritis. Fungsi alih sistem orde dua pada kondisi teredam kritis dapat ditulis sbb: C(s) R(s) = ω 2 n ω 2 n = = s 2 +2ζω n s + ωn 2 s 2 +2ω n s + ωn 2 ω 2 n (s + ω n ) 2, (48) bila pada masukan diberikan fungsi undak satuan (R(s) = 1 ), akan diperoleh: s ωn 2 C(s) = (s + ω n ) 2 s Transformasi Laplace balik dari persamaan ini adalah L 1 [C(s)] = L 1 ωn 2 (s + ω n ) 2 s (49) c(t) =1 e ωn t (1 + ω n t) (50) Pada persamaan ini tidak muncul faktor sinusuidal, yang ada hanya modus eksponensial, jadi tidak akan ada osilasi. Grafik dari respons transien untuk sistem ini dapat dilihat pada Gambar 13 hal.44 dengan ζ =1 Teredam lebih (ζ > 1): Dalam kasus ini dua kutup dari fungsi alih (C(s)/R(s)) mempunyai nilai negatip riil yang berbeda. Fungsi alih sistem orde dua pada kondisi teredam lebih dapat ditulis sbb:

47 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 46 C(s) R(s) = ω 2 n s 2 +2ζω n s + ωn 2 = ω 2 n (s + ζω n + ω n p ζ2 1)(s + ζω n ω n p ζ2 1) (51) bila pada masukan diberikan fungsi undak satuan (R(s) = 1 ), akan diperoleh: s ωn 2 1 C(s) = (s + ζω n + ω n ζ2 1)(s + ζω n ω n ζ2 1) s Transformasi Laplace balik dari persamaan ini akan diperoleh: (52) 1 c(t) =1+ 2 ζ 2 1(ζ + ζ 2 1) e (ζ+ ζ 2 1)ω n t 1 2 ζ 2 1(ζ ζ 2 1) e (ζ ζ 2 1)ω n t ω n =1 + 2 e (ζ+ ζ 2 1) ω nt ζ 2 1 (ζ + e (ζ ζ 2 1) ω nt ζ 2 1)ω n (ζ (t 0) ζ 2 1)ω n (53) Pada persamaan ini tidak muncul modus sinusuidal, modus yang dominan adalah eksponensial, karena itu pada Gambar 13 hal.44 untuk ζ > 1 tidak terlihat adanya osilasi. Semakin besar nilai ζ dari satu, akan menghasilkan peluruhan eksponensial yang lebih cepat Respons sistem orde dua terhadap fungsi impuls satuan Transformasi Laplace dari fungsi impuls satuan adalah 1, jadi R(s) =1. Fungsi alih sistem orde 2 setelah menerima masukan berbentuk fungsi impuls satuan dapat ditulis sebagai berikut: ω 2 n C(s) = R(s) = (54) s 2 +2ζω n s + ωn 2 s 2 +2ζω n s + ωn 2 Transformasi Laplace balik dari persamaan (54) akan menghasilkan respons transien sebagai berikut: 0 ζ < 1 c(t) = ω n 1 ζ 2 e ζωn t sin ω n p 1 ζ2 t (55) ω 2 n

48 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 47 ζ =1 c(t) =ω 2 n te ω n t (56) ζ > 1 c(t) = ω n 2 ζ 2 1 e (ζ+ ζ 2 1) ω n ω n t 2 ζ 2 1 e (ζ ζ 2 1) ω n t (57) Respons sistem orde dua terhadap fungsi ramp satuan Respons transien sistem orde dua terhadap fungsi ramp dapat diperoleh dengan metode langsung. Pada pembahasan ini akan dipelajari kesalahan tunak dari sistem orde dua yang diberi masukan fungsi ramp. Persamaan kesalahan tunak dapat ditulis sebagai berikut: E(s) = Js2 + Bs R(s) (58) Js 2 + Bs+ K Tanpa menggunakan transformasi Laplace, dapat diperoleh e(t) sebagai berikut: e(t) =lim s 0 se(s) =lim s 0 s Js 2 + Bs Js 2 + Bs+ K = B K = 2 ζ (59) ω n q dengan ζ = B 2, ω K KJ n =. J Hingga di sini telah dibahas mengenai respons transien dari suatu sistem orde dua terhadap masukan yang berupa fungsi undak satuan, impuls satuan dan ramp satuan. Dari jenis respons transien ini, respons terhadap masukan fungsi undak satuan mempunyai arti penting, yaitu dengan mengetahui respons transien terhadap fungsi undak satuan, secara matematis, respons 1 s 2

49 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 48 terhadap sembarang masukan dapat diketahui. Karena itu respons terhadap fungsi undak satuan sering dijadikan acuan dalam mengevaluasi disain sistem pengaturan dalam dunia industri Spesifikasi respons transien Untuk kepraktisan di lapangan, banyak kasus menunjukkan bahwa sifat kinerja sistem pengaturan yang ditinjau dispesifikasikan dengan istilah-istilah yang mewakili suatu kuantitas dalam domain waktu (sebagai fungsi waktu atau yang berkaitan dengan waktu). Pada kenyataannya, kebanyakan sistem pengaturan memperlihatkan sifat kinerja sebagai sistem osilasi teredam sebelum mencapai kondisi tunak (lihat Gambar 14 hal.49). Berkaitan dengan sifat ini (osilasi teredam), berikut ini akan dijelaskan beberapa definisi parameter karakteristika respons transien terhadap masukan fungsi undak satuan. Definisi dari parameter yang sering dipakai pada sistem osilasi teredam dapat dijelaskan sebagai berikut. (Lihat Gambar 14 hal.49). 1. Waktu tunda (delay time), t d : Waktu yang diperlukan oleh respons (fungsi respons) untuk mencapai setengah dari nilai akhir osilasi atau kondisi tunak (lihat t d pada Gambar 14). 2. Waktu naik (rise time), t r : Waktu yang diperlukan oleh respons (fungsi respons) untuk naik 10% 90%, 5% 95%, atau 0% 100% dari nilai akhirnya. Untuk sistem orde 2 teredam-kurang waktu naik yang dipakai mempunyai pengertian yaitu waktu untuk naik dari 0% 100%. Untuk sistem teredam-lebih dipakai definisi waktu untuk naik dari 10% 90%

50 M. Dhandhang P. Dasar-2 T. Pengaturan (Rev. Juli 2002) 49 Gambar 14: Spesifikasi respons transien terhadap fungsi undak satuan 3. Waktu puncak (peak time), t p : Waktu yang diperlukan oleh respons (fungsi respons) untuk mencapai puncak pertama dari overshoot. 4. Overshoot maksimum (maximum overshoot), M p : Nilai puncak maksimum kurva respons yang diukur dari nilai satu. Bila nilai tunak dari respons tidak sama dengan satu, maka untuk parameter ini biasanya digunakan persen overshoot maksimum yang didefinisikan sebagai Persen overshoot maksimum = c(t p) c( ) c( ) 100%. (60) Nilai ini menunjukkan stabilitas relatif dari sistem. Untuk jelasnya lihat