TRANSFORMASI LAPLACE

Transkripsi

1 TRANSFORMASI LAPLACE

2 SISTEM KENDALI KLASIK Pemodelan Matematika Analisis Diagram Bode, Nyquist, Nichols Step & Impulse Response ain / Phase Margins Root Locus Disain Simulasi

3 SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP

4 PLANT PEMBANKIT DAYA UAP

5 SISTEM KENDALI ENERATOR

6 KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI

7 MODEL MATEMATIKA Bagaimana membuat model matematika?

8 MODEL MATEMATIKA Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem. Mengapa harus dengan model matematika? Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali. Misalnya: Bagaimana hubungan antara input dan output. Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.

9 Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali:. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.

10 RANKAIAN RLC Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff. Contoh: Rangkaian RLC, ika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output V(t) R i(t) L C Menggunakan KVL: v( t) vr( t) vl( t) vc ( t) di( t) t v( t) vr( t) L i( ) d dt C 0 Menggunakan persamaan diferensial (diturunkan dari KVL): Apakah dapat menadi persamaan alabar sederhana? Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput dari sistem? Dapatkah dibuat menadi satuan-satuan terpisah?

11 Jika awabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan diatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace. Transformasi Laplace memberikan: Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuansatuan terpisah. Hubungan alabar sederhana antara Input, Output dan Sistem. Keterbatasan dari Transformasi Laplace : Bekera dalam domain frekuensi. Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..

12 TRANSFORMASI LAPLACE tambahkan dari buku dspguide x(t) Laplace Transform X(s) Time Domain Time Domain Circuit Circuit L L s-domain Circuit Y(s) s Complex Frequency Types of s-domain Circuits With and Without Initial Conditions y(t) Inverse Laplace Transform

13 TRANSFORMASI LAPLACE Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menadi fungsi-fungsi alabar variabel kompleks. Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi alabar pada bidang kompleks. Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial. Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinera sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen keadaan tunak (steady state).

14 VARIABEL KOMPLEKS Variabel kompleks: s = + dengan : adalah komponen nyata adalah komponen maya Bidang s s o

15 FUNSI KOMPLEKS Suatu fungsi kompleks: (s) = x + y dengan : x dan y adalah besaran-besaran nyata Im y Bidang (s) O x Re Besar dari besaran kompleks: y Sudut : tan x (s) x y

16 TURUNAN FUNSI ANALITIK Turunan fungsi analitik (s) diberikan oleh: d ds (s) lim (s s) s (s) lim s 0 s 0 s Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s. Karena s = +, maka s dapat mendekati nol dengan tak-terhingga lintasan yang berbeda

17 Untuk lintasan s = d ds (s) lim s 0 (lintasan seaar dengan sumbu nyata) x Untuk lintasan s = (lintasan seaar sumbu maya), maka d ds (s) lim s 0 x y y x x y y Jika dua harga turunan ini sama Syarat Cauchy-Riemann x y x y y x y x

18 Contoh Soal Tinau (s) berikut, apa analitik? (s) s Jawab: ( ) dimana x dan y x y Dapat dilihat bahwa, kecuali s=- (yaitu =-, =0), (s) memenuhi syara Cauchy-Riemann: x y y x Dengan demikian (s)=/(s+) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-.

19 Turunan d(s)/ds pada s=- adalah d ds (s) x y y x s Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan (s) terhadap s d ds s s Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi (s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi (s) tidak analitik disebut titik singuler. Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi (s) atau turunanturunannya mendekati tak terhingga disebut pole

20 KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL Zeros dari (s) Poles dari (s) Persamaan karakterisk roots numerator roots denominator denominator dari (s)=0 Im Re poles zeros Pola pole-zero

21 Contoh Soal Tentukan umlah pole dan zero dari fungsi (s) berikut: (s) K(s (s ) (s 3) )