Teknik Mesin - FTI - ITS

Transkripsi

1 B a b Frekuensi Natural Getaran Bebas 1 DOF Untuk getaran translasi 1 DOF, frekuensi natural ω n didefinisikan k ω n 2π f n m rad /s 2.1) dimana k adalah kekakuan pegas dan m adalah massa. Untuk getaran translasi dengan arah vertikal, frekuensi natural dapat didefinisikan g ω n 2π f n rad/s 2.2) δ st dimana δ st adalah defleksi statik. Sedangkan untuk getaran rotasi 1 DOF, frekuensi natural ω n didefinisikan kt ω n 2π f n J rad /s 2.3) dimana k t adalah kepegasan torsi dan J adalah momen inersia. 2.2 Getaran Bebas System 1 DOF Tak Teredam Persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran translasi didefinisikan sebagai mẍ + kx 0 2.4) dimana ẍ d2 x adalah perepatan dari massa m. Solusi dari persamaan diatas dapat diari dt 2 dengan mengasumsikan x t) Ce st 2.5) dimana C dan s adalah konstanta yg perlu ditentukan. Substitusi persamaan 2.5) ke persamaan 2.4), kita dapatkan C ms 2 + k ) 0 1

2 2.2 Getaran Bebas System 1 DOF Tak Teredam 2 karena C tidak bisa sama dengan nol, maka ms 2 + k 0 2.6) sehigga s ± m) k 1/2 ±iω n 2.7) Karena kedua nilai s dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan 2.6), penyelesaian umum untuk persamaan 2.4) dapat diexpresikan x t) C 1 e iω nt + C 2 e iω nt 2.8) dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta. Dengan menggunakan identitas persamaan 2.8) dapat ditulis e ±iαt osαt ± isinαt x t) A 1 osω n t + A 2 sinω n t 2.9) dimana A 1 dan A 2 adalah konstanta. Konstanta C 1 dan C 2 atau A 1 dan A 2 dapat ditentukan dari kondisi awal. Jika nilai kondisi awal untuk posisi x t 0) x 0 dan keepatan ẋ t 0) ẋ 0, dari persamaan 2.9) x t 0) A 1 x 0 ẋ t 0) ω n A 2 ẋ ) atau A 1 x 0 dan A 2 ẋ0 ω n. Sehingga penyelesaian persamaan 2.4) adalah x t) x 0 osω n t + ẋ0 ω n sinω n t 2.11) Sedangkan persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran rotasi didefinisikan sebagai J θ + k t θ ) Sama dengan gerak translasi, penyelesaian umum dari getaran bebas tak teredam untuk getaran rotasi adalah θ t) A 1 osω n t + A 2 sinω n t ) dimana A 1 dan A 2 ditentukan dari kondisi awal. Untuk kondisi awal θ t 0) θ 0 dan θ 0 t 0) θ 0, persamaan diatas bisa ditulis θ t) θ 0 osω n t + θ 0 ω n sinω n t )

3 2.3 Getaran Bebas System 1 DOF Teredam Getaran Bebas System 1 DOF Teredam Persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran translasi didefinisikan sebagai mẍ + ẋ + kx ) Solusi dari persamaan diatas dapat diari dengan mensubstitusi persamaan 2.5) ke persamaan 2.15) ms 2 + s + k ) akar dari persamaan diatas adalah s 1, 2 ± 2 4mk 2m 2m ± ) 2 k 2m m Kedua akar ini mempunyai dua penyelesaian untuk persamaan 2.15) x 1 t) C 1 e s 1t dan x 2 t) C 2 e s 2t 2.17) 2.18) Dan penyelesaian umum untuk persamaan 2.15) merupakan kombinasi dari dua solusi diatas x t) C 1 e s 1t + C 2 e s 2t C 1 e { } 2m + 2m ) 2 m k t { } 2m 2m ) 2 m k t dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta yang ditentukan dari kondisi awal Konstanta Damping Kritis dan Rasio Redaman Konstanta damping kritis 2.19) Konstanta damping kritis didefinisikan k 2m m 2 km 2mω n 2.20) Rasio redaman Rasio redaman ζ didefinisikan ζ 2mω n 2 km ω n 2k Untuk getaran rotasi 1 DOF, rasio redaman ζ didefinisikan 2.21) ζ t 2Jω n t 2 k t J 2.22)

4 2.3 Getaran Bebas System 1 DOF Teredam Respon Getaran Bebas System 1 DOF Teredam Dengan mendefinisikan persamaan 2.17) bisa ditulis 2m 2m ζω n 2.23) s 1, 2 ζ ± ζ 2 1 ) ω n 2.24) dan persamaan 2.19) bisa ditulis ) ) ζ+ ζ x t) C 1 e 2 1 ω n t ζ ζ 2 1 ω n t 2.25) Sehingga perilaku dari penyelesaian persamaan diatas tergantung dari besarnya nilai damping. Untuk ζ 0 menghasilkan respon getaran bebas tak teredam. Untuk ζ 0 ada tiga tipe penyelesaian tergantung dari besarnya damping ratio ζ. Underdamped Ketika damping rasio dalam range 0 < ζ < 1, sistem getaran kita sebut underdamped. Untuk kondisi ini, ζ 2 1 ) adalah negatif dan akar s 1 dan s 2 dapat ditulis dan persamaan 2.25) dapat ditulis ) ζ+i 1 ζ x t) C 1 e 2 ω n t ζ i { ) e ζω nt i 1 ζ C 1 e 2 ω n t s 1 ζ + i 1 ζ 2) ω n s 2 ζ i 1 ζ 2) ω n ) 1 ζ 2 ω n t ) i 1 ζ 2 ω n t e ζω nt { C 1 + C 2 ) os 1 ζ 2 ω n t + i C 1 C 2 ) sin 1 ζ 2 ω n t } e ζω nt { C 1 os 1 ζ 2 ω n t + C 2 sin 1 ζ 2 ω n t } } 2.26) dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta yang ditentukan dari kondisi awal. Untuk kondisi awal x t 0) x 0 dan ẋ 0 t 0) ẋ 0, maka C 1 x 0 dan C 2 ẋ0 + ζω n x 0 1 ζ2 ω n 2.27) sehingga persamaan 2.25) dapat ditulis menjadi x t) e ζω nt x 0os 1 ζ 2 ω n t + ẋ0 + ζω n x 0 sin 1 ζ 2 ω n t 1 ζ2 ω n 2.28) Getaran yang dideskripsikan oleh persamaan 2.28) adalah getaran harmonik dengan frekuensi angular 1 ζ 2 ω n. Besaran ω d 1 ζ 2 ω n 2.29) disebut frekuensi getaran teredam. Dari persamaan diatas bisa dilihat bahwa frekuensi getaran teredam ω d selalu lebih keil dari natural frekuensi tak teredam ω n.

5 2.4 Penurunan Logaritmi 5 Critially damped Ketika ζ 1, sistem getaran kita sebut ritially damped. Untuk kondisi ini kedua akar s 1 dan s 2 adalah sama s 1 s 2 2 m ω n 2.30) dan penyelesaian persamaan 2.15) adalah x t) C 1 + C 2 t) e ω nt 2.31) Untuk kondisi awal x t 0) x 0 dan ẋ 0 t 0) ẋ 0, kita peroleh dan persamaan 2.31) bisa ditulis Overdamped C 1 x 0 dan C 2 ẋ 0 + ω n x ) x t) [x 0 + ẋ 0 + ω n x 0 ) t] e ω nt 2.33) Ketika ζ > 1, sistem getaran kita sebut overdamped. Untuk kondisi ini, ζ 2 1 ) adalah positif dan akar s 1 dan s 2 dapat ditulis s 1 ζ + ζ 2 1 ) ω n < 0 s 2 ζ ζ 2 1 ) ω n < 0 dengan s 2 s 1, dan penyelesaian persamaan 2.15) adalah ) ζ+ ζ x t) C 1 e 2 1 ω n t ζ ) ζ 2 1 Untuk kondisi awal x t 0) x 0 dan ẋ 0 t 0) ẋ 0, kita peroleh C 1 x 0ω n ζ + ζ2 1 ) + ẋ 0 2ω n ζ Penurunan Logaritmi ω n t 2.34) dan C 2 x 0ω n ζ ζ2 1 ) ẋ 0 2ω n ζ ) Penurunan logarithmi δ merepresentasikan laju penurunan amplitudo getaran bebas teredam yang didefiniskan sebagai rasio logarithmi dari dua amplitudo getaran yang berurutan. Misal, t 1 dan t 2 merupakan waktu yang berhubungan dengan dua amplitudo getaran yang berurutan dari sistem underdamped. Untuk sistem underdamped persamaan 2.26) dapat ditulis x t) X 0 e ζω nt os ω d t φ 0 ) 2.36) Menggunakan persamaan diatas, ratio amplitudo getaran bisa ditulis x 1 X 0e ζωnt1 os ω d t 1 φ 0 ) x 2 X 0 e ζω nt 2os ωd t 2 φ 0 ) Waktu t 2 t 1 + τ d, dimana τ d 2π /ω d adalah periode getaran teredam, sehingga 2.37) os ω d t 2 φ 0 ) os 2π + ω d t 1 φ 0 ) os ω d t 1 φ 0 )

6 2.4 Penurunan Logaritmi 6 dan persamaan 2.37) bisa ditulis x 1 x 2 Dari persamaan diatas penurunan logarithmi δ dapat kita tulis e ζωnt1 e ζω nt 1 +τ d ) eζω nτ d 2.38) δ ln x 1 2π ζω n τ d ζω n x 2 1 ζ2 ω n 2πζ 2π 1 ζ 2 ω d 2m 2.39) untuk damping keil ζ 1, persamaan 2.39) bisa ditulis δ 2πζ 2.40)