Probabilitas dan Proses Stokastik

Transkripsi

1 Probabilitas dan Proses Stokastik Tim ProStok Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 04

2 O U T L I N E. Capaian Pembelajaran. Pengantar dan Teori Ringkasan 5. Latihan

3 CP Teori Ringkasan Latihan Capaian Pembelajaran Mahasiswa mampu: menganalisis respons sistem LTI kontinu bila diberi input stokastik 3

4 CP Teori Ringkasan Latihan Pengantar Dalam bahasan tentang respon sistem linear kontinu dengan input stokastik ini akan dikembangkan suatu metode untuk mendeskripsikan respon dari sistem linear bila input sinyal yang diberikan adalah acak (stokastik). Respon impulse sistem dalam bahasan ini diasumsikan merupakan fungsi real dan karakteristik respon dari sistem dibatasi pada nilai mean, fungsi autokorelasi dan fungsi kepadatan spektral daya. 4

5 CP Teori Ringkasan Latihan Respon Sistem LTI X(t) Proses stokastik LTI Y(t)? Output Y(t) Y ( t) h( u) X ( t u) du 5

6 CP Teori Ringkasan Latihan Mean Respon Sistem Bila X(t) WSS, mean dari Y(t) E [ Y ( t)] E h( u) X ( t u) du h ( u) E[ X ( t u)] du X h( u) du Y 6

7 CP Teori Ringkasan Latihan Autokorelasi Respon Sistem Bila X(t) WSS, fungsi autokorelasi dari Y(t) R YY ( t, t τ ) E[ Y ( t) Y ( t τ )] E h( u) X ( t u) du h( v) X ( t τ v) dv R YY ( τ ) R ( τ u v) h( u) h( v) du dv R YY ( τ ) R ( τ ) h( τ ) h( τ ) 7

8 CP Teori Ringkasan Latihan Korelasi Silang Input-Output Korelasi silang X(t) dan Y(t) R XY ( t, t τ ) E[ X ( t) Y ( t τ )] E X ( t) h( u) X ( t τ u) du R R XY XY ( τ ) R ( τ u) h( u) du ( τ ) R ( τ ) h( τ ) 8

9 CP Teori Ringkasan Latihan Kepadatan Spektral Daya Respon Sistem Kepadatan spektral daya output Y(t) S ( ) S ( ) H ( ) YY dengan S () psd dari X(t) H() fungsi transfer daya Daya rata-rata output Y(t) P YY S ( ) H ( ) π d 9

10 Soal CP Teori Ringkasan Latihan Untuk rangkaian RL seri seperti pada gambar, diketahui bahwa input X(t) adalah proses stokastik wide sense stationer dengan fungsi autokorelasi X(t) H Ω Y(t) R ( τ ) 0e τ Dapatkan: a) fungsi kepadatan spektral daya (PSD) output. b) daya rata-rata output. c) autokorelasi output 0

11 CP Teori Ringkasan Latihan Solusi Mean X(t) adalah lim τ R ( τ ) X τ lim 0e 0 X 0 τ Daya rata-rata X(t) P R (0) 0e 0 0 Varians X(t) σ X E[ X ] X 0 0 0

12 Teori Solusi CP Ringkasan Latihan Kepadatan spektral daya input X(t) Fungsi transfer sistem )] ( [ ) ( τ R S I ()() L j R R H ) ( j j j j j j

13 Teori 3 Solusi CP Ringkasan Latihan Konjugasi fungsi transfer Fungsi transfer daya * ) ( j H ) ( ) ( ) ( H H H [ ]

14 CP Teori Ringkasan Latihan Solusi Mean dari output Y(t) Y H ( 0) X (0) 0 Spektral daya output Y(t) S ( ) YY H ( ) S ( ) 40 4 ( 40 )( 4) 4

15 CP Teori Ringkasan Latihan Solusi Daya rata-rata Y(t) P YY π S ( ) d π YY ( )( 40 d 4) 0 tan 3π d( ) ( ) 0 π 3π [ π ( ) ] 0 3 5

16 CP Teori Ringkasan Latihan Solusi Fungsi autokorelasi Y(t) R YY ( τ ) I [ S YY ( )] I ( 40 )( 4) I 40/3 40/ e e 3 3 τ τ I 40/3 I 40/3 4 6

17 CP Teori Ringkasan Latihan Respon Sistem LTI dengan Input Stokastik Respon sistem linear diberikan oleh integral konvolusi dari input stokastik dan respon impulse dari sistem Bila input X(t) pada sistem linear adalah wide-sense stasioner, maka nilai mean dari output Y(t) sama dengan nilai mean dari X(t) dikalikan dengan luas dibawah respon impulse h(t) Jika input X(t) merupakan WSS, fungsi autokorelasi dari respon Y(t) adalah konvolusi dari fungsi autokorelasi input dengan h(τ) dan h(-τ) 7

18 CP Teori Ringkasan Latihan Soal Latihan Proses stokastik X(t) wide-sense stasioner dengan fungsi autokorelasi: R ( τ ) e b τ merupakan input pada filter RC dengan respon impulse h( t) ( 0 RC) e t RC t 0 yang lain Asumsikan b>0 dan b /RC. Dapatkan: a) Fungsi kepadatan spektral daya (PSD) output. b) Daya rata-rata output. 8

19 CP Teori Ringkasan Latihan 9