ROOT LOCUS. Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus. Root Locus Melalui MATLAB. Root Locus untuk Sistem dengan

Transkripsi

1 ROOT LOCUS Pendahuluan Dasar Root Locus Plot Root Locus Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus Root Locus Melalui MATLAB Kasus Khusus Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus Root Locus untuk Sistem dengan Transport Lag Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 28

2 PENDAHULUAN Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya). Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s. Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan. Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation. Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB?!) W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus. Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 2 dari 28

3 DASAR ROOT LOCUS Persamaan Karakteristik: s 2 + 2s + K =0 Akar-akar Persamaan Karakteristik : K s = 2 ± 4 4 = 1± 1 K 2 K s 1 s j1-1+j j3-1+j j10-1+j10 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 3 dari 28

4 Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata. Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk K ) termasuk zero-zero pada titik takhingga. Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi. Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat. Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat. Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole. Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat. Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root Locus. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4 dari 28

5 PLOT ROOT LOCUS Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0 Atau: G(s)H(s) = -1, Sehingga: øg(s)h(s) =! (2k+1); (syarat sudut) k = 0, 1, 2,. G(s)H(s) = 1 (syarat magnitude) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 28

6 PROSEDUR PENGGAMBARAN ROOT LOCUS 1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s. 2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata. Syarat Sudut: øg(s)h(s) =! (2k+1); k = 0, 1, 2,. Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus. 3. Tentukan asimtot Root Locus: Banyaknya asimtot = n m n = banyaknya pole loop terbuka m= banyaknya zero loop terbuka ± (2k + 1) Sudut-sudut asimtot = n m k=0, 1, 2, Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata: σ a ( letak pole berhingga) ( letak zero berhingga) = n m Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 28

7 4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in: Untuk Persamaan Karakteristik: B(s) + KA(s) = 0, Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan: ' ' dk B ( s) A( s) B( s) A ( s) = = 0 2 ds A ( s) 5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 28

8 6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K): Melalui Kriteria Routh Hurwitz. Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = j 7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerahdaerah selain sumbu nyata dan asimtot. 8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak polepole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis: Secara grafis: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 8 dari 28

9 CONTOH 1: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 28

10 CONTOH 2: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 10 dari 28

11 BEBERAPA CATATAN Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus. Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di hilang kan (cancelled) oleh zero-zero H(s) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 11 dari 28

12 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 12 dari 28

13 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 13 dari 28

14 ROOT LOCUS MELALUI MATLAB Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 14 dari 28

15 KASUS KHUSUS Parameter K bukan penguatan loop terbuka. Umpanbalik positif. Parameter K bukan Penguatan Loop Terbuka. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 15 dari 28

16 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 16 dari 28

17 Umpanbalik Positif. Modifikasi Aturan 2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka titik tsb berada di Root Locus. ± k Sudut-sudut asimtot = ; k=0, 1, 2, n m Sudut datang dan sudut pergi : diganti dengan Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 17 dari 28

18 Contoh: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 18 dari 28

19 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 19 dari 28

20 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 20 dari 28

21 ANALISIS SISTEM KENDALI Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan Sistem stabil kondisional Sistem fasa non-minimum Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan Root locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan pemetaan konformal lokus G(s)H(s)= ±180 0 (2k+1) dan G(s)H(s) = konstan dalam bidang G(s)H(s) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 21 dari 28

22 Sistem Stabil Kondisional Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan 64<K <195 Prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena sistem mudah menjadi tak stabil. Stabil kondisional dapat etrjadi pada sisetm dengan lintasan maju tak stabil (karena ada minor loop). Stabil kondisional dapat dihindari melalui kompensasi yang sesuai (penambahan zero). Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 22 dari 28

23 Sistem Fasa Non-Minimum (Pergeseran fasa bila diberi input sinus) Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidangs. Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak disebelah kanan bidang-s. Sehingga: K( T 1) a s = s ( Ts + 1) = ±180 0 (2k+1); k= 0, 1, 2, 0 0 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 23 dari 28

24 ROOT LOCUS DENGAN TRANSPORT LAG Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran akibat sifat kelembaman sistem fisis. Elapse time: T = L/v detik, Sehingga : y(t) = x(t-t) Fungsi Alih: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 24 dari 28

25 Contoh: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 25 dari 28

26 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 26 dari 28

27 Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun untuk sistem orde-1 Pendekatan Transport Lag Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 27 dari 28

28 Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb kontinyu dan smooth: Pendekatan Lain: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 28 dari 28