Bab 5 Interpolas dan Regres Jangan kut kemana jalan menuju, tetap buatlah jalan sendr dan tnggalkan jejak (Anonm Para rekayasawan dan ahl lmu alam serng bekerja dengan sejumlah data dskrt (yang umumnya dsajkan dalam bentuk tabel. Data d dalam tabel mungkn dperoleh dar hasl pengamatan d lapangan, hasl pengukuran d laboratorum, atau tabel yang dambl dar buku-buku acuan. Sebaga lustras, sebuah pengukuran fska telah dlakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang dberkan kepada baja tahan-karat dan waktu yang dperlukan hngga baja tersebut patah. Delapan nla tegangan yang berbeda dcobakan, dan data yang dhaslkan adalah [CHA9]: Tegangan yang dterapkan,, kg/mm 5 5 5 3 35 4 Waktu patah, y, jam 4 3 5 4 8 5 Masalah yang cukup serng muncul dengan data tabel adalah menentukan nla d antara ttk-ttk dskrt tersebut (tanpa harus melakukan pengukuran lag. Msalnya dar tabel pengukuran d atas, rekayasawan ngn mengetahu waktu patah y jka tegangan yang dberkan kepada baja adalah kg/mm. Masalah n tdak bsa langsung djawab karena fungs yang menghubungkan peubah y dengan peubah tdak dketahu. Salah satu solusnya adalah mencar fungs yang mencocokkan (ft ttk-ttk data d dalam tabel tabel. Pendekatan sepert n d dalam metode numerk dnamakan pencocokan kurva (curve fttng. Fungs yang dperoleh dengan pendekatan n merupakan fungs hampran, karena tu nla fungsnya tdak setepat nla sejatnya. Namun, cara n dalam praktek Terjemahan bebas dar kalmat: "Do not follow where the path may lead. Go, nstead, where there s no path and leave a tral" 94 Metode Numerk
rekayasa sudah mencukup karena rumus yang benar-benar menghubungkan dua buah besaran fsk sult dtemukan. Pencocokan kurva tdak hanya bertujuan menghtung nla fungs, tetap a juga dgunakan untuk mempermudah perhtungan numerk yang lan sepert menghtung nla turunan (dervatve dan menghtung nla ntegral (. Msalnya kta dhadapkan dengan fungs yang bentuknya cukup rumt, sepert fungs berkut: f( = ln( / 4 + 5 3 (P.5. Menghtung turunan fungs tersebut pada nla tertentu, msalnya d = a, f (a =? merupakan pekerjaan yang cukup sult, apalag bla turunan yang dbutuhkan semakn tngg ordenya. Demkan juga dengan menghtung nla ntegral fungs f( pada selang ntegras [a, b], msalnya selang [, ], / ln( 4 5 + merupakan pekerjaan yang tdak mudah, bahkan secara analtk pun belum tentu dapat dlakukan, karena rumus ntegras untuk fungs semacam n tdak terseda. Satu pendekatan untuk melakukan dua perhtungan n alah dengan menyederhanakan fungs f( menjad polnom p n ( yang berderajat n, f( p n ( yang dalam hal n, p n ( = a + a + a +... + a n n (P.5. Menghtung turunan atau mengntegralkan suku-suku polnom menjad lebh mudah karena rumus untuk menghtung turunan atau mengntegraskan polnom sangat sederhana, yatu ( jka f( = a n maka f '( = na n- ( a n d = a ( n + n+ + C Bab 5 Interpolas Polnom 95
Untuk membentuk polnom n, kta mengambl beberapa ttk dskrt (yang umumnya berjarak sama dar fungs f. Ttk-ttk tersebut secara alam drepresentaskan dalam bentuk tabel. Selanjutnya ttk-ttk data n dcocokkan untuk menentukan polnom p n ( yang menghampr fungs aslnya. y y (a Regres (b Interpolas Gambar 5. Pencocokan kurva dengan metode (a regres, dan (b nterpolas Pencocokkan kurva adalah sebuah metode yang memcocokkan ttk data dengan sebuah kurva (curve fttng fungs. Pencocokan kurva dbedakan atas dua metode:. Regres. Data hasl pengukuran umumnya mengandung derau (nose atau galat yang cukup berart. Karena data n tdak telt, maka kurva yang mencocokkan ttk data tu tdak perlu melalu semua ttk. Tata-ancang yang dpaka adalah menentukan kurva yang mewakl kecenderungan (trend ttk data, yakn kurva mengkut pola ttk sebaga suatu kelompok (Gambar 5..a. Kurva tersebut dbuat sedemkan sehngga selsh antara ttk data dengan ttk hamprannya d kurva sekecl mungkn. Metode pencocokan kurva sepert n dnamakan regres kuadrat terkecl (least square regresson. Derau pada data mungkn dsebabkan oleh kesalahan mengukur, ketdakteltan pada alat ukur, atau karena kelakuan sstem yang dukur. Contoh data yang mengandung derau adalah tabel tegangan baja d atas.. Interpolas Bla data dketahu mempunya keteltan yang sangat tngg, maka kurva cocokannya dbuat melalu setap ttk, perss sama kalau kurva fungs yang sebenarnya drajah melalu tap ttk tu. Kta katakan d sn bahwa kta 96 Metode Numerk
mengnterpolas ttk-ttk data dengan sebuah fungs (Gambar 5..b. Bla fungs cocokan yang dgunakan berbentuk polnom, polnom tersebut dnamakan polnom nterpolas. Pekerjaan mengnterpolas ttk data dengan sebuah polnom dsebut nterpolas (dengan polnom. Contoh data yang berketeltan tngg adalah ttk-ttk yang dhtung dar fungs yang telah dketahu (sepert dar persamaan P.5., atau data tabel yang terdapat d dalam acuan lmah (sepert data percepatan gravtas bum sebaga fungs jarak sebuah ttk ke pusat bum. Selan dengan polnom, nterpolas ttkttk data dapat dlakukan dengan fungs splne, fungs rasonal (pecahan, atau deret Fourer [NAK93]. Bab n dmula dengan bagan pertama yatu pencocokan kurva dengan metode nterpolas. Bagan kedua, metode regres, akan dberkan sebaga akhr bab n. Interpolas memankan peranan yang sangat pentng dalam metode numerk. Fungs yang tampak rumt menjad lebh sederhana bla dnyatakan dalam polnom nterpolas. Sebagan besar metode ntegras numerk, metode persamaan dferensal basa, dan metode turunan numerk ddasarkan pada polnom nterpolas. Tdak salah kalau banyak buku acuan menyatakan bahwa nterpolas merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerk. 5. Persoalan Interpolas Polnom Bagan I: Interpolas Dberkan n+ buah ttk berbeda, (, y, (, y,..., ( n, y n. Tentukan polnom p n ( yang mengnterpolas (melewat semua ttk-ttk tersebut sedemkan rupa sehngga y = p n ( untuk =,,,, n Nla y dapat berasal dar fungs matematka f( (sepert ln, sn, fungs Bessel, persamaan P.6., dan sebaganya sedemkan sehngga y = f(, sedangkan p n ( dsebut fungs hampran terhadap f(. Atau, y berasal dar nla emprs yang dperoleh melalu percobaan atau pengamatan. Bab 5 Interpolas Polnom 97
y ( n-, y n- (, y (, y y = p n ( ( n, y n ( 3, y 3 (a, p n (a (a, p n (a (, y =a =a mengnterpolas mengekstrapolas Gambar 5. Interpolas dan ekstrapolas Setelah polnom nterpolas p n ( dtemukan, p n ( dapat dgunakan untuk menghtung perkraan nla y d = a, yatu y = p n (a. Bergantung pada letaknya, nla = a mungkn terletak d dalam rentang ttk-ttk data ( < a < n atau d luar rentang ttk-ttk data (a < atau a > n : ( jka < a < n maka y k = p( k dsebut nla nterpolas (nterpolated value ( jka < k atau < n maka y k = p( k dsebut nla ekstrapolas (etrapolated value. Keduanya, ( dan (, dtunjukkan pada Gambar 5.. Kta dapat mengnterpolas ttk data dengan polnom lanjar, polnom kuadratk, polnom kubk, atau polnom dar derajat yang lebh tngg, bergantung pada jumlah ttk data yang terseda. 5.. Interpolas Lanjar Interpolas lanjar adalah nterpolas dua buah ttk dengan sebuah gars lurus. Msal dberkan dua buah ttk, (, y dan (, y. Polnom yang mengnterpolas kedua ttk tu adalah persamaan gars lurus yang berbentuk: p ( = a + a (P.5.3 98 Metode Numerk
Gambar 5.3 memperlhatkan gars lurus yang mengnterpolas ttk-ttk (, y dan (, y. y (, y (, y Gambar 5.3 Interpolas lanjar Koefsen a dan a dcar dengan proses penyulhan dan elmnas. Dengan menyulhkan (, y dan (, y ke dalam persamaan (P.5.3, dperoleh dua buah persamaan lanjar: y = a + a y = a + a Kedua persamaan n dselesakan dengan proses elmnas, yang memberkan dan a = a = y y y y (P.5.4 (P.5.5 Sulhkankan (P.5.4 dan (P.5.5 ke dalam (P.5.3 untuk mendapatkan persamaan gars lurus: p ( = y y ( y y + ( (P.5.6 Bab 5 Interpolas Polnom 99
Dengan melakukan sedkt manpulas aljabar, persamaan (P.5.6 n dapat dsusun menjad ( y y p ( = y + ( ( (P.5.7 Bukt: y y y y p ( = ( y y + y y p ( = y y + y y + y p ( = + ( ( ( ( y + y y p ( = ( y y p ( = y + ( ( y Persamaan (P.5.7 adalah persamaan gars lurus yang melalu dua buah ttk, (, y dan (, y. Kurva polnom p ( n adalah berupa gars lurus (Gambar 5.3. Contoh 5. Perkrakan jumlah penduduk Amerka Serkat pada tahun 968 berdasarkan data tabulas berkut [KRE88]: Tahun 96 97 Jumlah penduduk (juta 79.3 3. Penyelesaan: Dengan menggunakan persamaan (P.5.7, dperoleh ( 79.3 + 3. 79.3 96896 p (968 = 9796 = 98.4 Jad, taksran jumlah penduduk AS pada tahun 968 adalah 98.4 juta. Metode Numerk
Contoh 5. Dar data ln(9. =.97, ln(9.5 =.53, tentukan ln(9. dengan nterpolas lanjar [KRE88] sampa 5 angka bena. Bandngkan dengan nla sejat ln(9. =.9. Penyelesaan: Dengan menggunakan persamaan (P.5.7, dperoleh (.97+.53.979. 9. p (9. = 9.5 9 =.9 Galat =.9 -.88 =.4. D sn nterpolas lanjar tdak cukup untuk memperoleh keteltan sampa 5 angka bena. Ia hanya benar sampa 3 angka bena. 5.. Interpolas Kuadratk Msal dberkan tga buah ttk data, (, y, (, y, dan (, y. Polnom yang mengnterpolas ketga buah ttk tu adalah polnom kuadrat yang berbentuk: p ( = a + a + a (P.5.8 Bla dgambar, kurva polnom kuadrat berbentuk parabola (Gambar 5.4. Polnom p ( dtentukan dengan cara berkut: - sulhkan (, y ke dalam persamaan (P.5.8, =,,. Dar sn dperoleh tga buah persamaan dengan tga buah parameter yang tdak dketahu, yatu a, a, dan a : a + a + a = y a + a + a = y a + a + a = y - htung a, a, a dar sstem persamaan tersebut dengan metode elmnas Gauss. Bab 5 Interpolas Polnom
y (, y (, y (, y Gambar 5.4 Interpolas kuadratk Contoh 5.3 Dberkan ttk ln(8. =.794, ln(9. =.97, dan ln(9.5 =.53. Tentukan nla ln(9. dengan nterpolas kuadratk. Penyelesaan: Ssten persamaan lanjar yang terbentuk adalah a + 8.a + 64.a =.794 a + 9.a + 8.a =.97 a + 9.5a + 9.5a =.53 Penyelesaan sstem persamaan dengan metode elmnas Gauss menghaslkan a =.676, a =.66, dan a 3 = -.64. Polnom kuadratnya adalah sehngga p ( =.676 +.66 -.64 p (9. =.9 yang sama dengan nla sejatnya (5 angka bena. 5..3 Interpolas Kubk Msal dberkan empat buah ttk data, (, y, (, y, (, y, dan ( 3, y 3. Polnom yang mengnterpolas keempat buah ttk tu adalah polnom kubk yang berbentuk: p 3 ( = a + a + a + a 3 3 (P.5.9 Metode Numerk
Polnom p 3 ( dtentukan dengan cara berkut: - sulhkan (,y ke dalam persamaan (P.5.9, =,,, 3. Dar sn dperoleh empat buah persamaan dengan empat buah parameter yang tdak dketahu, yatu a, a, a, dan a 3 : a + a + a + a 3 3 = y a + a + a + a 3 3 = y a + a + a + a 3 3 = y a + a 3 + a 3 + a 3 3 3 = y 3 - htung a, a, a, dan a 3 dar sstem persamaan tersebut dengan metode elmnas Gauss. Bla dgambar, kurva polnom kubk adalah sepert Gambar 5.5. y (, y ( 3, y 3 (, y (, y Gambar 5.5 Interpolas kubk Dengan cara yang sama kta dapat membuat polnom nterpolas berderajat n untuk n yang lebh tngg: p n ( = a + a + a + + a n n asalkan terseda (n+ buah ttk data. Dengan menyulhkan (, y ke dalam persmaan polnom d atas y = p n ( untuk =,,,, n, akan dperoleh n buah sstem persamaan lanjar dalam a, a, a,, a n, a + a + a +... + a n 3 = y a + a + a +... + a n 3 = y a + a + a +... + a n 3 = y...... a + a n + a n +... + a n n 3 = y n Bab 5 Interpolas Polnom 3
Solus sstem persamaan lanjar n dperoleh dengan menggunakan metode elmnas Gauss yang sudah anda pelajar. Secara umum, penentuan polnom nterpolas dengan cara yang durakan d atas kurang dsuka, karena sstem persamaan lanjar yang dperoleh ada kemungknan berkonds buruk, terutama untuk derajat polnom yang semakn tngg. Beberapa metode perhtungan polnom nterpolas telah dtemukan oleh oleh para numerkawan tanpa menggunakan cara pendekatan d atas. Beberapa dantaranya akan dberkan d sn, yatu:. Polnom Lagrange. Polnom Newton 3. Polnom Newton-Gregory (kasus khusus dar polnom Newton Untuk sejumlah ttk data yang dberkan, metode nterpolas yang berbeda-beda n tetap menghaslkan polnom yang sama (unk, tetap dalam bentuk yang berbeda satu sama lan, dan berbeda juga dalam jumlah komputas yang dlbatkan. Keunkan polnom nterpolas n akan dbuktkan setelah kta sampa pada polnom Newton. 5. Polnom Lagrange Tnjau kembal polnom lanjar pada persamaan (P.5.7: ( y y p ( = y + ( ( - Persamaan n dapat datur kembal sedemkan rupa sehngga menjad ( p ( = y ( ( + y ( (P.5. atau dapat dnyatakan dalam bentuk p ( = a L ( + a L ( (P.5. yang dalam hal n a = y, ( L ( = ( 4 Metode Numerk
Bab 5 Interpolas Polnom 5 dan a = y, ( ( ( L = Persamaan (P.5. dnamakan polnom Lagrange derajat. Nama polnom n dambl dar nama penemunya, yatu Joseph Lous Lagrange yang berkebangsaan Perancs. Bentuk umum polnom Lagrange derajat n untuk (n + ttk berbeda adalah p n ( = = n L a ( = a L ( + a L ( + + a n L n ( (P.5. yang dalam hal n a = y, =,,,, n dan, L ( = = n j j j j ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( n n + +............ Mudah dbuktkan, bahwa : L ( j = = j j,, dan polnom nterpolas p n ( melalu setap ttk data. Bukt: Jka = j, maka L ( = = n j j j j ( ( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( n n + +............ = (karena penyebut = pemblang
Jka j, maka n ( L ( j = ( = j j= j j ( (...(...( (...( j ( (...( ( (...( j j j j j j + + = ( (... (... ( ( ( j +... j n n n Akbatnya, = (karena pemblang =, yatu ( j j = p n ( = L ( y + L ( y + L ( y + + L n ( y n =. y +. y +. y + +. y n = y p n ( = y... p n ( n = y n Dengan demkan, p n ( = y, =,,,, n atau dengan kata lan, polnom nterpolas p n ( melalu setap ttk data. Contoh 5.4 [MAT9] Hampr fungs f( = cos dengan polnom nterpolas derajat tga d dalam selang [.,.]. Gunakan empat ttk, =., =.4, =.8, dan 3 =.. Perkrakan nla p 3 (.5, dan bandngkan dengan nla sejatnya. Penyelesaan:..4.8. y..96.69677.36358 6 Metode Numerk
Polnom Lagrange derajat 3 yang mengnterpolas keempat ttk d tabel adalah p 3 ( = a L ( + a L ( + a L ( + a 3 L 3 ( = y y ( ( ( 3 ( ( ( ( ( ( 3 ( ( ( 3 3 ( ( ( 3 + y ( ( ( ( ( ( + y 3 ( ( ( 3 3 3 3 + = =..96.69677.36358.6467 5.443 (.4(.8(. + (..4(..8(.. (.(.8(. + (.4.(.4.8(.4. (.(.4(. (.8.(.8.4(.8. (.(.4(.8 (..(..4(..8 (.4(.8(. + 7.95789(.(.8(. (.(.4(. +.94364(.(.4(.8 + Untuk mengurang galat akbat pembulatan, polnom p 3 ( n tdak perlu dsederhanakan lebh jauh. Kurva y = cos( dan y = p 3 ( dperlhatkan pada Gambar 5.6.. y.5 -.5.4.8..6. y = p 3 ( y = f( Gambar 5.6 Grafk fungs y = cos( dan y = p 3 ( Bab 5 Interpolas Polnom 7
Dengan menggunakan polnom nterpolas p 3 ( tu kta dapat menaksr nla fungs d =.5 sebaga berkut: p 3 (.5 = -.6467(.5 -.4(.5 -.8(.5 -. + 7.95789(.5 -.(.5 -.8(.5 -. -5.443(.5 -.(.5 -.4(.5 -. +.94364(.5 -.(.5 -.4(.5 -.8 =.877 Sebaga perbandngan, nla sejatnya adalah y = cos(.5 =.877583 Catatlah bahwa polnom Lagrange tdak hanya berlaku untuk ttk-ttk yang berjarak sama. Kta juga dapat membentuk polnom Lagrange untuk ttk-ttk data yang tdak berjarak sama. Perhatkan contoh 5.5 berkut. Contoh 5.5 Dar fungs y = f(, dberkan tga buah ttk data dalam bentuk tabel: 4 6 y.579.577.575 Tentukan f(3.5 dengan polnom Lagrange derajat. Gunakan lma angka bena. Penyelesaan: Polnom derajat n = (perlu tga buah ttk p ( = L ( y + L ( y + L ( y L ( = ( 4 ( 6 ( 4( 6 L ( = ( ( 6 ( 4 ( 4 6 L ( = ( ( 4 ( 6 ( 6 4 L (3.5 = ( 3.5 4 ( 3.5 6 ( 4( 6 L (3.5 = ( 3.5 ( 3.5 6 ( 4 ( 4 6 L (3.5 = ( 3.5 ( 3.5 4 ( 6 ( 6 4 =.83333 =.47 = -.5 Jad, p (3.5 = (.83333(.579 + (.47(.577 + (-.5(.575 =.573 8 Metode Numerk
Polnom Lagrange mudah dprogram. Algortmanya dtulskan pada Program 5. berkut n. Program 5. Polnom Lagrange functon Lagrange(:real; n:nteger:real; { Menghtung y = p n (, dengan p( adalah polnom Lagrange derajat n. Ttk-ttk data telah dsmpan d dalam lark [..n] dan y[..n] } var, j : nteger; p, L : real; begn L:=; for := to n do begn p:=; for j:= to n do f <> j then p:=p*( - [j]/([] - [j]; {endfor} L:=L + y[]*p; end {for}; Lagrange:=L; end {Lagrange}; 5.3 Polnom Newton Polnom Lagrange kurang dsuka dalam praktek karena alasan berkut [CHA9]:. Jumlah komputas yang dbutuhkan untuk satu kal nterpolas adalah besar. Interpolas untuk nla yang lan memerlukan jumlah komputas yang sama karena tdak ada bagan komputas sebelumnya yang dapat dgunakan.. Bla jumlah ttk data menngkat atau menurun, hasl komputas sebelumnya tdak dapat dgunakan. Hal n dsebakan oleh tdak adanya hubungan antara p n- ( dan p n ( pada polnom Lagrange. Polnom Newton dbuat untuk mengatas kelemahan n. Dengan polnom Newton, polnom yang dbentuk sebelumnya dapat dpaka untuk membuat polnom derajat yang makn tngg. Tnjau kembal polnom lanjar pada persamaan (P.5.7: ( y y p ( = y + ( ( Bab 5 Interpolas Polnom 9
Bentuk persamaan n dapat dtuls sebaga p ( = a + a ( - (P.5.3 yang dalam hal n a = y = f( (P.5.4 dan a = y y = f ( f ( (P.5.5 Persamaan (P.5.5 n merupakan bentuk selsh-terbag (dvded-dfference dan dapat dsngkat penulsannya menjad a = f [, ] (P.5.6 Setelah polnom lanjar, polnom kuadratk dapat dnyatakan dalam bentuk p ( = a + a ( - + a ( - ( - (P.5.7 atau p ( = p ( + a ( - ( - (P.5.8 Persamaan (P.5.8 memperlhatkan bahwa p ( dapat dbentuk dar polnom sebelumnya, p (. In mengarahkan kta pada pembentukan polnom Newton untuk derajat yang lebh tngg. Nla a dapat dtemukan dengan menyulhkan = untuk memperoleh a = f ( a a( ( ( (P.5.9 Nla a dan nla a pada persamaan (P.5.4 dan (P.5.5 dmasukkan ke dalam ke dalam persamaan (P.5.9 untuk memberkan a = f ( f ( f ( f ( Metode Numerk
Dengan melakukan utak-atk aljabar, persamaan terakhr n lebh dsuka dtuls menjad a = f ( f ( f ( f ( = f [ ] f [ ],, (P.5. Demkanlah seterusnya, kta dapat membentuk polnom Newton secara bertahap: polnom derajat n dbentuk dar polnom derajat (n-. Polnom Newton dnyatakan dalam hubungan rekursf sebaga berkut: ( rekurens: p n ( = p n- ( + a n ( - ( - ( - n- ( bass: p ( = a (P.5. Jad, tahapan pembentukan polnom Newton adalah sebaga berkut: p ( = p ( + a ( - = a + a ( - p ( = p ( + a ( - ( - = a + a ( - + a ( - ( - p 3 ( = p ( + a 3 ( - ( - ( - = a + a ( - + a ( - ( - + a 3 ( - ( - ( - M p n ( = p n- ( + a n ( - ( - ( - n- = a + a ( - + a ( - ( - + a 3 ( - ( - ( - + + a n ( - ( - ( - n- (P.5. Nla konstanta a, a, a,..., a n merupakan nla selsh-terbag, dengan nla masng-masng: a = f( a = f [, ] a = f [,, ] M a n = f [ n, n-,,, ] yang dalam hal n, Bab 5 Interpolas Polnom
f f [, j ] = f [, j, k ] = M ( f ( f [ n, n-,...,, ] = j j j f [, ] f [, ] k f [ n j, k n,..., ] f [ n, n,..., ] n (P.5.3 (P.5.4 (P.5.5 Dengan demkan polnom Newton pada (P.5. dapat dtuls dalam hubungan rekursf sebaga ( rekurens: p n ( = p n- ( + ( - ( - ( - n- f [ n, n-,,, ] (P.5.6 ( bass: p ( = f ( atau dalam bentuk polnom yang lengkap sebaga berkut: p n ( = f ( + ( - f [, ] + ( - ( - f [,, ] + ( - ( - ( - n- f [ n, n-,,, ] (P.5.7 Karena tetapan a, a, a,..., a n merupakan nla selsh-terbag, maka polnom Newton dnamakan juga polnom nterpolas selsh-terbag Newton. Nla selsh terbag n dapat dhtung dengan menggunakan tabel yang dsebut tabel selsh-terbag, msalnya tabel selsh-terbag untuk empat buah ttk (n = 3 berkut: y = f( ST- ST- ST-3 f( f[, ] f[,, ] f[ 3,,, ] f( f[, ] f[ 3,, ] f( f[ 3, ] 3 3 f( 3 Keterangan: ST = Selsh-Terbag Metode Numerk
Sekal tabel selsh-terbag dbentuk, polnom nterpolas yang melewat sekumpulan ttk (, y berbeda (msalnya untuk =,,, atau =,, 3 dapat dtuls dengan mudah. Bla bagan tabel yang darsr dnyatakan d dalam matrks ST[..n,..n], maka evaluas p n ( untuk = t dapat dnyatakan sebaga p n (t = ST[,] + ST[,](t - + ST[,](t - (t - +... + ST[,n](t - (t -...(t - n- Sepert halnya polnom Lagrange, polnom Newtom juga mudah dprogram. Algortmanya dtulskan pada Program 5.3 d bawah n. Program 5. Polnom Newton functon Newton(:real; n:nteger:real; {Menghtung y = p(, dengan p( adalah polnom Newton derajat n. Ttk-ttk data telah dsmpan d dalam lark [..n] dan y[..n] } var, k : nteger; ST : array[..3,..3] of real; {menympan tabel selsh terbag} jumlah, suku: real; begn for k:= to n do { smpan y[k] pada kolom dar matrks ST } ST[k,]:=y[k]; {end for} for k:= to n do {buat tabel selsh terbag} for := to n-k do ST[,k]:=(ST[+,k-] - ST[,k-]/([+k]-[]; {end for} {end for} {htung p( } jumlah:=st[,]; for := to n do begn suku:=st[,]; for k:= to - do suku:=suku*(-[k] {end for} jumlah:=jumlah + suku; end; Newton:=jumlah; end; Contoh 5.6 Htunglah f(9. dar nla-nla (, y yang dberkan pada tabel d bawah n dengan polnom Newton derajat 3. Penyelesaan: Tabel selsh-terbag: Bab 5 Interpolas Polnom 3
y ST- ST- ST-3 8..7944.7783 -.6433.4 9..975.834 -.5 9.5.59.97735 3..397895 Contoh cara menghtung nla selsh-terbaga pada tabel adalah: f(, = f f(,, = ( f ( dan seterusnya. f [.59.975 = =.834 9.5 9., ] f [, ] =.834.7783 = -.6433 9.5 8. Nla-nla selsh-terbag yang dbutuhkan untuk membentuk polnom Newton derajat 3 dtanda dengan arsran. Polnom Newton-nya (dengan = 8. sebaga ttk data pertama adalah: f( p 3 ( =.7944 +.7783( - 8. -.6433( - 8.( - 9. +.4( - 8.( - 9.( - 9.5 Taksran nla fungs pada = 9. adalah f(9. p 3 (9. =.7944 +.434 -.544 -.3 =.98 Nla sejat f(9. = ln(9. =.93 (7 angka bena. Catatlah bahwa nla nterpolas ln(9. semakn telt dengan menngkatnya orde polnom (Contoh 5., Contoh 5.3, dan Contoh 5.6 n: p (9. =.78, p (9. =.938, p 3 (9. =.93 Contoh 5.7 [MAT9] Bentuklah polnom Newton derajat satu, dua, tga, dan empat yang menghampr fungs f( = cos( d dalam selang [., 4.] dan jarak antar ttk adalah.. Lalu, taksrlah nla fungs d =.5 dengan polnom Newton derajat tga. Penyelesaan: Dengan jarak antar ttk., maka ttk yang dgunakan adalah pada =., =., = 3., 3 = 4.. Tabel selsh terbagnya adalah: 4 Metode Numerk
f( ST- ST- ST-3 ST-4.. -.4597 -.484.466 -.47..543 -.9564.93.88. -.46 -.5739.455 3 3. -.99.3363 4 4. -.6536 f( 3, Contoh cara menghtung nla selsh-terbag pada tabel: f f[, ] = f f[, ] = f[,, ] = ( f ( ( f ( f[.543. = = -.4597...46.543 = = -.9564.., ] f[, ].9564+.4597 =.. = -.484 Maka, polnom Newton derajat,, dan 3 dengan =. sebaga ttk data pertama adalah cos( p ( =. -.4597( -. cos( p ( =. -.4597( -. -.484( -.( -. cos( p 3 ( =. -.4597( -. -.484( -.( -. +.466( -.( -.( -. cos( p 4 ( =. -.4597( -. -.484( -.( -. +.466( -.( -.( -. -.47( -.( -.( -.( - 3. Grafk y = cos( dan y = p (, y = p (, y = p 3 (, dperlhatkan pada Gambar 5.7. Perhatkan bahwa y = p 3 ( lebh bak dalam menghampr fungs y = cos( (kurvanya hampr tepat sama/ bermpt d dalam selang [., 3.]. Taksran nla fungs d =.5 dengan polnom derajat tga adalah cos(.5 p 3 (.5 =. -.4597(.5 -. -.484(.5 -.(.5 -. +.466(.5 -.(.5 -.(.5 -. -.856 Nla sejat f(.5 adalah f(.5 = cos(.5 = -.8 sehngga solus hampran mengandung galat sejat sebesar ε = -.8 - (-.856 = -.45 Bab 5 Interpolas Polnom 5
Catatan: Ttk = tdak selalu harus merupakan ujung selang. Bla p 3 ( ddasarkan pada ttk =., =., 3 = 3., dan 4 = 4. d dalam selang [., 4.], maka polnom Newton yang mengnterpolas keempat ttk tersebut adalah p 3 ( =.543 -.9564 ( -. +.93 ( -. ( -. +.88( -.( -.( - 3. y..5 y = p (.. 3. -.5 y = cos( -. Grafk y = cos( dan polnom Newton derajat, y = p (, yang ddasarkan pada ttk =. dan =. Gambar 5.7 Polnom Newton derajat yang mengnterpolas fungs y =cos d dalam selang [., 4.] 6 Metode Numerk
y..5 y = p (.. 3. -.5 y = cos( -. y = p ( Grafk y = cos( dan polnom Newton derajat, y = p (, yang ddasarkan pada ttk =., =., =. y..5 y = p (.. 3. -.5 y = cos( -. y = p 3 ( Grafk y = cos( dan polnom Newton derajat 3, y = p 3 (, yang ddasarkan pada ttk =., =., =., dan = 3. Gambar 5.7 (lanjutan Polnom Newton derajat dan 3 yang mengnterpolas fungs y =cos d dalam selang [., 4.] Bab 5 Interpolas Polnom 7
Kelebhan Polnom Newton Sekarang kta tulskan alasan mengapa polnom Newton lebh dsuka untuk dprogram, yatu. Karena polnom Newton dbentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan polnom derajat yang lebh rendah, maka n memudahkan perhtungan polnom derajat yang lebh tngg dalam program yang sama [CHA9]. Karena alasan tu, polnom Newton serng dgunakan khususnya pada kasus yang derajat polnomnya tdak dketahu terlebh dahulu.. Penambahan suku-suku polnom secara beruntun dapat djadkan krtera untuk menentukan tercapanya ttk berhent, yatu apakah penambahan sukusuku yang lebh tngg tdak lag secara berart memperbak nla nterpolas, atau malahan menjad lebh buruk. 3. Tabel selsh terbag dapat dpaka berulang-ulang untuk memperkrakan nla fungs pada nla yang berlanan. Akan halnya polnom Lagrange, a dsuka karena a mudah dprogram dan komputasnya tdak memerlukan penympanan tabel selsh. Polnom Lagrange basanya dpaka jka derajat polnom nterpolas dketahu terlebh dahulu. 5.4 Keunkan Polnom Interpolas Polnom nterpolas hanya ada untuk yang berbeda. Bla terdapat beberapa nla yang sama, kta tdak dapat membuat polnom nterpolas yang unk. Msalnya dberkan ttk-ttk yang dtabulaskan dalam tabel berkut 4 5 6 6 y 4. 8.5 6.6 5. 6.3 9. Interpolas keenam ttk tersebut dengan polnom derajat lma tdak akan menghaslkan polnom nterpolas yang unk, karena terdapat dua buah ttk = 6 dengan nla y yang berbeda. Sampa sejauh n, kta telah membahas dua buah metode polnom nterpolas, yatu polnom Lagrange dan polnom Newton. Apakah polnom yang dhaslkan oleh kedua metode tersebut sama? Dengan kata lan, apakah polnom nterpolas tu unk (tunggal? Dapat kta buktkan, bahwa bla polnom nterpolas ada, maka polnom tersebut unk. 8 Metode Numerk
Bukt: Msalkan p n ( tdak unk, yang berart ada polnom lan, msalnya q n (, yang juga melewat ttk-ttk (, y, =,,,, n, yang dalam hal n p n ( = q n ( = y Karena p n ( dan q n ( tdak sama, berart ada selsh R n ( = p n ( - q n ( (P.5.8 yang dalam hal n, R n ( adalah polnom derajat n. Selanjutnya, R n ( = p n ( - q n ( = y - y = Karena R n ( adalah polnom derajat n dan bernla untuk (n + buah ttk, n mengngatkan kta pada sebuah teorema d dalam kalkulus yang berbuny: Polnom derajat n yang mempunya (n+ akar berbeda adalah polnom nol (gars y = Jad, menurut teorema n, R n ( = sehngga dengan demkan atau p n ( - q n ( = p n ( = q n ( Dengan kata lan, p n ( unk. Jad, metode nterpolas apa pun yang kta paka untuk mengnterpolas (n+ buah ttk data yang sama, polnom nterpolasnya -meskpun bentuknya berbedabeda- bla dtuls ke dalam bentuk baku (P.5. adalah sama. Bab 5 Interpolas Polnom 9
5.5 Galat Interpolas Polnom Polnom nterpolas p n ( merupakan hampran terhadap fungs yang asl f(. Jad, p n ( tdaklah sama dengan fungs asl f(, meskpun pada ttk-ttk tertentu f( dan p n ( bersesuaan, yatu : f( = p n (, =,,,,n Karena f( p n (, berart ada selsh (galat d antara keduanya, sebutlah E(, yatu E( = f( - p n ( (P.5.9 Mengngat f( = p( untuk =,,,..., n, maka harus juga berlaku E( = f( - p n ( = yang berart E( mempunya (n+ ttk nol dar sampa n. E( dapat dtuls sebaga E( = f( - p n ( = ( - ( - ( - n R( (P.5.3 atau E( = Q n+ ( R( (P.5.3 yang dalam hal n Q n+ ( = ( - ( - ( - n (P.5.3 Catatlah bahwa Q n+ ( = untuk =,,, n R( adalah fungs yang mencatat nla-nla selan dar,,, n. Bagamana menentukan R(? Jawabannya d bawah n. Persamaan (P.5.3 dapat dtuls sebaga f( - p n ( - ( - ( - ( - n R( = Msal ddefnskan fungs W(t sebaga W(t = f(t - p n (t - (t - (t - (t - n R( = (P.5.33 Metode Numerk
Perhatkan d sn bahwa R( tdak dtuls sebaga R(t karena kta akan mencar nla-nla selan t. Persamaan W(t = berart mempunya (n+ ttk nol pada t =,,, n dan t =. Berdasarkan teorema Rolle yang berbuny: Msalkan fungs f menerus d dalam selang [a, b] dan f ( ada untuk semua a < < b. Jka f(a = f(b =, maka terdapat nla c, dengan a < c < b, sedemkan sehngga f (c =. jka W menerus dan dapat dturunkan pada selang yang bers (n+ ttk nol, maka : W (t = mempunya (n + ttk nol W (t = mempunya n ttk nol W (t = mempunya (n- ttk nol... W (n+ (t = mempunya palng sedkt ttk nol, msal pada t = c W (n+ (t = = ( n+ d ( n+ dt [ f (t - p n (t - (t - (t - (t - n R(] t = c = f (n + (c - - (n +! R( (P.5.34 yang dalam hal n, p n (t adalah polnom derajat n, p (n n (t adalah fungs tetap sehngga p (n+ n = Q n+ (t = (t - (t - (t - n = t (n+ + (suku-suku polnom derajat n Q (n+ n+ (t = (n +! + R( tdak bergantung pada t, jad a tdak berubah selama penurunan Dar persamaan (P.5.34, kta memperoleh R( = ( + ( c f n, ( < c < n (P.5.35 n +! Perhatkanlah bahwa persamaan (P.5.35 n mengngatkan kta pada rumus galat pemotongan pada deret Taylor (lhat Bab. Bab 5 Interpolas Polnom
Selanjutnya, sulhkan (P.5.35 ke dalam (P.5.3, menghaslkan E( = ( - ( - ( - n ( + ( c f n ( n +! (P.5.3 atau dengan E( = Q n+ ( ( n+ ( c f ( n +! (P.5.3 Q n+ ( = ( - ( - ( - n Rumus galat n berlaku untuk semua metode nterpolas polnom, bak polnom Lagrange, polnom Newton, atau polnom nterpolas lannya. Msalkan kta mengnterpolas dua buah ttk dengan polnom Lagrange derajat satu (polnom lanjar. Galat nterpolasnya dnyatakan dalam bentuk ( ( E( = f (c Bla fungs f dketahu, kta dapat mencar turunannya d = c untuk menghtung galat nterpolas E(. Sayangnya, kta tdak mengetahu nla c; yang past nla c terletak antara dan n. Jka f (n+ berubah sangat lambat dalam selang [, n ], atau [, n ] adalah selang kecl sedemkan sehngga f (n+ berubah sangat lambat, maka kta dapat menghampr f (n+ (c dengan f (n+ ( t, yang dalam hal n t adalah ttk tengah dan n, yatu t = ( + n /. Galat nterpolas dengan menggunakan nla t n dnamakan galat rata-rata nterpolas E R [NAK93]: E R ( = ( - ( - ( - n ( n+ ( f t ( n +! (P.5.33 Dar persamaan (P.5.3 terlhat bahwa galat polnom nterpolas, selan bergantung pada nla yang dnterpolas, juga bergantung pada turunan fungs semula. Tnjau kembal Q n+ pada persamaan (P.5.3: Q n+ ( = ( - ( -... ( - n Metode Numerk
Msalkan,,, n berjarak sama. Grafk fungs Q untuk enam ttk yang berjarak sama dtunjukkan pada Gambar 5.8. y y = Q n+ ( 3 4 5 Gambar 5.8 Grafk fungs Q 6 ( Berdasarkan Q 6 ( yang beroslas pada Gambar 5.8 terlhat bahwa: - d ttk-ttk data, nla Q 6 ( =, sehngga galat nterpolas E( = - d ttk tengah selang, nla Q 6 ( mnmum, sehngga E( juga mnmum - d ttk-ttk sektar ujung selang, Q 6 ( besar, sehngga E( juga besar - bla ukuran selang [, 6 ] semakn besar, ampltudo oslas menngkat dengan cepat. Kesmpulan: Galat nterpolas mnmum terjad untuk nla d pertengahan selang. Penjelasannya adalah sebaga berkut. Nla-nla yang berjarak sama dtuls sebaga, = + h, = + h,..., n = + nh atau dengan rumus umum = + h, =,,,, n (P.5.34 Ttk yang dnterpolas dnyatakan sebaga = + sh, s R (P.5.35 Bab 5 Interpolas Polnom 3
sehngga - = (s -h, =,,,, n (P.5.36 Galat nterpolasnya adalah E( = ( - ( - ( - n ( + ( c f n = (sh (s - h (s - h (s - nh ( n +! ( + ( c f n ( n +! ( ( = s (s - (s - (s - n h n+ + f n c ( n +! (P.5.37 Dapat ddtunjukkan bahwa Q n+ (s = s(s - (s - (s - n bernla mnmum bla Q n+ '(s= yang dpenuh untuk s = n/ (buktkan!. Dengan kata lan, E( bernla mnmum untuk nla-nla yang terletak d (sektar pertengahan selang. E mnmum n Ingatlah kalmat n: Untuk mendapatkan galat nterpolas yang mnmum, plhlah selang [, n ] sedemkan sehngga terletak d tengah selang tersebut 4 Metode Numerk
Msalkan kepada kta dberkan ttk-ttk data sepert n: f (.5.83.5 3.46.75 4.7. 5..5 6.3.5 7..75 8.5. 9.76.5.3 Bla anda dmnta menghtung f(.6, maka selang yang dgunakan agar galat nterpolas f(.6 kecl adalah [.5,.75] untuk polnom derajat satu atau [.5,.] untuk polnom derajat tga atau [.,.5] untuk polnom derajat lma 5.5. Batas Atas Galat Interpolas Untuk Ttk-Ttk yang Berjarak Sama Dberkan abss ttk-ttk yang berjarak sama: = + h, =,,,, n dan nla yang akan dnterpolaskan dnyatakan sebaga = + sh, s R Untuk polnom nterpolas derajat,, dan 3 yang dbentuk dar d atas dapat dbuktkan bahwa Bab 5 Interpolas Polnom 5
( E ( = f( - p ( h 8 Maks c f (c (P.5.38 ( E ( = f( - p ( 3 h 3 7 Maks f (c c (P.5.39 ( E 3 ( = f( - p 3 ( h 4 4 Maks f v (c c 3 (P.5.4 D sn kta hanya membuktkan untuk ( saja: Bukt: Msalkan = dan = h, persamaan galatnya adalah E ( = ( - ( - = ( h! f (c f "( c!, yang dalam hal n < c < E ( = - h f (c = - h f (c Maks - h Maks c f (c Msalkan φ( = - h D dalam selang [, ], nla maksmum lokal φ( dapat terjad pada ujungujung selang ( = atau = h atau pada ttk ekstrm φ(. Terlebh dahulu tentukan ttk ekstrm φ( dengan cara membuat turunan pertamanya sama dengan : φ ( = - h = = h/ Htung nla maksmum lokal φ( d ujung-ujung selang dan ttk ekstrm: - d ujung selang kr =, φ( = - h = - d ujung selang kanan = h φ(h = h - h = - d ttk ekstrm = h/ φ(h/ =(h/ - (h/h = - / 4 h 6 Metode Numerk
Jad,,maksmum φ( = - / 4 h, sehngga dengan demkan E ( = f( - p ( 8 h Maks c f (c Contoh 5.8 Tnjaulah kembal tabel yang bers pasangan ttk (, f( yang dambl dar f( = cos(. f(....5433. -.46468 3. -.989995 4. -.6536436 (a Htung galat rata-rata nterpolas d ttk =.5, =.5, dan =.5, bla dnterpolas dengan polnom Newton derajat 3 berdasarkan =. (b Htung batas atas galat nterpolas bla kta melakukan nterpolas ttk-ttk berjarak sama dalam selang [., 3.] dengan polnom nterpolas derajat 3. (c Htung batas atas dan batas bawah galat nterpolas d =.5 dengan polnom Newton derajat 3 Penyelesaan: (a Telah dketahu dar Contoh 5.7 bahwa polnom derajat 3 yang mengnterpolas f(+ = cos( dalam selang [.,3.] adalah : cos( p 3 ( =. -.4597( -. -.485( -.( -. +.466( -.( -.( -. Menghtung galat rata-rata nterpolas : Ttk tengah selang [., 3.] adalah d m = (. + 3./ =.5 Galat rata-rata nterpolas adalah : E 3 ( = (.(.(.( 3. Htung turunan keempat dar fungs f( = cos(, f '( = -sn( ; f ( = -cos( ; f '''( = sn( f (4 ( = cos( 4! f (4 ( m Bab 5 Interpolas Polnom 7
karena tu, E 3 ( = (.(.(.( 3. 4! (cos(.5 Untuk =.5, =.5, dan =.5, nla-nla nterpolasnya serta galat rata-rata nterpolasnya dbandngkan dengan nla sejat dan galat sejat dperlhatkan oleh tabel berkut : X f( p 3 ( E 3 ( Galat sejat.5.877586.88748.763 -.96.5.7737.69 -.6579.55.5 -.8436 -.858546.763.47 Catatan: Perhatkan bahwa karena =.5 terletak d ttk tengah selang, maka galat nterpolasnya lebh palng kecl dbandngkan nterpolas yang lan. (b Telah dketahu bahwa batas atas galat nterpolas dengan polnom derajat 3 adalah E 3 ( = f( - p 3 ( h 4 /4 Ma f (4 (c, c 3. Telah dperoleh dar (a bahwa f (4 ( = cos(, dan dalam selang [., 3.] nla Ma f (4 ( terletak d =.. Jad, f (4 ( = cos(. =.. Untuk p 3 ( dengan jarak antar ttk data adalah h =., batas atas galat nterpolasnya adalah E 3 ( (. 4./4 = /4 =.46667. Nla-nla E 3 ( pada tabel d atas semuanya d bawah.46667. Jad, batas atas.46667 beralasan. (c E 3 ( = E 3 (.5 = (.(.(.( 3. 4! f (4 (.5 (.5.(.5.(.5.(.5 3. 4! (-cos(c,. c 3. Karena fungs cosnus monoton dalam selang [., 3.], maka nla maksmum dan nla mnmum untuk cos (c terletak pada ujung-ujung selang. Untuk c =. maka : E 3 (.5 = (.5.(.5.(.5.(.5 3. 4! = -.3965 (mnmum, (cos(. 8 Metode Numerk
dan untuk c = 3. maka E 3 (.5 = (.5.(.5.(.5.(.5 3. 4! (cos (3. =.38676 (maksmum, sehngga, batas-batas galat nterpolas d =.5 adalah : -.3965 E 3 (.5.38676 5.5. Taksran Galat Interpolas Newton Salah satu kelebhan polnom Newton dbandngkan dengan polnom Lagrange adalah kemudahan menghtung taksran galat nterpolas meskpun fungs asl f( tdak dketahu, atau kalaupun ada, sukar dturunkan. Tnjau kembal polnom Newton: p n ( = p n- ( + ( - ( - ( - n- f[ n, n-,,, ] Suku ( - ( - ( - n- f[ n, n-,,, ] dnakkan dar n sampa n + menjad ( - ( - ( - n- ( - n f[ n+, n, n-,,, ] Bentuk terakhr n bersesuaan dengan rumus galat nterpolas E( = ( - ( - ( - n ( + ( t f n ( n +! Ekspres ( + ( t f n ( n +! dapat dhampr nlanya dengan f[ n+, n, n-,,, ] yang dalam hal n f( n+, n, n-,,, adalah selsh-terbag ke (n +. Bab 5 Interpolas Polnom 9
Jad, ( + ( t f n f[ ( n+, n, n-,,, ] (P.5.4 n +! sehngga taksran galat nterpolas Newton dapat dhtung sebaga E( = ( - ( - ( - n f[ n+, n, n-,,, ] (P.5.4 asalkan terseda ttk tambahan n +. Contoh 5.9 Pada Contoh 5.7, bla dgunakan polnom derajat tga untuk menaksr nla f(.5, htunglah taksran galat nterpolasnya. Penyelesaan: Bla dgunakan polnom derajat tga, maka terseda ttk sesudah 3 =3., yatu 4 = 4., dan dar tabel selsh-terbag dtemukan f[ 4, 3,,, ] = -.47 sehngga taksran galat dalam mengnterpolas f(.5 adalah E(.5 = (.5 -.(.5 -.(.5 -.(.5-3. (-.47 =.3785 5.5.3 Taksran Galat Interpolas Lagrange Taksran galat polnom Lagrange tdak dapat dhtung secara langsung karena tdak terseda rumus taksran galat sepert halnya pada nterpolas Newton. Namun, jka tabel selsh-terbag terseda, maka taksran galatnya dapat dhtung dengan rumus taksran galat polnom Newton: E( = ( - ( - ( - n f[ n+, n, n-,,, ] asalkan terseda ttk tambahan n+. Meskpun demkan, tabel selsh-terbag tdak dpaka sebaga bagan dar algortma Lagrange, n jarang terjad [CHA9]. 3 Metode Numerk
5.6 Polnom Newton-Gregory Polnom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dar polnom Newton untuk ttk-ttk yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplkas nla-nla berjarak sama, msalnya pada tabel nla fungs, atau pada pengukuran yang dlakukan pada selang waktu yang teratur [KRE88]. Untuk ttk-ttk yang berjarak sama, rumus polnom Newton menjad lebh sederhana. Selan tu, tabel selsh-terbagnya pun lebh mudah dbentuk. D sn kta menamakan tabel tersebut sebaga tabel selsh saja, karena tdak ada proses pembagan dalam pembentukan elemen tabel. Ada dua macam tabel selsh, yatu tabel selsh maju (forward dfference dan tabel selsh mundur (backward dfference. Karena tu, ada dua macam polnom Newton-Gregory, yatu polnom Newton-Gregory maju dan polnom Newton- Gregory mundur. 5.6. Polnom Newton-Gregory Maju Polnom Newton-Gregory maju dturunkan dar tabel selsh maju. Sebelum menurunkan rumusnya, kta bahas terlebh dahulu tabel selsh maju. 5.6.. Tabel Selsh Maju Msal dberkan lma buah ttk dengan abss yang berjarak sama. Tabel selsh maju yang dbentuk dar kelma ttk tersebut adalah f( f f 3 f 4 f f f f 3 f 4 f f f f 3 f f f f 3 f 3 f 3 4 f 4 Lambang menyatakan selsh maju. Art setap smbol d dalam tabel adalah: f = f( = y f = f( = y... f 4 = f( 4 Notas: f p = f( p Bab 5 Interpolas Polnom 3
f = f - f f = f - f... f 3 = f 4 - f 3 Notas: f p = f p+ - f p f = f - f f = f - f f = f 3 - f Notas: f p = f p+ - f p 3 f = f - f 3 f = f - f Notas: 3 f p = f p+ - f p Bentuk umum: n+ f p = n f p+ - n f p, n =,,, (P.5.43 5.6.. Penurunan Rumus Polnom Newton-Gregory Maju Sekarang kta mengembangkan polnom Newton-Gregory maju yang ddasarkan pada tabel selsh maju. f[, ] = = = f f[,, ] = = ( f ( ( f h f! h f f [, ] f [ ], ( f ( f ( f ( (P.5.44 3 Metode Numerk
f = = f f f h h f =! h (P.5.45 Bentuk umum: f[ n,,, ] = n f n! h ( n n f = n n! h (P.5.46 Dengan demkan polnom Newton untuk data berjarak sama dapat dtuls sebaga : p n ( = f( + ( - f[, ] + ( - ( - f(,, + + ( - (- (- n- f[ n, n-,,, ] f f = f + ( - + ( - ( -! h! h n f ( - ( -...( - n- n n! h + + (P.5.47 Persamaan (P.5.47 n dnamakan polnom Newton-Gregory maju. Persamaan (P.5.47 dapat juga dtuls sebaga relas rekursf: p n ( = p n- ( + ( - ( - ( - n- Jka ttk-ttk berjarak sama dnyatakan sebaga n f n n! h (P.5.48 = + h, =,,,,n dan nla yang dnterpolaskan adalah = + sh, s R maka, persamaan (P.5.47 dapat juga dtuls dalam parameter s sebaga Bab 5 Interpolas Polnom 33
p n ( = f + f! h s yang menghaslkan sh s ( s +! h h ( s ( s...( s n + n! h n h n f n + + f p n ( = f +! f s s + ( s! f + + s ( s ( s...( s n + n! n f atau dalam bentuk relas rekursf, ( rekurens: p n ( = p ( ( bass: p ( = f ( n s + ( s ( s...( s n + n! n f (P.5.49 (P.5.5 Serngkal persamaan (P.5.49 dnyatakan dalam bentuk bnomal: n s p n ( = k f k = k (P.5.5 yang dalam hal n, s =, s k = ( s ( s...( s k s + k! (s >, blangan bulat dan k! =... k Tahap pembentukan polnom Newton-Gregory maju untuk ttk-ttk berjarak sama dapat dtulskan sebaga berkut: p ( = f p ( = p ( + s! s f = f + f! 34 Metode Numerk
p ( = p ( + s( s! s = f + f +! p 3 ( = p ( + s s = f + f +! f s( s! ( s ( s! s( s! f 3 f f + s ( s ( s! 3 f s p n ( = f + f +! s( s! f + ( s ( s...( s n s + n! s n f ( s ( s! 3 f +... Contoh 5. [NOB7] Bentuklah tabel selsh untuk fungs f( = /(+ d dalam selang [.,.65] dan h =.5. Htung f(.3 dengan polnom Newton-Gregory maju derajat 3. Penyelesaan: Tabel selsh maju: f( 3.. -.. -.6.5.889 -.89.6 -.3.5.8 -.73.3 -.5.375.77 -.6.8.5.667 -.5.65.65 Untuk memperkrakan f(.3 dengan polnom Newton-Gregory maju derajat tga, dbutuhkan 4 buah ttk. Ingatlah kembal bahwa galat nterpolas akan mnmum jka terletak d sektar pertengahan selang. Karena tu, ttk-ttk yang dambl adalah =.5, =.5, =.375, 3 =.5 karena =.3 terletak d sektar pertengahan selang [.5,.5]. Bab 5 Interpolas Polnom 35
Dketahu h =.5 dan = + sh s = h =.3.5.5 =.4 Nla f(.3 dhtung dengan polnom Newton-Gregory maju derajat tga: s p 3 ( f + f +! s ( s! f +.889 + (.4 (-.89 + (.4 (.4 (.4(.4(.6 6 (-.3.889 -.46 +.45.769 s ( s ( s 3! (.6 + 3 f Sebaga perbandngan, nla sejat f(.3 adalah f(.3 = /(.3+ =.769 Program 5.3 Polnom Newton-Gregory Maju functon Newton_Gregory_Maju(:real; n:nteger:real; { - Menghtung y = p(, dengan p( adalah polnom Newton Gregory maju derajat n. - Ttk-ttk data telah dsmpan d dalam lark: [..n] dan y[..n] } var, k : nteger; TS : array[..3,..3] of real; {menympan tabel selsh} h, jumlah, suku, s: real; functon faktoral(p:nteger:nteger; { menghtung p! } var k, fak:nteger; begn fak:=; for k:= to p do fak:=fak*k; {end for} faktoral:=fak; end; {faktoral} 36 Metode Numerk
begn for k:= to n do {smpan y[k] pada kolom matrks TS[k,j] } TS[k,]:=y[k]; {end for} for k:= to n do {bentuk tabel selsh} for := to (n-k do TS[,k]:=TS[+,k-] - TS[,k-]; {end for} {end for} {htung p( } h:=[]-[]; { jarak antar ttk} s:=( -[]/h; jumlah:=ts[,]; for := to n do begn suku:=ts[,]; for k:= to - do suku:=suku*(s-k {end for} suku:=suku/faktoral(; jumlah:=jumlah + suku; end; Newton_Gregory_Maju:=jumlah; end; 5.6..3 Menghtung Batas Galat Interpolas Newton-Gregory Maju Sepert halnya pada polnom Newton, kta dapat menghtung batas-batas galat nterpolas Newton-Gregory Maju. Perhatkan Contoh 5. d bawah n. Contoh 5. Msal dberkan tabel selsh yang dambl dar fungs f( = sn( d dalam selang [.,.7] dan h =.4. f( f f 3 f..9983.3796 -.757 -.4797.5.47943.339 -.367 -.846.9.78333.83 -.534.3.96356.8.7.9966 Dmnta menentukan f(.8 dengan polnom Newton-Gregory maju derajat dua, dan tentukan juga batas-batas galatnya. Bab 5 Interpolas Polnom 37
Penyelesaan: Polnom derajat dua jumlah ttk = + = 3. Msalkan ttk yang dambl adalah =., =.5, dan =.9 Ttk yang dnterpolaskan adalah =.8 s = ( - /h = (.8 -./.4 =.75 Jad, f(.8 p ( = f + s f! + =.9983 + (.75 =.7445 s ( s f! (.3796 + (.75 (.75 (-.757 Batas-batas galat: E( E(.8 s ( s ( s ( n +! h 3 f '(t (.75(.75(.5(.4 3! 3 [-cos (t] Dalam selang [.,.9] fungs cosnus monoton nak, sehngga nla mnmum dan nla maksmum cosnus terletak d ujung-ujung selang. Dengan demkan, galat galat (.75(.75(.5(.4 3! (.75(.75(.5(.4 3! 3 3 [-cos (.] = 3.48-3 [-cos (.9] =.8-3 Jad, batas-batas galat dalam mengnterpolas f(.8 adalah.8-3 galat 3.48-3 38 Metode Numerk
5.6..4 Taksran Galat Interpolas Newton-Gregory Maju Sepert halnya pada polnom Newton, taksran galat nterpolas Newton-Gregory dapat dhtung dengan menghampr turunan fungs ke (n+ dengan nla pada tabel selsh. Tnjau kembal polnom Newton-Gregory Maju: p n ( = p n- ( + ( - ( - ( - n- n f n n! h Nakkan suku f ( - ( - ( - n- n n! h dar n menjad n+: ( - ( - ( - n- ( - n ( n+ n n+ f n +! h Bentuk terakhr n bersesuaan dengan rumus galat nterpolas E( = ( - ( - ( - n ( + ( t f n ( n +! sehngga, f (n+ (t dapat dhampr dengan f (n+ (t n+ f n+ h (P.5.5 Jad, taksran galat dalam mengnterpolas f( dengan polnom Newton-Gregory maju adalah E( = ( - ( - ( - n atau dalam bentuk lan, n + f E( = s(s-(s-...(s-n ( n +! dengan s = ( - / h. n+ f n+ h ( n +! (P.5.53 (P.5.54 Bab 5 Interpolas Polnom 39
Contoh 5. Dar Contoh 5., htung taksran galat dalam mengnterpolas f(.8. Penyelesaan: Dengan menggunakan ttk tambahan =.3, nla n+ f dapat dhtung, yang pada tabel selsh nlanya sudah ada, yatu n+ f = -.4797 sehngga taksran galat dalam mengnterpolas f(.8 adalah E(.8 s ( s ( s 3! 3 f = (.75(.75(.5(.4797 =.6-3 3! Persamaan (P.5.53 atau (P.5.54 hanya dgunakan bla ttk n+ ada (pada Contoh 5., terseda ttk sesudah =.9, yatu 3 =.3. Bagamana kalau ttk n+ tdak ada? Untuk kasus n kta dapat menggunakan n+ f - sebaga hampran n+ f [NAK93]. 5.6..5 Manfaat Tabel Selsh Maju Pada contoh-contoh perhtungan yang dberkan sebelum n, derajat polnom nterpolas dtentukan pada soal. Bla polnom nterpolas derajat n yang dngnkan, maka jumlah ttk yang dbutuhkan harus (n+ buah. Sebalknya, bla dberkan (n+ ttk, maka kta dapat mengnterpolas ttk-ttk tu dengan polnom derajat satu (jad hanya dua ttk yang dperlukan, polnom derajat dua (tga ttk, polnom derajat tga (empat ttk dan maksmal polnom derajat n (jad semua ttk yang dpaka. Tmbul pertanyaan, dengan polnom derajat berapakah sekumpulan ttk data sebaknya dnterpolas agar memberkan galat nterpolas yang mnmum? [NOB7] Msalkan kta membentuk tabel selsh untuk fungs f( =, f( =, dan f( = 3 pada ttk-ttk yang berjarak sama, yatu = + h, =,,, 3, ( f( = f f 3 f h h h h h h h 3h 3h 4 Metode Numerk
( f( = f f 3 f h h h h 3h h h 4h 5h h 3h 9h 7h 4h 6h ( f( = 3 f f 3 f 4 f h 3 6h 3 6h 3 h h 3 7h 3 h 3 6h 3 h 8h 3 9h 3 8h 3 3h 7h 3 37h 3 4h 64h 3 Apa yang anda temukan dar ketga tabel d atas? Pada ketga tabel tu dapat dsmpulkan bahwa untuk f( = a n, yang dalam hal n a = dan n =,, 3, dperoleh dan n f( = a n! h n n+ f( =. Apakah kesmpulan n benar untuk n > 3? Msal dberkan fungs f( dar polnom derajat n, f( = a + a + a + + a n n dan h adalah jarak antara nla-nla. Selsh orde pertama adalah f( = f(+h - f( = {a + a (+h + + a n (+h n } - {a + a + + a n n } = a n [(+h n - n ] + a n- [(+h n- - n- ] + suku-suku derajat n- = a n [( n + nh n- + (n- n- h +... + h n - n ] + a n- [( n- + (n-h n- + (n- n-3 h +... + h n- - n- ] + suku-suku derajat n- = nha n n- + suku-suku derajat n- Bab 5 Interpolas Polnom 4
Dengan cara yang sama untuk f(, 3 f(,, kta peroleh f( = nha n n- f( = n(n- h a n n- 3 f( = n (n- (n- h 3 a n n-3... n f( = n! h n a n n-n = n! h n a n = n(n-(n- ( ( h n a n n-n n+ f( = Jad kesmpulan kta benar. Apakah kegunaan kesmpulan n? Bla d dalam tabel selsh dtemukan k bernla (hampr konstan ( maka polnom yang tepat mengnterpolas ttk-ttk tu adalah polnom berderajat k. Pada contoh tabel ( d atas: 3 konstan, jad ttk-ttknya tepat dnterpolas dengan polnom derajat tga (sama dengan fungs aslnya, f( = 3 Bagamanakah jka tdak terdapat yang bernla tetap? Msalnya dberkan tabel selsh d bawah n: f( = / f f 3 f 4 f.. -5. 3.33 -.49.98. 5. -.67.83 -.5.35.3 3.33 -.83.33 -.6.4.5 -.5.7.5. -.33.6.67 Pada tabel selsh d atas, tdak ada k yang mendekat nla tetap. Jad f( = / tdak tepat dhampr dengan polnom derajat,, 3, atau 4 d dalam selang [.,.6]. Tetap jka selang datanya dperkecl dengan pengamblan h yang lebh kecl dan dgunakan empat angka bena sebaga berkut: f( = / f f 3 f.5 4. -.54. -.3.6 3.846 -.4.9..7 3.74 -.33. -..8 3.57 -.3.8.9 3.448 -.5.3 3.333 4 Metode Numerk
maka dar tabel n dtemukan mendekat nla tetap yatu sektar.. Karena tu f( = / dapat dhampr sebanyak empat angka bena dengan polnom kuadratk d dalam selang [.5,.3]. Kesmpulan: Tabel selsh bermanfaat untuk menentukan. Derajat polnom nterpolas. Selang data 3. Keteltan yang dngnkan. 5.6. Polnom Interpolas Newton-Gregory Mundur Polnom Newton-Gregory mundur (Newton-Gregory backward dbentuk dar tabel selsh mundur. Polnom n serng dgunakan pada perhtungan nla turunan (dervatve secara numerk. Ttk-ttk yang dgunakan berjarak sama, yatu, -, -,..., -n, yang dalam hal n, = + h, =, -, -,,-n dan nla yang dnterpolaskan adalah = + sh, s R Sebaga contoh, tabel selsh mundur untuk 4 ttk dperlhatkan oleh tabel berkut: f( f f 3 f -3-3 f -3 - - f - f - - - f - f - ²f - f f ²f 3 f Keterangan: f = f( f - = f( - f = f - f - f - = f - - f - f = f - f - k+ f = k f - k f - Bab 5 Interpolas Polnom 43
Polnom Newton-Gregory mundur yang mengnterpolas (n+ ttk data adalah n s + k f( p n ( = k f k = s = f + s s( s + + f! f! + + s ( s + ( s +...( s + n n n! f (P.5.55 Mengena penurunan rumus Newton-Gregory mundur, dtnggalkan kepada anda sebaga lathan. Contoh 5.3 Dberkan 4 buah ttk data dalam tabel berkut. Htunglah f(.7 dengan (a polnom Newton-Gregory maju derajat 3 (b polnom Newton-Gregory mundur derajat 3 Msalkan jumlah angka bena yang dgunakan adalah 7 dgt. Penyelesaan: (a Polnom Newton-Gregory maju derajat 3 f( f f 3 f.7.3979849 -.579985 -.693.493.8.3399864 -.58678.4.9.8886 -.57978 3..3898 s = ( - /h = (.7 -.7/. =. Perkraan nla f(.7 adalah.(.8 f(.7 p 3 (.7 =.3979849 +.(-.579985 + (-.693.(.8(.8 + (.493 6 =.3979849 -.5997 +.35 +.96 =.386483 (nla sejat f(.7 =.386485, jad p 3 (.7 tepat sampa 6 angka bena 44 Metode Numerk
(b Polnom Newton-Gregory maju derajat 3 f( 3-3.7.3979849 -.8.3399864 -.579985 -.9.8886 -.58678 -.693..3898 -.57978.4.493 Tabel d atas memperlhatkan bahwa tabel selsh mundur sama dengan tabel selsh maju, yang berbeda hanya notas dan penempatan elemennya. s = ( - /h = (.7 -./. = -.8 Perkraan nla f(.7 adalah f(.7 p 3 (.7 =.3898 -.8(-.57978 + (.8 (.8 + (.8(.8(.8 6 (.493 (.4 =.3898 +.6978 +.648 -.75 =.386483 Contoh 5.3 memperlhatkan bahwa penyelesaan dengan Newton-Gregory maju atau mundur menghaslkan jawaban yang sama. 5.7 Ekstrapolas Pada awal bab sudah dsnggung bahwa ekstrapolas adalah penaksran nla f( untuk yang terletak d luar selang ttk data. Dar pembahasan galat nterpolas sudah dketahu bahwa galat nterpolas semakn besar pada ttk-ttk yang jauh dar ttk tengah selang. Dengan demkan, penaksran nla fungs d luar selang menghaslkan galat ekstrapolas yang sangat besar. Bab 5 Interpolas Polnom 45
5.8 Interpolas Dwmatra Adakalanya kta membutuhkan perkraan nla fungs dengan dua peubah. Fungs dengan dua peubah, dan y, secara umum dnyatakan sebaga z = f(, y Grafk fungs z adalah berupa permukaan (surface atau selmut kurva dengan alasnya adalah bdang -y. Jad, nla-nla z terletak pada permukaan tersebut. Jka z dnterpolas dengan polnom dua-peubah (nterpolas dwmatra atau duadmens, kta harus menentukan berapa derajat dalam arah- dan berapa derajat dalam arah-y. Msalnya z dhampr dengan polnom dua-peubah, yang dalam hal n derajat dalam arah- dan derajat 3 dalam arah-y: z = f(, y a + a + a y + a 3 + a 4 y + a 5 y + a 6 y + a 7 y + a 8 y 3 + a 9 y 3 + a y + a y 3 (P.5.56 Interpolas polnom dua-peubah dlakukan dalam dua arah: dalam arah dan dalam arah- y. Pada setap arah, kta harus memlh peubah yang dpegang konstan. Dalam arah-y, nla dpegang konstan, begtu juga dalam arah, nla y dpegang konstan (pemlhan arah mana yang dkerjakan terlebh dahulu memberkan jawaban yang sama. Semua metode nterpolas yang telah dbahas sebelum n dapat dgunakan untuk mengnterpolas polnom dua-peubah. Contoh 5.4 [MAT9] Dberkan tabel f(,y sebaga berkut: y...3.4.5.6.5.65.48.687.94.9.43..7.64.3.359.73.35.5.447.99 54.45.549 3.3..738.568.384 3.77 3.943 4.67.5.6.5 3.8 5.44 6.4 7.379 3..5 4.9 6.36 8..3.84 3.5 3.36 6.679 9.986 3.96 6.77 9.98 Perkrakan nla f(.6,.33 dengan polnom derajat dalam arah- dan derajat 3 dalam arah-y. Penyelesaan: Kta menggunakan polnom Netwon-Gregory maju untuk nterpolas dalam arah- dan dalam arah y, karena ttk-ttknya berjarak sama. Karena dalam arah- menggunakan 46 Metode Numerk
nterpolas derajat, maka kta memlh tga buah ttk d tabel yatu pada =.,.5, dan. karena =.6 terletak palng dekat dengan pertengahan selang [.,.]. Dalam arah-y, kta memlh empat buah ttk (nterpolas derajat 3, yatu pada y =.,.3,.4, dan.5 karena y =.33 terletak palng dekat dengan pertengahan selang [.,.5]. Dalam arah-y ( tetap: y z z z 3 z..64.363.7.5.3.3.356. =..4.359.344.5.73..3 =.5.4.5.99.54.45.549.534.5.54.3.7.4..3 =..4.5.568.384 3.77 3.943.86.793.766.3.7.4 Jarak antar ttk dalam arah-y: h =. dan y y y = y + sh s = h =.33.. =.3 Polnom Newton-Gregory maju derajat tga (dalam arah-y: s p 3 (y f + f +! s ( s! f + s ( s ( s 3! 3 f Untuk =. ; f(,.33 p 3 (,.33.3 (.3(.3 (.3(.3 (.3 p 3 (,.33.64 + (.363 + (.7 + (.5 6 =.8 Bab 5 Interpolas Polnom 47