Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier homoge. Sebalikya dikataka buka homoge. Jika C i, i = 0, 1,..., berupa kostata maka persamaa rekursif tersebut dikataka persamaa rekursif liier koefisie kosta. Sebuah solusi persamaa rekursif adalah sebuah barisa x sehigga memeuhi persamaa rekursif. Maka memeuhi di sii adalah barisa yag merupaka solusi tersebut meghasilka ilai yag sama dega persamaa rekursifya. Sebagai cotoh persamaa rekursif x 2x 1 = 0 dega kodisi awal x 1 = 3 da 2 mempuyai solusi x = 3 2 1 utuk 1. Dega mudah dapat dilihat bahwa ilai x dihitug dega persamaa rekursif maupu dega solusiya meghasilka ilai yag sama. 1 Persamaa rekursif liier o homoge koefisie kosta tigkat satu Secara umum persamaa rekursif liier o homoge tigkat satu bisa dituliska sebagai x = rx 1 + c ( > 0), x 0 = A. Dega megguaka iterasi jelaska berikut ii merupaka solusi persamaa tersebut: Perhatika utuk kasus x = Ar + c k r k. k=1 x = rx 1 + c ( > 0); x 0 = A, dega c sebuah kostata. Tuliska secara rici bahwa solusi persamaa tersebut adalah: x = Ar + c k=1 r k = Ar + c r 1 r 1 jika r 1, da x = A + c, jika r = 1. Cotoh. Tetuka solusi umum dari: 1. x 3x 1 + 2 = 0 ( > 0) serta x 0 = 2. 2. x + 2x 1 3 = 0 ( > 0) serta x 0 = 1. 1
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier homoge. Sebalikya dikataka buka homoge. Jika C i, i = 0, 1,..., berupa kostata maka persamaa rekursif tersebut dikataka persamaa rekursif liier koefisie kosta. Sebuah solusi persamaa rekursif adalah sebuah barisa x sehigga memeuhi persamaa rekursif. Maka memeuhi di sii adalah barisa yag merupaka solusi tersebut meghasilka ilai yag sama dega persamaa rekursifya. Sebagai cotoh persamaa rekursif x 2x 1 = 0 dega kodisi awal x 1 = 3 da 2 mempuyai solusi x = 3 2 1 utuk 1. Dega mudah dapat dilihat bahwa ilai x dihitug dega persamaa rekursif maupu dega solusiya meghasilka ilai yag sama. 2 Persamaa rekursif liier o homoge koefisie kosta tigkat satu Secara umum persamaa rekursif liier o homoge tigkat satu bisa dituliska sebagai x = rx 1 + c ( > 0), x 0 = A. Dega megguaka iterasi jelaska berikut ii merupaka solusi persamaa tersebut: x = Ar + c k r k. Perhatika utuk kasus r = 1 da c = c + d dega c da d suatu kostata. Dega kodisi ii persamaa rekursifya mejadi k=1 x = x 1 + c + d ( > 0); x 0 = A. Tujukka bahwa solusi dari persamaa rekursif tersebut adalah: x = A + (c + dk) = A + c + k=1 Cotoh. Tetuka solusi dari persamaa rekursif berikut. 1. x x 1 3 2 = 0 ( > 0) da x 0 = 5. 2. 2x + 2x 1 + 8 + 6 = 0 ( > 0) da x 0 = 1. d( + 1). 2 2
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier homoge. Sebalikya dikataka buka homoge. Jika C i, i = 0, 1,..., berupa kostata maka persamaa rekursif tersebut dikataka persamaa rekursif liier koefisie kosta. Sebuah solusi persamaa rekursif adalah sebuah barisa x sehigga memeuhi persamaa rekursif. Maka memeuhi di sii adalah barisa yag merupaka solusi tersebut meghasilka ilai yag sama dega persamaa rekursifya. Sebagai cotoh persamaa rekursif x 2x 1 = 0 dega kodisi awal x 1 = 3 da 2 mempuyai solusi x = 3 2 1 utuk 1. Dega mudah dapat dilihat bahwa ilai x dihitug dega persamaa rekursif maupu dega solusiya meghasilka ilai yag sama. 3 Persamaa rekursif liier homoge koefisie kosta tigkat dua Secara umum persamaa rekursif liier homoge tigkat dua dituliska sebagai C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 = 0. Pertama aka dicari solusi persamaa tersebut yag berbetuk x = cr serta kombiasiya. Dega mesubstitusi persamaa ii ke persamaa rekursif tujukka persamaa rekursif bisa dituliska sebagai: persamaa ii bisa dituliska sebagai C 0 cr + C 1 cr 1 + C 2 cr 2 = 0. C 0 r 2 + C 1 r + C 2 = 0, yag diamaka dega persamaa karakteristik. Jika r 1 da r 2 akar-akar persamaa karakteristik maka dapat dibedaka tiga hal berikut (c 1, c 2 suatu kostata). 1. Dua akar real berbeda. Pada kasus ii solusi umum persamaa rekursif berbetuk x = c 1 r 1 + c 2 r 2. 2. Dua akar kembar. Jika r 1 = r 2 = r maka solusi umum persamaa rekursif adalah 3. Akar kompleks. Aka dibahas tersediri. x = c 1 r + c 2 r. Cotoh. Tetuka solusi persamaa rekursif berikut. 1. x 3x 1 + 2x 2 = 0 dega kodisi awal x 0 = 1 da x 1 = 2. 2. x 4x 1 + 4x 2 = 0 dega kodisi awal x 0 = 1 da x 1 = 2. 3
4 Persamaa rekursif liier koefisie kosta dega akar-akar kembar Pada pembahasa di tigkat dua di atas telah diberika persamaa rekursif x 4x 1 + 4x 2 = 0 dega kodisi awal x 0 = 1 da x 1 = 2. Persamaa ii mempuyai persamaa karakteristik r 2 4r + 4 = 0 serta mempuyai akar kembar yaitu: Solusi umum dari persamaa ii adalah r = 2. x = a 2 + b 2. Dega substitusi kodisi awal didapat ilai a = 1 da b = 0. Dega demikia solusi persamaa rekursif di atas adalah: x = 2. Pedekata seperti di atas dapat dibuat geeralisasiya seperti pada cotoh berikut ii. Secara umum jika r merupaka akar persamaa karakteristik dega multiplisitas m dari sebuah persamaa rekursif homoge maka a yag berbetuk r, r, 2 r,..., m 1 r semuaya adalah solusi dari persamaa rekursif tersebut. Sebagai cotoh persamaa rekursif homoge yag memiliki persamaa karakteristik (r 1)(r 2) 3 = 0 mempuyai solusi umum: x = a + b2 + c2 + d 2 2, x = a + (b + c + d 2 )2. Tetuka solusi dari: x 5x 1 + 8x 2 4x 3 = 0 dega kodisi awal x 0 = 1, x 1 = 2 da x 2 = 3. Persamaa ii memiliki persamaa karakteristik yag berbetuk (r 1)(r 2) 2 = 0. Dega demikia akarya adalah r = 1 da r = 2 dega multiplisitas 2. Solusi umum dari persamaa tersebut adalah x = a + b2 + c2. Dega mesubstitusi ilai awal diperoleh sistem persamaa: 1 = a + b 2 = a + 2b + 2c 3 = a + 4b + 8c. Sistem persamaa ii mempuyai peyelesaia a = 1, b = 2 da c = 0.5. Jadi solusi 4
persamaa rekursif tersebut adalah: x = 1 + 2 2 0, 5 2. Latiha. Tetuka solusi dari persamaa rekursif berikut. 1. x 8x 1 + 16x 2 = 0 dega x 0 = 1 da x 1 = 2. 2. a 7a 1 + 15a 2 9a 3 = 0 dega a 0 = 1, a 1 = 3 da a 2 = 4. 5 Persamaa rekursif liier o homoge dega koefisie kosta tigkat dua Secara umum persamaa rekursif liier o homoge tigkat dua adalah berbetuk c 0 x + c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = f(), dega f() 0. Solusi persamaa rekursif tersebut (x ) adalah jumlah dari solusi persamaa rekursif homoge x (h) dega solusi parsial x (p). dega demikia x = x (h) +x (p). Utuk sebarag f() belum ada cara utuk medpatka solusi persamaa rekursif tersebut. Oleh karea itu dalam catata sigkat ii diberika beberapa step secara iduktif utuk mecari solusi persamaa rekursif liier o homoge dega beberapa tipe f(). Cotoh. Tetuka solusi dari persamaa rekursif x 5 1 + 6x 2 = 2 dega kodisi awal x 0 = 1 da x 1 = 2. Utuk meyelesaika persamaa rekursif tersebut terlebih dahulu diselesaika persamaa rekursif liier homogeya yaitu:x 5x 1 + 6x 2 = 0. Persamaa karakteristikya adalah r 2 5r + 6 = 0 da mempuyai akar r = 2 da r = 3. Solusi umum persamaa rekursif homogeya adalah: x (h) = a2 + b3. = A. Dega mesu- Utuk medapatka solusi parsialya x (p) dega memisalka x (p) bstitusi ke persamaa rekursif awal maka diperoleh persamaa: Dega demikia diperoleh x (p) tersebut adalah Dega substitusi ilai awal diperoleh: A 5A + 6A = 2 A = 1. = 1. Dari sii diperoleh solusi umum persamaa rekursif x = x (h) + x (p) x = a2 + b3 + 1. x 0 = 1 = a + b + 1 x 1 = 2 = 2a + 3b + 1 5
Sistem persamaa tersebut dapat dituliska sebagai: 0 = a + b 1 = 2a + 3b Dega meyelesaika sistem persamaa tersebut didapat ilai a = 1 a b = 1. Solusi khusus persamaa rekursif tersebut adalah: x = 2 + 3 + 1. Cotoh. Tetuka solusi dari persamaa rekursif x 5x 1 +6x 2 = dega kodisi awal x 0 = 1 da x 1 = 2. Persamaa rekursif ii sama dega persamaa di atas amu berbeda ilai f()-ya yaitu f() =. Tetuya utuk solusi x (h) adalah sama seperti di atas. Persoala mucul adalah bagaimaa solusi x (p) -ya? Dimisalka solusi khusuya berbetuk x (p) = c+d. Dega mesubstitusi ke persamaa awal didapat: (c + d) 5(c + d( 1)) + 6(c + d( 2)) = (c 5c + 6c) + (d 5d + 6d) + 7d = + (2c 7d) + 2d = Dari persamaa terakhir ii diperoleh c = 7 da d = 1 4 2 x (p) = 7 +. Solusi umum persamaa rekursifya adalah: 4 2 x = x (h) + x (p) = a 2 + b 3 + 7 4 + 2. da solusi parsialya adalah Lagkah berikutya adalah dega mesubstitusi ilai awal yaitu x 0 da x 1 da didapat sistem persamaa berikut ii. x 0 = 1 = a + b + 7 4 x 1 = 2 = 2a + 3b + 9 4 1 4 3 4 = a + b = 2a + 3b. Dega meyelesaika sistem persamaa tersebut di dapat a = 2 da b = 5. 4 persamaa rekursif tersebut mempuyai peyelesaia: Jadi x = x (h) + x (p) = 2 2 + 5 4 3 + 7 4 + 2. 6
Cotoh. Tetuka solusi dari persamaa rekursif x 5x 1 +6x 2 = 2 dega kodisi awal x 0 = 1 da x 1 = 2. Persamaa rekursif ii memiliki x (h) = a2 + b3 sama pada cotoh di atasya. Lagkah selajutya adalah mecari x (p). Bagaimaakah ii? Perhatika bahwa f() = 2 merupaka suku bayak derajat dua sehigga dicoba dicari x (p) = p+q+r 2 yag merupaka poliomial derajat dua secara umum. Dega mesubstitusi ke persamaa rekursif awal maka diperoleh: (p + q + r 2 ) 5(p + q( 1) + r( 1) 2 ) + 6(p + q( 2) + r( 2) 2 ) = 2 Lajutka utuk meetuka solusiya parsial, umum da khsusuya. 6 Fugsi Pembagkit Misal a 0, a 1, a 2,..., a k,... merupaka sebuah barisa bilaga riil. dari barisa tersebut didefiisika sebagai: Fugsi pembagkit a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k + = a k x k. k=0 Berikut diberika beberapa barisa bilaga riil. Selajutya tetuka fugsi pembagkitya. 1. a = 1 2. a = 2 3. a = 2 4. a = + 3 5. Selidiki bahwa fugsi pembagkit dari barisa 1, a, a 2,... adalah 1 1 ax 7
7 Solusi relasi rekursif dega fugsi pembagkit Tetuka solusi dari persamaa rekursif berikut ii. 1. a = 3a 1 + 2 dega a 0 = 1. 2. a 9a 1 + 20a 2 = 0 dega a 0 = 3 da a 1 = 10. 3. a +2 2a +1 + a = 2 dega a 0 = 2 da a 1 = 1. Utuk soal-soal di atas aka dicoba diselesaika dega megguaka relasi rekursif. 1. Misal a x merupaka fugsi pembagkit dari barisa a. Megalika setiap suku-suku persamaaa rekursifya dega x utuk = 1, 2,... maka diperoleh: hal ii disebabka =1 Dega demikia didapat: Jadi: =1 a x = 3 a 1 x + 2 =1 x 1 G(x) a 0 = 3xG(x) + 2( 1 x 1) x a x +1 = G(x) 3x 1 + a 1 x. =1 2x 1 x karea a 0 = 1 1 + x (1 x)(1 3x) = 2 1 3x 1 1 x a x = 2 3 x Dega demikia solusiya adalah: a = 2 3 1 2. Misal Misal a x x. merupaka fugsi pembagkit dari barisa a. Megalika semua suku pada barisa rekursif dega x utuk = 2, 3,... maka diperoleh: =2 =2 a x 9 a 1 x + 20 a 2 x = 0 =2 (G(x) a 0 a 1 x) 9x(G(x) a 0 ) + 20x 2 0 8
G(x)(1 9x + 20x 2 ) = a 0 + a 1 x 9a 0 x a 0 + a 1 x 9a 0 x = 1 9x + 20x 2 karea a 0 = 3 da a 1 = 10. Dega demikia diperoleh: 3 10x + 27x 1 9x + 20x 2 3 + 17x (1 5x)(1 4x) = 2 1 5x 5 1 4x. a x = 2 5 x 5 4 x. Jadi solusiya dalah: a = 2 5 5 4 3. Misal a x adalah fugsi pembagkit dari barisa a. Megalika semua suku-suku barisa rekursif dega x utuk = 0, 1, 2,... maka diperoleh: a +2 x 2 a +1 x + a x = 2 x G(x) a 0 a 1 x 2( G(x) a 0 ) + 1 x 2 x 1 2x G(x) 2 x 2( G(x) 2 ) + 1 x 2 x 1 2x (x 2 2x + 1) 2 + 3x + x2 1 2x 2 (1 x) + 3x 2 (1 x) + x 2 2 (1 2x)(1 x) 2 pembagia parsial didapat x 2 (1 2x)(1 x) 2 = 1 1 2x 1 (1 x) 2. Jadi diperoleh: a x = 1 (1 x) + 3x 2 (1 x) + 1 2 1 2x ( + 1)x + 3 x + 2 x Dega demikia solusiya adalah: a = ( 1) + 3 + 2 = 1 + 4 + 2. 9