STATISTIKA ELEMENTER Statsta Apa tu statsta? Apa beda statsta dega statst? Populas? Sampel? Parameter? Sala Peguura: Nomal Ordal 3 Iterval 4 Raso Bagamaa r-r eempat sala d atas? Bera masg-masg otoh sala d atas Peyaja Data Data dapat dsaja dalam betu: Dagram Batag Lgara Gars Da la-la Tabel Dstrbus Freues Bagamaa r-r masg-masg dagram? Data yag bagamaa yag oo dsaja dalam betu dagram batag, lgara, ataupu gars?
Peyaja data dalam betu tabel dstrbus reues Betu Umum Tabel Dstrbus Freues: Kelas Iterval Freues ( ) a b a b a b a, a,, a dsebut ujug bawah elas e,,, b, b,, b dsebut ujug atas elas e,,,,,, adalah reues elas e,,, Msala aa dsusu tabel dstrbus reues dar la matemata 60 sswa elas SMA sebaga berut: 60, 85, 74, 90, 49, 63, 77, 89, 9, 66, 83, 75, 90, 89, 77, 65, 68, 80, 57, 68, 55, 79, 88, 63, 7, 8, 45, 58, 79, 88, 63, 89, 90, 9, 56, 83, 64, 76, 7, 75, 73, 74, 65, 80, 79, 59, 86, 90, 6, 55, 93, 7, 66, 85, 56, 77, 86, 64, 47, 78 Susulah data d atas dalam betu tabel dstrbus reues
Lagah-lagah membuat tabel dstrbus reues: Tetua jagaua ( J ) atau dsebut juga retag ( R ) dega terlebh dahulu meetua la tertgg dar data ( ) da la teredah dar data ( ) ma m J ma m Tetua baya elas yag dga () dega 5 5 atau dapat juga megguaa atura Sturges: 3 Tetua pajag elas ( p ) dega 4 Tetua a dega syarat a m J p + 3,3 log 5 Tetua, a,, da, b,, b Selajutya htuglah masg-masg a 3 a b reues elas e,,, Uura Pemusata Data Rata- rata (htug, geometr/uur, harmos/selaras) Meda Modus Dbera data:,,,, maa rata-rata htug ( ): rata-rata geometr ( G ) G
Ja besar dapat dguaa log log G (tetua G dega megguaa atlog) 3 rata-rata harmos ( H ) H Bera suatu otoh data da emuda htuglah rata-rata htug, geometr, da harmos Ja data dsaja dalam tabel dstrbus reues, maa tabel perlu dlegap tt tegah atau tada elas da batas-batas elas Kelas Iterval Freues ( ) Tt Tegah ( ) Batas-batas a b ( a + b ) Bb Ba a b ( a + b ) Bb Ba a b ( a + b ) Bb Ba - - dega B b adalah batas bawah elas e,,, B - b a etelta data Ba adalah batas atas elas e,,,
Ba + b etelta data Utu data yag dsaja dalam tabel dstrbus reues, maa log log G (tetua G dega megguaa atlog) da H Utu data yag dsaja dalam tabel dstrbus reues dega pajag elas ( p ) sama utu setap elas, rata-rata htug dapat juga dhtug dega megguaa ara odg, yatu dega megguaa ode ( ) dega 0 p 0 adalah rata-rata dugaa atau dsebut juga rata-rata semetara, yatu tt tegah elas yag dber ode 0
0 + p Dar data la matemata 60 sswa elas SMA yag sudah dsusu dalam tabel dstrbus reus d atas, tetualah rata-rata htug, geometr, da harmos Meda ( ) M e Meda adalah datum atau la yag membag dua suatu data atas dua baga yag sama baya Meda dtetua dega terlebh dahulu meguruta data dar datum terel hgga terbesar atau sebalya Dar data:,,, maa ja gajl, M e X + ja geap, M e X + + X Ja data dsaja dalam tabel dstrbus reues, maa M e dega: F B med + p med B med adalah batas bawah elas meda (elas yag memuat meda) p adalah pajag elas meda adalah jumlah semua reues F adalah jumlah semua reues elas sebelum elas meda
med adalah reues elas meda Bera otoh data dega gajl da geap, emuda htuglah medaya Tetua meda dar data la matemata 60 sswa elas SMA yag sudah dsusu dalam tabel dstrbus reues Modus ( ) M o Modus adalah datum yag palg serg muul atau yag reuesya tertgg dar suatu data Suatu data dapat dtetua apaah meml satu modus (umodus), dua modus (bmodus), lebh dar dua modus (multmodus), atau sama seal tda meml modus Ja data dsaja dalam tabel dstrbus reues, maa M o B mo + b p b + b dega: B mo adalah batas bawah elas modus, yatu elas terval dega reues terbaya p adalah pajag elas terval pada elas modus b adalah selsh reues elas modus dega reues elas sebelumya b adalahselsh reues elas modus dega reues elas sesudahya mo reues elas modus Bera otoh data yag meml satu modus (umodus), dua modus (bmodus), lebh dar dua modus (multmodus), da sama seal tda meml modus Tetua modus dar data la matemata 60 sswa elas SMA yag sudah dsusu dalam tabel dstrbus reues
Uura Leta Meda Kuartl Desl Persetl Sepert halya meda, uartl, desl, da persetl dtetua dega terlebh dahulu meguruta data dar datum terel hgga terbesar atau sebalya Kuartl (,,,3 ) K K K 3 Kuartl (,, da K ) adalah tga datum atau la yag membag suatu data atas empat baga yag sama baya K X, dega,, 3 (+ ) 4 Ja data dsaja dalam tabel dstrbus reues, maa dega K B b + p 4 BBb adalah batas bawah elas p adalah pajag elas F, dega,, 3 K K yatu elas terval yag memuat F adalah jumlah semua reues elas sebelum elas adalah reues elas K K K
Bera otoh suatu data emuda htuglah etga uartlya Tetua etga uartl dar data la matemata 60 sswa elas SMA yag sudah dsusu dalam tabel dstrbus reues Desl ( D,,,, 9 ) D D 9 Desl (,,, D ) adalah sembla datum atau la yag membag suatu data atas sepuluh baga yag sama baya D X, dega,,, 9 (+ ) 0 Ja data dsaja dalam tabel dstrbus reues, maa dega F D B b + p 0, dega,,, 9 BBb adalah batas bawah elas p adalah pajag elas D D yatu elas terval yag memuat F adalah jumlah semua reues elas sebelum elas adalah reues elas D D D Bera otoh suatu data emuda htuglah beberapa deslya Tetua beberapa desl dar data la matemata 60 sswa elas SMA yag sudah dsusu dalam tabel dstrbus reues
Persetl ( P,,,, 99 ) P P 99 Persetl (,,, P ) adalah sembla puluh sembla datum atau la yag membag suatu data atas seratus baga yag sama baya P X, dega,,, 99 (+ ) 00 Ja data dsaja dalam tabel dstrbus reues, maa dega F P B b + p 00, dega,,, 99 BBb adalah batas bawah elas p adalah pajag elas P P yatu elas terval yag memuat F adalah jumlah semua reues elas sebelum elas P adalah reues elas P P Uura Keragama Data Ragam atau varas utu data populas dber smbol σ, sedaga ragam atau varas utu sampel dber smbol s Dar data,,, yag meml rata-rata, maa ragam atau varas dar data tersebut adalah: s ( ) Aar uadrat dar ragam dsebut smpaga bau, yatu:
( ) s s Betu la utu rumus ragam sampel adalah: s ) ( Utu data yag dsaja dalam tabel dstrbus reues dega pajag elas ( ) sama utu setap elas, ragam dapat juga dhtug dega megguaa ara odg, yatu dega megguaa ode ( ) dega p p 0 s p ) ( Bera otoh suatu data emuda htuglah beberapa ragamya Tetua ragam dar data la matemata 60 sswa elas SMA yag sudah dsusu dalam tabel dstrbus reues Peluag Peluag ddesa dega beberapa ara, yatu subyet, las, empr, da asomat Des peluag yag subyet megguaa tus, eyaa seseorag, da eteraga ta lagsug laya dalam meetua besarya peluag Utu des peluag las, empr, da asomat dguaa beberapa stlah berut
Notas da Istlah Perobaa atau esperme adalah sembarag proses yag membagta data Perobaa atau esperme merupaa tdaa yag dapat dulag Ruag sampel atau ruag otoh, dlambaga dega huru S, adalah hmpua semua hasl yag mug dar suatu perobaa 3 Tt sampel suatu ruag sampel S adalah setap aggota ruag sampel tersebut 4 Kejada, dlambaga dega huru besar A, B, da seterusya, adalah suatu hmpua baga dar ruag sampel Hmpua baga dar ruag sampel S dsebut ejada dalam S 5 Gabuga (uo) dua ejada A da B, dlambaga dega A B, adalah suatu ejada yag aggota-aggotaya adalah aggota A atau aggota B 6 Irsa (terses) dua ejada A da B, dlambaga dega A B, adalah suatu ejada yag aggota-aggotaya adalah aggota A yag sealgus adalah aggota B Ja A B Ø, A da B dataa salg asg atau merupaa dua ejada yag tda mug terjad bersama-sama 7 Kompleme suatu ejada A, dlambaga dega A atau A, adalah suatu ejada dalam S yag aggotaya bua aggota A Des tetag Peluag Berut des las, empr, da asomat tetag peluag Des las tetag peluag Ja suatu perobaa meghasla N hasl yag mug, da masg-masg mempuya emuga yag sama utu terjad, da ja tepat d atara hasl perobaa tu merupaa aggota ejada A, maa peluag ejada A yag dlambaga dega P ( A) N A) adalah Des empr tetag peluag Ja suatu perobaa dlaua sebaya N al, da ejada A muul sebaya al (0 N), maa reues relat
muulya ejada A adalah ( A) Peluag ejada A adalah lmt dar N reues relat apabla N medeat ta hgga, yatu A) lm ( A) lm N N N 3 Des asomat tetag peluag Msala S ruag sampel dar suatu perobaa Utu setap ejada A pada ruag sampel, dasumsa ada suatu blaga A) yag memeuh tga asoma berut: a 0 A) b S) Utu sembarag ejada A, A, yag salg asg, yatu A A Ø utu j, A) dsebut peluag ejada A A A ) A ) + A ) + j Teorema Berut teorema tetag peluag Msala S ruag sampel dar suatu perobaa aa, H hmpua semua ejada dalam S da A H, maa berlau: A ) A) A) 3 Ja A, B H dega A B Ø maa A B) A) + B) 4 Ja A, B H maa A B) A) + B) A B) 5 Ja A, A,, A H adalah ejada-ejada yag tda mug terjad bersama- sama maa P A A ) Bera suatu otoh perobaa, tetua ruag sampel da beberapa ejada yag mug dar perobaa tersebut emuda tetua peluag dar masg-masg ejada
Peluag Bersyarat Des Ja A da B dua ejada dalam ruag sampel S, maa peluag terjadya A dega syarat B telah terjad atau peluag A dega syarat B, dotasa dega A/B) adalah A B) A/ B) dega B) > 0 B) Dema juga peluag terjadya B dega syarat A telah terjad atau peluag B dega syarat A, dotasa dega B/A) adalah A B) B / A) dega A) > 0 A) Dar des d atas, dperoleh teorema berut Teorema Ja A da B ejada-ejada dega A) > 0 da B) > 0, maa P ( A B) A) B / A) B) A / B) Bera otoh sela yag sudah djelasa oleh dose Kejada-ejada yag Salg Bebas Ja ejada A da B dega sat P ( A / B) A) maa dataa peluag terjadya ejada A tda dpegaruh oleh ejada B Dema pula, ja P ( B / A) B) maa dataa peluag terjadya ejada B tda dpegaruh oleh ejada A, sehgga dperoleh P ( A B) A) B) Kejada A da B yag dema dataa salg bebas Des Dua ejada A da B dataa salg bebas ja
P ( A B) A) B) Bera otoh ejada yag salg bebas Teorema Bayes Msala B, B,, B adalah ejada-ejada yag salg asg dalam ruag sampel S, dega B) > 0 utu setap, da B B B Ja A adalah ejada S dalam S sedema sehgga A A B ) ( A B ) ( A B ) maa P B A ( B ) A/ B ) ( / ),,,, B ) A/ B ) Cotoh Suatu tes laboratorum tetag pegguaa dopg bag atlt proesoal mempuya tgat eteradala sebaga berut: Peggua Hasl Tes Dopg Negatp Postp Ya 0,05 0,95 Tda 0,99 0,0 Detahu tgat pegguaa dopg datara atlt proesoal adalah : 50 Ja hasl tes seorag atlt adalah egatp, berapaah peluagya bahwa a bear-bear bua peggua dopg? Msala Y da Y masg-masg meyataa ejada seorag atlt adalah peggua dopg da bua peggua dopg, da N da N masg-masg meyataa ejada hasl tes seorag atlt adalah egatp da postp maa dapat dhtug bahwa Y) 0,0 da Y 49 ) P ( Y ) 0,98 50 50 50 Selajutya dar tabel, dperoleh P ( N / Y ) 0, 05 da N / Y ) 0,99
Karea N ( N Y ) ( N Y ) maa peluag ejada hasl tes seorag atlt adalah egatp adalah N) N Y ) + N Y ) ) P ( Y ) N / Y ) + Y ) N / Y (0,0) (0,05) + (0,98) (0,99) 0,00 + 0,970 0,97 Ja hasl tes seorag atlt adalah egatp, maa peluag bahwa a bear-bear bua peggua dopg adalah Y N) 0,970 Y / N) 0,9990 N) 0,97 ) Peubah aa Peubah aa dsret Peubah aa adalah suatu ugs yag memetaa setap aggota suatu ruag sampel S e blaga rl Peubah aa basaya dotasa dega huru besar, msal X, Y, Z, da sebagaya Nla-la dar peubah aa dotasa dega huru el msal, y, z, da sebagaya Sat: () merupaa ugs peluag dar peubah aa dsret X ja: ) ( ) 0 ) ( ) Bera otoh peubah aa dsret Peubah aa otu Ja hmpua la-la yag mug dar peubah aa X merupaa hmpua ta terhtug yatu tda dapat dyataa sebaga {,,, } atau { },, tetap berupa terval atau gabuga beberapa terval msalya { R a < < b, a, b R} atau
{ R a < b, a, b R}, atau { R a < b, a, b R}, atau { R a b, a, b R} maa peubah aa tersebut dsebut peubah aa otu Sebara peluag peubah aa otu Msala X peubah aa otu Suatu ugs dega la () yag ddesa pada R merupaa ugs erapata peluag atau ugs padat peluag dar X ja da haya ja a X b ) b a ( ) d, utu setap ostata rll a da b dega a b Ja X peubah aa otu da a, b adalah dua ostata real dega a b maa a b) a < b) a < b) a < < b) Fugs la-la peubah aa otu X, ja dgambara berupa suatu urva otu Fugs erapata peluag dbuat sedema sehgga luas daerah d bawah urva da d atas sumbu sama dega Luas daerah dguaa utu meyataa peluag Utu suatu ugs erapata peluag yag dyataa oleh urva dalam gambar berut, peluag X atara a da b sama dega luas daerah yag darsr yag terleta d atara a da b dbawah ugs erapataya Sat: () merupaa ugs erapata peluag dar peubah aa otu X ja la ugs () memeuh ) ( ) 0, < < da ) ( ) d Pada umumya, urva ugs erapata peluag mempuya rumus yag rumt, sehgga peetua luas daerah d bawah urvaya uup sult Namu beberapa d ataraya telah dhtug da dbuat tabelya, yatu yag deal sebaga dstrbus Normal, Normal bau, t, χ, da F
Sebara peluag peubah aa otu yag termasu serg dguaa adalah sebara ormal (dstrbus ormal) da sebara ormal bau (dstrbus ormal bau) Dstrbus ormal Peubah aa otu X dataa berdstrbus ormal dega parameter μ da σ ja da haya ja ugs erapata peluag dar X adalah dega: ( ) e σ π μ σ π 3,459654, e,7888,, < <, σ > 0 μ parameter, merupaa rata-rata dar X σ parameter, merupaa smpaga bau dar X, σ > 0 Dstrbus ormal bau Dstrbus ormal bau adalah dstrbus ormal dega rata-rata μ 0, da smpaga bau σ Ja X berdstbus ormal dega rata-rata μ da smpaga bau σ, da μ msal Z X, maa Z berdstrbus ormal bau σ Utu dstrbus t, χ, da F dpelajar dega lagsug membaa tabel Pedugaa rata-rata populas Pedugaa rata-rata populas ( μ ) dlaua dega megguaa rata-rata sampel ( ) da memperhata smpaga bau populasya (σ)
Selag eperayaa ( α )00% utu μ ja smpaga bau populas (σ) detahu, adalah z α σ < μ < + z α σ Apabla smpaga bau populas (σ) tda detahu, maa selag eperayaa ( α )00% utu μ adalah t s α < μ < + tα ; ; Apabla smpaga bau populas (σ) tda detahu tetap 30, maa selag eperayaa ( α )00% utu μ adalah s s s zα < μ < + zα Peguja hpotess rata-rata populas Lagah-lagah peguja hpótess: Meetua hpotess ol ( ) da hpotess alteratya ( / H ) Meetua tara sgas (α ) 3 Memlh statst uj yag sesua 4 Meetua rtera eputusa 5 Melaua perhtuga 6 Mear esmpula H 0 H a
Berut rgasa hpotess, statst uj, da rtera eputusa utu peguja hpotess rata rata populas Hpotess Statst Uj Krtera Keputusa H 0 : μ μ 0 Ja σ detahu, H a : μ μ 0 Ja σ detahu, H 0 dtola ja z < z α / atau z > z α / μ z Ja σ ta detahu, σ / H 0 dtola ja t < tα / ; atau t > tα / ; H 0 : μ μ 0 atau H 0 : μ μ 0 Ja σ detahu, H a : μ > μ 0 H a : μ > μ 0 H 0 dtola ja H 0 : μ μ 0 atau H 0 : μ μ 0 H a : μ < μ 0 H a : μ < μ 0 Ja σ ta detahu, μ t s / z > zα Ja σ ta detahu, H 0 dtola ja t > tα ; Ja σ detahu, H 0 dtola ja z < z Ja σ ta detahu, H 0 dtola ja t < tα ; α Keteraga: z α adalah blaga z sedema sehgga luas daerah d bawah urva ormal bau d atas sumbu z dar z α e aa adalah α atau z > z α ) α