PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Jenis-jenis soal persamaan kuadrat yang sering diujikan adalah soal-soal tentang :. Menentukan akar-akar. Jenis-jenis akar 3. Jumlah dan hasil kali akar-akar 4. Tanda-tanda akar 5. Menyusun persamaan kuadrat 6. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat SOAL DAN PEMBAHASAN. Soal dan pembahasan menentukan akar-akar Soal menentukan akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4. Konsep 4. Akar-akar persamaan kuadrat ditentukan dengan :. Memfaktorkan ax + bx + c = (ax p)(ax q) dengan p + q = b dan pq = ac. Rumus ABC x, b b 4ac a. UN 0 Akar-akar persamaan kuadrat x 3x 7 = 0 adalah x dan x.jika x > x, maka nilai dari x + 3x =. ac = p.q = (-7) = x (-4)= -4 b = p + q = + (-4) = -3 (x + )(x 4) = 0 x + (x 7) = 0 x = atau x = 7 Jadi, x + 3x = (7) + 3 = 4 =. UN 0 Diketahui persamaan kuadrat x 0x + 4 = 0 mempunyai akar-akar x dan x dengan x > x. Nilai dari 0x + 5x adalah... ac = p.q x 4 = (-6) x (-4) = 4 b = p + q = (-6) + (-4) = -0 (x 6)(x 4) = 0 (x 6)(x 4) = 0 x = 6 atau x = 4 Jadi, 0x + 5x = 0(6) + 5(4) = 60 + 0 = 80 Matematikasmart.wordpress.com Page 3
. Soal dan pembahasan jenis-jenis akar Soal jenis-jenis akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4. Konsep 4. Rumus menentukan akar-akar persamaan ax + bx + c = 0 adalah : x, = ± Biasa ditulis bahwa : D = b 4ac (D = diskriminan) () D 0 : mempunyai akar real/nyata D k () : mempunyai akar rasional (3) D 0 : mempunyai dua akar real yang berlainan (4) D 0 : mempunyai akar yang sama (5) D 0 : tidak mempunyai akar real Contoh soal : Ebtanas 990 Agar persamaan kuadrat x + (a )x + a = 0 mempunyai akar yang nyata, maka nilai a yang memenuhi adalah. x + (a )x + a = 0 Akar nyata D 0 b 4ac 0 (a ) 4()(a ) 0 a 4a + 4 4a + 8 0 a 8a + 0 (a )(a 6) 0 a atau a 6 Ingat..!!! Penyelesaian pertidaksamaan : (i) (x x )(x x ) 0 adalah x x x (ii) (x x )(x x ) 0 adalah x x atau x x Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah a atau a 6.3 Soal dan Pembahasan Jumlah dan Hasil kali Akar-akar Soal jumlah dan hasil kali akar-akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.3 Konsep 4.3 Jika x dan x akar-akar persamaan ax + bx + c = 0, maka : b. x x a c. x. x a Rumus-rumus lain : 3. x x ( x x) x. x 3 3 3 4. x x ( x x) 3x x( x x) x x 5. x x x. x Tips : Setiap persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya, apapun yang ditanya carilah jumlah dan hasilkali akar-akarnya. Matematikasmart.wordpress.com Page 4
Contoh Soal: UN 0 Akar-akar persamaan kuadrat 3x x + 9 = 0 adalah x dan x. Nilai + = 3x x + 9 = 0 x + x = + = = Syarat-syarat agar akar-akar memenuhi tanda-tanda tertentu adalah : () Mempunyai dua akar positif (a) x x 0 (b) x. x 0 (c) D 0 () Mempunyai dua akar negative (a) x x 0 (b) x. x 0 (c) D 0 (3) Mempunyai akar berlainan tanda x. x 0 x x = = 3 = ( ) =. = =.4 Soal dan Pembahasan Tanda-tanda Akar Soal tanda-tanda akar dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.4 Konsep 4.4 PP 98 Bila akar-akar persamaan kuadrat x ax + a + = 0 tidak sama tandanya, maka a = x ax + a + = 0 Syarat mempunyai akar-akar berlainan tanda : x. x = c a = a + < 0 a < Matematikasmart.wordpress.com Page 5
.5 Soal dan Pembahasan Menyusun Persamaan Kuadrat Soal menyusun persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.5 Konsep 4.5 Rumus menentukan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya x dan x adalah : x ( x x ) x x. x Tips : Jika x dan x akar-akar persamaan ax + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat yang akarakarnya :. x p dan x p a( x p) b( x p) c 0 x x. px dan px a b c 0 atau ax bpx cp 0 p p 3. dan a b c 0 atau cx bx a 0 x x x x 4. x dan x a x ( b ac) x c 0. UN 00 Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x 5x = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p + dan q + adalah x 5x = 0 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x dan x maka: x + x = = 5 x. x = = x = (p + ), x = (q + ) x + x = (p + ) + (q + ) = (p + q) + =.5 + = x. x = (p + )(q + ) = 4p. q + (p + q) + = 4( ) +.5 + = 7 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p + dan q + adalah : x (x + x )x + x. x = 0 x x + 7 = 0. UN 0 Akar-akar persamaan 3x x + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akarakarnya (α + ) dan (β + ) adalah 3x x + = 0 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x dan x maka: x + x = = = 4 x. x = = x = (α + ), x = (β + ) x + x = (α + ) + (β + ) = (α + β) + 4 = 4 + 4 = 8 x. x = (α + )(β + ) = (αβ) + ((α + β) + 4 = + (4) + 4 = Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) adalah : x (x + x )x + x. x = 0 Matematikasmart.wordpress.com Page 6
x 8x + = 0 (kedua ruas dikali 3) 3x 4x + 38 = 0 3x x + = 0 a = 3, b = -, c = Akar-akarnya : (α + ) dan (β + ) p = Gunakan rumus : a(x p) + b(x p) + c = 3(x ) + ( )(x ) + = 3x x + + ( x + 4) + = 3x 4x + 38 = 0 3. UN 0 Diketahui persamaan kuadrat x 4x + akar-akarnya x dan x. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3x dan 3x adalah x 4x + = 0 Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya x dan x maka: x + x = = () = 4 x. x = = x = 3x, x = 3x x + x = 3x +3x = 3(x + x ) = 3.4 = x. x = 3x. 3x = 9(x. x ) = 9. = 9 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3x dan 3x adalah : x (x + x )x + x. x = 0 x x + 9 = 0 x 4x + = 0 a =, b = -4, c = Akar-akarnya 3x dan 3x p = 3 Gunakan rumus : ax + bpx + cp = x + ( 4)3x +.3 = x x + 9 Matematikasmart.wordpress.com Page 7
.6 Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat Soal pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep 4.6 Konsep 4.6 Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah ax + bx + c 0, ax + bx + c 0, ax + bx + c < 0, dan ax + bx + c > 0 Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah :. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku). Ubah tanda pertidaksamaan menjadi = 3. Tentukan nilai x yang memenuhi 4. Gambar nilai x pada garis bilangan 5. Tentukan benar atau salah setiap interval dengan menguji nilai x tertentu sebagai wakil interval pada pertidaksamaan 6. Jawabannya adalah nilai x pada interval yang bernilai benar. No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan a > b x x Hp = {x x < x atau x > x } x x Hp = {x x x atau x x } Daerah HP (tebal) ada di tepi, menggunakan kata hubung atau x, x adalah akar akar persaman kuadrat ax + bx + c = 0 c < d x x Hp = {x x < x < x } x x Hp = {x x x x } Daerah HP (tebal) ada tengah x, x adalah akar akar persaman kuadrat ax + bx + c = 0. UN 0 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + x 5 0 adalah x + x 5 0 (kedua ruas dikali -, tanda pertidaksamaan berubah) x x + 5 0 Langkah : x x + 5 = 0 Langkah : (x 5)(x ) = 0 x = 5, x = Langkah 3 : ½ 5 Langkah 4 : tes x = 0, maka :.0.0 + 5 0 5 0 (salah) S B S ½ 5 Langkah 5 : ½ x 5 Penyelesaian pertidaksamaan : (i) (x x )(x x ) 0 adalah x x x (ii) (x x )(x x ) 0 adalah x x atau x x Jadi penyelesaiannya : x + x 5 0 ( x + 5)(x ) 0 ½ x 5 Matematikasmart.wordpress.com Page 8
. UN 0 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x(x + 5) > adalah x(x + 5) > x + 5x > 0 Langkah : x + 5x > 0 Langkah : (x 3)(x + 4) = 0 x = x = 4 Penyelesaian pertidaksamaan : (x x )(x x ) 0 adalah x x atau x x Jadi penyelesaiannya : {xιx < 4 atau x >, xεr} Matematikasmart.wordpress.com Page 9