PERSAMAAN KUADRAT. Nama Anggota Kelompok 4 : 1. Krisna Bani Putri Puspita Azah Elvana Eni Lestari

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PERSAMAAN KUADRAT. Nama Anggota Kelompok 4 : 1. Krisna Bani Putri Puspita Azah Elvana Eni Lestari"

Susanto Susanto
6 tahun lalu
Tontonan:

PERSAMAAN KUADRAT Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat dan Menyusun Persamaan Kuadrat Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kajian Matematika SMA Dosen Pengampu: Padrul

1 PERSAMAAN KUADRAT Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat dan Menyusun Persamaan Kuadrat Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kajian Matematika SMA Dosen Pengampu: Padrul Jana, M.Sc Nama Anggota Kelompok 4 : 1. Krisna Bani Putri Puspita Azah Elvana Eni Lestari Kelas V A4 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2016

2 Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, dengan a, b, c R dan a 0. Perhatikan contoh berikut ini: 1. 3x + 4 = 0 Bukan merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi bagi peubah x dari persamaan tersebut bukan 2, melainkan 1 (lihat 3x). Bentuk persamaan seperti ini biasa disebut persamaan linear. 2. x 2 + 6x + 8 = 0 Merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi bagi peubah x dari persamaan tersebut adalah 2 lihat x 2. Bentuk persamaan ini sering disebut persamaan kuadrat biasa. 3. x 2 9 = 0 Merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi bagi peubah x dari persamaan 2 walaupun konstanta b bernilai 0. Bentuk persamaan kuadrat seperti ini sering disebut persamaan kuadrat sempurna. 4. x 2 3x = 0 x 2 3x = 0, merupakan persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi bagi peubah x dari persamaan tersebut 2 walaupun konstanta c bernilai 0. Bentuk persamaan kuadrat seperti ini sering disebut persamaan kuadrat tak lengkap. A. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan a 0, jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus; x 1 + x 2 = b a dan x 1. x 2 = c a Bukti: Akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 adalah: x 1 = b+ b2 4ac atau x 2 = b b2 4ac 1

3 Maka jumlah akar-akar persamaan kuadrat itu adalah: x 1 + x 2 = b + b2 4ac + b b2 4ac x 1 + x 2 = b + b2 4ac b b 2 4ac x 1 + x 2 = 2b = b a Dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu adalah: x 1. x 2 = b + b2 + 4ac x 1. x 2 = ( b) b2 4ac 2 () 2 x 1. x 2 = b2 (b 2 4ac) 4a 2 x 1. x 2 = b2 b 2 + 4ac 4a 2 x 1. x 2 = 4ac 4a 2 = c a b b2 4ac Contoh 1: Jika x 1, x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 2x + 4 = 0, tentukan x 1 + x 2, x 1. x 2, dan x x 2 a) Koefisien-koefisien dari persamaan kuadrat x 2 2x + 4 = 0 adalah a = 1, b = 2 dan c = 4 sehingga jika koefisien-koefisien tersebut disubtitusikan ke dalam rumus jumlah akar-akar menjadi: x 1 + x 2 = b a = ( 2) 1 = 2 b) Demikian pula jika koefisien-koefisien tersebut disubtitusi kedalam rumus hasil kali akar-akar kuadrat menjadi; x 1. x 2 = c a = 4 1 = 4 c) Untuk menyelesaikan bentuk x x 2 2 perlu diubah menjadi bentuk penjumlahan dan hasil kali akar-akar kuadrat sebagai berikut: 2

4 Ingat kembali bentuk umum dari (x 1 + x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 )(x 1 + x 2 ) (x 1 + x 2 ) 2 = x x 1 x 2 + x 2 (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = x x 1 x 2 + x 2 2 2x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = x x 2 x x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 Dengan bentuk ini dapat kita peroleh hasil: x x 2 2 = (2) 2 2(4) = 4 8 = 4 Jadi nilai dari x x 2 2 dari persamaan kuadrat x 2 2x + 4 = 02T yang mempunyai akar-akar x 1 2T dan x 2 adalah -4. Contoh 2: Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat dari x 2 6x + 9 = 0. Tentukan nilai dari α 3 + β 3! a) Koefisien-koefisien dari persamaan kuadrat x 2 6x + 9 = 0.adalah a = 1, b = 6 dan c = 9 sehingga jika koefisien-koefisien tersebut disubtitusikan ke dalam rumus jumlah akar-akar menjadi: α + β = b a = ( 6) 1 = 6 Demikian pula jika koefisien-koefisien tersebut disubtitusi kedalam rumus hasil kali akar-akar kuadrat menjadi; αβ = c a = 9 1 = 9 b) Untuk menyelesaikan bentuk α 3 + β 3 perlu diubah menjadi bentuk penjumlahan dan hasil kali akar-akar kuadrat sebagai berikut: Ingat kembali bentuk umum dari (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 (α + β) 3 = α 3 + β 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 3

5 (α + β) 3 = (α 3 + β 3 ) + 3αβ(α + β) (α + β) 3 3αβ(α + β) = (α 3 + β 3 ) + 3αβ(α + β) 3αβ(α + β) (α + β) 3 3αβ(α + β) = (α 3 + β 3 ) (6) 3 3(9)(6) = (α 3 + β 3 ) = (α 3 + β 3 ) 54 = (α 3 + β 3 ) Jadi nilai dari α 3 + β 3 dari persamaan kuadrat x 2 6x + 9 = 0 yang mempunyai akar-akar α dan β adalah 54 B. Menyusun Persamaan Kuadrat 1. Dengan cara faktor (apabila diketahui kedua akar-akarnya) Perhatikan langkah berikut ini: x 2 5x + 6 = 0 (persamaan kuadrat) (x 2)(x 3) = 0 (persamaan kuadrat) x = 2, x = 3 (akar-akar persamaan kuadrat) Persamaan kuadrat x 2 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar 2 dan 3. Persamaan kuadrat (x 2)(x 3) = 0 mempunyai akar-akar 2 dan 3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3 adalah (x 2)(x 3) = 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah (x α)(x β) = 0 Contoh soal: i. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4! ii. Jika α dan β akar-akar persamaan kuadrat x 2 2x 6 = 0 i. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4 adalah (x 3)(x 4) = 0 x 2 7x + 12 = 0 ii. α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat dari x 2 2x 6 = 0, maka: 4

6 α + β = b a = 2 dan α β= c a =-6 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2α dan 2β adalah: (x 2α)(x 2β) = 0 x 2 2(α + β)x + 4αβ = 0 x 2 2(2)x + 4( 6) = 0 x 2 4x 24 = 0 2. Menyusun persamaan kuadrat dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar. Perhatikan uraian berikut ini: ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 2 b a x + c a = 0 x 2 jx + k = 0 j = b adalah jumlah akar-akar persamaan dan a k = c adalah hasil kali akar-akar persamaan a Jadi : Persamaan kuadrat yang jumlah akar-akarnya j dan hasil kali akar-akarnya k adalah x 2 jx + k = 0 Contoh : 1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4! 2. Jika α dan β akar-akar persamaan kuadrat x 2 2x 6 = 0 susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2α dan 2β! 1. Disususn persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 4, maka j = dan k = 3 4 = 12 Persamaan kuadratnya adalah : 5

7 x 2 jx + k = 0 x 2 7x + 12 = 0 2. α dan β akar-akar persamaan kuadrat x 2 2x 6 = 0, maka α + β = b a = 2 dan α β = c a = 6. Disusun persamaan kuaddrat yang skar-akarnya 2α dan 2β. j = 2α + 2β = 2(α + β) = 2(2) = 4 k = (2α)(2β) = 4αβ = 4( 6) = 24 Persamaan kuadrat yang dicari adalah : x 2 jx + k = 0 x 2 4x + 24 = 0 6

dokumen-dokumen yang mirip

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum