Modul Probabilitas Prof. Dr. Subaar T eori probabilitas adalah abag Matematika yag berusaha meggambarka atau memodelka hae behavior. Perjudia memberika bayak otoh sederhaa hae behavior, seperti bermai dadu, rolet, da kartu. Keyataaya teori probabilitas memag dilahirka di meja judi pada abad ke-7 ketika para bagsawa kalah permaia. Utuk megatasi masalah tersebut, mereka tidak berheti berjudi, tetapi meayaka kepada temaya yag lebih erdas utuk meghitug kemugkia medapatka kemeaga. Hasil-hasilya teragkum dalam teori probabilitas dega aplikasi yag sagat luas dalam berbagai bidag, seperti teori geetik, kietik, riset operasi, aktuaria, desai, da aalisis sistem operasi komputer. Modul ii merupaka ulaga sigkat teori probabilitas yag sudah Ada keal dalam Buku Materi Pokok Metode Statistik. Setelah mempelajari modul ii, seara umum Ada diharapka dapat mejelaska kosep probabilitas sebagai ukura ketidakpastia suatu peristiwa atau kejadia. Seara khusus, Ada diharapka dapat:. meghitug probabilitas kejadia-kejadia yag dibetuk oleh operasi kompleme;. meghitug probabilitas kejadia-kejadia yag dibetuk oleh operasi gabuga;. meghitug probabilitas kejadia-kejadia yag dibetuk oleh operasi irisa; 4. meghitug probabilitas bersyarat suatu kejadia.
. Iferesi Bayesia T Kegiata Belajar Ruag Sampel eori probabilitas diguaka sebagai model utuk keadaa dega hasil (outome) yag terjadi seara aak (radom). Seara umum, keadaa demikia disebut eksperime da himpua semua hasil yag mugki disebut ruag sampel yag bersesuaia dega eksperime tersebut. Ruag sampel diyataka dega da eleme-eleme dari diyataka dega. Cotoh. Utuk beragkat kerja, seorag pegawai harus melalui persimpaga dega lampu pegatur lalu-litas. Pada setiap persimpaga, seseorag berheti (B) atau terus (T). Ruag sampel dari eksperimeya adalah: TTT, TTB, TBB, TBT, BBB, BBT, BTT, BTB Cotoh. Misalka suatu eksperime dilakuka utuk meghitug sambuga telepo yag masuk pada suatu kator dalam satua periode maka ruag sampelya adalah: 0,,,,4,5,... Cotoh. Bila eksperime dilakuka utuk megukur waktu hidup sebuah bola lampu maka ruag sampelya terdiri dari semua bilaga real tak egatif, yaki: 0, Cotoh.4 Adaika eksperime dilakuka dega ara melemparka dua dadu maka ruag sampel terdiri dari 6 titik berikut.
SATS44/MODUL. (,) ;(,) ;(,) ;(,4) ;(,5) ;(,6) ; (,) ;(,) ;(,) ;(,4) ;(,5) ;(,6) ; (,) ;(,) ;(,) ;(,4) ;(,5) ;(,6) ; (4,) ;(4,) ;(4,) ;(4,4) ;(4,5) ;(4,6) ; (5,) ;(5,) ;(5,) ;(5,4) ;(5,5) ;(5,6) ; (6,) ;(6,) ;(6,) ;(6,4) ;(6,5) ;(6,6) Suatu kejadia atau peristiwa adalah himpua bagia dari ruag sampel. Kejadia yag terdiri dari satu outome disebut kejadia elemeter. Himpua bagia ruag sampel yag merupaka himpua kosog disebut kejadia mustahil sedag sediri disebut kejadia pasti. Aljabar teori himpua terbawa lagsug ke dalam teori probabilitas. Gabuga dua kejadia A da B adalah kejadia C dega salah satu A atau B terjadi atau kedua-duaya terjadi da ditulis A B. Dalam Cotoh., apabila A adalah kejadia seorag pegawai berheti pada pegatur lalulitas pertama, yaitu: A BBB, BBT, BTT, BTB da B kejadia pegawai berheti pada persimpaga ketiga, yaitu: B TTB, TBB, BBB, BTB sehigga: C A B BBB, BBT, BTT, BTB, TTB, TBB Irisa dua kejadia, D AB adalah kejadia dega A da B keduaya terjadi. Apabila A da B, seperti yag disebutka di atas maka D adalah kejadia di maa pegawai berheti pada persimpaga pertama da ketiga, yaki: D BBB, BTB Kompleme kejadia A ditulis A adalah kejadia di maa A tidak terjadi. Dalam hal ii A terdiri dari eleme-eleme dalam ruag sampel yag tidak berada dalam A. Kompleme kejadia pegawai berheti pada persimpaga pertama adalah kejadia di maa pegawai terus pada persimpaga pertama, yaki:
.4 Iferesi Bayesia A TTT, TTB, TBB, TBT Ada mugki masih igat tetag himpua yag agak misterius dalam teori himpua, yaitu himpua kosog yag diyataka dega. Himpua kosog adalah himpua yag tidak mempuyai eleme, dalam teori probabilitas himpua kosog diperoleh pada kejadia tapa outome. Pada Cotoh., apabila A adalah kejadia di maa seorag pegawai berheti pada persimpaga pertama da C adalah kejadia pegawai tersebut terus berjala pada ketiga persimpaga maka AC. Dalam hal ii, A da C disebut kejadia salig asig. Diagram Ve, seperti ditujukka dalam Gambar. berikut serig merupaka alat bergua utuk meggambarka operasi himpua, di maa daerah yag diarsir meujukka hasil operasi himpua. A B A B Gambar. Ada beberapa hukum teori himpua, yaitu: Hukum komutatif A B B A A B B A Hukum asosiatif Hukum distributif A B C AB C A B C AB C A B C AC B C A B C AC B C
SATS44/MODUL.5 Ukura Probabilitas Ukura probabilitas pada adalah fugsi P yag berilai real pada himpua-himpua bagia dari yag memeuhi aksioma-aksioma berikut.. P. Apabila A maka PA ( ) 0. Apabila A, A, A, salig asig dalam arti Ai A j utuk i j maka P Ai P( A i) i i Aksioma disebut outably additive. Sifat-sifat Probabilitas. P 0 Dari keyataa... didapat P P P P... atau P 0 karea P 0. P P... da. Probabilitas mempuyai sifat fiitely additive dalam arti utuk setiap A, A,, A dega A A utuk i j maka i P Ai P A i. Keyataaya: i= i P A i = P Ai P A i = P A i i= i= i= i=, apabila A j utuk j.. 4. P A P A Oleh karea A A da A A maka P A P A P, artiya 5. Apabila A A maka P A P A j P A P A.
.6 Iferesi Bayesia Oleh karea P A P A P A A P A P A A A A A A A A maka: P A P A A, ii berarti Catata: Apabila A A maka tersebut tidak bear seara umum. P A A P A P A, tetapi betuk 6. Dari aksioma, da sifat 4 dapat disimpulka bahwa P A utuk setiap A 7. P A A P A P A P A A 0 Utuk membuktika peryataa di atas, kita peah A A mejadi himpua yag salig asig, yaitu A A A, A4 A A, da 5 A A A Dari sifat didapat 4 5 A A A 4 dega A A 4. Ii berarti 4 Dega pemikira yag sama P A P A P A sehigga: P A A P A P A P A, selajutya 4 5 P A P A P A.
SATS44/MODUL.7 5 4 P A A P A4 P A A P A A P A P A P A P A P A atau P A A P A P A P A A P A P A i. i i 8. i Misalka, Bi A A... Ai Ai ; i,,,..., maka utuk i j, B i da B j salig asig da A i i i B. Ii berarti P Ai P Bi PB i. Oleh karea B i A i utuk i i i P Bi P A i. Jadi, i P A P A i. i i setiap i maka Cotoh.5 Misalka sebuah mata uag seimbag dilemparka kali. Adaika A meyataka kejadia medapat M (muka) pada lempara pertama da B kejadia medapat M pada lempara kedua maka ruag sampelya adalah MM, MB, BM, BB. Selajutya jika setiap outome elemeter dalam berkemugkia sama da mempuyai probabilitas 0,5 serta C AB merupaka kejadia M muul pada lempara pertama atau kedua maka P C P A P B. Oleh karea A B adalah kejadia tampak terlihat M pada lempara pertama da lempara kedua yag ilaiya sama dega 0,5 maka PC P A PB P A B 0,5 0,5 0,5 0,75. i Meghitug Probabilitas dega Metode Peaaha Probabilitas mudah dihitug utuk ruag sampel berhigga. Misalka,,,..., da P p. Utuk medapatka probabilitas N i kejadia A, kita ukup mejumlahka probabilitas i yag mejadi aggota A. i
.8 Iferesi Bayesia Cotoh.6 Sebuah mata uag seimbag dilemparka dua kali maka ruag MM, MB, BM, BB. Kita adaika setiap outome sampelya adalah dalam mempuyai probabilitas 0,5 da A meyataka kejadia palig sedikit tampak satu muka maka: A MM, MB, BM da P A 0,75 Cotoh.6 adalah otoh sederhaa dari situasi yag bayak dijumpai. Eleme-eleme dari semuaya mempuyai probabilitas yag sama sehigga apabila terdapat N eleme dalam maka setiap elemeya mempuyai probabilitas. Bila A dapat terjadi dalam ara yag salig N asig maka: P A N atau aah ara A dapat terjadi P A total aah outome Perhatika bahwa rumus tersebut berlaku haya bila outome berkemugkia sama. Dalam Cotoh.6, apabila kita meatat jumlah 0,,. Outome tidak berkemugkia muka yag muul maka sama da P A tidak sama dega. Cotoh.7 Sebuah kotak hitam memuat 5 bola merah da 6 bola hijau da kotak putih memuat bola merah da 4 bola hijau. Kita diperbolehka memilih sebuah kotak da memilih sebuah bola seara radom dari kotak. Bila medapat bola merah, kita medapat hadiah. Kotak maa yag aka dipilih utuk medapatka bola merah? Apabila kita megambil bola dari kotak hitam, probabilitas medapat 5 bola merah adalah 0,455. Apabila kita megambil bola dari kota putih
SATS44/MODUL.9 probabilitas medapat bola merah adalah memilih megambil bola dari kotak hitam. 0,49 sehigga kita lebih 7 Sekarag padag permaia lai di maa kotak hitam kedua mempuyai 6 bola merah da bola hijau sedagka kotak putih kedua mempuyai 9 bola merah da 5 bola hijau. Apabila kita megambil bola dari kotak hitam, 6 probabilitas medapat bola merah sama dega = 0,667, sedagka 9 apabila kita megambil bola dari kotak putih, probabilitas medapat bola 9 merah adalah = 0,64. Sehigga kita lebih memilih megambil bola dari 4 kotak hitam lagi. Dalam pertadiga akhir, isi dari kotak hitam kedua dimasukka dalam kotak pertama da isi dari kotak putih kedua dimasukka dalam kotak putih pertama. Kotak maa yag kita pilih utuk medapatka bola merah? Seara ituitif mestiya kita memilih kotak hitam, tetapi jika kita hitug probabilitas medapat bola merah utuk kotak hitam yag memuat bola merah da 9 bola hijau adalah = 0,55, serta probabilitas medapat bola 0 merah utuk kotak putih yag memuat bola merah da 9 bola hijau adalah = 0,57 maka kita lebih memilih megambil bola dari kotak putih. Hasil yag bertetaga ii adalah salah satu otoh Simpso s paradox. Dalam otoh tersebut sagat mudah utuk meaah outome da meghitug probabilitas. Utuk meghitug probabilitas masalah yag lebih kompleks, kita harus membagu ara sistematis utuk meaah outome yag merupaka bahasa kita berikutya. Prisip Perkalia Apabila suatu eksperime mempuyai m outome da eksperime lai mempuyai outome maka ada m outome yag mugki utuk kedua eksperime.
.0 Iferesi Bayesia Bukti: Kita yataka outome dari eksperime pertama dega a, a,..., a m da outome dari eksperime kedua dega b, b,..., b. Outome dari dua eksperime adalah pasaga terurut ai, b j. Pasaga-pasaga terurut tersebut dapat disajika sebagai masuka dari larika (matriks) empat persegi pajag bertipe m, di maa pasaga ai, b j berada pada baris ke-i da kolom ke-j. Larika ii mempuyai m masuka. Cotoh.8 Seorag mahasiswa mempuyai elaa da kemeja maka mahasiswa tersebut dapat berpakaia dega = 6 ara. Cotoh.9 Suatu kelas mempuyai mahasiswa da 8 mahasiswi. Perwakila yag terdiri dari satu mahasiswa da satu mahasiswi dapat dibetuk dega 8 6 ara. Perluasa Prisip Perkalia Apabila terdapat p eksperime, dega eksperime pertama mempuyai outome, eksperime kedua mempuyai outome, da eksperime kep mempuyai outome maka seara total terdapat... p p outome yag mugki dari p eksperime. Cotoh.0 Suatu kode 8 bit bier adalah barisa yag terdiri dari 8 digit yag ilaiya 0 atau. Oleh karea ada piliha utuk bit pertama, piliha utuk bit kedua 8 da seterusya maka terdapat 56 maam kode yag dapat dibuat. Cotoh. Suatu molekul DNA adalah barisa 4 jeis uleotides yag diyataka dega A, G, C da T. Suatu molekul bisa terdiri dari jutaa uit uleotides. Jika suatu molekul terdiri dari juta (0 6 ) uit maka molekul tersebut aka 6 0 mempuyai 4 barisa yag berbeda, ii merupaka jumlah yag sagat
SATS44/MODUL. besar. Suatu asam amio dikodeka oleh barisa tiga uleotides. Ii berarti terdapat 4 = 64 kode yag berbeda, tetapi haya terdapat 0 asam amio karea beberapa di ataraya dapat dikodeka dalam beberapa ara. Suatu molekul protei yag terdiri dari 00 asam amio dapat tersusu dalam 0 00 ara pegkodea. Permutasi da Kombiasi Suatu permutasi adalah susua terurut dari objek-objek. Misalka, dari C,,...,, kita memilih r eleme da medaftarkaya himpua dalam uruta. Dalam berapa ara kita dapat melakuka hal tersebut? Jawabaya tergatug apakah kita diperbolehka melakuka duplikasi atau ulaga dari item-item dalam daftar. Apabila tidak diperbolehka ada ulaga, artiya kita melakuka samplig tapa pegembalia. Apabila ulaga diperbolehka, kita melakuka samplig dega pegembalia. Kita bisa memikirka persoala tersebut, seperti megambil bola bertada dari suatu kotak. Pada samplig jeis pertama, kita tidak diperbolehka megembalika bola sebelum pegambila berikutya, tetapi kita diperbolehka utuk jeis kedua. Dalam kedua kasus, bila kita selesai memilih, kita mempuyai daftar r bola yag diurutka dalam barisa sesuai dega ara pegambilaya. Perluasa prisip perkalia dapat diguaka utuk meghitug aah samplig berbeda yag mugki dari himpua yag terdiri eleme. Misalka, samplig dikerjaka dega pegembalia, bola pertama dapat dipilih dalam ara, yag kedua dalam ara da seterusya sehigga terdapat... r sampel. Jika samplig dikerjaka tapa pegembalia maka terdapat piliha utuk bola pertama, piliha utuk bola kedua, piliha utuk bola ketiga, da r piliha utuk bola yag ke-r, ii berarti kita telah membuktika proposisi berikut. Proposisi. Utuk himpua dega eleme da sampel berukura r, terdapat...! sampel sampel terurut dega pegembalia da terurut tapa pegembalia. Akibatya, aah uruta eleme adalah...! r
. Iferesi Bayesia Cotoh. Kita aka meghitug bayakya bilaga terdiri dari tiga agka yag disusu dari agka,,, 4, 5. Apabila samplig dilakuka tapa pegembalia maka bayak bilaga yag dapat disusu adalah 5.4. 60 da 5 5 jika samplig dega pegembalia. Cotoh. Pada suatu provisi, papa plat omor mobil terdiri dari huruf yag diikuti dega agka. Bayakya plat omor mobil yag dapat dibuat bersesuaia pada samplig dega pegembalia sehigga terdapat 6 7.576 ara berbeda utuk memilih bagia huruf da 0.000 ara memilih bagia agka. Dega megguaka prisip perkalia, kita medapatka 7.576.000 7.576.000 plat omor mobil yag bisa dibuat. Cotoh.4 Apabila pada Cotoh. semua barisa yag terdiri dari huruf da agka tersebut berkemugkia sama maka probabilitas sebuah mobil baru dega plat omorya tidak memuat huruf atau agka yag sama dapat ditetuka sebagai berikut. Perhatika bahwa terdiri dari 7.576.000 outome da sebut kejadia yag diari adalah A maka probabilitas A sama dega hasil bagi aah atara kejadia A dapat terjadi dega total aah outome. Terdapat 6 pemiliha utuk huruf pertama, 5 utuk huruf kedua da 4 utuk yag ketiga, da akibatya ada 654 5.600 ara utuk memilih huruf tapa ulaga da 098 70 ara utuk memilih bilaga tapa ulaga. Megguaka prisip perkalia maka aka diperoleh 5.600 70..000 barisa tapa ulaga. Jadi, probabilitas A adalah..000 P A 0,64 7.576.000 Cotoh.5 Misalka, suatu ruaga memuat orag, utuk medapatka probabilitas palig sedikit orag di ataraya mempuyai ulag tahu yag sama adalah persoala yag dikeal dega jawab yag berlawaa dega ituisi. Adaika setiap hari dalam satu tahu adalah ulag tahu dega kemugkia sama da misalka A adalah kejadia palig sedikit dua orag
SATS44/MODUL. mempuyai ulag tahu yag sama. Seperti dalam beberapa kasus, lebih mudah meghitug P A dulu, kemudia meghitug dikerjaka karea A dapat terjadi dalam bayak ara, sedagka sederhaa. Terdapat 65 outome yag mugki da 65 64 65 ara sehigga: dalam P A 65 64... (65- ) 65 65 64... (65- ) P A 65 Tabel berikut meujukka ilai P A utuk berbagai ilai. P A. Ii A lebih A dapat terjadi P(A) 4 0,06 6 0,84 0,507 0,75 40 0,89 56 0,988 Dari tabel di atas, bila terdapat orag, probabilitas palig sedikit ada yag sama ulag tahuya melebihi 0,5. Cotoh.6 Pada Cotoh.5 ada berapa orag yag harus ditaya utuk medapatka peluag mempuyai hari ulag tahu sama dega saudara adalah 0,5? Misalka, saudara sudah meayaka pada orag da A meyataka kejadia ulag tahu seseorag sama dega ulag tahu saudara maka aka lebih mudah bekerja dega A, yaki kejadia ulag tahu seseorag tidak sama dega ulag tahu saudara. Total aah outome adalah 65 da total aah A dapat terjadi adalah 64 sehigga: P A da P A 64 65 64 65
.4 Iferesi Bayesia Agar diperoleh P A sama dega 0,5 maka harus sama dega 5. Sekarag kita perhatika ara meghitug kombiasi. Jika kita tidak lagi tertarik pada sampel terurut, tetapi kita membiaraka keaggotaa sampel tapa memadag uruta dari maa ia didapat, khususya kita tertarik utuk megetahui berapa bayak sampel yag dapat dibuat apabila r objek diambil dari himpua yag mempuyai objek tapa pegembalia da tidak memperhatika uruta. Dari prisip perkalia, jumlah sampel terurut sama dega jumlah sampel tak terurut dikalika jumlah ara megurutka setiap sampel. Oleh karea jumlah sampel terurut adalah... r da utuk sampel ukura r dapat diurutka sebayak r! ara maka jumlah sampel tidak terurut diyataka dega:... r! r r! r! r! Proposisi. Caah sampel tak terurut beraggotaka r objek yag diambil dari objek tapa pegembalia adalah. r Bilaga dikeal sebagai koefisie Biomial yag terdapat dalam r ekspasi: k -k a b a b, khususya. Hasil terakhir k0k k= k dapat diiterpretasika sebagai jumlah himpua bagia dari himpua dega objek. Kita haya mejumlahka jumlah himpua bagia dega ukura 0 (dega kovesi 0!=), jumlah himpua bagia dega ukura, jumlah himpua bagia dega ukura, da seterusya. Cotoh.7 Sebuah kotak memuat 8 bola yag diberi omor sampai 8. Empat bola diambil seara aak, probabilitas bilaga terkeilya adalah dapat ditetuka sebagai berikut. Apabila samplig tapa pegembalia, probabilitas yag diari adalah:
SATS44/MODUL.5 5 8 7 4 Cotoh.8 Pada proses pegotrola kualitas, haya sebagia output proses produksi diperiksa karea terlalu mahal da meghabiska waktu apabila semua item diperiksa atau kadag-kadag pegujia sifatya merusak. Misalka, terdapat item dalam suatu lot da diambil sampel berukura r maka terdapat sampel yag mugki. Sekarag, misalka lot tersebut r memuat k item aat maka peluag sampel memuat tepat m item aat dapat ditetuka sebagai berikut. Pertayaa ii releva dega keguaa keragka samplig da ukura sampel yag palig diigika yag dapat ditetuka dega meghitug probabilitas tersebut utuk berbagai ilai r. Sebut kejadia A adalah kejadia sampel memuat tepat m item aat. Probabilitas A adalah aah ara A dapat terjadi dibagi dega total jumlah outome. Utuk medapatka jumlah ara A dapat terjadi, kita megguaka prisip perkalia. Terdapat k m ara utuk memilih m item aat dalam sampel dari k item aat dalam lot, da k terdapat ara utuk memilih r m r m item tak aat dalam sampel dari k item tak aat dalam lot. Akibatya A dapat terjadi dalam k k m r m total jumlah outome, yaki: k k m r m P A r ara. Jadi, P A adalah rasio aah ara A dapat terjadi dega
.6 Iferesi Bayesia Cotoh.9 Metode peagkapa/peagkapa kembali, biasaya diguaka utuk megestimasi ukura populasi margasatwa. Misalka 0 biatag tertagkap da diberi tada, kemudia dilepaska. Pada kejadia lai, 0 biatag tertagkap da 4 di ataraya mempuyai tada maka besar populasiya dapat ditetuka sebagai berikut. Kita adaika terdapat biatag dalam populasi dega 0 di ataraya diberi tada. Bila 0 biatag yag tertagkap, kemudia diambil sedemikia sehigga semua ada kelompok yag mempuyai 0 kemugkia sama maka probabilitas 4 di ataraya bertada adalah 0 0 4 6. 0 Dega sediriya, tidak dapat ditetuka seara tepat dari iformasi di atas, tetapi dapat diestimasi. Salah satu metode estimasi yag disebut maximum likelihood adalah memilih ilai yag membuat outome terobservasi palig mugki terjadi. Misalka, seara umum t biatag diberi tada da pada sampel kedua berukura m terdapat r biatag dega tada tertagkap kembali. Kita megestimasi dega memaksimumka likelihood: L = t - t r m - r m Rasio dari dua suku beruruta setelah melakuka beberapa maipulasi Aljabar adalah: L = t m L t m+ r Rasio ii lebih besar dari, artiya L aik, apabila:
SATS44/MODUL.7 t m t m r m t mt t m r mt mt r r Jadi, L aik utuk mt da turu utuk mt. Nilai yag r r memaksimumka L adalah bilaga bulat terbesar yag tidak melebihi mt r sehigga utuk data yag ada, diperoleh peaksir maximum likelihood adalah mt 00 = 50. r 4 ) Jika sebuah mata uag seimbag dilemparka kali, tetuka: a. ruag sampel b. eleme dari kejadia-kejadia: A : palig sedikit dua muka (M) B : dua lempara pertama muka (M) C : lempara terakhir belakag (B). eleme dari kejadia-kejadia A ; AB; AC ) Dua buah dadu seimbag dilemparka seara beruruta, tetuka: a. ruag sampel b. eleme dari kejadia-kejadia: A : jumlah dua mata yag tampak palig sedikit 5 B : ilai dadu pertama lebih tiggi dibadigka ilai dadu kedua C : ilai mata dadu pertama 4. Tetuka eleme-eleme dari AC da B C
.8 Iferesi Bayesia ) Sebuah kotak memuat bola merah, bola hijau, da bola putih. Tiga bola diambil dari kotak tapa pegembalia da waraya diatat seara beruruta, tetuka ruag sampel. 4) Utuk tiga kejadia A, B, da C buktika: P A B C P A PB PC P AC P A B PB C PA B C Petujuk Jawaba Latiha ) a. Utuk eksperime sebuah mata uag dilempar tiga kali diperoleh ruag sampel = MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB b. A = MMM, MMB, MBM, BMM B = MMM, MMB C = MMB, MBB, BMB, BBB. A = MBB, BMB, BBM, BBB A B = MMM, MMB A C = MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBB ) a. Pada eksperime dua buah dadu seimbag dilempar seara beruruta diperoleh ruag sampel:, ;, ;, ; 4, ; 5, ; 6,, ;, ;, ; 4, ; 5, ; 6,, ;, ;, ; 4, ; 5, ; 6,, 4 ;, 4 ;, 4 ; 4, 4 ; 5, 4 ; 6, 4, 5 ;, 5 ;, 5 ; 4, 5 ; 5, 5 ; 6, 5, 6 ;, 6 ;, 6 ; 4, 6 ; 5, 6 ; 6, 6
SATS44/MODUL.9 b. A, 4 ;, 5 ;, 6 ;, ;, 4 ;, 5 ;, 6 ;, ;, ;, 4 ;, 5 ;, 6 ; 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6 ; 5, ; 5, ; 5, ; 5, 4 ; 5, 5 ; 5, 6 ; 6, ; 6, ; 6, ; 6, 4 ; 6, 5 ; 6, 6 B C, ;, ;, ; 4, ; 4, ; 4, ; 5, ; 5, ; 5, ; 5, 4 ; 6, ; 6, ; 6, ; 6, 4 ; 6, 5 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6. AC 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6 BC 5, ; 5, ; 5, ; 5, 4 ; 6, ; 6, ; 6, ; 6, 4 ; 6, 5, ;, ;, ; 4, ; 4, ; 4, ; 4, 4 ; 4, 5 ; 4, 6 ; ) Oleh karea pegambila bola dilakuka satu per satu maka uruta diperhatika, artiya MHP PMH da seterusya sehigga: 4) = MMM, MMH, MHM, HMM, MMP, MPM, PMM, MHH, HMH, HHM, MHP, MPH, HPM, HMP, PMH, PHM, HHP, HPH, PHH
.0 Iferesi Bayesia P A B C P D P D P D P D P D P D P D 4 5 6 7 Oleh karea: P A = P D + P D + P D + P D 4 5 7 5 6 7 4 6 7 5 7 4 7 P B = P D + P D + P D + P D P C = P D + P D + P D + P D P A B = P D + P D P A C = P D + P D P B C = P D + P D 6 7 Sehigga dapat dibuktika: PAB C PA PB PC PACPABPB CPAB C. Utuk setiap kejadia A berlaku P A. Apabila 0 A B maka P A B P A PB (Hukum probabilitas utuk kejadia salig asig). P A B P A PB P A B (Hukum peluag utuk kejadia yag tidak salig asig) 4. Apabila P A P B A B maka P A i P A i i= i=
SATS44/MODUL. ) Dua buah dadu seimbag dilemparka sekali, probabilitas jumlah mata yag tampak adalah 5 sama dega A. 8 B. 9 C. 9 D. 7 ) Lihat soal omor. Probabilitas jumlah mata yag tampak dapat dibagi dega sama dega A. 4 9 B. 7 C. 4 D. ) Dua puluh bola beromor sampai dega 0 dikook dalam suatu kotak, kemudia diambil dua bola berturut-turut tapa pegembalia. Bila x da x adalah omor yag tertulis pada bola terambil pertama da kedua maka probabilitas xx sama dega A. B. C. 95 7 95 85
. Iferesi Bayesia D. 7 75 4) Lihat soal omor. Probabilitas xx 5 sama dega. A. B. C. D. 7 95 95 85 5 67 5) Misalka, bulat : 00 didefiisika sebagai: A x : x dapat dibagi 7 x x da kejadia A, B da C B x : x 0 utuk suatu bilaga bulat positif C x : x 75 Maka, P A sama dega. A. 0,4 B. 0,4 C. 0,4 D. 0,4 6) Lihat soal omor 5. PB sama dega. A. 0,5 B. 0,5 C. 0,5 D. 0,5 7) Lihat soal omor 5. PC sama dega. A. 0,5 B. 0,05 C. 0,95 D. 0,095
SATS44/MODUL. 8) Apabila kejadia-kejadia A ; j,, sedemikia higga A A A da 4 P A A sama dega. A. B. C. D. 6 5 6 7 8 9) Lihat soal omor 8. A. B. C. D. 8 4 5 j P A, P A, 5 P A A sama dega. 0) Lihat soal omor 8. A. B. C. D. 4 9 9 7 5 P A A A sama dega. 7 P A maka
.4 Iferesi Bayesia Cookkalah jawaba Ada dega Kui Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Apabila meapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
SATS44/MODUL.5 S Kegiata Belajar Probabilitas Bersyarat alah satu kosep yag palig bergua dalam teori probabilitas adalah probabilitas bersyarat. Alasaya ada dua. Pertama, dalam keyataa kita serig tertarik utuk meghitug probabilitas apabila tersedia iformasi parsial, ii berarti probabilitas yag diari bersyarat. Kedua, dalam meghitug probabilitas yag diigika serig harus didahului dega kebersyarata. Misalka, kita melemparka dua dadu dega masig-masig dari 6 outome mempuyai kemugkia yag sama utuk terjadi, yaki mempuyai probabilitas. Jika kita observasi bahwa dadu pertama muul 6 mata 4, dega adaya iformasi tersebut, tetuka probabilitas bahwa jumlah mata yag tampak sama dega 6. Utuk meghitug probabilitas ii kita mempuyai fakta sebagai berikut. Diberika mata dadu pertama 4 maka aka ada eam outome yag mugki, yaitu (4,), (4,), (4,), (4,4), (4,5) da (4,6). Oleh karea outome tersebut asalya mempuyai probabilitas sama utuk terjadi maka outome tersebut masih tetap mempuyai probabilitas yag sama. Ii berarti jika diberika mata dadu pertama 4 maka probabilitas (bersyarat) setiap outome dari (4,),(4,),(4,),(4,4),(4,5),(4,6) adalah, sedagka probabilitas 6 bersyarat tiga puluh titik yag lai dalam ruag sampel adalah ol. Akibatya, probabilitas yag diari adalah 6. Misalka, A da B masig-masig meyataka kejadia jumlah mata 6 da kejadia jumlah mata 4 maka probabilitas yag baru dihitug disebut probabilitas bersyarat A terjadi jika diketahui B telah terjadi da ditulis P A B yag berlaku utuk setiap kejadia P A B. Rumus umum utuk A da B didefiisika dega ara yag sama seperti di atas. Sebut saja, bila kejadia B terjadi maka agar A terjadi, kejadia sebearya adalah titik-titik dalam A da B, yaitu harus berada dalam A B. Sekarag karea kita ketahui B telah terjadi maka B mejadi ruag sampel kita yag baru, yag
.6 Iferesi Bayesia akibatya probabilitas terhadap B, artiya: (.) P A B A B terjadi sama dega probabilitas A B relatif P A B ; PB 0 P B Cotoh.0 Misalka 0 kartu yag diberi omor sampai dega 0 ditempatka pada suatu kotak, dikook da diambil sebuah kartu. Apabila kita diberitahu bahwa omor kartu yag didapat palig sedikit 5 maka probabilitas bersyarat bahwa kartu yag terambil beromor 0 diperoleh sebagai berikut. Misalka, A meyataka kejadia bahwa omor kartu yag terambil adalah 0 da B meyataka kejadia bahwa omor yag terambil palig sedikit 5. Berdasarka persamaa (.) probabilitas yag diari adalah: P A B P A B P B Oleh karea kejadia kartu aka beromor 0 da palig sedikit beromor 5 terjadi apabila da haya apabila omor kartu tersebut 0 maka AB A. Jadi, P A B 0 6 0 6 Cotoh. Diketahui sebuah keluarga mempuyai dua aak maka probabilitas bersyarat keduaya laki-laki bila diketahui salah satu aakya laki-laki dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, S meyataka ruag sampel, l meyataka laki-laki da p meyataka perempua maka, ;, ;, ;, S l p l l p l p p da setiap outome berkemugkia sama. Jika A meyataka kejadia bahwa kedua aakya laki-laki, da B meyataka kejadia palig sedikit satu dari mereka laki-laki maka probabilitas yag diari adalah: P A B P l l, ;, ;, P A B, 4 P B P l l l p p l 4
SATS44/MODUL.7 Cotoh. Ali dapat megambil mata kuliah Komputer atau Kimia. Apabila Ali megambil mata kuliah Komputer maka ia aka medapat ilai A dega probabilitas, sedagka apabila megambil mata kuliah Kimia, ia aka medapat ilai A dega probabilitas. Ali medasarka keputusaya megambil mata kuliah pada hasil pelempara sebuah mata uag seimbag. Probabilitas Ali megambil mata kuliah Kimia da medapat ilai A dapat dihitug sebagai berikut. Apabila A adalah kejadia Ali megambil mata kuliah Kimia da B meyataka kejadia Ali medapat ilai A apa pu mata kuliah yag ia ambil maka probabilitas yag diari adalah: P A B P A PB A 6 Cotoh. Sebuah kotak memuat 7 bola hitam da 5 bola putih. Kita megambil dua bola dari kotak tapa pegembalia. Adaika setiap bola dalam kotak mempuyai kemugkia yag sama utuk diambil maka probabilitas kedua bola yag terambil adalah hitam dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, A da B masig-masig meyataka kejadia bahwa bola pertama da kedua yag terambil adalah hitam. Sekarag, misalka bola pertama yag terambil hitam maka tersisa 6 bola hitam da 5 bola putih 6 sehigga P A B. Oleh karea 7 P B maka probabilitas yag ditayaka adalah: 7 6 4 P A B PB P A B Cotoh.4 Misalka, pada suatu pesta orag laki-laki melemparka topiya ke tegah ruaga. Topi-topi tersebut diampur da setiap orag megambil seara aak sebuah topi maka probabilitas tak seorag pu dari mereka medapatka topiya sediri dihitug sebagai berikut.
.8 Iferesi Bayesia Kita aka meyelesaika persoala tersebut dega meghitug probabilitas kompleme bahwa palig sedikit ada satu orag yag medapatka topiya sediri. Misalka, A ; i,, meyataka kejadia bahwa orag ke-i medapatka topiya sediri. Utuk meghitug P A A A, perhatika bahwa: P Ai ; i,, P Ai Aj ; i j 6 P A A A 6 Utuk melihat megapa ketiga peryataa tersebut bear, perhatika bahwa: i j i j i P A A P A P A A Probabilitas bahwa orag ke-i meemuka topiya sediri adalah P A i karea ia mempuyai kemugkia yag sama utuk memilih satu dari topi yag ada. Apabila diketahui orag ke-i telah memilih topiya sediri maka masih tersisa dua topi yag dapat dipilih orag ke-j. Oleh karea salah satu i adalah milikya maka ia mempuyai probabilitas utuk memilihya, ii P A A sehigga: P Ai Aj P Ai P Aj A i 6 berarti j i Utuk meghitug P A A A kita tulis: P A A A P A A A P A A P A A A 6
SATS44/MODUL.9 Tetapi karea orag pertama telah medapatka topiya sediri maka orag ketiga juga harus medapatka topiya sediri, ii berarti P A A A sehigga: P A A A 6 P A A A P A A A P A P A P A P A A P A A P A A 6 6 6 6 Ii berarti, probabilitas bahwa tidak ada orag yag aka medapatka topiya sediri adalah: P A A A Kejadia-kejadia Idepede Dua kejadia A da B disebut idepede apabila: P A B P A P B Dega megguaka persamaa (.), betuk tersebut megakibatka A da B idepede apabila: P A B P A atau PB A PB Ii berarti, A da B idepede apabila iformasi B telah terjadi tidak mempegaruhi probabilitas terjadiya A. Dua kejadia A da B yag tidak idepede disebut depede. Cotoh.5 Jika sebuah dadu seimbag dilempar dua kali. Misalka, A meyataka kejadia jumlah mata yag tampak adalah 6 da B meyataka kejadia mata dadu pertama adalah 4 maka:
.0 Iferesi Bayesia P A B P 4; 6 Oleh karea P A 5 5 P B 6 6 6 maka A da B tidak idepede. Misalka, C adalah kejadia jumlah mata dadu yag tampak adalah 7 maka C idepede dega B karea: PC B P 4; da PC PB 6 6 6 6 Defiisi idepede dapat diperluas utuk lebih dari dua kejadia. Kejadiakejadia A, A,..., A disebut idepede bila utuk setiap subset A, A,..., A ; r berlaku: r...... P A A A P A P A P A r Cotoh.6 Sebuah bola diambil dari suatu kotak yag memuat empat bola beromor,, C,4. Apabila setiap bola,,, 4. Misalka, A ; B ; mempuyai kemugkia yag sama utuk terambil maka: P A B P A P B 4 P A C P A P C 4 PB C P B P C 4 P A B C 4 P A P B P C 8 Jadi, P A B C P A PB PC, artiya meskipu kejadia A, B, da C seara berpasaga idepede, amu A, B, da C tidak idepede seara keseluruha. r
SATS44/MODUL. Atura Bayes Misalka, A da B adalah dua kejadia, kita dapat meyataka A sebagai A A B A B, seperti tampak pada Gambar.. Oleh karea A B da A B salig asig maka: (.) C P A B PB P A B PB P A P A B P A B P A B P B P A B P B Gambar. Persamaa (.) meyataka bahwa probabilitas kejadia A adalah rata-rata tertimbag probabilitas bersyarat A diberika B telah terjadi da probabilitas bersyarat A diberika B tidak terjadi, dega setiap probabilitas bersyarat diberika bobot sebayak kejadia yag disyaratka. Cotoh.7 Padag dua kotak di maa kotak pertama memuat bola putih da 7 bola hitam, kotak kedua memuat 5 bola putih da 6 bola hitam. Sebuah mata uag seimbag dilempar da bola diambil dari kotak pertama jika dari lempara mata uag diperoleh muka (M). Apabila diketahui bola putih (P) yag terambil maka probabilitas bersyarat hasil lempara mata uag adalah muka (M) dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, P meyataka kejadia yag terambil bola putih da M meyataka kejadia sisi mata uag tampak muka (M) maka:
. Iferesi Bayesia P M P P PP PP P M P P M P M P P M P M P P M P M + P P M P M 9 5 67 9 Cotoh.8 Dalam mejawab pertayaa soal piliha bergada seorag mahasiswa megetahui jawaba atau haya meebak. Misalka, p adalah probabilitas mahasiswa megetahui jawaba da p adalah probabilitas mahasiswa haya meebak. Adaika seorag mahasiswa yag meebak jawaba aka bear mempuyai probabilitas, dega m jumlah jawaba alteratif, m probabilitas bersyarat seorag mahasiswa megetahui jawaba pertayaa apabila diketahui mahasiswa mejawab bear dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, C da K masig-masig meyataka kejadia mahasiswa mejawab dega bear da kejadia mahasiswa bear-bear megetahui jawabaya maka: PK C PK C P C P C K P K P( C K P K + P C K P K p m mp m p p + - p
SATS44/MODUL. Misalka, m 5 da p 0,5 maka probabilitas seorag mahasiswa megetahui jawabaya apabila ia mejawab dega bear adalah 5 6. Cotoh.9 Uji darah laboratorium 95% efektif dalam medeteksi suatu peyakit bila bear-bear ada. Meskipu demikia, uji atau tes tersebut juga meghasilka hasil positif salah utuk % orag sehat yag diuji. Apabila 0,5% populasi bear-bear mederita peyakit maka probabilitas seorag mempuyai peyakit bila diketahui tesya positif dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, D meyataka kejadia bahwa orag yag dites mempuyai peyakit da E meyataka hasilya positif maka: PD E PD E P E P E D P D P E D P D + P E D P D (0,95)(0,005) 0, 95 0, (0,95) (0,005) (0,0) (0,995) 0,94 Jadi, haya perse orag yag hasil tes laboratoriumya positif bearbear mederita peyakit. Seara umum, persamaa (.) dapat ditulis sebagai berikut. Misalka, A, A,..., A salig asig sedemikia higga i A. Dega perkataa lai, tepat da salah satu dari kejadia A, A,..., A aka terjadi. Dega i meulis B A B da megguaka keyataa bahwa i B A ; i,,..., salig asig maka kita aka medapat: (.) i i P B P B A i i PB A P A i i i
.4 Iferesi Bayesia Persamaa (.) megataka apabila diberika kejadia-kejadia A, A,..., A, kita dapat meghitug P(B) dega mesyaratka pada A i yag terjadi. Ii berarti P(B) sama dega rata-rata tertimbag PB A i dega setiap suku diberi bobot probabilitas kejadia yag disyaratka. Misalka, B telah terjadi da kita tertarik utuk meetuka satu dari A juga terjadi, dega megguaka persamaa (.) didapat persamaa (.4) yag dikeal sebagai rumus Bayes. i (.4) P A B j i= P Aj B P B j j P B A P A P B A P A i i Cotoh.0 Misalka, kita megetahui bahwa suatu surat tertulis berkemugkia sama utuk berada dalam salah satu dari tiga lai yag tersedia. Misalka, meyataka probabilitas medapatka surat setelah pemeriksaa sesaat bila surat bear-bear berada dalam lai ke-i ; i,, (kita bisa medapatka ). Misalka, kita memeriksa lai ke- da tidak meemuka surat i maka probabilitas surat berada pada lai ke- dapat dihitug sebagai berikut. Misalka, A adalah kejadia surat berada pada lai ke-i, da misalka B i adalah kejadia pemeriksaa lai ke-, tetapi tidak meemuka surat maka dari rumus Bayes kita medapat: P B A P A P A B P B A i P A i i i
SATS44/MODUL.5 ) Apabila probabilitas bersyarat ada, buktika: P A A... A P A P A A P A A A... P A A... A P A E P B E da ) Apabila PB P A P A E P B E buktika ) Misalka, B kejadia dega PB 0, buktika: P AC B P A B PC B P AC B 4) Apabila A da B dua kejadia yag idepede, buktika bahwa A da B, A da B merupaka kejadia salig idepede. 5) Apabila A da B dua kejadia salig idepede, buktika: P A B P A P B P A P B 6) Apabila A Petujuk Jawaba Latiha ) Berdasarka persamaa (.): P A A P A A P A B, buktika bahwa A da B tidak salig idepede. Misalka, B A A maka P A B atau P A A P A P A A P B A P B atau:
.6 Iferesi Bayesia P A A A P A A A P A A P A A A P A A P A P B A P A B P B Dega ara yag sama, aka dapat dibuktika bahwa: P A A... A P A P A A P A A A... P A A... A ) P A E PB E atau P A E PB E e e P A E PB E atau P A E PB E sehigga: P A E P A E P B E P B E atau PB P A ) Misalka, Z = AC maka P Z B P AC B P Z B = P B P B atau P Z B P A = B + P B C P A B C PB PB PB P B P A B P B C P A B C = + = P A B + P C B P A C B 4) Jika P A B = P A P B maka: P A B = P A P A B = P A P A P B
SATS44/MODUL.7 = P A P B = P A P B Jadi, A da B salig idepede. P A B P A B P A B P A P B P A P B P A PB P A PB 5) Apabila A da B salig idepede maka P A P A PB P A PB P A B P A P B P A B 6) Jika A B maka P A B = P A. Jadi, A da B tidak dapat salig idepede. B = P A P B da. Probabilitas bersyarat A diketahui B telah terjadi adalah: P A B P A B P B ; PB 0. A da B disebut idepede apabila P AB P A PB. Rumus Bayes: P A B j i= j j P B A P A P B A P A i i
.8 Iferesi Bayesia ) Misalka, 5% laki-laki da 0,5% waita buta wara. Seorag buta wara dipilih seara radom. Apabila diadaika jumlah laki-laki sama dega jumlah waita maka probabilitas seorag buta wara yag terpilih laki-laki sama dega. 9 A. 7 B. 0 C. 7 D. ) Sebuah dadu dilempar kali. Probabilitas bersyarat dadu pertama tampak 6 apabila diketahui jumlah mata dadu yag tampak 7 sama dega. 5 A. 6 B. 6 C. 6 D. 6 ) Sebuah kotak memuat bola merah da bola biru. Dua bola diambil seara radom tapa pegembalia. Misalka, M meyataka kejadia pegambila pertama merah da M meyataka pegambila kedua merah maka A. 5 P M M sama dega.
SATS44/MODUL.9 B. C. D. 4 4) Lihat soal omor. A. B. C. D. 5 P M M sama dega. 5) Misalka, probabilitas huja apabila medug adalah 0, da probabilitas medug adalah 0, maka probabilitas medug da huja sama dega. A. 0,600 B. 0,060 C. 0,666 D. 0,0 6) Padag dua kotak, kotak pertama memuat bola hitam da bola putih, sedagka kotak kedua memuat bola hitam da bola putih. Sebuah kotak dipilih seara radom da sebuah bola dipilih seara radom dari kotak yag terpilih. Probabilitas bola yag terpilih hitam sama dega. 6 A. 7 B.
.40 Iferesi Bayesia C. D. 5 7) Lihat soal omor 6. Apabila diketahui bola yag terpilih putih, probabilitas bola tersebut berasal dari kotak pertama adalah. A. 5 B. 5 C. 4 5 D. 5 8) Seorag pejudi mempuyai satu mata uag seimbag da satu mata uag yag keduaya muka (M). Sebuah mata uag dilemparka da muul M. Probabilitas M berasal dari mata uag seimbag sama dega. A. B. 4 C. D. 9) Lihat soal omor 8. Misalka, mata uag dilempar sekali lagi da didapat M maka probabilitas M kedua berasal dari mata uag seimbag sama dega. A. 5 B. 5
SATS44/MODUL.4 C. D. 0) Lihat soal omor 8 da omor 9. Misalka, mata uag dilempar utuk yag ketiga kaliya da didapat B (belakag) maka probabilitas B berasal dari mata uag seimbag sama dega. A. B. C. D. Cookkalah jawaba Ada dega Kui Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Apabila meapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
.4 Iferesi Bayesia Tes Formatif ) C ) D ) A 4) B 5) C 6) C 7) D 8) A 9) C 0) D Tes Formatif ) C ) C ) D 4) A 5) B 6) B 7) D 8) C 9) B 0) C
SATS44/MODUL.4 Hukwell, H. C. (995). Elemetary Appliatio of Probability Theory. Chapma & Hall, Lodo. Ross, M. S. (980). Itrodutio to Probability Models. Aademi Press. Reder, B. & Stair, R. M. (00). Quatitative Aalysis for Maagemet. Rie, J. A.(995). Mathematial Statistis ad Data Aalysis. Duxbury Press.