Solusi Tutorial 6 Matematika A Arif Nurwahi ) Pernyataan benar atau salah. a) Salah, sebab ln tiak terefinisi untuk 0. b) Betul. Seerhananya, titik belok apat ikatakan sebagai lokasi perubahan kecekungan. Hal ini apat ilihat ari turunan keuanya. Paa soal ini, y yang nilainya selalu negatif untuk setiap R {0} yang berarti selalu cekung ke bawah (tiak perubahan kecekungan). c) Salah. Ambil y e. Ruas kiri bernilai, seangkan ruas kanan bernilai 0. ) Salah. Ambil e. Ruas kanan bernilai, seangkan ruas kiri bernilai 4. e) Betul. Nilai e selalu positif untuk setiap R sehingga tiak mengubah tana. Sebagai bukti: jika a < b, iperoleh a b < 0 atau negatif. Diketahui e yang selalu positif, maka hasil kali (a b) an e menghasilkan nilai negatif, atau (a b)e < 0 ae be < 0, ipinah ruas menjai ae < be. f) Salah. ln π aalah konstan sehingga turunannya bernilai 0, atau (ln π) 0. g) Salah. Misalkan y, iperoleh bentuk lain ari D ( ) aalah, sehingga y ln y ln ln y ln ln y ( ln ) y ln + y ln + y( + ln ) ( + ln ) (turunan parsial) h) Betul. Misalkan sin t. Untuk π t π, maka iperoleh. Apabila igambarkan paa sb- th sb-t), fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif sehingga memiliki invers, yaitu t sin (). Substitusikan fungsi keua ke fungsi pertama, iperoleh sin(sin ()) untuk setiap. Arif Nurwahi is in Computational Science Department, Institut Teknologi Banung www. i) Salah. Untuk setiap 0 π, fungsi sin bukan merupakan fungsi bijektif sehingga tiak memiliki fungsi invers. ) Turunan fungsi. Ingat aturan turunan rantai an turunan parsial. a) Misalkan p 3 + 3, iperoleh t ln p an juga p 6 + 3. Dengan aturan rantai y ln p (ln p) p (ln p) p (6 + 3) p 6 + 3 3 + 3 b) Gunakan turunan parsial f(t) t ln t f (t) ln t + t t f (t) ln t + Perhatikan! ln t + berbea engan ln(t + ). c) Gunakan aturan rantai y ln(cos ) y ( sin()) cos() y tan ) Perhatikan bahwa ln ln ln sehingga y ( ln ) 3 y 3 ( ln ) y 3(ln ) 3) Integral engan substitusi. a) Integral tersebut apat itulis juga sebagau s s s. Misalkan p s + 8, maka + 8
p s 4s sehingga s s 4p. Diperoleh a) Transformasikan y ke fungsi ln y b) s s + 8 s 4 p p s + 8 ln p + C 4 s s 4 ln(s + 8) + C ln ( ln ) Dalam integral tersebut, yang imisalkan aalah ln karena akan menghasilkan turunannya. Misalkan p ln, iperoleh p sehingga ln ( ln ) p p p + C (ln ) + C c) Selain engan substitusi, integral paa soal ini apat iselesaikan engan melakukan manipulasi aljabar ( ) + + ( + ) + + ln( ) + C ) Paa soal ini, misalkan p +sin, maka p cos sehingga cos + sin + sin p p ln p + C cos ln( + sin ) + C y + 3 + ln y ln 3 ln y ln( + ) ln( 3 ) / ln y ln( + ) ln(3 ) (ln y) ln( + ) ln(3 ) y + 3 ( 3 ) y + 3 ( 3 ) + 3 + 3 ( 3 ) b) Kombinasikan turunan logaritmik engan turunan rantai. c) y ( )( + 3)( + ) ln y ln ( )( + 3)( + ) ln y ln( ) + ln( + 3) + ln( + ) (ln y) ln( ) + ln( + 3) + ln( + ) y + + 3 + + y + + 3 + + ( )( + 3)( + ) + + 3 + + ( )( + 3)( + ) + ( )( + ) + ( )( + 3)() y ( + ) /3 (3 + ) 3 + ( + ) /3 (3 + ) 3 ln y ln + ln y 3 ln( + ) + 3 ln(3 + ) ln( + ) (turunkan terhaap ) y 4 3( + ) + 9 3 + ( + ) seerhanakan seperti soal sebelumnya 4) Turunan algoritmik. 5) Menentukan invers suatu fungsi. Definisikan f() y sehingga f (y).
a) b) y 3 3 y 3 y f (y) 3 y f () 3 y 4 + 3 y( + 3) 4 y + 3y 4 y 4 3y (y 4) 3y 3y y 4 f (y) 3y + 4 y f () 3 + 4 c) Gunakan pelengkap kuarat sempurna, yaitu ubah a ab + b menjai (a b). Paa omain yang iberikan, maka invers fungsi tersebut icari sebagai berikut y y ()( ) + y 4 y + 4 y + 4 ) Lakukan perkalian aljabar biasa! y + y + y y + y (y + ) y y + y y + y y f (y) + y f () + 6) Suatu fungsi memiliki invers apabila fungsi tersebut hanya memiliki satu kemonoton, yaitu naik saja atau turun saja. Hal tersebut apat ilihat ari turunan pertamanya; apabila turunannya positif, maka fungsi tersebut monoton naik; begitu pula sebaliknya. a) Cek kemonotonan: f () 3 + 0 untuk setiap R sehingga fungsi tersebut memiliki invers. Untuk a 0, atau f() 0, terjai ketika. Kita apat menebak suatu nilai untuk menapatkan nilai f() 0 seperti yang iinginkan. Dapat ipastikan bahwa nilai yang memenuhi hanya aa satu karena fungsi tersebut bersifat bijektif (satu-satu an paa, sebagai syarat fungsi memiliki invers), artinya setiap hanya punya pasangan sebuah y, begitu sebaliknya setiap y hanya punya satu pasangan. Jai iperoleh (f ) (0) f () 3() + 3 b) Diperoleh f () 3 + 3 cos sin. Nilai a iperoleh ketika 0 sehingga (f ) () f (0) 3(0) + 3 cos(0) sin(0) y + 4, karena y + 4 + f (y) y + 4 + f () + 4 + 3 c) f() 3 + + + memiliki turunan f 3 () ++. Penyebut ari f (), 3 + ++ yaitu bentuk akar, selalu positif i aerah omainnya, seangkan pembilangnya selalu positif karena tergolong efinit positif (a > 0 an D < 0) sehingga f() monoton naik. Dengan
emikian f() memiliki invers. Kemuian, nilai a iperoleh ketika sehingga (f ) () f () 3() +()+ () 3 +() +()+ 6/4 3 7) Ketika (, y) (, 6) iperoleh 6 Ca Ca. Seangkan ketika (, y) (, 6) iperoleh 4 Ca 3. Substitusikan 4 Ca 3 4 Ca(a ) 4 6(a ) a 4 a Nilai a > 0 karena bentuk kurva tersebut monoton naik. Di sisi lain, turunan fungsi tersebut aalah y Ca ln a sehingga a harus positif. Kemuian nilai C iperoleh engan substitusi a ke 6 C () sehingga C 3. Diperoleh y 3. 8) Menentukan turunan fungsi eksponensial. a) Gunakan aturan rantai y e e ( ) e ( ) e (4 ) b) Gunakan turunan parsial an turunan rantai. Dengan cara yang mirip engan poin (a), iperoleh / ln y e ln ln (/) e/ ln ln e / ln ln c) Dengan aturan rantai y e (e ) + ( e ) e e ) Dapat imisalkan z y, sehingga z y +. Substitusi ke soal e z + z (ez + z) z (ez + z) z 0 (e z + ) y + 0 karena e z + selalu positif sehingga y + 0 y 9) Gunakan integral substitusi a) Soal e 3 apat itulis ulang menjai e 3 sehingga apat imisalkan p 3, maka p, atau apat itulis 0.5p. Diperoleh e 3 e 3 e p 0.5p 0.5e p + C 0.5e 3 + C b) Misalkan p e, maka p e sehingga e e e e p p ln p + C ln(e ) + C c) Diketahui bahwa e +e e e e sehingga apat imisalkan p e an iperoleh p e. Substitusi ke soal e +e e e e e p p e p + C e e + C ) Kerjakan ahulu bentuk integral tak tentu ahulu. Misalkan p 3/ 3, maka iapat p 3. Agar sesuai engan soal, iperoleh
bentuk lainnya aalah 3 p. e 3/ e 3/ e p p 3 ep 3 + C e3/ 3 + C Terakhir, substitusikan batas integral. 0) Integral an Turunan ari fungsi Eksponensial selain bilangan natural. a) Gunakan turunan logaritmik untuk meyelesaikan D (6 ). Misalkan y 6 sehingga akan icari /. b) y 6 ln y ln 6 ln y (ln 6) ( ln 6) ln y ( ln 6) y ln 6 ( ln 6)y ( ln 6)6 y 3 log e y 3 log e 3 log e c) Ingat bahwa e e log y e ln y y. Oleh sebab itu, untuk soal ini, jika y, maka y e (ln ) e ( ln ) e p untuk permisalkan p ln. Diperoleh p ( ln ) atau ln p. ( ) e ln e p p ln ln ep + C ln y + C ln + C ln + C ) Kerjakan terlebih ahulu Integral tanpa menggunakan batas ahulu. Soal ini apat ikerjakan mirip engan soal (0c). Namun kali ini akan igunakan cara lebih singkat. Misalkan p (), maka p, atau p / / 5 5 p p 5 ln 5 5 p ln 5 + C + C Selanjutnya, substitusikan batas, maka akan iperoleh hasilnya 40 ln 5 ) Diketahui m(t 0) 0g, an m(t 700) 5g (waktu paruh). Formula massa unsur sebuah raioaktif aalah m(t) C e kt. Substitusikan m(0) C e 0, maka iperoleh C 0. Kemuian untuk t 700, m(700) 0 e 700k 5 0(e k ) 700 /700 e k. Substitusikan ke rumus awal, m(t) C (e k ) t 0( )t/700. Untuk t 300, m(300) 0(0.5) 3/7 gram. ) Misalkan P (t) aalah total simpanan alam $ setelah t tahun. Bunga iberikan sebesar 3.5% tiap perioe tahunan. Akan ihitung P () berasarkan: a) hitungan tahunan. P (t) P (0) ( + 3.5%) t P () P (0) ( + 3.5%) 375(.035) 375.075 40.709375 b) hitungan bulanan. Bunga tiap bulan yang iterima menjai 3.5%/ selama bulan ( tahun). P (4 bulan) P (0) + 3.5% bulan 375 + 3.5% 4 c) hitungan harian. Bunga tiap hari yang iterima menjai 3.5%/365 selama 365 hari. P (730 hari) P (0) + 3.5% 365 hari 365 375 + 3.5% 730 365 ) hitungan kontinu. Bunga tiap saat yang iterima menjai 3.5%/n selama n waktu engan n. P ( tahun) lim n P (0) lim n 375 + 3.5% n + 3.5% n n waktu n
Ingat bahwa lim + e, maka bentuk i atas menjai P ( tahun) lim n 375 lim 375 + misalkan n/3.5% + 375 lim 375 e 7% n 3.5% 3.5% n/3.5% 7% + 7% 375(.0750885) 3) Misalkan S(t) aalah suhu (Fahrenheit) mayat paa saat t. Misalkan juga pukul 0 pagi aalah ketika t 0 sehingga S(0) 8 an S() 76. Diberikan suhu ruangan sebesar 70 o F. Akan icari t sehingga iperoleh S(t) 98.6. Dengan menggunakan hukum-peningin Newton, iperoleh bahwa S k(s 70), maka iperoleh t S k t S 70 ln S 70 kt + C S 70 e kt e C S 70 e kt K S(0) 70 Ke 0 8 70 K K S() 70 e k 76 70 e k e k 0.5 S(t) 70 e kt S(t) 70 (e k ) t S(t) 70 (0.5) t icari t sehingga S(t) 98.6 98.6 70 (0.5) t 0.5 t 8.6/ t 0.5 log(8.6/) log 8.6 log t log 0.5 t.5 Jai mayat meninggal sekitar satu-seperempat jam sebelum jam 0, atau sekitar pukul 8.45. 4) Persamaan Differensial a) Pertama, cari solusi homogen, yaitu solusi y +y 0 engan terlebih ahulu menyelesaikan persamaan karakteristiknya, yaitu r + 0, iperoleh r sehingga solusi homogennya y h () C e. Kemuian icari solusi partikularnya yang mirip engan ruas kanannya, yaitu e. Karena sama engan solusi homogennya, maka ipilih solusi partikularnya engan mengalikan engan, jai y p () C e. Substitusikan ke persamaan awal y + y e iperoleh (C e ) + C e e C (e e ) + C e e karena e 0 bagi persamaan i atas engan e C ( ) + C C Diperoleh solusi totalnya y t () y h () + y p () C e + e b) Soal ini iselesaikan menggunakan faktor integrasi. Pertama, pastikan koefisien turunan tertingginya bernilai, alam hal ini y an suah bernilai. Keua, faktor integrasi, yaitu e tan. Fokuskan ke tan sin tan cos sin cos cos ( cos()) cos (cos()) ln cos() + C ln cos() + C ln sec + C Jai faktor integrasinya (tanpa +C) aalah e ln sec sec(). Kita bebas untuk memilih sec() ataupun sec(), karena ketika kita kalikan ke keua ruas, tana negatif apat ihi-
langkan. Diperoleh y + y tan sec y sec() + y tan() sec() sec (y sec()) sec () y sec() sec () y sec() tan() + C y tan() + C sec() y (tan() + C) cos y sin + C cos() Ie faktor integrasi ini apat ijelaskan sebagai berikut: Ketika terapat persamaan iferensial y + q()y r(), iinginkan bahwa ruas kiri bisa iubah menjai turunan ari sebuah fungsi. Dengan melalui perjalanan panjang an berliku-liku, iperoleh-lah sebuah fungsi e q() yang isebut faktor integrasi. Apabila ikalikan ke persamaan iferensial, iperoleh y e q() + y(e q() q()) r()e q() Perhatikan bahwa ruas kirinya membentuk formula u v + uv (yang sama engan (uv) engan u y an v e q(). Dalam soal ini, iperoleh u y, an v sec() yang memiliki turunan v sec() tan(). c) Diberikan y + 3y e an y(0). Gunakan persamaan karakteristik (PK) untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini, PK-nya aalah r + 3 0, iperoleh r 3 sehingga solusi homogennya y h () C e 3. Untuk solusi partikular, pilih y p () C e an substitusikan ke persamaan iferensial awal. y + 3y e (C e ) + 3(C e ) e C e + 3C e e 5C e e 5C C 0. y t () C e 3 + 0.e y(0) C + 0. C + 0. C 0.8 ) Diberikan y + + y e an y() 0 Faktor integrasinya e ( + ) e + (ln )+ e e ln e e Kemuian kalikan ke keua ruas, + y (e ) + e y e e (ye ) ye + C y / + C e substitusikan y() 0 y() () / + C e ( ) 0 () / + C e C + / 0 C 0.5 y 0.5 0.5 e 5) Berasarkan hukum Kirchoff: V R + V L E RI + L I t E 0 6 I + I persamaan karakteristik 0 6 + r 0 sehingga r 0 6 I(t) C e 06 t Karena ruas kanan aalah polinom bererajat 0, maka solusi partikular ipilih polinom bererajat 0 pula, yaitu I p (t) C. Substitusikan ke persamaan awal 0 6 I + I 0 6 (C ) + (C ) 0 6 C C 0 6 Diperoleh I(t) C e 06t + 0 6. Substitusikan I(0) 0, iperoleh y t () 0.8e 3 + 0.e I(t) 0 6 e 06t + 0 6
6) Volume Air alam Tanki: V ol(t) V ol(0) + (ebit masuk ebit keluar ) t 0 + (4 6)t 0 t galon m(0) 0. Disubstitusikan m(0) (60 0) + C(60 0) 3 0 0 + C(60 3 ) C 3600 800 Untuk aliran masuk: -Konsentrasi garam poun/galon. -Debit masuk 4 galon/menit. -Laju perubahan massa poun/galon 4 galon/menit 4 poun/menit Untuk aliran Keluar: -Karena yang icari aalah massa garam, maka imisalkan massa garam i alam tanki paa saat t aalah m(t), maka iperoleh -Konsentrasi garam massa/volume m(t)/(0 t) poun/galon -Debit keluar 6 galon/menint -Laju perubahan massa m(t)/(0 t) 6 poun/menit Diperoleh perubahan massa garam alam tanki m laju masuk - laju keluar t m t 4 6m 0 t m + 6m 0 t 4 m + 3 60 t m 4 Faktor integrasi e 3 60 t t e 3 ln 60 t ln 60 t 3 e 60 t 3 Ambil yang positif, kalikan ke persamaan iferensial m (60 t) 3 + (60 t) 3 3 m 4(60 t) 3 60 t t (m (60 t) 3 ) 4(60 t) 3 m (60 t) 3 4(60 t) 3 t (60 t)3 m(t) (60 t) + 800 7) Lihat gambar paa soal! Misalkan α aalah suut keua. tan θ tan((α + θ) α) tan(α + θ) tan(α) + tan(α + θ) tan(α) 5 5 5 5 5 5 + 3 5 5+0 5 3 5 5 5 tan θ 3 5 5 3 θ arctan 5 5 m (60 t) 3 4(60 t) ( )( ) + C m (60 t) 3 ((60 t) + C) m(t) (60 t) + C(60 t) 3 Diketahui paa saat t 0, air alam tanki tersebut murni, sehingga massa garamnya 0 poun, atau