Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 / 2
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub. Misalkan z = f (x, y) menentukan sebuah permukaan atas R (lihat gambar) dan andaikan f kontinu dan tak negatif. / 2
Maka volume V benda padat di bawah permukaan tersebut dan di atas R dapat dinyatakan V = f (x, y)da R Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk R = {(r, θ) : a r b, α θ β} di mana a dan β α 2π. Demikian pula, persamaan permukaan dapat ditulis sebagai z = f (x, y) = f (r cos θ, r sin θ) = F (r, θ) Kita akan menghitung volume V dengan cara baru yaitu dengan menggunakan koordinat kutub. / 2
Bagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjang kutub R 1, R 2,..., R n dengan menggunakan kisi kutub, dan misalkan r k dan θ k menyatakan dimensi potongan R k. Luas A(R k ) dinyatakan dengan A(R k ) = r k r k θ k di mana r k adalah jari-jari rata-rata R k. n V F ( r k, θ k ) r k r k θ k k=1 / 2
Gunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, maka akan diperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integral lipat-dua. V = F (r, θ)r dr dθ = f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ R Dari uraian di atas, kita mempunyai dua rumus untuk V yaitu f (x, y)da = f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ R R R / 2
Contoh: Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub (lihat gambar) { R = (r, θ) : 1 r 3, θ π } 4 dan di bawah permukaan z = e x2 +y 2. / 2
Penyelesaian: Karena x 2 + y 2 = r 2, maka V = e x2 +y 2 da R = = π/4 π/4 3 1 e r 2 r dr dθ = π/4 [ 1 2 er 2 ] 3 dθ 1 1 2 (e9 e)dθ = π 8 (e9 e) 3181 / 2
Daerah Umum 1. Himpunan Sederhana-r Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-r jika himpunan tersebut berbentuk S = {(r, θ) : φ 1 (θ) r φ 2 (θ), α θ β} V = θ=β r=φ 2 (θ) θ=α r=φ 1 (θ) f (r, θ)r dr dθ / 2
2. Himpunan Sederhana-θ Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-θ jika himpunan tersebut berbentuk S = {(r, θ) : a r b, ψ 1 (r) θ ψ 2 (r)} V = r=b θ=ψ 2 (r) r=a θ=ψ 1 (r) f (r, θ)r dθ dr / 2
Contoh: Hitunglah S yda di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang berada di luar lingkaran r = 2, serta di dalam kardioid r = 2(1 + cosθ) / 2
Penyelesaian: Karena S adalah himpunan sederhana-r, kita dapat menuliskan integral di atas sebagai integral kutub berulang dengan r sebagai peubah pengintegralan sebelah dalam. Di dalam pengintegralan sebelah dalam ini, θ dibuat tetap; pengintegralan dilakukan di sepanjang garis tebal (pada gambar) dari r = 2 sampai r = 2(1 + cosθ). S yda = π/2 = 8 3 = 8 3 2(1+cosθ) π/2 2 (rsinθ)r dr dθ = π/2 [(1 + cosθ) 3 sinθ sinθ]dθ [ 1 4 (1 + cosθ)4 + cosθ ] π/2 [ r 3 = 22 3 3 sinθ ] 2(1+cosθ) 2 dθ / 2
Integral Probabilitas Pada materi ini, kita dapat membuktikan bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu yaitu f (x)dx = 1 dengan f (x) = 1 2π e x2 /2 / 2
Pertama, kita akan menunjukkan bahwa I = Ingat kembali bahwa e x2 dx = π 2. I = b e x2 dx = lim e x2 dx b Misalkan V b merupakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan z = e x2 y 2 dan di atas bujursangkar dengan titik potong (±b, ±b), lihat gambar, maka / 2
b V b = = b b b b b e x2 y 2 dy dx = e x2 dx b b b b e y 2 dy = e x2 b b b b e x2 dx e y 2 dy dx 2 = 4 b e x2 dx Ternyata volume daerah di bawah z = e x2 y 2 dan di atas seluruh bidang xy adalah V = lim b V b = lim = 4 b 4 e x2 dx 2 b = 4I 2 e x2 dx 2 2 / 2
Di sisi lain, kita juga dapat menghitung V dengan menggunakan koordinat kutub. Di sini, V adalah limit ketika a dari V a, volume benda padat tersebut di bawah permukaan z = e x2 y 2 = e r 2, di atas daerah melingkar berjari-jari a yang berpusat di titik asal (lihat gambar), maka / 2
V = lim a V a = lim a = lim a 2π 1 = lim a 2 2π a [ 1 ] a 2 e r 2 dθ 2π [ 1 e a2] dθ [ = lim π 1 e a2] = π a e r 2 r dr dθ Dengan memasukkan kedua nilai yang diperoleh untuk V dengan menggunakan integral biasa dan integral dalam koordinat kutub di atas, akan dihasilkan 4I 2 = π atau I = 1 2 π. / 2
Selanjutnya, setelah diperoleh I = bahwa Berdasarkan sifat simetri, e x2 dx = 1 2π e x2 /2 dx = 1 1 2π e x2 /2 dx = 2 π 2, akan ditunjukkan 1 e x2 /2 dx 2π / 2
Lakukan substitusi u = x 2 sehingga dx = 2du. Batas-batas pada integral tetap sama sehingga kita memperoleh 1 2π e x2 /2 dx = 2 1 e u2 2du 2π = 2 2 e u2 du 2π = 2 2 2π π 2 = 1 Jadi terbukti bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu. / 2
Latihan 1. Hitung integral-integral berulang berikut a. b. π/2 cos θ 1 cos θ π r 2 sin θ dr dθ r sin θ dr dθ 2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung r dr dθ dan sketsa S daerah tersebut terlebih dahulu a. S adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan di luar lingkaran r = 2 b. S adalah daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam lemniskat r 2 = 9 cos 2θ / 2
3. Hitung integral berikut dengan menggunakan koordinat kutub dan sketsa daerah pengintegralannya terlebih dahulu a. e x 2 +y 2 da, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh x 2 + y 2 = 4 S b. 4 x 2 y 2 da, di mana S adalah sektor kuadran pertama dari S lingkaran x 2 + y 2 = 4 di antara y = dan y = x / 2
Pustaka Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 22. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 23. Terjemahan, Kalkulus, Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum s Outlines, 3 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill. / 2