KAJIAN MATEMATIS DAN SIMULASI NUMERIK TENTANG KEKONVERGENAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA MODEL BINOMIAL KE MODEL BLACK-SCHOLES Bey Yog (bey_y@upar.ac.i) Jurusa Matematika FTIS Uiversitas Katolik Parahyaga ABSTRAK Terapat beberapa metoe utuk meetuka harga opsi. Dalam artikel ii ibahas ua metoe, yaitu moel Biomial a moel Black-Scholes. Dega semaki meigkatya perioe waktu maka harga opsi uga aka semaki meigkat ega perbeaa yag cukup kecil, secara aalisis moel biomial harga opsi aka koverge ke moel Black- Scholes. Kata kuci: Biomial, Black-Scholes, opsi ABSTRACT There are may methos for fiig optio pricig. I this paper, two mehos will be presete, Black-Scholes moel a biomial moel. For the umber of time perios icreases to ifiity a the legth of each time perio is ifiitesimally short, optio pricig from the biomial moel coverges to the Black-Scholes moel. Key wors: biomial, Black-Scholes, optio Sebagai egara berkembag, Ioesia merupaka salah satu egara yag cukup bayak mearik miat ivestor, baik alam maupu luar egeri utuk berivestasi i berbagai sektor, salah satuya aalah sektor pasar uag. Di alam pasar uag bayak sekali istrume keuaga yag iguaka sebagai alat ivestasi, seperti saham, obligasi, opsi, future, warrat, a swap. Cukup tiggiya resiko ari ivestasi saham a tigkat pegembalia yag kurag kompetitif ari ivestasi obligasi megalihka perhatia ivestor kepaa ivestasi erivatif. Salah satu erivatif yag mearik perhatia ivestor aalah opsi. Opsi aalah sertifikat yag memberika hak (buka kewaiba) kepaa pemilikya utuk membeli/meual saham paa waktu tertetu a paa harga yag tertetu pula. Aa ua eis opsi berasarka hakya, yaitu opsi call a opsi put. Opsi call memberika pemilikya utuk membeli saham a opsi put memberika hak kepaa pemilikya utuk meual saham (Hull, 3). Berasarka waktu pelaksaaaya, opsi ibagi meai ua, yaitu opsi tipe Amerika yag memperbolehka pemilikya utuk megguaka hakya kapa saa sebelum atau paa saat atuh tempo, seagka opsi tipe Eropa haya megiika pemilik opsi utuk megguaka hakya paa saat atuh tempo saa sesuai taggal kesepakata paa sertifikat tersebut (Hull, 3). Paa makalah ii, eis opsi yag aka ibahas aalah opsi call tipe Eropa.
Jural Matematika, Sais, a Tekologi, Volume 3 Nomor, Maret, - Salah satu hal yag mearik utuk iiskusika berkaita ega opsi ii aalah peetua harga opsi. Harga opsi ii atiya aka iaika sebagai premi yag harus ibayar oleh pembeli opsi ketika pertama kali sertifikat ii ibeli. Suatu cara utuk meetuka harga opsi ii aalah ega megguaka moel Black-Scholes yag ikembagka oleh Fischer Black, Myro Scholes a Robert Merto. Cara lai aalah ega megguaka peekata moel biomial. Paa artikel ii aka iulas kaia matematis moel biomial yag telah bayak ikeraka, lalu membaigkaya ega hasil simulasi umerik. Hasil aalisa secara matematis a ari hasil simulasi umerik meuukka bahwa moel biomial harga opsi call Eropa aka koverge ke moel Black-Scholes. MODEL BLACK-SCHOLES Jika harga saham paa saat sertifikat opsi ibeli aalah S ega harga kesepakata (exercise price) aalah K, suku buga bebas resiko per tahu aalah r c, volatilitas harga saham per tahu aalah a waktu atuh tempo (alam tahu) aalah T, maka moel Black-Scholes utuk harga opsi call iyataka sebagai (Hull, 3). c C S N Ke r T N () BS ega S S l rc T l rc T K, K T T a N merupaka fugsi istribusi ormal baku. T MODEL BINOMIAL Jika peluag harga saham aik iyataka ega p ega faktor aik aalah u a peluag harga saham turu iyataka ega p ega faktor turu aalah, maka moel biomial harga opsi call ega waktu atuh tempo opsi ibagi meai perioa waktu aalah (Cox, Ross, & Rubistei, 979) C BN r p p max, u S K () ega asumsi u. Misalka a aalah suatu bilaga bulat positif terkecil ega a sehigga a a u S K. Maka utuk semua a berlaku a utuk semua max, u S K a berlaku max, u S K u S K
Yog, Kaia Matematis a Simulasi Numerik Dega emikia moel biomial harga opsi call apat ituliska meai C BN r p p u S K a (3) atau p p u a C BN S Kr p p r a (4) Perhatika bahwa u Jika p ' p r Maka persamaa (4) meai p p u u p p r r r r a p ' p, maka u p p p p r r ' ' C BN S p' p ' Kr p p a a atau itulis meai (5) C BN S B Kr B (6) ega B a B merupaka fugsi istribusi peubah acak iskrit biomial ega peluagya masig-masig aalah p ' a p. KEKONVERGENAN Utuk meuukka kekovergea moel biomial harga opsi ke moel Black-Scholes, haruslah ituukka bahwa B a B masig-masig koverge ke N a N. Perhatika bahwa r merupaka faktor iskoto utuk perioa ega tigkat pegembalia setiap perioa aalah r. Tigkat pegembalia setiap perioa ii apat ikaitka ke tigkat / pegembalia tahua utuk T tahu ega hubuga r a r, ega a aalah umlah perioa setiap tahu. Karea T, maka r a r r tahu aalah a T, sehigga faktor iskoto utuk T 3
Jural Matematika, Sais, a Tekologi, Volume 3 Nomor, Maret, - ega rc l r (Hsia, 983). T sto r l sto T l r e lsto T l r e sto e rc T Persamaa (6) apat itulis meai c C r T BN S B Ke B a a Perhatika kembali bahwa u S K. Maka a l u al l S l K a l u l a l l S l K a lu l l K l S l K l l S a u l Karea a aalah suatu bilaga bulat, maka a apat ituliska sebagai betuk K l l S a u l ega aalah bilaga yag itambahka agar a meai suatu bilaga bulat. Dari teorema limit DeMoivre-Laplace yag meyataka bahwa istribusi biomial aka koverge ke istribusi ormal ika p utuk, maka B aka koverge ke f ega f a aalah suatu fugsi paat peluag istribusi ormal. Karea buka merupaka peubah acak ormal baku, koversika peubah acak ii meai peubah acak ormal baku, yaitu ega meefiisika E ega z E sehigga iperoleh a f f z z E. Dega kata lai, ika, maka B koverge ke 4
Yog, Kaia Matematis a Simulasi Numerik a f f z z N. Proseur yag sama uga ilakuka utuk B. Misalka S T aalah harga saham paa saat atuh tempo. Setelah perioa a harga saham megalami pergeraka aik sebayak, perbaiga atara harga saham paa saat T S T ega harga saham paa saat awal apat iyataka sebagai u. Maka logaritma S atural ari tigkat pegembalia saham aalah S T l lu l S Ii berarti atau u l l S T u E l E l l S E S T E l l S u l Seagka variasi ari logaritma atural utuk tigkat pegembalia saham aalah atau Ii berarti S T u Var l l Var S Var S T Var l S u l S T Var l S u l 5
Jural Matematika, Sais, a Tekologi, Volume 3 Nomor, Maret, - Karea K l a E l ega S a maka u l S S T l E l K S u l S T Var l S u l S S T u l E l l K S S T Var l S Karea Var p p, ega p aalah peluag sukses, maka S S T l E l K S S T Var l S p p Jika meuu tak terhigga, maka suku terakhir ari persamaa ii meuu ol. Karea S T Var l T S, maka S S T l E l K S T Persamaa ii iperluka utuk meyamaka a seperti yag iefiisika oleh moel S T Black-Scholes. Ii berarti harus ituukka E l rc T S, ika peluagya p ' 6
Yog, Kaia Matematis a Simulasi Numerik S T a E l rc T S, ika peluagya p. Utuk hal ii, perhatika kembali u r - u r p ' p p ' - p ' -, maka r r. Dega megigat kembali bahwa u u r r T, maka - ' - T p ' p r r u Tulis S S S S S Si... S T, S S S3 S i Si ega S S. Maka S Si Si E E E S T i S i i S i. Karea peluag sukses utuk B aalah ega peluag p ', maka p ' a Si Si u ega peluag p ' a Si Si S i- p ' (- p ') E S i u Sehigga S p ' (- p ') E S T i u p ' u atau Karea Maka T p ' (- p ') r u - p ' - S p' (- p ') E S T u - maka S -T l r l E S T - T S r E S T, atau T S r E S T. 7
Jural Matematika, Sais, a Tekologi, Volume 3 Nomor, Maret, - S T Karea beristribusi logormal, maka ivers ari istribusi logormal uga beristribusi S S logormal, ai S T uga beristribusi logormal. Karea S T x S T e, maka l S x S. Karea utuk setiap peubah acak X yag beristribusi logormal, berlaku l E X E l X Var l X, maka l E x ega E l X a Var l X S. Karea T l r l E S T, maka Sehigga S T Karea Var l T S, maka maka elaslah bahwa S S -T l r E l Var l S T S T S T S T -E l Var l S S S T S T E l T l r Var l S S B aka koverge ke S T E l l r T S. Karea l r rc, N. Utuk meuukka B koverge ke r N, guaka kembali p yag iperoleh ari u r pu p. meyamaka ekspektasi harga saham paa moel iskret a kotiu. Maka i Karea Si Si u ega peluag p a Si Si ega peluag p, maka Si E pu p r S. Karea i S T S i E E S i Si- S i E i S i- pu - p 8
Yog, Kaia Matematis a Simulasi Numerik Maka pu r T r S T l E T l r S - p Kemuia ega megguaka S T S T S T l E E l Var l S S S iperoleh S T S T E l T l r - Var l S S S T Karea Var l T S, maka S T E l l r - T S B aka koverge ke Karea l r rc, maka elaslah bahwa N. Kekovergea moel biomial harga opsi ii ke moel Black-Scholes tiak aka terai ika peluag per perioaya meuu ol (Hsia, 983). SIMULASI Paa bagia ii iberika hasil simulasi umerik ega algoritma metoa biomial paa Seyel () utuk peetua harga opsi call Eropa ega ata masuka aalah r,6,,3, c S 5, K a T. Hasil simulasi ega megguaka peragkat luak MATLAB utuk ata masuka ii isaika paa Tabel. Terlihat ari Tabel bahwa ega semaki meigkatya perioa waktu maka harga opsi call Eropa uga aka semaki meigkat ega perbeaa yag cukup kecil a harga opsi call Eropa yag ihitug ega megguaka moel biomial ii aka meekati harga opsi call Eropa yag ihitug ega megguaka moel Black-Scholes. 9
Jural Matematika, Sais, a Tekologi, Volume 3 Nomor, Maret, - Tabel. Harga Opsi Call Eropa ega Bayakya Perioa Waktu yag Bervariasi Bayakya perioa waktu () Harga opsi call Eropa 8,74 6,6 3, 64,3 8,4 56,7 Black-Scholes,8 PENUTUP Opsi merupaka istrume keuaga yag cukup mearik miat ivestor terutama ari segi moal yag kecil a kerugia yag terbatas. Papara alam artikel ii telah memperlihatka bahwa secara aalitis moel biomial harga opsi aka koverge ke moel Black-Scholes. Hal ii ipertegas ari hasil simulasi ega semaki meigkatya perioa waktu. Masih terapat beberapa metoa yag bisa iguaka utuk meetuka harga opsi ii, atara lai ega megguaka metoa bea higga, eleme higga a simulasi Mote Carlo. Hasil ari metoametoa ii apat ibaigka ega hasil yag telah iperoleh ari keua metoa yag telah ibahas alam artikel ii. REFERENSI Cox, J.C, Ross, S. A, & Rubistei, M. (979). Optio pricig: A simplifie approach. Joural of Fiacial Ecoomics 7, 9-63. Hsia, C. (983). O biomial optio pricig. The Joural of Fiacial Research. 6, 4-46. Hull, J.C. (3). Optios, futures a other erivatives. New Jersey: Pretice Hall. Seyel, R. (). Tools for computatioal fiace. New York: Spriger.