BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

Transkripsi

1 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA 35 BAB IV METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA Pada bab ii aka dibahas sat pedekata merik tk peeta harga opsi Asia, khssya opsi Asia dega rata-rata geometrik. Metode yag dipakai adalah metode biomial, yag aka dibahas terlebih dahl tk kass vailla optio. Selai it, pada bab ii ga aka ditampilka cotoh peerapa metode biomial tersebt pada sat program Matlab Metode Biomial Utk Peeta Harga Opsi Metode biomial adalah metode yag dimlai dari model diskrit pergeraka harga saham yag sederhaa. Selag wakt [,T ] (di maa T=matrity time) dibagi meadi sbselag yag paagya seragam dega titiktitik Si... T = t < t < < t = T di maa ti = iδ t ( i =,,..., ), Δ t = da = S ti adalah harga saham pada saat ti. Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34)

2 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA Asmsi yag digaka:. Dalam selag wakt Δ t, harga saham dapat aik ata tr meadi S S ata S Sd dega < d < <. Pelag harga saham aik P( aik) = p 3. Ekspektasi retr harga saham besarya sama dega risk-free rate r sehigga tk harga saham S yag bergerak secara acak dari S pada ti S i + i saat meadi pada saat t +. Ii berarti E ( S ) i+ = r t S e Δ i i Pada tahap ii ketiga bah parameter,d, da p ilai-ilaiya belm diketahi. ilai parameter-parameter ii aka dapat ditetka setelah kita memiliki ckp persamaa yag meghbgka ketiga parameter tersebt atap dega meambahka asmsi bar. Dari asmsi () da () diperoleh sehigga E Si+ = psi+ p Si d (4.) rδt rδt e d ( ) e = p+ p d p = d (4.) karea p maka harslah rδt d e. Dari model koti kita miliki ( r+ σ ) Δt E S + = Si e (4.3) ( i ), r t t Δ Δ Var S = E S E S = S e e σ (4.4) i+ i+ i+ i. da dari model diskrit kita pyai Var S + = p S + p S d S p + p d. (4.5) i i i i Dega meyamaka keda variasi (diskrit da koti) maka kita dapatka r t σ t ( ) e Δ+ Δ = p + p d (4.6) Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 36

3 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA Persamaa (4.) da (4.6) memberika hbga tk, d, da p. Persamaa ketiga dapat kita pilih. Persamaa ketiga yag serig digaka adalah d = ata p = /. Jika kita pilih d =, maka aka diperoleh solsi: da tk = β + β, d = β β, rδt ( r+ ) dega t β e e σ Δ = + r t e Δ d da p =. d p = / solsiya adalah ( σ Δt ) ( σ Δt ) Δt σ = e + e Δt σ d = e e Setelah it, harga saham dihitg tk setiap titik bagi (t i ) yaki Si,. i = S d (4.7) dega S i meyataka harga saham pada saat t i dega telah teradi keaika harga saham sebesar kali serta pera harga saham sebesar (i) kali (tk i =,,..., da =,,..., i ). Setelah it, aka dicari ilai payoff tk sema ilai yag mgki pada saat matrity (t = ). Adap pada saat ti selal terdapat i + kemgkia sehigga pada saat expiratio date terdapat ( + ) kemgkia. Sehigga V M maks{ S M K,} VM maks{ K S, M } = tk opsi call da = tk opsi pt (tk =,,..., ). Metode biomial selatya bekera secara rekrsif (dalam wakt) tk memperoleh ilai opsi pada saat t =. Utk tiap titik t i berlak ( ) V = e pv + p V (4.8) rät i i i Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 37

4 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA am tk tipe Amerika, hars dilakka pegia lebih lat, karea early exercise dapat teradi pada opsi Amerika. Utk opsi Amerika, berlak { *, } rät * = { i,} tk * = { i,} tk V = maks payoff e pv + p V (4.9) i i i payoff maks S K call payoff maks K S pt i =,,..., da =,,..., i 4. Metode Biomial pada Opsi Asia dega Rata-rata Geometrik Misalka sebah opsi Eropa yag masa hidpya berlagsg pada wakt [, T ], di maa T merpaka expiratio date-ya. Selag wakt tersebt dibagi meadi semlah selag diskrit, sehigga kita memiliki titik-titik T wakt Δ t, =,,,, dega Δ t =. Misalka r adalah sk bga da σ merpaka ilai volatilitas harga derlyig asset. Misal rata-rata geometrik diyataka dega I exp, dega I l S i = (4.) + i= Misalka pla S meyataka harga saham pada titik ke-, da (,, ) V S I adalah harga opsi geometrik pada titik ke-. S aka bergerak aik meadi S dega probabilitas p ata bergerak tr meadi Sd dega probabilitas ( p) pada titik ke-( + ). Kemdia, dega memilih r t e Δ d p = d da dega pegaproksimasia: rδt e rδt ( r+ σ ) Δt e + rδ t+ σ Δt β + σ Δt Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 38

5 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA maka bisa didapatka: σ Δt = e, d = (4.) Selai it, I ga aka aik meadi I + ata tr meadi I d +, di maa I = I + l S = I + l S + σ Δt + I I S d I S d + = + l = + l σ Δt (4.) da dega meggaka metode biomial stadar, maka aka didapatka formlasi harga opsi sebagai berikt: rδt d (,, ) = (, +, + ) + ( ) (, +, + ) V S I e pv S I p V S d I (4.3) Kemdia, metode biomial tk opsi dega rataa geometrik ii aka dipecah meadi da bagia besar, yaki tk tipe average strike da average vale. a. Average Strike Asia Optio dega rata-rata geometrik Payoff tk opsi eis ii diyataka dalam: Misalka I V ( S, I, ) = max S e +, = = ( + ) V S, I, S W y, dega y I l S (4.4) Kemdia, dari permsa I di atas, dapat ditlis: I+ = I + l S + σ Δt, kemdia I+ + S = I + S + Δt + S + + σ Δt ( l ) l σ ( l ) = I ( + l ) S ( + ) σ Δt = y ( + ) σ Δt sehigga permsa harga opsi tk titik ke ( + ) ditlis kembali meadi: ( σ ) + (,, ) V S I + = S W y + Δ t +, Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 39

6 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA da dega cara serpa dapat pla ditliska: ( σ ) d + (,, ) V S d I + + = S dw y + + Δ t Dega meerapka rmsa mm metode biomial pada persamaa (4.3), maka bisa ditlis: ( σ ) ( ) ( σ Δ ) r Δ t + + W y = e pw y + Δ t + p dw y + + t (4.5) da pada wakt expiry, berlak W ( y ) I + max S, I e + e = = max, S S y W ( y ) = max e +, (4.6) Catat bahwa I = l S da y =. Kemdia, dalam ta tk meetka ilai V( S, I,) S W di setiap titik yag berada di iterval: =, kita hars mecari ilai-ilai ( + ) ( + ) ( k ) σ t, ( k ) σ t σ t, t + Δ + Δ = Δ σ Δ. k= k= Spaya mempermdah pembacaa otasi, sebt saa W W σ t Sehigga, didapat permsa: W = Δ. ( ) Δ + + = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) r t W e pw p dw tk, =, +,, (4.7) sedagka di titik expiry, berlak Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 4

7 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA W = e = tk =, +,, σ Δt + + max, max,, ( + ) ( + ) ( +) Utk lebih elasya, di bawah ii aka disaika algoritma peghitga ilai call Eropea Average Strike Geometric Asia Optio: (4.8) Maska : r, σ, S, T, Hitg : Δ t = T /,, d, p tk t = ( + ) ( + ) ( +) W = max +, for =,,, Kelara : C = W ( )* S ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = rδ t + + W e pw p dw Da algoritma tk ilai pt Eropea Average Strike Geometric Asia Optio: Maska : r, σ, S, T, Hitg : Δ t = T /,, d, p tk t = ( + ) ( + ) ( +) W = max +, for =,,, ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = rδ t + + W e pw p dw Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 4

8 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA Kelara : C = W ( )* S Selai it, algoritma tk ilai call America Average Strike Geometric Asia Optio: Maska : r, σ, S, T, Hitg : Δ t = T /,, d, p tk t = ( + ) ( + ) ( +) W = max +, for =,,, ( + ) ( + ) ( + ) W = max e pw ( ( ) ) ( p) dw ( ( )) , Kelara : C = W ( )* S rδ t Da algoritma tk ilai pt America Average Strike Geometric Asia Optio: Maska : r, σ, S, T, Hitg : Δ t = T /,, d, p Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 4

9 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA tk t = ( + ) ( + ) ( +) W = max +, for =,,, ( + ) ( + ) ( + ) W e pw ( ( )) ( p) dw ( ( )) Kelara : C = W ( )* S rδ t + max + + = , b. Average Vale Asia Optio dega rata-rata geometrik Payoff tk opsi eis ii diyataka dalam: I + V ( S, I, ) = max e X,, dega X = strike price Utk kali ii, aka dimisalka = = + ( ) V S, I, W y, dega y I l S (4.9) Kemdia, dari permsa I di atas, dapat ditlis: I = I + l S + σ Δt, kemdia + ( l ) l σ ( l ) I+ + S = I + S + Δ t + S + σ Δt l σ = I + S + σ Δt = y + Δt Dega prosedr serpa dega average strike, maka aka didapatka ( σ ) ( ) ( σ Δ ) r Δ t + + W y = e pw y + Δ t + p W y t (4.) da pada =, berlak Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 43

10 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA y + W ( y) = max e X, (4.) y = I + l So = + l So. Kemdia, dalam ta tk Catat bahwa meetka ilai V( S, I,) W ( y ) =, kita hars mecari ilai-ilai di setiap titik yag berada di iterval : W y ( k) σ Δ t, y + ( k) σ Δ t = k= k= y ( + ) ( + ) σ Δ t, y + otasika W W ( y σ t) = + Δ. σ Δt Sehigga, didapat permsa: Δ + + = ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) r t W e pw p W tk, =, +,, + (4.) sedagka di titik expiry, berlak y t W max σ + Δ e X, + + = = max S X,, (4.3) ( + ) ( + ) ( + ) tk =, +,, dega X = strike price Berikt adalah algoritma peeta harga call Average Vale Geometric Asia Optios: Maska : r, σ, S, T, Hitg : Δ t = T /,, d, p Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 44

11 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA tk t = ( + ) ( + ) ( + ) + W = max S X, for =,,, Kelara : C = W ( + ) ( + ) ( + ) Δ + + = = ( + ) + ( ) ( + ) r t W W e pw p W Da berikt ga aka disaika algoritma peeta harga pt Eropea Average Vale Geometric Asia Optios: Maska : r, σ, S, T, Hitg : Δ t = T /,, d, p tk t = ( + ) ( + ) ( + ) W = max X S +, for =,,, ( + ) ( + ) ( + ) Δ + + = = ( + ) + ( ) ( + ) r t W W e pw p W Kelara : C = W am trasformasi yag dilakka pada opsi ii tidak bisa digaka tk meghitg ilai America Average Vale Geometric Asia Optios Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 45

12 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA 4.3 Program Biomial dega MATLAB Pada kesempata ii, aka dilakka simlasi metode biomial tk meetka harga opsi Asia tipe geometrik dega ilai-ilai maska sebagai berikt: r =.9, σ =., saham awal =, time to matrity=/3, strike price=95 (tk tipe average vale) Berikt aka ditampilka hasilya: a. Average strike call optios rδt σ Δt e d = e, d =, p = d Aka dihitg ilai W, da ilai C di saat () dihitg dega hbga: (,,) = V S I S W Harga C Eropa Harga P Eropa Harga C Amerika Harga P Amerika 4 3,45, ,95 3,49, ,98 5 3,5,9 3,5, 3,5,9 3,5, 3,5,9 3,5, 3 3,5,9 3,5, 5 3,5,9 3,5, eksak 3,5 Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 46

13 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA Ilstrasi gambar poho biomial tk Eropea Average Strike Geometric Asia Optios: b. Average vale call optios Harga C Harga P Eropa Eropa 4 6,69,59 6,79, ,7543,5468 6,7577,549 6,7594,554 Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 47

14 BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA 3 6,76, ,764,55 8 6,767,553 Eksak 6,76,557 Ilstrasi gambar poho biomial tk Eropea Average Vale Geometric Asia Optios: Peeta Harga Opsi Asia Riswa Harapa (34) 48