PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO

Transkripsi

1 PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNUK PENENUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO SEKOLAH PASCASARJANA INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 008

2 SUMBER INFORMASI Dega ii saya meyataka bahwa tesis dega judul Perbadiga Beberapa Model Biomial utuk Peetua Harga Opsi Eropa adalah karya saya dega araha dari komisi pembimbig da belum diajuka dalam betuk apa pu kepada pergurua tiggi maapu. Sumber iformasi yag berasal atau dikutip dari karya yag diterbitka oleh peulis lai telah disebutka dalam teks da dicatumka dalam daftar pustaka di bagia akhir tesis ii. Bogor, 7 Agustus 008 Poco Budi Susilo NIM G55060

3 ABSRAC PONCO BUDI SUSILO. Compariso of the Covergece of Some Biomial Models for Europea Optio Valuatio. Uder directio of I GUSI PUU PURNABA ad DONNY CIRA LESMANA. Biomial models, which describe the asset price dyamics of the cotiuous time model i the limit, serve for approximate valuatio of optio, especially where formula caot be derived aalytically due to properties of the cosidered optio type. o evaluate results, oe ievitably must uderstad the covergece properties. he objectives of this thesis are: to explore covergece behaviour ad speed of biomial models for determiig Europea call optio valuatio, ad to compare several biomial models with respect to speed ad accuracy. he biomial models uder cosideratio are CRR, JR, ia, PP, ad PP. he results show that the computed optio price of CRR, JR, ad ia models oscillate ad wavily coverge to the Black-Scholes solutio with order of covergece oe, whereas optio price of PP ad PP models also oscillate but o wavily coverge with order two. Keywords: biomial models, optio valuatio, order of covergece, covergece behaviour.

4 RINGKASAN PONCO BUDI SUSILO. Perbadiga Kekovergea Beberapa Model Biomial utuk Peetua Harga Opsi Eropa. Dibimbig oleh I GUSU PUU PURNABA da DONNY CIRA LESMANA. Kotrak opsi (selajutya disebut opsi) adalah suatu jeis kotrak atara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lai utuk mejual atau membeli aset tertetu pada harga da periode waktu tertetu. erdapat dua jeis opsi yag palig medasar, yaitu opsi call da opsi put. Berdasarka waktu eksekusi maka terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa da opsi Amerika. Utuk meetuka besarya premi opsi maka dirumuska dua cara yaitu dega solusi aalitik da solusi umerik. Solusi aalitik telah ditemuka oleh Black-Scholes pada tahu 973. Metode umerik yag serig diguaka adalah metode beda higga da metode biomial da triomial. Beberapa model biomial haya medasarka pada perbedaa faktor aik da turu dari perkembaga harga saham. Metode biomial terutama diguaka utuk peetua ilai opsi yag tidak dapat dituruka secara aalitik. Di atara modelmodel biomial tersebut adalah model CRR, JR, ia, PP, da PP. Model ii koverge ke solusi Black-Scholes. Utuk melihat kevalida masig-masig model perlu diketahui sifat-sifat kekovergeaya, maka perlu melihat pedekata umerikya. ujua peelitia ii adalah megeksplorasi perilaku da kecepata kekovergea dari model-model biomial da membadigka akurasi beberapa model biomial utuk meetuka harga opsi Eropa. Metode peelitia yag diguaka adalah kajia literatur da eksplorasi peghituga umerik dega lagkah-lagkah sebagai berikut: pertama merumuska metode peetua solusi aalitik dega formula Black-Scholes, da meetuka peurua rumus pada metode biomial. Lagkah yag kedua adalah meguji sifat-sifat kekovergea model biomial, yag meliputi perilaku da kecepata kekovergea dega defiisidefiisi da teorema yag ada. Selajutya meetuka perbaika kekovergea model biomial dega mempertimbagka sifat-sifatya. Peghituga umerik dilakuka utuk meampilka gambar-gambar perkembaga harga opsi serta ilai error sesuai dega perbaika pada bayakya periode biomial. Peghituga besarya harga opsi dega yag berbeda dilakuka utuk melihat error-relatif masig-masig model. Lagkah akhir, dega megguaka RMS ( relative rootmea-squared error ), akurasi dari tiap model biomial aka dibadigka. Hasil peelitia meujukka bahwa model CRR, JR, da ia koverge ke solusi Black-Scholes dega pola osilasi da bergelombag, dega derajat kekovergea satu. Sedagka model PP da PP, pola kekovergeaya adalah osilasi da tidak bergelombag dega derajat kekovergea dua. Dega megguaka RMS terlihat bahwa akurasi terbaik diperoleh model PP da PP. Sedagka model CRR, JR, da ia tidak terdapat uruta yag kosiste.

5 Kata kuci: Model biomial, peetua harga opsi, perilaku da kecepata kekovergea, akurasi model..

6 Hak Cipta milik Istitut Pertaia Bogor, tahu 008 Hak Cipta dilidugi Udag-udag. Dilarag megutip sebagia atau seluruh karya tulis ii tapa mecatumka atau meyebutka sumber a Pegutipa haya utuk kepetiga pedidika, peelitia, peulisa karya ilmiah, peyusua lapora, peulisa kritik atau tijaua suatu masalah. b Pegutipa tidak merugika kepetiga yag wajar Istitut Pertaia Bogor.. Dilarag megumumka da memperbayak sebagia atau seluruh karya tulis dalam betuk apapu tapa izi Istitut Pertaia Bogor.

7 PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNUK PENENUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO esis sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Magister Sais pada Departeme Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 008

8 Peguji Luar Komisi pada Ujia esis: Ir. Reto Budiarti, M.S.

9 Judul esis Nama NIM : Perbadiga Kekovergea Beberapa Model Biomial utuk Peetua Harga Opsi Eropa : Poco Budi Susilo : G55060 Disetujui Komisi Pembimbig Dr. Ir. I Gusti Putu Puraba, DEA Doy Citra Lesmaa, S.Si., M.Fi.Math. Ketua Aggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika erapa Deka Sekolah Pascasarjaa Dr. Ir. Edar H. Nugrahai, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. aggal Ujia: 7 Agustus 008. aggal Lulus:

10 PRAKAA Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SW atas segala karuia-nya sehigga karya ilmiah ii berhasil diselesaika. ema yag dipilih dalam peelitia yag dilaksaaka sejak bula Jauri 008 ii ialah masalah Peetua harga opsi dega metode biomial, dega judul Perbadiga Kekovergea Beberapa Model Biomial utuk Peetua Harga Opsi Eropa erima kasih peulis ucapka kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Puraba, DEA da Bapak Doy Citra Lesmaa, S.Si., M.Fi.Math. selaku pembimbig, atas segala sara da bimbigaya. erima kasih juga disampaika kepada Ibu Ir. Reto Budiarti, M.S. yag telah bayak memberika sara selaku peguji luar komisi. Ucapa terima kasih peulis disampaika kepada Departeme Agama Republik Idoesia yag telah memberika beasiswa. Ugkapa terima kasih juga disampaika kepada istri da aak serta seluruh keluarga, atas segala doa da kasih sayagya. idak lupa juga, ucapa terimakasih kepada tema-tema seperjuaga dari BUD Depag atas kerjasama da batuaya sehigga bisa terselesaiya tesis ii. Semoga karya ilmiah ii bermafaat. Bogor, Agustus 008 Poco Budi Susilo

11 RIWAYA HIDUP Peulis dilahirka di Slema pada taggal 3 April 970 dari ayah Puja Hartoo da ibu Juwariyah. Peulis merupaka putra kelima dari lima bersaudara. ahu 988 peulis lulus dari SMA Negeri Kalasa da pada tahu yag sama lulus seleksi IKIP Yogyakarta. Peulis memilih Jurusa Pedidika Matematika pada Fakultas Pedidika Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Program D da selesai pada tahu 990 serta lulus D3 pada jurusa yag sama di IKIP Yogyakarta. Peulis melajutka kembali pada jejag S da lulus pada tahu 998 di IKIP Yogyakarta. ahu 999 peulis diterima sebagai PNS da mejadi staf pegajar di Ms Negeri Nglipar Guugkidul Yogyakarta. Pada tahu 006 peulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika erapa Istitut Pertaia Bogor melalui jalur Beasiswa Utusa Daerah Departeme Agama Republik Idoesia.

12 DAFAR ISI Halama I PENDAHULUAN.... Latar Belakag.... Rumusa Masalah ujua Peelitia Ruag Ligkup Peelitia Sistematika Pembahasa... 3 II LANDASAN EORI Pegertia Opsi Aset yag Medasari Opsi Nilai Opsi ipe Opsi Keutuga Opsi Faktor-fator yag Mempegaruhi Opsi Persamaa Black-Scholes Formulasi Harga Black-Scholes....9 Pegertia Model Biomial Rasio Lidug Nilai (Hedge Ratio) Model Biomial dega Suku Buga Diskret Model Biomial dega Suku Buga Kotiu Kekovergea... III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL Model Kotiu da Model Diskret Perkembaag Harga Saham Uji Kekovergea Model Biomial Model Biomial dega Perbaika Sifat-Sifat Kekovergea Perbadiga Kekovergea Lima Model Biomial IV PENGHIUNGAN NUMERIK Prosedur Peghituga Numerik Peghituga Numerik Pembahasa V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpula Sara... 4 DAFAR PUSAKA LAMPIRAN x

13 DAFAR ABEL Halama 3. Defiisi alteratif dari parameter tree pada pedekata lattice oleh model CRR, model JR da model ia Harga opsi call yag dihitug dega formula Black-Scholes, CRR, JR, ia, PP, da PP serta ilai RMS dega = Harga opsi call yag dihitug dega formula Black-Scholes, CRR, JR, ia, PP, da PP serta ilai RMS dega = Harga opsi call yag dihitug dega formula Black-Scholes, CRR, JR, ia, PP, da PP serta ilai RMS dega = Harga opsi put yag dihitug dega formula Black-Scholes, CRR, JR, ia, PP, da PP serta ilai RMS dega = Harga opsi put yag dihitug dega formula Black-Scholes, CRR, JR, ia, PP, da PP serta ilai RMS dega = Harga opsi put yag dihitug dega formula Black-Scholes, CRR, JR, ia, PP, da PP serta ilai RMS dega = xi

14 DAFAR GAMBAR Halama 3. Grafik pola kekovergea model CRR Grafik pola kekovergea model JR Grafik pola kekovergea model ia Grafik error da batas error utuk model CRR Grafik error da batas error utuk model JR Grafik error da batas error utuk model ia Grafik ilustrasi proposisi utuk piliha parameter berikut: S 00, K 90,, r 0.05, 0.3, 0,..., Grafik ilustrasi proposisi utuk piliha parameter berikut: S 00, K 0,, r 0.05, 0.3, 0,..., Grafik ilustrasi proposisi 3 utuk piliha parameter berikut: S 00, K 00,, r 0.05, 0.3, 0,..., Grafik ilustrasi hasil perbaika kostruksi biomial megguaka pedekata PP da PP Perbadiga perilaku kekovergea lima model Perbadiga error da derajat kekovergea lima model xii

15 DAFAR LAMPIRAN Halama Peurua persamaa (.8) Peurua persamaa (.5) Program gambar da peghituga umerik dega Software Matlab xiii

16 I PENDAHULUAN. Latar Belakag Dalam duia keuaga, dikeal adaya pasar keuaga (fiacial market) yag terdiri atas pasar uag (moey market) da pasar modal (capital market). Pada pasar uag terjadi jual beli aset keuaga dalam jagka pedek, sedagka utuk pasar modal terjadi jual beli aset keuaga utuk jagka pajag. Pasar modal terdiri atas pasar obligasi, pasar saham da pasar utuk derivatif (Bodie et al. 006). Hull (003) meyataka bahwa derivatif adalah istrume keuaga yag ilaiya didasarka atau dituruka dari aset yag medasariya. Beberapa produk derivatif atara lai: kotrak berjagka (future cotract), kotrak forward da kotrak opsi. Kotrak berjagka merupaka suatu kewajiba utuk membeli atau mejual suatu aset pada harga yag telah ditetuka pada saat jatuh tempo. Kotrak forward merupaka perjajia utuk melakuka peyeraha aset di masa datag pada harga yag disepakati. Kotrak opsi (selajutya disebut opsi) adalah suatu jeis kotrak atara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lai utuk mejual atau membeli aset tertetu pada harga da periode waktu tertetu (Niwiga 005). erdapat dua jeis opsi yag palig medasar, yaitu opsi call da opsi put. Suatu opsi call memberika hak kepada pembeli utuk membeli suatu aset tertetu dega jumlah tertetu pada harga yag telah ditetuka selama periode waktu tertetu pula. Sedagka opsi put memberika hak kepada pembeli utuk mejual suatu aset tertetu dega jumlah tertetu pada harga yag telah ditetuka selama periode waktu tertetu pula. Utuk bisa megguaka hak tersebut maka pemegag opsi wajib meyerahka sejumlah uag kepada peerbit opsi yag disebut sebagai premi opsi. Pegguaa hak utuk mejual atau membeli aset dalam kotrak opsi dikataka sebagai tidaka eksekusi. Berdasarka waktu eksekusi maka terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa da opsi Amerika. Opsi tipe Eropa haya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedagka opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarag waktu sampai dega jatuh tempo (Hull 003). Pada awal pembukaa perdagaga opsi, harga opsi ditetuka oleh peerbit opsi dega mempertimbagka ilai kewajara dari harga saham da kemugkia-

17 kemugkia adaya keaika serta peurua harga saham. Sehigga tidak ada formula yag baku terhadap peetua harga opsi. Pada tahu 973, Fisher Black, Myro Scholes (Hull 003) berhasil meetuka solusi aalitik dari suatu persamaa Black-Scholes-Merto. Solusi aalitik tersebut dikeal sebagai formula Black-Scholes. Formula Black-Scholes itu meyataka harga opsi call Eropa. Sedagka Harga opsi put Eropa dapat ditetuka melalui kesetaraa atara put da call yag serig disebut sebagai put call parity. Di sampig adaya peelitia utuk meetuka solusi aalitik harga opsi, juga dikembagka pedekata umerik utuk peetua harga opsi. Hull da White (990) meyataka bahwa dua pedekata umerik yag serig dilakuka utuk meetuka ilai suatu derivatif adalah dega megguaka metode beda higga da metode lattice (biomial da triomial). Metode biomial utuk kali pertama dikembagka secara simulta oleh Cox, Ross da Rubistei (979) atau CRR serta Redleme da Bartter (979) dega megasumsika bahwa dalam suatu iterval waktu, harga saham aka aik sebesar faktor u (up) da aka turu sebesar faktor d (dow) karea dipegaruhi oleh faktor suku buga. Selajutya CRR mempertimbagka bahwa pergeraka harga saham juga dipegaruhi faktor volatilitas. Jarrow da Rudd (983) (JR) memperbaiki model biomial pada peetua peaksira. Sedagka ia (993) megguaka model biomial da triomial pada peilaia dari opsi eksotik. Peilaia da perbaika metode biomial seatiasa dilakuka oleh para ahli dari waktu ke waktu. Metode biomial pada umumya diperguaka utuk meetuka ilai opsi terutama yag tidak bisa dituruka secara aalitik, di ataraya opsi Amerika. Metode biomial terdiri atas beberapa model yaitu model CRR, JR, ia, Peizer- Pratt (PP), da Peizer-Pratt (PP). Dega aplikasi eorema Limit Pusat (CL= Cetral Limit heorem) dibuktika bahwa model-model tersebut koverge ke solusi Black-Scholes ketika tahapa waktu atar perdagaga medekati ol. Utuk megetahui sifat-sifat kekovergeaya, maka perlu dilihat pedekata umerikya.

18 3 Berdasarka uraia di atas, maka perlu kekovergeaya, serta perlu dibadigka harga opsi Eropa. diketahui perilaku da kecepata akurasi tiap-tiap model terhadap. Rumusa Masalah Dari latar belakag tersebut di atas, rumusa masalah dapat dituliska sebagai berikut: Model-model biomial utuk peetua harga opsi aka koverge ke solusi Black-Scholes. Bagaimaa tigkah laku da kecepata kekovergea dari tiaptiap model biomial tersebut? Bagaimaa perbadiga akurasi dari tiap-tiap model biomial tersebut bila dibuktika secara umerik?.3 ujua Peelitia Berdasarka rumusa masalah di atas maka tujua peelitia ii adalah sebagai berikut: Megeksplorasi perilaku da kecepata kekovergea dari model-model biomial. Membadigka akurasi beberapa model biomial utuk meetuka harga opsi Eropa secara umerik..4 Ruag Ligkup Peelitia Ruag ligkup peelitia ii adalah sebagai berikut: Model peetua harga opsi Black-Scholes utuk opsi tipe Eropa. Model peetua harga opsi dega metode biomial. 3 Pola kekovergea dari metode biomial. 4 Kecepata serta derajat kekovergea model biomial. 5 Akurasi model-model biomial yag diukur dega besarya RMS..5 Sistematika Pembahasa Dalam memahami masalah kekovergea model biomial utuk meetuka harga opsi, dibahas beberapa kosep dasar yaitu: pegertia opsi da hal-hal yag berhubuga dega opsi, persamaa Black-Scholes utuk harga opsi, pegertia

19 4 model biomial, peurua formula metode biomial dega suku buga diskret da kotiu, yag aka dibahas pada bagia dua tesis ii. Pada bagia tiga aka dipaparka tetag perbadiga perkembaga harga saham dega waktu kotiu (solusi Black-Scholes) da perkembaga harga saham dega waktu diskret (biomial). iga model biomial, yaitu model CRR, JR, da ia aka dibadigka dalam perilaku kekovergea da kecepata kekovergea. Beberapa defiisi da teorema tetag kekovergea, derajat kekovergea da kecepata kekovergea aka ditujukka pada bagia ii. Selajutya aka dipaparka model biomial lai utuk memperbaiki sifat kekovergea. Pada bagia keempat aka dilakuka perhituga harga opsi dega lima macam model, serta aka dibadigka akurasi harga opsi yag diperoleh dari masigmasig model dega cara meghitug error-relatif. Pada bagia kelima aka dituliska tetag kesimpula da sara.

20 II LANDASAN EORI. Pegertia Opsi Salah satu istrume derivatif yag mempuyai potesi utuk dikembagka adalah opsi. Pegertia dari opsi adalah suatu kotrak atara dua pihak di maa salah satu pihak (sebagai pembeli) mempuyai hak utuk membeli atau mejual suatu aset tertetu dega harga yag telah ditetuka pula, pada atau sebelum waktu yag ditetuka. Pemegag opsi tidak diwajibka utuk megguaka hakya atau aka megguaka hakya jika perubaha dari harga aset yag medasariya aka meghasilka keutuga, baik dega mejual atau membeli aset yag medasari tersebut.. Aset yag Medasari Opsi Dalam perdagaga opsi terdapat beberapa aset yag medasari, atara lai opsi ideks (idex optio), opsi valuta asig (foreig currecy optio) opsi berjagka (future optio) da opsi saham (stock optio). Opsi ideks adalah suatu opsi dega aset berbasis ideks pasar saham. Opsi valuta asig adalah suatu opsi dega aset berbasis mata uag asig dega kurs tertetu, opsi berjagka adalah suatu opsi dega aset berbasis kotrak berjagka. Sedagka opsi saham adalah suatu opsi dega aset yag medasariya adalah saham..3 Nilai Opsi.3. Nilai itrisik Nilai itrisik opsi adalah ilai ekoomis, meggambarka keutuga ivestor jika opsi dieksekusi dega segera. Jika ilai ekoomis dari eksekusi opsi dega segera tidak positif, maka ilai itrisik adalah ol. Utuk opsi call, ilai itrisik aka positif jika harga saham yag terjadi (S ) lebih besar dari pada harga eksekusi (K). Sedagka utuk opsi put ilai itrisik aka positif jika harga saham berlaku (S ) kurag dari harga eksekusi (K)..3. Nilai waktu Nilai waktu adalah selisih atara ilai itrisik dega harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah ilai yag wajar dari suatu opsi yag ditetuka oleh pasar kompetitif yag dibayarka oleh pembeli opsi pada saat kotrak dibuat. Opsi Eropa

21 tidak mempuyai ilai waktu karea eksekusi dilaksaaka haya saat waktu jatuh tempo..4 ipe Opsi erdapat dua tipe opsi yag palig medasar, yaitu opsi call da opsi put. Suatu opsi call memberika hak kepada pemegagya utuk membeli suatu aset tertetu dega jumlah tertetu pada harga yag telah ditetuka (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Sedagka opsi put memberika hak kepada pembeli utuk mejual suatu aset tertetu dega jumlah tertetu pada harga yag telah ditetuka sampai waktu jatuh tempo. Dalam kotrak opsi call tersebut ada empat hal utama: Harga aset yag medasari yag aka dibeli Jumlah aset yag medasari yag dapat dibeli 3 Harga eksekusi aset yag medasari 4 aggal berakhirya hak membeli, atau disebut dega expiratio date. Pada kotrak opsi put empat hal tersebut hampir sama dega yag tertuag dalam opsi call. rasaksi opsi aka terkait dega pelaksaaa hak. Berdasarka waktu pelaksaaaya opsi dibagi mejadi dua, yaitu opsi Eropa da opsi Amerika. Misalka harga awal (pada saat disetujui kotrak) adalah S, waktu jatuh tempo da harga eksekusi (harga yag ditetapka pada saat jatuh tempo) adalah K, serta c c t, S meyataka harga opsi call Eropa, da p p t, S meyataka harga opsi put Eropa. Nilai itrisik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliska sebagai suatu payoff atau peerimaa bagi pemegag kotrak opsi, yaitu c max S K,0. 6 Jika S K, opsi dikataka dalam keadaa i the moey. Pemegag opsi aka megeksekusi opsi call, yaitu dega mejual saham dega harga besar dari K, da aka medapatka hasil sejumlah S K. Jika S dikataka dalam keadaa at the moey. Sedagka apabila S S yag lebih K opsi call K opsi call dikataka dalam keadaa out of the moey. Kodisi payoff dari opsi put Eropa adalah

22 7 Jika S p max K S,0. K, opsi tidak berilai sehigga pemegag opsi tidak megguaka hakya. Hubuga atara harga opsi call Eropa dega put Eropa yag dikeal dega put call parity, dapat diyataka sebagai berikut: r c Ke p S dega r meyataka suku buga bebas risiko. Apabila C C t, S meyataka harga opsi call Amerika da P P t, S meyataka harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity utuk call adalah: Sedagka utuk opsi put C max S K,0. P max K S,0..5 Keutuga Opsi Dega melaksaaka perdagaga opsi, aka dapat diperoleh beberapa mafaat: Maajeme risiko: peerbit dari put atas suatu aset yag medasari dapat melakuka hedgig, yaitu berivestasi pada suatu aset utuk meguragi risiko portofolio keseluruha. Hal ii dilakuka bila harga aset yag medasariya turu drastis secara tiba-tiba, sehigga dapat meghidari risiko kerugia. Memberika waktu yag fleksibel: utuk opsi tipe Amerika, maka pemegag opsi call maupu opsi put dapat meetuka apakah aka melaksaaka hakya atau tidak higga masa jatuh tempo. 3 Meyediaka saraa spekulasi: para ivestor dapat memperoleh keutuga jika dapat meetuka dega tepat kapa membeli opsi put atau call. Apabila diperkiraka harga aik maka aka membeli opsi call, da sebalikya bila harga cederug turu maka aka membeli opsi put. 4 Diversifikasi: dega melakuka perdagaga opsi dapat memberika kesempata kepada ivestor utuk melakuka diversifikasi portofolio utuk tujua memperkecil risiko ivestasi portofolio.

23 8 5 Peambaha pedapata: perusahaa yag meerbitka saham aka memperoleh tambaha pemasuka apabila meerbitka opsi, yaitu berupa premi dari opsi tersebut..6 Faktor-Faktor yag Mempegaruhi Harga Opsi.6. Harga aset yag medasari da harga eksekusi Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yag aka datag, pembayaraya sebesar selisih atara harga aset yag medasari da harga eksekusi. Suatu opsi call aka mejadi lebih berilai jika harga aset yag medasariya meigkat da kurag berilai jika harga eksekusi meigkat. Semetara pada opsi put, pembayara atas eksekusi hak sebesar selisih atara harga eksekusi da harga aset yag medasariya..6. aggal jatuh tempo Utuk tipe Amerika, dari kedua macam opsi baik opsi call maupu opsi put mejadi lebih berharga jika jatuh tempoya semaki meigkat. Semetara utuk tipe Eropa ilai terhadap opsi baik call mupu put tidak terpegaruh dega jatuh tempo, hal ii berkeaa dega waktu eksekusi hak..6.3 Volatilitas Volatilitas atas aset yag medasari adalah sebuah ukura tigkat ketidakpastia megeai pergeraka aset yag medasari tersebut di masa datag. Jika volatilitas semaki meigkat maka aka semaki meigkat pula peluag aset yag medasari utuk megalami peigkata atau peurua. Pemilik dari suatu opsi call memperoleh mafaat dari keaika harga tetapi dibatasi oleh risiko peurua harga. Begitu pula bagi pemegag opsi put yag memperoleh mafaat dari peurua harga tetapi dibatasi oleh risiko keaika harga..6.4 Suku Buga Bebas Risiko (Risk free iterest rate) Suku buga bebas risiko mempegaruhi harga suatu opsi. Jika tigkat suku buga dalam perekoomia megalami keaika aka mempegaruhi harapa keaika harga aset yag medasari (dalam hal ii saham). Dega megasumsika bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put aka meuru jika suku buga bebas risiko megalami peigkata. Begitu pula sebalikya, harga opsi call aka selalu meigkat seirig dega peigkata suku buga bebas risiko.

24 .6.5 Divide Divide yag diharapka selama opsi masih berlaku aka mempuyai pegaruh terhadap peguraga harga aset yag medasari pada taggal pembagia divide. aggal pembagia divide dapat memberika setime egatif bagi ilai opsi call, tetapi baik utuk meigkatka ilai opsi put..7 Persamaa Black-Scholes Fischer Black da Myro Scholes dalam merumuska ilai suatu opsi medasarka pada beberapa asumsi, yaitu: Harga dari aset yag medasari megikuti proses Wieer yag mempuyai fugsi kepekata peluag logormal. idak ada biaya trasaksi da pajak. 3 idak ada pembayara divide selama opsi berlaku. 4 idak terdapat peluag arbitrage. 5 Perdagaga dari aset yag medasari bersifat kotiu. 6 Short sellig diijika. 7 Suku buga bebas risiko r adalah kosta da sama utuk semua waktu jatuh tempo. Utuk memodelka Persamaa Black-Scholes, didefiisika atau ditetuka beberapa istilah, yaitu: Defiisi. (Proses Stokastik) Proses stokastik X X t, t H adalah suatu koleksi (himpua) dari peubah 9 acak. Utuk setiap t pada himpua ideks H, X t adalah suatu peubah acak da t serig diiterpretasika sebagai waktu (Ross 996). Defiisi. (Gerak Brow) Proses stokastik X X t, t H disebut proses gerak Brow jika: X 0 0. Utuk 0 t t t peubah acak X ti X ti, i,,3,..., salig bebas.

25 0 3 Utuk setiap t 0, X t berdistribusi ormal dega rataa 0 da varia t (Ross 996). Defiisi.3 (Gerak Brow Geometris) Jika X t, t 0 adalah gerak Brow, maka proses stokastik Z t, t 0 yag didefiisika X t Z t e disebut gerak Brow geometris (Ross 996). Defiisi.4 (Proses Wieer) Proses Wieer adalah Gerak Brow dega rataa 0 da variasi (Niwiga 005). Defiisi.5 (Proses Wieer Umum) Proses Wieer Umum utuk suatu peubah acak X dapat diyataka sebagai berikut (Hull 003): dx t a dt b dw ( t ) (.) adt disebut sebagai kompoe determiistik da b dw ( t) stokastik, serta W( t) meyataka rataa da stadar deviasi dari X. Defiisi.6 (Proses Ito ) meyataka kompoe adalah proses Wieer, sedagka a da b masig-masig Proses Ito adalah proses Wieer umum dega a da b meyataka suatu fugsi dari peubah acak X da waktu t. Proses Ito dapat diyataka sebagai berikut (Hull 003): dx t a X t, t dt b X t, t dw t (.) Lema. (Lema Ito ) Misalka proses X t memeuhi persamaa (.) da fugsi Y t f X t, t adalah kotiu serta turua-turua ft X t, t, f X X t, t, f XX X t, t kotiu, maka Y t f X t, t memeuhi persamaa berikut (Gihma 97): dy t ft X t, t dt f X X t, t dx t f XX X t, t dx t, (.3) dega

26 da f, f t X, f XX f f f t X X dt dw t dt dt dw t 0, dw t dt Defiisi.7 (Model Harga Saham) Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter kosta yag meyataka tigkat rata-rata pertumbuha harga saham da model dari perubaha harga saham, yaitu (Hull 003): volatilitas harga saham, maka ds t S t dt S t dw t. (.4) Berdasarka ketetua-ketetua di atas aka dituruka persamaa Black- Scholes. Misalka X(t) megikuti proses Wieer umum, yaitu persamaa (.). Persamaa ii dapat dikembagka mejadi (.). Selajutya aka ditetuka model dari proses harga saham S. Diasumsika bahwa tidak terjadi pembayara divide pada saham. Misalka S(t) adalah harga saham pada waktu t. Megigat proses Ito, perubaha S(t) aka memiliki ilai harapa drift rate S. Parameter meyataka tigkat rata-rata pertumbuha harga saham da S t dt disebut kompoe determiistik. Karea harga saham juga dipegaruhi oleh faktor ketidakpastia maka kompoe stokastikya adalah S t dw t, dega meyataka volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham megidikasika tigkat risiko dari harga saham. Dega demikia model dari harga saham adalah berbetuk (.4), yaitu: ds t S t dt S t dw t. Dega (.4) ii, dapat diterapka lema Ito utuk suatu fugsi V(t,S), yaitu ilai opsi dega harga saham S pada waktu t, sehigga diperoleh: V V V V dv S S dt S dw t S t S S. (.5) Utuk meghilagka proses Wieer dipilih sebuah portofolio yag diivestasika pada saham da derivatif. Strategi yag dipilih adalah membeli satu opsi da mejual V saham. Misalka S adalah ilai portofolio yag didefiisika oleh

27 V V S. (.6) S Perubaha portofolio pada selag waktu dt didefiisika sebagai V d dv ds. S Dega mesubstitusika persamaa (.3) da (.5) ke dalam (.7) diperoleh (.7) V t V S d S dt. (.8) (lihat lampira ) Retur dari ivestasi sebesar pertumbuha sebesar r dt dalam selag waktu dt. pada saham tak berisiko aka memiliki Agar tidak terdapat peluag arbitrage, ilai pertumbuha ii harus sama dega ruas kaa dari (.8), yaitu: V t V S r dt S dt. (.9) Substitusi Persamaa (.6) ke dalam (.9), meghasilka V V V t t S rv rs dt S dt V V V S rs rv 0. (.0) S S t Persamaa (.0) ii dikeal sebagai Persamaa Black-Scholes...8 Formulasi Harga Black-Scholes Hull (003) meujukka bahwa salah satu cara utuk meetuka solusi aalitik persamaa Black-Scholes, yag merupaka harga opsi da disebut formula Black-scholes, adalah dega megguaka pedekata peilaia risiko etral. Utuk sebuah opsi call Eropa, ilai harapa payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah Eˆ max S K,0.. Didefiisika g(s ) adalah fugsi kepekata peluag dari S, maka (.) E ˆ max S K,0 S K g S ds. (.) K

28 3 G G G Misalka G l S, maka, da 0. Berdasarka Lema Ito S S S S t diperoleh G S S 0 S S dt S dz S dt dz. Karea da kosta maka G l S megikuti gerak Brow dega rataa da variasi. Berdasarka Persamaa (.3), ds merupaka tigkat pegembalia dari harga S saham. Betuk pegembalia dari harga saham yag dapat diprediksi da bersifat determiistik adalah dt. Sebagai cotoh dari pegembalia yag bersifat determiistik adalah pegembalia dari sejumlah daa yag diivestasika di bak yag bersifat bebas risiko. Karea bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikataka sebagai tigkat suku buga r, sehigga kostata digati dega r. Karea dapat G l S berubah dari 0 sampai dega da G l S megikuti gerak Brow, maka l S berdistribusi ormal dega rataa da variasi. Misalka pada waktu t 0 ilai G l S0 da pada waktu ilai G l S, r maka pada selag waktu 0 sampai dega, l S l S0 adalah berdistribusi ormal dega rataa da varia seperti di atas, sehigga diperoleh: l S l S0 ~ N r, atau dapat dituliska l S berdistribusi ormal dega l S ~ N l S r, 0. Dega demikia l S berdistribusi ormal dega rataa

29 4 m l S 0 r da stadar deviasi s. (.3) Selajutya didefiisika juga sebuah peubah Q dega l S Q = m. (.4) Substitusi m dari Persamaa (.3) ke dalam Persamaa (.4) diperoleh Q l S l S 0 r, maka peubah Q juga berdistribusi ormal dega rataa 0 da stadar deviasi, da fugsi kepekata peluag dari Q diyataka dega h(q), yaitu (lihat lampira ) / h Q e Q. (.5) Persamaa (.4) diyataka mejadi S e Q m. (.6) Perubaha batas itegral pada sisi kaa dari persamaa (.), dari itegral meurut S mejadi itegral meurut Q adalah sebagai berikut: Jika S, maka Q =. Jika S K maka K = Q m e sehigga Q = Dega megguaka persamaa (.5), (.6), misalka s =, l K m. maka Persamaa (.) mejadi: perubaha batas itegral da Eˆ max S K,0 l K e Qs m / s m K h Q dq = e Qs m h( Q) dq K h( Q) dq (l K m) / s (l K m) / s = (l K m) / s e Qs m e Q / dq K (l K h( Q) dq m) / s

30 5 = (l K m) / s e ( Q Qs m) / dq K (l K h( Q) dq m) / s = (l K m) / s e ( ( Q s) s m) / dq K (l K h( Q) dq m) / s = (l K m) / s e m s / e ( ( Q s) ) / dq K (l K h( Q) dq m) / s = (l K e m s / m) / s h( Q s) dq K h( Q) dq, (l K m) / s sehigga persamaa (.) dapat diyataka dega Eˆ max S K,0 = (l K e m s / m) / s h( Q s) dq K h( Q) dq. (.7) (l K m) / s Jika N(x) meyataka otasi dari fugsi distribusi ormal baku kumulatif maka (l K e m s / m) / s h( Q m / s) dq = e [ N[(l K m) / s s]] = m / e [ N[( l K m) / s s]]. Peubah m pada ruas kaa yag terdapat dalam tada kurug siku persamaa di atas disubstitusi dega Persamaa (.3) da s =, maka diperoleh (l K m) / s e m s / h( Q s) dq e m / N l K l S 0 r / / 0 m e N l S / K r / / m e N l S0 / K r / e m / N d, dega d l S0 / K r /. Dega alasa yag serupa di atas, maka

31 6 K h( Q) dq K N (l K m)/ s l K s m l K m KN s Dega mesubstitusika m da s pada persamaa (.3) ke dalam persamaa di atas diperoleh K h( Q) dq KN l K l S0 r / (l K m)/ s KN l S0 / K r / = KN d, dega d l S0 / K r /, sehigga Persamaa (.) mejadi m / Ê [max(s K, 0)] e N d KN d e l S 0 r / / N d d KN = 0e N d KN d S r. (.8) Berdasarka argumetasi peilaia risiko etral, harga opsi call Eropa yag dilambagka dega c adalah ilai harapa yag didisko pada suku buga bebas risiko yag dapat diyataka sebagai c e r Eˆ max S K,0. (.9) Dega substitusi Persamaa (.8) da (.9) diperoleh formula Black- Scholes utuk opsi call Eropa tapa membayarka divide pada saat kotrak opsi dibuat, yaitu c dega S r 0 N d Ke N d d l S0 / K r / da. (.0)

32 7 d /.9 Pegertia Model Biomial l S0 / K r d. Model biomial adalah suatu betuk cara peetua harga opsi, yag megasumsika bahwa sebuah saham haya bisa memiliki dua ilai yag mugki pada saat kadaluwarsa opsi. Saham tersebut mugki meigkat (up) higga harga tertiggi atau turu (dow) higga harga teredah (Bodie 997). Meskipu tampakya merupaka peyederhaaa yag berlebiha, tetapi cara ii memugkika utuk lebih dekat memahami model-model yag lebih rumit da realistik..0 Rasio Lidug Nilai (Hedge Ratio) Rasio lidug ilai adalah perbadiga dari pergeraka yag mugki dari ilai opsi da saham pada akhir periode. Rasio itu adalah dega cu c us u cd ds 0 0 da cd (.) adalah ilai opsi yag megacu saat harga saham aik atau turu, sedagka us0 da ds0 merupaka harga saham dalam dua kodisi setelah terjadi perubaha aik atau turu. Jika ivestor meerbitka satu opsi da memegag lembar saham, maka ilai portofolio tidak aka dipegaruhi oleh harga saham akhir. Portofolio itu serig disebut portofolio bebas risiko ( riskless portofolio).. Model Biomial dega Suku Buga Diskret Perhituga ilai opsi call Eropa megguaka metode biomial dega suku buga diskret, dega lagkah-lagkah sebagai berikut: Defiisika proses harga saham, yaitu diberika harga sekarag saat maka harga saham pada saat aka bergerak aik dega faktor u bergerak turu dega faktor d dega d u. Jika c S S S ( u) S, u ( d ) S, u meyataka ilai opsi call pada waktu, maka: atau aka

33 8 c maks{0,( u) S K}, u c Pada waktu c maks{0,( d ) S K}, d dapat dibetuk portofolio leverage yag terdiri atas saham S da obligasi sebesar B yag aka memberika payoff yag sama seperti payoff opsi call pada waktu : S B ( u) S ( r) B ( d) S ( r) B Dega meyamaka payoff dari opsi call da payoff dari portofolio leverage pada waktu diperoleh: ( u) S ( r) B c (.), u ( d ) S ( r) B c. (.3), d Setelah diselesaika sistem persamaa liier diperoleh: B dega c c, u, d ( u d) S ( u) c ( d) c, d, u ( u d)( r) pada (.) da (.3) di atas (.4) (.5) meyataka rasio lidug ilai, artiya utuk membetuk portofolio yag bebas risiko maka diperluka perbadiga, yaitu sejumlah call. saham da satu opsi Lagkah selajutya, jika pada waktu, opsi call da portofolio leverage memberika payoff yag sama, maka pada harus memiliki ilai yag sama pula. Maka substitusika persamaa (.4) da (.5) dalam persamaa berikut, diperoleh c S B c c ( u) c ( d) c S ( u d) S ( u d)( r), u, d, d, u ( r d) c ( u r) c, u, d ( u d)( r). (.6)

34 9 r d Dega mesubstitusika p u d, da u r p u d diperoleh c pc ( p) c, u, d ( r) (.7) Dega cara yag sama bisa dituruka ilai opsi call Eropa dega metode biomial periode, 3 periode da periode yaitu c c p c p( p) c ( p) c, uu, ud, dd ( r) p c 3 p ( p) c 3 p( p) c ( p) c 3 3, uuu, uud, udd, ddd 3 3 ( r) (.8) (.9) c j 0 p ( p ) ( S K ) j j j ( r) (.30). Model Biomial Dega Suku Buga Kotiu Perhituga ilai opsi call Eropa megguaka metode biomial dega suku buga kotiu, dega lagkah-lagkah sebagai berikut: Defiisika proses harga saham, yaitu diberika harga sekarag saat maka harga saham pada saat aka aik dega faktor keaika u da aka turu dega faktor peurua d dega d u, demikia juga terhadap ilai opsiya yaitu dari f mejadi f da u fd S0 S0u S0d dega S0 merupaka harga saham saat waktu f f, u fu fd da fd adalah harga opsi pada waktu yag didefiisika sebagai fu maks(0, S0u K) da f maks(0, S d K) dega K merupaka harga eksekusi pada waktu. d 0 Portofolio yag dibetuk adalah posisi log utuk sejumlah short utuk satu opsi call S0 f S0u fu S0d fd saham da posisi

35 0 Portofolio aka mejadi bebas risiko ketika S0u f S0 d f, sehigga diperoleh ilai fu S u fd S d 0 0. (.3) Nilai portofolio pada waktu adalah S0u f u, sehigga ilai portofolio pada saat r ii merupaka preset value dari S0u fu yaitu ( S0u fu ) e, dega r adalah suku buga bebas risiko. Ekspresi lai dari portofolio pada saat ii adalah S0 membadigka di atara dua peryataa di atas diperoleh u d f. Sehigga dega S f ( S u f ) e 0 0 u r r f S0 ( S0u fu ) e.. Substitusika ilai pada persamaa (.3) f f f f f S ( S u fu ) e S u S d S u S d u u u u r (.3) r r e d e d f fu ( ) fd e u d u d r dega r f pf ( p) f e (.33) p risiko etral. u r e u d d d da utuk pembahasa selajutya p disebut sebagai peluag Dega lagkah-lagkah yag dilakuka seperti di atas, utuk metode biomial dega dua periode, diperoleh dega r t f pf ( p) f e (.34) u uu ud r t f pf ( p) f e (.35) d du dd r f pf ( p) f e (.36) p u r t e u d d d Substitusika persamaa (.34) da (.35) ke dalam (.36) diperoleh harga opsi call dega model biomial dua periode adalah f p f p( p) f ( p) f e. (.37) r t uu ud dd

36 Utuk peetua harga opsi call dega metode biomial tiga periode dirumuska f p f 3 p ( p) f 3 p ( p) f ( p) f e. (.38) r t uuu uud udd ddd Sehigga utuk periode pada metode biomial dega waktu kotiu diperoleh f p ( p) ( S ) j 0 K e j dega j j r t t.3 Kekovergea. (.39) Utuk melihat kembali tetag kekovergea, maka aka diberika beberapa defiisi yag berkaita dega barisa da limit sebagai berikut (Purcell 997): Defiisi.8 (Barisa Bilaga Real) Barisa bilaga real adalah suatu fugsi dari N ke R. Misalka X : N R adalah suatu barisa bilaga real dega X ( ) x N. x disebut suku ke- dari barisa X. Barisa X bisa dilambagka dega X { x } = { x } ={ x }. (.40) = N Defiisi.9 (Limit Barisa) Misalka { x } = adalah barisa bilaga real. Barisa { x } = dikataka mempuyai limit L R utuk meuju tak higga, jika 0, 0 ( ) N, sehigga x L,. (.4) 0 Barisa { x } =mempuyai limit L, dituliska dega lambig lim x L Defiisi.0 (Barisa Koverge) Jika barisa bilaga real { x } = mempuyai limit L, maka barisa { x } = dikataka koverge ke L

37 III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL 3. Model Kotiu da Model Diskret Perkembaga Harga Saham Saham merupaka aset fiasial yag ilaiya berubah-ubah megikuti harga pasar, sehigga dalam jagka waktu tertetu harga saham dapat megalami keaika maupu peurua atau bahka tidak megalami perubaha harga. Jadi perubaha harga saham dipegaruhi oleh perubaha waktu da dipegaruhi pula oleh peubahpeubah peggaggu yag berupa peubah acak yag megikuti gerak Brow. Perubaha harga saham tersebut dapat dimodelka sebagai berikut: ds S dt S dw (3.) dega: S : harga saham : tigkat harapa pedapata dt W : volatilitas dari harga saham : periode waktu : peubah acak dega drift rate 0 da variace rate, serta megikuti gerak Brow (Hull 003). Perkembaga harga saham ditijau dari sisi waktu terdiri atas dua macam, yaitu model diskret da model kotiu. Dari model harga saham itu, aka ditetuka ilai suatu aset turuaya, di ataraya adalah opsi call yag mempuyai harga eksekusi K da waktu jatuh tempo. Suatu portofolio lidug ilai yag didefiisika pada (.6) yag memuat aset S da sejumlah pijama tapa risiko pada suku buga r dibetuk utuk mereplikasi ilai dari suatu opsi pada setiap titik waktu t. Dega syarat tapa adaya arbitrase, portofolio itu Scholes utuk fugsi c( t, S) yaitu c c c rs S rc t S S bersesuaia dega persamaa diferesial Black- (3.) Solusi dari persamaa diferesial (PD) dega batas f : x ( x K) merupaka fugsi payoff yag diberika oleh formula opsi Black-Scholes c( t, S) S N( d ) K e N( d ) dega r

38 3 d dega N (.) S K r l( / ) ( ), / (3.3) adalah fugsi distribusi ormal baku. Sesuai dega Harriso da Pliska (98) maka ilai dari c( t, S) merupaka preset value dari ilai opsi pada waktu yag dapat dituliska sebagai c( t, S) : e r E([ f ( S )]. (3.4) Solusi di atas apabila diselesaika dega model biomial memerluka beberapa peyesuaia, yaitu perkembaga harga saham pada iterval waktu (0, ) aka dibuat mejadi sub-sub iterval yag lebih kecil. Misalka diberika ruag peluag (, F, P), da suatu bilaga yag meyataka waktu perdagaga, di maa perdagaga saham haya terjadi pada waktu ti (0 t0, t,..., t ) dega ti ti t, ( i 0,,..., ). Pedapata dalam satu periode R, i (i=,..., ) dimodelka oleh dua variabel acak biomial yag iid (idepedet idetically distributed) pada ruag peluag (, F, P) R, i dega u dega peluag p d dega peluag p q (3.5) dega u meyataka faktor keaika harga saham da d meyataka faktor peurua harga saham. Sehigga utuk semua k 0,..., perkembaga aset diskret pada waktu t k diyataka oleh S S R. (3.6), k 0, i i k Deskripsi dari pedapata satu periode perdagaga telah meggambarka perkembaga harga aset diskret S secara keseluruha. Selajutya barisa terbatas dari R ( R, i ) i,..., disebut sebagai lattice (tree). Sedagka pemberia ilai tertetu terhadap parameter r,, S0 da t utuk masig-masig perbaika disebut sebagai pedekata lattice.

39 4 Beberapa pedekata lattice yag berbeda telah memperhitugka argumetasi risiko etral seperti yag disampaika oleh Harriso da Pliska (98) yag meujukka bahwa harapa pedapata satu periode E[ R,] harus sama dega pedapata satu periode dari obligasi bebas risiko r exp{ r t }. Cox, Ross da Rubistei, Jarrow da Rudd da ia telah merumuska beberapa defiisi alteratif dari parameter tree yag haya bersadar pada peetua faktor keaika da faktor peurua harga aset, yag tertuag dalam tabel berikut abel 3. Defiisi alteratif dari parameter tree pada pedekata lattice oleh model CRR, model JR da model ia. CRR JR ia u d exp exp u d exp exp ' r ' ' / / r v u v v v / ( 3) r v d v v v r v / ( 3) Keteraga: CRR : Model yag disampaika oleh Cox, Ross da Rubistei JR : Model yag disampaika oleh Jarrow da Rudd ia : Model yag disampaika oleh ia. Substitusi parameter pada tabel 3. ke dalam persamaa 3.8 diperoleh ilai opsi call dega metode biomial utuk masig-masig model. Metode biomial tersebut utuk kali yag pertama disampaika oleh Cox, Ross da Rubistei yag meyataka bahwa harga opsi pada t = 0 merupaka preset value dari ilai harapa harga opsi pada t = yag diyataka sebagai 0 0, 0 exp exp c (0 t, S ) r E[ f ( S ) S ] (3.7) r r p ( p ) [ S K] j j, j 0 j (3.8) da meurut Leise da Reimer (996) persamaa (3.8) ekivale dega dega c t S S a p K r a p (3.9) ' (0 0, 0) 0 [ ;, ] [ ;, ]

40 5 ( r d ) u l( K / S ) l d p, p p, a= ' 0 ( u d) r l u l d da (.) meyataka fugsi distribusi biomial. Formula (3.7), (3.8), da (3.9) merupaka suatu pedekata terhadap formula Black-Scholes pada (3.3). Pedekata ii diperoleh dega diskretisasi waktu terhadap perkembaga harga saham pada (3.). sehigga secara implisit meggambarka perkembaga harga opsi melalui argumetasi replikasi backward. 3. Uji Kekovergea Model Biomial Semua pedekata lattice disusu sedemikia sehigga S, koverge ke S. Selajutya ditetuka rata-rata serta varia dari l, S, yaitu ˆ, ˆ da rata-rata serta varia dari l S adalah t, t. Meurut Leise da Reimer (996), dega teorema limit pusat da syarat batas Liapuov telah memberika jamia terhadap kekovergea masalah berikut. ˆ (3.0) ˆ (3.) k E (l R ˆ), k ( ˆ ) (3.) Ketiga model (CRR, JR da ia) koverge lemah pada akhir periodeya. etapi dalam peelitia ii haya aka memfokuska pada perilaku da kecepata kekovergeaya. Gambar 3., 3., da 3.3 memperlihatka suatu pola tertetu dari perubaha harga opsi yag diperoleh dari beberapa refiemet tree yag berbeda. Garis lurus horizotal meujukka solusi Black-Scholes. Utuk peghituga dega metode biomial, hasil dari setiap refiemet dihubugka dega garis yag meggambarka perubaha hasil. Dari ketiga model di atas ditemuka suatu pola khusus yaitu perkembaga harga opsi berosilasi da bergelombag. Lebih jauh digambarka bahwa iterval dega peguraga error diikuti oleh iterval dega peigkata error kembali. Pada suatu refiemet tertetu dari harga opsi selalu

41 6 berada di atas solusi Black-Scholes tetapi utuk yag cukup besar, solusi dega metode biomial aka koverge ke solusi Black-Scholes. Gambar 3., 3., da 3.3 adalah grafik yag meujukka pola kekovergea dari model CRR, JR da ia utuk suatu piliha parameter: S 00, K 0,, r 0.05, 0.3, 0,...,00. Gambar 3. Grafik pola kekovergea model CRR Gambar 3. Grafik pola kekovergea model JR Gambar 3.3 Grafik pola kekovergea model ia

42 7 Barisa dari ( u ) da ( d ) aka koverge ke satu dega bertambahya refiemet, demikia pula utuk perubaha S, aka medekati saham awalya. Posisi harga akhir opsi seatiasa bersilaga dega jarak yag semaki kecil. Sebagai hasilya, peghituga harga opsi berosilasi da bergelombag koverge ke solusi Black-Scholes. Pola kekovergea yag ada pada semua model biomial dega piliha parameter acak dapat ditujukka dega ilai distribusi error. Nilai itu diperoleh dega cara membadigka atara solusi formula Black-Scholes dega solusi dari perluasa barisa R ( R, i ) i,..., utuk setiap model biomialya. Utuk melihat kecepata kekovergea, maka diambil satu barisa lattice tertetu, di maa harga yag diperoleh dari model diskret da model kotiu tidak sama, maka aka terdapat error e c(0, S0) c (0, S 0). Dega teorema limit pusat diperoleh lim e 0, yag berarti bahwa harga yag dihitug oleh barisa lattice koverge ke solusi Black-Scholes. Gambar 3.4, 3.5 da 3.6 adalah grafik yag meujukka error dari setiap ilai perbaika beserta batas error yag digambarka dega garis lurus pada model CRR, JR da ia. Sumbu-x da sumbu-y digambarka dega skala log. Cotoh utuk suatu piliha parameter berikut: S 00, K 0,, r 0.05, 0.3, 0,...,00 Gambar 3.4 Grafik error da batas error utuk model CRR

43 8 Gambar 3.5 Grafik error da batas error utuk model JR Gambar 3.6 Grafik error da batas error utuk model ia Dalam kaita dega pola gelombag pada perilaku kekovergea, maka aka dideskripsika suatu pedekata kecepata secara formal, yag megguaka batas atas utuk error e. Utuk ii diguaka kosep matematika kekovergea. Utuk mejelaska masalah tersebut diperluka berikut. Defiisi 3. derajat pedefiisia Misalka f : x ( x K) adalah fugsi payoff opsi call Eropa. Suatu barisa lattice koverge berderajat 0, jika ada suatu kostata 0 sedemikia sehigga N :. e Suatu pedekata lattice koverge dega derajat (3.3) 0, jika utuk semua S,,,, 0 K r barisa khusus dari lattice koverge dega derajat 0. Derajat kekovergea selalu lebih besar dari ol. Semaki tiggi derajatya berarti semaki cepat kekovergeaya. Kosep teoritis utuk derajat

44 9 kekovergea tidak tuggal, artiya pedekata lattice dega derajat juga mempuyai derajat. Derajat kekovergea sagat mudah diamati pada simulasi, yaitu dega meggambarka error e terhadap perbaika pada skala log-log. Karea log / log log, maka fugsi batas / mejadi garis lurus dega gradie seirig dega perubaha. Garis lurus pada gambar 3.4, 3.5 da 3.6 miimal melalui satu titik dari ilai error-ya. Nilai log pada 0 meggambarka letak suatu titik pada sumbu log e yag berpotoga dega garis yag bergradie. Nilai log utuk masig-masig model di atas utuk = 0 adalah: model CRR = 0.48, JR = da ia = Sebagai cotoh ilustrasi, pada gambar 3.4, 3.5, da 3.6 ditujukka bahwa model CRR, JR da ia koverge berderajat satu karea garis batas utuk e bergradie satu. Utuk memeriksa kriteria yag lebih spesifik pada peetua derajat kekovergea utuk pedekata lattice tertetu diberika defiisi berikut. Defiisi 3. Utuk suatu barisa lattice ( R ) da utuk semua N maka,, N m : E[ R ] E[ R ] (3.4) m : E[( R ) ] E[( R ) ] (3.5),, m : E[( R ) ] E[( R ) ] (3.6) 3 3 3,, disebut mome da p E R R (3.7) 3 : [(l, )(, ) ] disebut mome semu. Utuk sebarag N diotasika R ( R ) N sebagai pedapata kotiu atara waktu ti da t i, yag merupaka varibel acak iid pada ruag peluag (, F, P) sedemikia sehigga S S R k 0, i 0,...,. tk k i Mome sebagaimaa pada defiisi merupaka geeralisasi dari mome per periode. Mome per periode pada pedekata diskret tidak sama dega mome per periode pada pedekata kotiu sehigga megakibatka adaya error.

45 30 Implikasi dari persamaa (3.0), (3.) da (3.) adalah mome m, m da m aka koverge ke ol. Sedagka dari simulasi diperoleh bahwa 3 tiga pedekata lattice yag telah didefiisika di atas koverge sagat lemah. Suatu pedekata lattice koverge dega derajat 0 aka berimplikasi pada kekovergea harga opsi. Aka tetapi, kekovergea harga opsi tidak memberika iformasi tetag derajat kekovergea. Semetara kekovergea yag sesuai dega mome tidak cukup mejami kekovergea opsi. Pada pembahasa ii aka ditetapka suatu formula lai utuk meetuka kekovergea harga opsi. eorema 3. Misalka ( R ) N barisa lattice da m, m, p masig-masig adalah mome 3 (semu). Derajat kekovergea ( R ) N merupaka derajat palig kecil yag dimuat dalam m, m da p dikuragi, tetapi tidak lebih kecil dari pada. 3 Pembuktia teorema 3. ada pada Leise (996). Persepsi lai dari teorema di atas meyataka bahwa derajat kekovergea dari ( R ) N palig sedikit. Sehigga derajat kekovergea yag dimiliki oleh mome semu harus lebih dari satu. Selajutya agar memberika kriteria yag lebih spesifik utuk membadigka model yag titik perhatiaya pada kecepata kekovergea, maka diberika proposisi berikut. Proposisi 3. Pedekata lattice yag disampaika Cox, Ross da Rubistei (979) koverge dega derajat. Proposisi 3. Pedekata lattice yag disampaika Jarrow da Rudd (983) koverge dega derajat. Proposisi 3.3 Pedekata lattice yag disampaika ia (993) koverge dega derajat. Pembuktia proposisi 3., 3., da 3.3 ada pada Leise (996). Pada gambar 3.7, 3.8 da 3.9 ditujukka pegguaa simulasi dari pedekata lattice CRR, JR, da ia. Bagia kiri meujukka error dega pola gelombag tertetu. Bagia kaa meggambarka mome semu. Utuk semua

46 3 model, tigkah laku kekovergea dari mome semu sagat halus da berbadig lurus dega barisa (/ ) artiya mome tersebut berderajat dua. Ketiga model tidak ditemuka suatu perbedaa yag yata. Namu demikia derajat kekovergea mome semu dapat disimpulka secara mudah lewat simulasi. Meurut teorema 3. terdapat kekovergea harga berderajat satu. Perbadiga tigkah laku kekovergea pada sisi kiri da kaa pada setiap gambar, tercatat bahwa derajat kekovergea harga opsi melalui mome semu lebih mudah diamati dari pada melalui gambar error-ya. Gambar 3.7, 3.8 da 3.9 adalah grafik yag merupaka ilustrasi dari proposisi 3., 3., da 3.3, yag meyataka perbadiga derajat kekovergea dari model CRR, JR da ia dega derajat kekovergea pada momeya, yag diuji utuk piliha parameter yag berbeda. Gambar 3.7 Grafik ilustrasi proposisi 3. dega piliha parameter berikut: S 00, K 90,, r 0.05, 0.3, 0,...,000 Gambar 3.8 Grafik ilustrasi proposisi 3. dega piliha parameter berikut: S 00, K 0,, r 0.05, 0.3, 0,...,000

47 3 Gambar 3.9 Grafik ilustrasi proposisi 3.3 dega piliha parameter berikut: S 00, K 00,, r 0.05, 0.3, 0,...,000. Gambar 3.7, 3.8,, da 3.9 meujukka bahwa model CRR, JR, da ia koverge berderajat satu sebab mome kedua, mome ketiga da mome semu masig-masig model koverge berderajat dua. Hal tersebut sesuai dega peryataa pada eorema Model Biomial dega Perbaika Sifat-Sifat kekovergea Sebelumya telah dipelajari pegujia perilaku da kecepata kekovergea dega pedekata lattice. Secara umum defiisi da teorema utuk pegukura derajat kekovergea telah dibagkitka. Aplikasi teorema tersebut terhadap model CRR, JR, da ia tidak meujukka adaya perbedaa yag sigifika pada kekovergea ke solusi Black-Scholes. Kostruksi perbaika dega pedekata tree dilakuka utuk meghitug harga opsi agar diperoleh kekovergea yag besar. kecepata Pada dasarya, kekovergea tidak dapat dicapai dega dua titik peubah acak. Selajutya yag mugki diguaka adalah sifatsifat struktur lai dari opsiya. Metode ii dikataka sebagai perluasa pedekata lattice, utuk memberika peekaa perbedaa terhadap pedekata lattice yag biasa. CRR meujukka kekovergea dari model-model tersebut pada formula Black-Scholes dega pegujia biomial secara terpisah pada (3.9). Hal yag sama utuk peilaia opsi call Eropa dapat digambarka sebagai dua pedekata dari tipe ( a;, p) N ( z ). Pedekata ii diguaka sebagai awal perbaika. Peghituga peluag biomial sagat sulit karea melibatka peghituga beberapa faktorial dari bilaga bulat yag besar atau pejumlaha