4/6/9 Galat (error) Uji Hipotesis H ditolak H benar H salah a P(menolak H H benar) galat tipe I keputusan benar MA 8 Statistika Dasar Kamis, 6 Februari 9 H tidak ditolak keputusan benar P(tidak menolak H H salah) galat lttipe II β Dosen : Udjianna S. Pasaribu Utriweni Mukhaiyar yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini 3 Pengertian Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya Dalam statistika, hipotesis yang akan diuji dibedakan menjadi:. Hipotesis nol (H ) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (,, atau ). Hipotesis tandingan (H ) ; tandingan hipotesis H, mengandung tanda, >, atau <. Skema Umum Uji Hipotesis H ditolak Kesimpulan H benar Hipotesis Statistik??? Keputusan H tidak ditolak Kesimpulan Tidak cukup bukti untuk menolak H H H mungkin terjadi Hipotesis yang ingin diuji Memuat suatu kesamaan (, atau ) Dapat berupa - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain Hipotesis yang ingin dibuktikan Disebut juga hipotesis alternatif Memuat suatu perbedaan (, > atau <) Tipe I Menolak H padahal H benar P(tipe I) tingkat signifikansi Kesalahan Tipe II Menerima H padahal H salah P(tipe I) β 4
4/6/9 Statistik Uji dan Titik Kritis Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan. Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan. H ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis. Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi. Kasus σ diketahui Z X µ ~ N(,) Tabel Z (normal baku) σ / n daerah kritis / titik kritis daerah penerimaan H - daerah kritis / titik kritis daerah penerimaan H diperoleh dari tabel statistik - titik kritis daerah kritis 5. Kasus σ tidak diketahui T X µ ~ t (n-) Tabel t s / n 7 Uji Rataan Satu Populasi Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi. H : µ µ vs H : µ µ. H : µ µ vs H : µ > µ 3. H : µ µ vs H : µ < µ uji dua arah uji satu arah σ diketahui σ tidak diketahui Statistik uji : Z T H : µ µ vs H : µ µ Z < - Z / atau Z > Z / T < - T / atau T > T / H : µ µ vs H : µ > µ Z > Z T > T H : µ µ vs H : µ < µ Z < - Z T < - T µ adalah suatu konstanta yang diketahui titik kritis dengan derajat kebebasan n - 6 8
4/6/9 Uji Rataan Dua Populasi Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi. H : µ - µ µ vs H : µ - µ µ. H : µ - µ µ vs H : µ - µ > µ 3. H : µ - µ µ vs H : µ - µ < µ uji dua arah µ adalah suatu konstanta yang diketahui uji satu arah σ, σ diketahui σ, σ tidak diketahui Statistik uji : Z T σ σ σ σ S S Derajat n n n Kebebasan n - v S S (n ) n (n ) n H : µ - µ µ vs Z < - Z / atau T < - T / atau T < - T / atau H : µ - µ µ Z > Z / T > T / T > T / H : µ - µ µ vs H : µ - µ > µ Z > Z T > T T > T H : µ - µ µ vs H : µ - µ < µ Z < - Z T < - T T < - T 9 Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi. Kasus σ dan σ diketahui ( X X ) µ Z H σ σ n n. Kasus σ dan σ tidak diketahui dan σ σ ( ) X X µ T H S S n n 3. Kasus σ dan σ tidak diketahui dan σ σ ( X X ) µ (n )S (n )S T H dengan S p n n S p n n Uji untuk Rataan Berpasangan. H : µ d µ vs H : µ d µ. H : µ d µ vs H : µ d > µ 3. H : µ d µ vs H : µ d < µ Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi i tidak diketahui. D µ T S / n d ; 3
4/6/9 Contoh Berdasarkan laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 7.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan dugaan bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 7 tahun. a. Nyatakan dugaan tersebut t dalam pernyataan hipotesis statistik b. Untuk tingkat signifikansi 5%, benarkah dugaan tersebut? b. 5%.5, maka titik kritis t.5,(99).66 x µ 7,8 7 s 8,9 n t, Karena t > t.5,(99), maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H ditolak. Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 7 tahun. 3 5 Solusi Contoh Diketahui Ditanya: 7, X 7.8, a. Hipotesis statistik b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab: Parameter yang akan diuji : µ a. Rumusan hipotesis: H : µ 7 H : µ> 7 µ s 8.9,,5 4 Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan dari dua bahan yang dilapisi. i i Dua belas potong bahan diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan memberikan rata-rata keausan sebanyak 8 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan melampaui rata-rata keausan bahan lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama. 6 4
4/6/9 Solusi Misalkan µ dan µ masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan dan populasi bahan. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah: H : µ -µ H : µ -µ > Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n n - -, sehingga titik kritisnya adalah t.5,.75. Karena t <.75, maka H tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata t keausan bahan melampaui rata-rata keausan bahan lebih dari satuan. 7 9 Tingkat keberartian,.5 x 85, s 4, n x 8, s 5, n Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu ( x x ) µ t H Sp n n (n )S (n )S ()(6) (9)(5) dengan S p 4.478 n n Maka diperoleh ( x x ) µ (85 8) t H.4 4.478 (/) (/) Sp n n 8 Contoh 3 (data berpasangan) Pada tahun 976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine li terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 3 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 3 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 5 rusa. Data terdapat pada tabel berikut 5
4/6/9 N Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik Kadar androgen (ng/ml) 3 menit setelah disuntik Selisih (d i ) Solusi 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5.76 5.8.68 3.5 4. 7.5 6.6 4.79 7.39 73 7.3.78 3.9 6. 67.48 7.4 7. 3. 5.44 3.99 5..6 3.9 8.53 7.9 485 4.85. 3.74 94.3 94.3 4.7 4.6 -.8.76.94. 3. 7.3 3.74.5-45.45 -.68 -.6 68.3 6.55 4.66 Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran Misalkan µ dan µ masing-masing menyatakan rata-rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 3 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah H : µ µ atau µ D µ -µ H : µ µ atau µ D µ -µ Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 5%.5 3 Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 3 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 3 menit. Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( d i ) adalah d 9.848 dan sd 8.474 Statistik uji yang digunakan adalah d d t s d / n 9.848 Dalam hal ini t.6 8.474 / 5 4 6
4/6/9 Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n 5 4. Pada tingkat keberartian.5, 5 H ditolak jika t < - t.5,4 -.45 atau t > t.5,4.45. Karena nilai t.6, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t.6 mendekati nilai t.5,4 5.45. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen tidak bisa diabaikan. Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah : χ ( n ) S σ Jika H benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi chi-square dengan derajat kebebasan n- 5 7 Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah. H : σ σ vs H : σ σ. H : σ σ vs H : σ < σ 3. H : σ σ vs H : σ > σ Dengan σ menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui 6 Untuk hipotesis H, tolak H : σ σ vs H : σ σ pada tingkat keberartian jika : χ < χ atau χ > χ,( n ),( n ) Untuk hipotesis H, tolak : σ σ vs H : σ < σ H pada tingkat keberartian jika χ < χ,( n ) Untuk hipotesis H, tolak H : σ σ vs H : σ > σ pada tingkat keberartian jika χ > χ,( n ) χ, χ, merupakan nilainilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat,( n ),( n ),(, dan χ n ) χ,( n ) kebebasan n - 8 7
4/6/9 Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah. H : σ σ vs H : σ σ. H : σ σ vs H : σ < σ 3. H : σ σ vs H : σ > σ Dengan σ dan σ masing-masing adalah variansi populasi ke- dan variansi populasi ke- 9 Untuk hipotesis H : σ σ vs H : σ σ, tolak H pada tingkat keberartian jika : F < f atau F > f,( v, v),( v, v) Untuk hipotesis H, tolak H : σ σ vs H : σ < σ pada tingkat keberartian jika : F < f,( v, v) Untuk hipotesis H : σ σ vs H : σ > σ, tolak H pada tingkat keberartian jika : F f >,( v, v) f,( v, v), f,( v, v), f/,( v, v),dan f /,( v, v) adalah nilai-nilai dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan v dan v 3 Contoh 4 Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah S F S Jika H benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan v n dan v n Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku.9 tahun. Bila sampel acak baterai tersebut menghasilkan simpangan baku. tahun, apakah anda setuju bahwa σ >.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%! 3 3 8
4/6/9 Solusi Solusi H : σ.8 H : σ >.8.5 Diketahui simpangan baku sampel, s. Statistik uji ( n ) s (9)(.44) χ 6 σ.8 Titik kritis adalah χ, n χ.5,9 6.99 Karena χ < χ.5,9, maka H tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi.9 Misalkan σ dan σ adalah variansi populasi dari masing-masing keausan bahan dan bahan. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H : σ σ H : σ σ. 33 35 Contoh 5 Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian.. 34 Statistik uji f s / s 6 / 5.64 H ditolak dengan tingkat keberartian jika f < f atau f > f,( v, v),( v, v) Dalam hal ini., v n, dan v n 9. Maka f f.34 f f 3..95,(.9) dan,(.5,(.9), ) v v,(, ) v v Karena f < f < f, maka jangan tolak H.,( v, v),( v, v) Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda. 36 9
4/6/9 Referensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Exploration and Analysis of Data,, USA: Duxbury Press, 997. Pasaribu, U.S., 7, Catatan Kuliah Biostatistika. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference,, USA: John Wiley&Sons,Inc.,. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan,, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 995. Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists,, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 7. 37