Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak 3) Menentukan domain dan range dari ungsi khusus 4) Menentukan rumusan ungsi komposisi 5) Menetukan domain ungsi komposisi 6) Menyelesaikan limit ungsi di suatu titik 7) Menentukan nilai sehingga suatu ungsi kontinu 8) Menyelesaikan limit ungsi di tak hingga 9) Menyelesaikan limit ungsi tak hingga Reerensi Untuk mendukung dan mempermudah dalam mempelajari materi integral dan penggunaannya, disarankan untuk menggunakan buku berikut Mursita, Danang. (00). Matematika untuk Perguruan Tinggi. Rekayasa Sains. Bandung. http://biobses.com/judul-buku,300- matematika_untuk_perguruan_tinggi.html Turunan dan Penggunaan. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/8-0scsingle-variable-calculus-all-00/.-dierentiation/ Sistem Bilangan Real Anda mungkin masih mengenal beberapa bilangan berikut: -, 0, /, - 7/5, 3, 0, 4 5, 9. 0. Manakah di antara bilangan tersebut yang merupakan bilangan real? Mengapa bilangan tersebut dikatakan bilangan real? Jelaskan jawaban Anda. Kalau sebuah bilangan bukan merupakan bilangan real maka dinamakan bilangan imajiner. Ada beberapa istilah bilangan yang lain yaitu bilangan bulat, bilangan pecah, bilangan rasional, bilangan irrasional. Jelaskan pengertian beberapa istilah bilangan tersebut disertai contoh. Bilangan real dinotasikan dengan, memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Pertama kali Anda harus memahami beberapa akta dan terminologi dari bilangan real. Siat-siat yang dimiliki bilangan real adalah siat trikotomi, yaitu bila ada dua bilangan real a dan b, maka hanya akan berlaku salah satu dari tiga siat berikut: () a = b atau, () a < b atau (3) a > b. Perhatikan deinisi berikut: Misal a dan b bilangan real, maka () a < b berarti b a merupakan bilangan real positi, () a b berarti bahwa a < b atau a = b, (3) a b berarti bahwa a > b atau a = b. Dalam matematika dan beberapa ilmu lain, kata dan dan atau mempumyai pengertian yang tidak sama. Bilamana kata dan / atau digunakan? Page o
Berikan penjelasan. Berikut disampaikan siat-siat pertidaksamaan dari bilangan real yang sangat undamental dan sering digunakan,. Bila a < b dan b < c maka a < c. Bila a < b maka a + c < b + c atau a c < b c 3. Bila a < b dan c < d maka a + c < b + d 4. Bila a < b dan c > 0 maka ac < bc 5. Bila a < b dan c < 0 maka ac > bc 6. Bila a dan b keduanya bilangan real positi atau negati dan a < b maka a b Secara geometri, bilangan real dapat digambarkan sebagai garis bilangan. Bila digunakan notasi interval maka bilangan real dinyatakan dengan = (-,). Kalau garis bilangan dipenggal menjadi beberapa bagian maka penggalan tersebut kita sebut dengan himpunan bagian dari garis bilangan. Penggalan dari bilangan real ini berupa segmen garis atau interval yang dapat dikelompokkan menjadi () Interval Tutup, dinotasikan dengan...,..., () Interval Buka, dinotasikan dengan...,..., (3) Interval Setengah Buka / Setengah Tutup (Tutup Buka atau Buka Tutup), dinotasikan dengan...,... atau...,.... Selengkapnya kemungkinan interval yang ada pada sebuah garis bilangan bila diberikan dua buah bilangan sembarang a dan b dinyatakan dengan Gambar Berikut. Symbol bacalah dengan tak hingga sedangkan symbol - bacalah dengan minus tak hingga. Tugas Anda selanjutnya adalah menuliskan semua kemungkinan dari penggalan garis bilangan tersebut dengan menggunakan ketiga notasi di atas. Gambar. Garis Bilangan Pertidaksamaan Aljabar Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada pertidaksamaan aljabar. Contoh pertidaksamaan aljabar seperti: () + < 3 () + 5 (3) > 5 dan + masih banyak lagi. Nilai yang memenuhi pertidaksamaan aljabar () adalah > 5 atau dalam notasi himpunan dapat dituliskan menjadi (5, ). Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa (5, ) merupakan himpunan jawab atau himpunan solusi dari pertidaksamaan aljabar (). Dari () maka tidak ditemukan nilai yang memenuhi pertidaksamaan aljabat tersebut. Mengapa? Coba Jelaskan jawaban Anda. Oleh karena itu, pertidaksamaan aljabar () dikatakan tidak mempunyai himpunan jawab atau himpunan solusi. Bagaimana dengan himpunan jawab dari pertidaksamaan aljabar (3)? Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salah satu dari bentuk interval yang dikenalkan di alinea sebelumnya. Adapun penjelasan matematis tentang himpunan jawab atau himpunan solusi dari pertidaksamaan aljabar diberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar dinyatakan oleh, A( C( B( D( Page o
dengan A(, B(, C( dan D( merupakan suku banyak. Apakah suku banyak tersebut? Jelaskan tentang suku banyak disertai contoh. (tanda < dapat digantikan oleh,, ). Sebagai 3 gambaran diberikan pertidaksamaan. Maka pertidaksamaan terdiri dari suku banyak A( = -, B( =, C( = + 3 dan D( = +. Sedangkan untuk bentuk pertidaksamaan terdiri dari suku banyak A( = +, B( =, C( = - dan D( =. Cara mencari himpunan solusi dari pertidaksamaan aljabar dilakukan sebagai berikut: () Nyatakan pertidaksamaan aljabar sehingga didapatkan salah satu ruasnya menjadi nol. A( C( Misalkan ruas kanan dibuat menjadi nol. Maka didapatkan 0. () Sederhanakan B( D( P( bentuk ruas kiri menjadi satu suku, misalkan 0. Bagaimana cara membuat ruas kiri Q( menjadi satu suku? Jelaskan dan nyatakan P( dan Q( dalam notasi A(, B(, C( dan D(. (3) Cari dan gambarkan pada garis bilangan semua pembuat nol dari P( dan Q(. (4) Tentukan setiap tanda (+ atau -) pada setiap interval yang terjadi dari garis bilangan di atas. Misalkan pembuat nol dari P( dan Q( berturut-turut dari kecil ke besar adalah a, b dan c. Maka interval dan tanda pada setiap interval diperlihatkan oleh Gambar. Interval dengan tanda negative atau (- ) merupakan solusi pertidaksamaan atau himpunan solusi. Mengapa? Selanjutnya tuliskan himpunan solusinya. Gambar Himpunan Solusi Perhatikan pertidaksamaan aljabar berikut,. Ada dua buah penyelesaian pertidakssamaan aljabar berikut. Manakah diantara dua penyelesaian ini yang menurut anda yang benar? Jelaskan dengan pilihan Anda? ( + )( ) 0 Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah 0. Pada garis bilangan didapatkan nilai dari tiap selang, yaitu: Himpunan penyelesaian (solusi) pertidaksamaan adalah (, 0] 0 0 0 Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah 0 dan. Pada garis bilangan didapatkan nilai dari tiap selang, yaitu: Page 3 o
Himpunan penyelesaian (solusi) pertidaksamaan adalah 0, 3 Sekarang Anda bisa berlatih dengan pertidaksamaan aljabar berikut,. 3 3 Penyelesaian dilakukan dengan cara : 0 3 0, Mengapa tidak diperbolehkan untuk dikalikan silang sehingga pertidaksamaan aljabar menjadi ( )( + ) > ( + 3)( )? Jelaskan. Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah, /3 dan. Pada garis bilangan didapatkan nilai dari tiap selang, yaitu: Himpunan penyelesaian (solusi) pertidaksamaan adalah, / 3, 3 Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak Secara geometris, nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real dideinisikan sebagai jarak dari terhadap 0 jarak tidak pernah dinyatakan dengan bilangan negati - sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positi. Notasi yang digunakan adalah:, 0, 0 Bentuk nilai mutlak dinyatakan oleh gambar berikut, 0 Bila diberikan bentuk nilai mutlak maka dapat dituliskan menjadi atau dapat, disederhanakan menjadi seperti berikut,. Lantas, Nyatakan bentuk, dalam bentuk gambar. Bentuk nilai mutlak dapat diperumum menjadi: Page 4 o
a b, b / a a b ; a 0. Berikut merupakan contoh bentuk terakhir, yaitu nilai a b, b / a mutlak - + 4 yang dapat diuraikan menjadi, 4, 4 0 4 atau ( 4), 4 0 4, 4 4, Selanjutnya Anda diminta untuk mempelajari siat-siat nilai mutlak berikut dan penerapannya pada masalah pertidaksamaan aljabar... < a -a < < a 3. > a < -a atau > a 4. + y + y (ketidaksamaan segitiga) 5. y = y 6. 7. y y y y Bagaimana Anda menyelesaikan pertidaksamaan aljabar berikut, kemudian tunjukkan siatsiat dari nilai mutlak mana yang digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan aljabar ini?. 5 <. - + > 3 3. 0 3 Perhatikan bentuk pertidaksamaan aljabar ini () - - 3 dan () + - <, keduanya tidak dapat diselesaikan hanya dengan menggunakan siat-siat nilai mutlak, namun dengan menggunakan deinisi nilai mutlak, pertidaksamaan aljabar ini dapat diselesaikan pada setiap interval yang terjadi.. Pertama yang dilakukan adalah dengan menguraikan bentuk nilai mutlak, menjadi, 0, atau. Pertidaksamaan diselesaikan pada ( ), 0, interval yang terjadi yaitu pada dan <. Untuk < Untuk - - 3 - - 3 - + 3 3-3 - 5 -/3-5 Page 5 o
Solusi pada interval ini adalah irisan dari < dan -/3, yaitu -/3 < Solusi pada interval ini adalah irisan dari dan -5, yaitu Solusi pertidaksamaan merupakan gabungan dari -/3 < dan, yaitu -/3 atau [-/3, ).. Seperti sebelumnya, pertidaksamaan diselesaikan dengan terlebih dahulu menguraikan bentuk nilai mutlak yang ada. Bentuk nilai mutlak yang ada pada pertidaksamaan adalah,, dan. Dari sini kita dapatkan tiga buah,, interval yang akan digunakan untuk mendapatkan solusi pertidaksamaan, yaitu: (-, -), [-, ½) dan [½, ). Untuk interval (-, -). Maka bentuk pertidaksamaan nilai mutlak berubah menjadi: - (- + ) < atau < 3 atau (-, 3). Solusi merupakan irisan antara interval (-, -) dan (-, 3) yaitu: (-,-). b. Untuk interval [-, ½). Bentuk pertidaksamaan berubah menjadi: + (- + ) < atau < /3 atau (-, /3). Solusi merupakan irisan antara interval [-, ½) dan (-, /3) yaitu: [-, /3). Untuk interval [½, ). Bentuk pertidaksamaan berubah menjadi: + ( - ) < atau > atau (,). Solusi merupakan irisan antara interval [½, ) dan (, ) yaitu: (, ). Jadi solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak merupakan gabungan solusi di atas (a, b dan c) yaitu: (-,-) [-, /3) (, ) atau (-, /3) (, ). Coba kerjakan dengan menggunakan bahasa atau alur sendiri khusus untuk masalah ini. 4 Fungsi dan Graik Pembahasan mengenai ungsi tidak bisa dilepaskan dari masalah pemetaan atau pengaitan. Suatu pengaitan dari himpunan a ke himpunan B disebut ungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan a dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Hal ini diperlihatkan seperti pada Gambar 3 berikut. Gambar 3 Fungsi Himpunan a disebut domain atau daerah asal dari ungsi dinotasikan D, sedangkan himpunan B disebut kodomain dari ungsi. Bila semua elemen dari himpunan B yang merupakan pasangan dari elemen dari himpunan a dihimpun maka akan didapatkan himpunan yang merupakan sub himpunan atau himpunan bagian dari himpunan B yang dinamakan Range atau daerah hasil dari ungsi. Notasi untuk range dari ungsi adalah R. Dari gambar 3 di atas`maka didapatkan range R a, c. Buatlah gambar yang menunjukkan bahwa pengaitan yang Anda dari ungsi yaitu Page 6 o
buat mendeinisikan ungsi dan bukan ungsi. Apakah banyak anggota dari domain harus sama dengan banyak anggota range? Jelaskan. Misal himpunan a dan B merupakan sub himpunan dari himpunan bilangan Real (A dan B ). Maka ungsi yang memetakan dari himpunan a ke himpunan B dapat dinyatakan dengan, : a B ( = y Daerah hasil atau range dari ungsi dinyatakan dengan y ( y, A R. Nampak bahwa setiap anggota range dari ungsi ( juga merupakan anggota dari B sehingga R B. Perhatikan ungsi ( 6. Akan dicari nilai sehingga nilai ungsi ( terdeinisi (merupakan bilangan real). Ini dimungkinkan bilamana didalam tanda akar harus merupakan bilangan 3 3, nol atau positi, yaitu 6 0 atau 3. Jadi domain dari ungsi ( adalah. Bila nilai dari D disubstitusikan ke dalam ungsi ( maka akan didapatkan range dengan anggota paling rendah nol dan paling tinggi tak hingga atau y y 0 0, R. D 5 Fungsi Polinom Bentuk umum ungsi polinom (suku banyak) order atau pangkat n (n bilangan bulat positi ) n dinyatakan oleh ( a a a... a 0 n dengan a n 0. Berikut bentuk khusus dari ungsi polinom, yaitu: Fungsi konstan: ( = a0. Domain (daerah asal) dari ungsi konstan adalah bilangan Real R D sedangkan range (daerah hasil) adalah Fungsi Linear: ( a0 a. (( = : ungsi identitas). Domain dan range dari ungsi linear adalah Real D dan R Fungsi Kuadrat: ( a a a 0 a 0 Gambar 4 Parabola Diperlihatkan pada Gambar 4, yang merupakan graik dari ungsi kuadrat (berupa parabola). Bila dari parabola diketahui titik puncak dan sebuah titik yang lain maka persamaan ungsi kuadrat dapat dinyatakan oleh ( a b c, dengan (b,c) merupakan titik puncak. Dari Gambar 5, 3 maka didapatkan persamaan kuadrat, (. Dengan melakukan pengamatan pada 4 graik / parabola maka range dari ungsi kuadrat tersebut berturut-turut adalah dan [, ). Bagaimana dengan domain dari (? jelaskan mengapa range dari ( adalah [, )? Melihat Page 7 o
dari siat dari ungsi konstan, ungsi linear dan ungsi kuadrat maka dapat disimpulkan bahwa domain dari ungsi polinom adalah bilangan real D. Mengapa? Jelaskan jawaban Anda. 6 Fungsi Rasional p( Bentuk umum ungsi rasional adalah ( dengan p( dan q( merupakan ungsi q( polinom. Fungsi rasional ( tidak terdeinisi pada nilai yang menyebabkan penyebut sama dengan nol [q( = 0]. Sedangkan pembuat nol dari pembilang p( tetapi bukan pembuat nol penyebut q( merupakan pembuat nol dari ungsi rasional (. Domain dari ungsi rasional ( adalah bilangan real q( 0. Perhatikan kecuali pada pembuat nol penyebut q(, atau dapat dituliskan, 3 ungsi rasional berikut, (. Nilai yang membuat ungsi ( bernilai nol adalah 4 hanya =, Mengapa? Pembuat nol dari penyebut adalah {-, } sehingga domain dari ( adalah D,. Bagaimana Anda menjelaskan tentang hal ini? D 7 Fungsi bernilai mutlak Bentuk dasar ungsi bernilai mutlak dinyatakan oleh ( =. Graik ungsi ( simetris terhadap sumbu Y dan terletak di atas dan atau pada sumbu X seperti terlihat pada Gambar 5. Hal ini menunjukkan bahwa ( 0 untuk setiap D, sehingga domain dari ( adalah R 0,. Secara umum ungsi bernilai mutlak dapat dinyatakan oleh: g(, A C ( g( ; D C A A. Kesimpulannya adalah range dari ungsi bernilai g(, A mutlak yaitu [0, ). Gambar 5 Bagaimana menentukan nilai agar graik ungsi ( terletak di bawah garis y =? Gambarkan terlebih dahulu graik ungsi ( dan garis y =. Selanjutnya himpun nilai yang memenuhi. Sekarang bandingkan hasil yang ada peroleh dengan hasil berikut. Menggunakan siat pertidaksamaan nilai mutlak 4 3 0 didapatkan. Sebab + 3 deinit positi yaitu selalu bernilai positi untuk setiap real maka < 0. Sehingga nilai yang memenuhi adalah < < atau <. Page 8 o
8 Fungsi banyak Aturan Fungsi ini merupakan bentuk pengembangan dari ungsi bernilai mutlak, untuk ungsi dengan (, A C dua aturan dinyatakan oleh: ( ; A A D C. Fungsi banyak aturan dapat (, A dikembangkan sampai n buah ungsi j ( dengan j =,,,n, yaitu ( ( (...... ( ; A ; A...... ; n A n dengan A A... A n D dan A A... A n Untuk memudahkan di dalam memahami ungsi banyak aturan lakukan langkah berikut. ; Gambarkan graik ungsi dari ( ; 3. ; 3 9 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi ( disebut ungsi genap bila ( = (- untuk setiap di domain ( [graik ( simetris terhadap sumbu y]. Fungsi ( disebut ungsi ganjil bila ( = - (- untuk setiap di domain ( [graik ( simetris terhadap titik pusat atau pusat sumbu]. Bila suatu ungsi bukan merupakan ungsi genap maka belum tentu merupakan ungsi ganjil. Graik ungsi ( ) ditunjukkan oleh Gambar 6. Sebab simetris terhadap sumbu Y maka ungsi ( ) terkategori ungsi genap. Gambar 6 Parabola ( Manakah diantara ungsi berikut yang merupakan ungsi genap, ganjil atau bukan keduanya ( dan (. Langkah mana yang Anda lakukan untuk menentukan ungsi genap, ungsi ganjil atau tidak keduanya? Apakah Anda punya cara lain? Page 9 o
Siat siat aljabar yang dimiliki antara ungsi genap dan ungsi ganjil diperlihatkan pada tabel berikut. Tabel yang ada belum lengkap sebab masih ada kotak yang belum terisi. Langkah selanjutnya, Anda diminta mengisi tabel yang kosong dan membuat contoh ungsi yang bersesuaian serta hasil kali dan pembagian dari kedua ungsi tersebut. ( g( ( g( Genap Genap Genap Ganjil Ganjil Ganjil Genap Ganjil ( g( 0 Fungsi Trigonometri Misal diberikan titik A(a,b) dan t menyatakan sudut yang dibentuk antara sumbu X positi dengan ruas garis OA, t bertanda positi (+) bila berlawanan arah jarum jam (arah dari sumbu X positi menuju ke ruas garis OA) diperlihatkan pada Gambar 7. Bila panjang ruas garis OA = r maka didapatkan rumusan bentuk trigonometri sebagai berikut: a sin t r b cos t r a tan t b csc t r a r sec t b b cot t a Gambar 7 Dari rumusan trigonometri tersebut maka dapat dinyatakan bentuk dasar dari ungsi trigonometri sebagai berikut o ( = sin o ( = cos o ( = tan ( = csc ( = sec ( = cot Page 0 o
Domain dari ungsi sinus dan ungsi cosinus adalah bilangan real sedangkan domain dari n ungsi tangen adalah dengan n bilangan bulat. Mengapa? Jelaskan. Graik ungsi ( = sin, ( = cos dan ( = tan diperlihatkan pada Gambar 8 berikut Gambar 8 Graik Fungsi Trigonometri Beberapa persamaan atau identitas yang berlaku pada ungsi trigonometri diberikan berikut. Bagaimana Anda menjelaskan tanpa harus menghaal terhadap identitas trigonometri ini?. sin (- = - sin. cos (- = cos 3. tan (- = - tan 4. csc (- = - csc 5. sec (- = sec 6. cot (- = cot 7. sin (/ - = cos 8. cos (/ - = sin 9. tan (/ - = cot 0. sin ( + y) = sin cos y + sin y cos. cos ( + y) = cos cos y sin sin y tan tan y. tan y tan tan y 3. sin ( - y) = sin cos y sin y cos 4. cos ( - y) = cos cos y + sin sin y tan tan y 5. tan y tan tan y 6. sin = sin cos 7. cos = cos = sin tan 8. tan tan 9. sin cos y 0. cos cos y sin sin y Page o
.. 3. 4. 5. y y sin sin y sin cos y y cos cos y cos cos cos y cos y sin sin y sin y sin y sin cos y cos y cos y cos cos y Fungsi Periodik Fungsi ( disebut ungsi periodik jika ada bilangan real positi p sehingga berlaku (+p) = ( untuk setiap di domain (. Nilai p terkecil disebut periode dari (. Fungsi dasar trigonometri merupakan ungsi periodik dengan periode p, yaitu: ( = sin = sin ( + ) = sin ( + 4) =...= ( + ) = ( + 4) =... Nilai p terkecil merupakan periode dari ( = sin yaitu p =. Dengan pengertian yang sama diberikan periode untuk ungsi cosinus dan ungsi tangen berikut: () ( = cos = cos ( + ) = ( + ), p = dan () ( = tan = tan ( + ) = ( + ), p =. Bagaimana cara Anda menentukan periode dari ungsi berikut () ( = sin n () ( = cos n dan (3) ( = tan n? Translasi (Pergeseran) Bila graik ungsi ( digeser ke kanan / ke kiri (searah atau sejajar sumbu sepanjang k maka hasil pergeseran merupakan graik dari ungsi ( - k). Bila graik ungsi ( digeser ke atas / ke bawah (searah atau sejajar sumbu Y) sepanjang a maka hasil pergeseran merupakan graik ungsi ( + a. Sebagai ilustrasi, misal diberikan ungsi ( =. Graik ungsi tersebut berupa parabola dengan titik minimum di pusat sumbu (Gambar 9). Bila graik kita geser ke kanan sepanjang satuan maka parabola mempunyai titik minimum di (,0) dan ungsi dinyatakan dengan ( = ( ) (Gambar 0). Sedangkan hasil pergeseran graik ke arah bawah sepanjang 3 satuan menghasilkan para bola dengan titik minimum di (0,3) dan dinyatakan dengan ( = 3 (Gambar ). Oleh karena itu graik ungsi ( = ( - ) 3 berupa parabola dengan titik minimum di (,-3) yang merupakan pergeseran graik ( = sepanjang satuan ke arah kanan dan 3 satuan ke arah bawah (Gambar ). Gambar 9 Parabola y Page o
Gambar 0 Parabola y Gambar Parabola y 3 Gambar Parabola y 3 Bagaimana cara yang Anda lakukan bila diberikan sebuah parabola dengan persamaan ( = + 6 8, merupakan pergeseran dari parabola ( =? Jelaskan jawaban Anda. 3 Fungsi Komposisi Misal diberikan ungsi yang memetakan dari himpunan a ke himpunan B, : a B dan ungsi g yang memetakan dari himpunan B ke himpunan C, g: B C. Maka dapat dilakukan komposisi antara ungsi dan ungsi g yang diperlihatkan pada Gambar 3 berikut. Page 3 o
Gambar 3 Fungsi Komposisi Dari Gambar 3 nampak bahwa agar dua ungsi dan g dapat dilakukan komposisi (g o ) maka ungsi tersebut harus tersambung. Ini berarti ada dua kemungkinan: () Range dari harus termuat di dalam domain dari g yaitu ( a) b D atau () Domain dari g harus termuat di dalam range dari yaitu b R. Hal ini menunjukkan bahwa agar terjadi komposisi antara ungsi dan ungsi g, [g o ] maka harus dipenuhi syarat bahwa ada anggota yang termuat di dalam range dari, R dan juga termuat di dalam domain dari g, D. Dengan kata lain bahwa untuk terjadi komposisi g o maka syarat yang harus dipenuhi adalah R D g, yaitu irisan antara range dari ungsi dan domain dari ungsi g tidak boleh kosong, sehingga dapat dideinisikan Komposisi Dua Fungsi. Komposisi antara ungsi ( dan ungsi g( dideinisikan sebagai () g( o ( g o ( dengan syarat R atau () ( o g( o g ( dengan syarat ) Rg D D g g g Anda Pasti masih ingat bagaimana cara mencari domain dan range dari dua ungsi berikut, ( dan g(. Bagaimana Anda menentukan bahwa g o terdeinisi dan o g terdeinisi? Bila ya, tentukan rumusan kedua ungsi komposisi tersebut. Untuk lebih memudahkan Anda mempelajari komposisi dua ungsi, sebaiknya ada ahamkan diri Anda terhadap siat siat yang dimiliki oleh ungsi komposisi berikut. Berikan contoh yang mendukung siat siat tersebut.. o g g o (tidak berlaku siat komutati). ( o g) o h = o (g o h) (berlaku siat asosiati) 3. Untuk setiap komposisi g o maka akan berlaku : Dgo D dan Dg R 4. Bila R Dg maka Dgo D 4 Limit Fungsi Pengertian dan notasi dari limit suatu ungsi ( di suatu nilai = a diberikan secara intuiti menggunakan bantuan Gambar 4 sd Gambar 8 berikut. Page 4 o
Gambar 4 Gambar 5 Gambar 6 Gambar 7 Page 5 o
Gambar 8 Dari Gambar 4, bila nilai ( mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a dari kanan a sama dengan L dan dinotasikan () lim ( L. Bila nilai ( mendekati K untuk nilai mendekati a dari arah kiri a maka dikatakan bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a dari arah kiri a sama dengan K dan dinotasikan () lim ( K. Bila L = K (Gambar 5 dan Gambar 7) maka dikatakan a bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a a sama dengan L (nilai limit dari ( di = a ada dan sama dengan L) dan dinotasikan (3) lim ( L. Sedangkan bila L K (Gambar 6 a dan Gambar 8) maka dikatakan bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a tidak ada. Bentuk (.) dan (.) disebut limit sepihak. Sedangkan (3) mengisyaratkan bahwa nilai limit ungsi ( pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya sama atau nilai limit kanan (.) sama dengan nilai limit kiri (.). Dari keberadaan limit sebuah ungsi, nilai limit ungsi ( di = a tidak selamanya sama dengan nilai ungsi ( di = a atau (a). Gambar 8 menunjukkan nilai limit dari ungsi ( di = a ada namun tidak sama dengan (a), lim ( L ( a). Limit ungsi ( di titik = a tidak ada sebab nilai limit kanan dari ( di = a tidak sama dengan nilai limit kiri dari ( di = a, diperlihatkan pada Gambar 4, Gambar 6, dan Gambar 8. Gambar 5 dan Gambar 7 memperlihatkan nilai limit dari ( di mendekati a dari arah kiri sama dengan nilai ungsi ( di = a, lim ( ( a). Gambar 5 memperlihatkan nilai limit dari ( di a mendekati a dari kanan sama dengan nilai ungsi ( di = a, lim ( ( a) dan Gambar 7 memperlihatkan bahwa nilai limit kanan maupun nilai limit kiri tidak sama dengan nilai ungsi ( di = a. Kesimpulan yang dapat diambil dari penjelasan tentang limit di atas adalah () Nilai limit sebuah ungsi di suatu titik bisa ada dan tidak ada dan () Bila nilai limit sebuah ungsi ada maka ada dua kemungkinan yaitu nilai limit sama dengan nilai ungsi dan nilai limit tidak sama dengan nilai ungsi. Dalam melakukan perhitungan limit dari ungsi ( di = a dilakukan dengan mensubstitusikan nilai = a terhadap ungsi ( namun sebetulnya nilai yang dimaksud adalah nilai pendekatan. Contoh berikut menjelaskan perhitungan sederhana terhadap limit ungsi berikut, lim a a. Misal (. Untuk mendekati baik dari kanan maupun dari kiri maka nilai ungsi ( mendekati 3 ( 3 3 lim (Gambar 9). Jadi dapat dituliskan. Kita bandingkan penjelasan di atas dengan mensubstitusikan nilai = pada ungsi ( maka akan didapatkan hasil yang sama, yaitu lim lim lim 3 3 Gambar 9 Page 6 o
Untuk ungsi sederhana, hal ini dapat dilakukan namun untuk beberapa bentuk ungsi yang lain maka langkah dengan cara mensubstitusikan tidak dapat langsung diterapkan begitu saja. Bagaimana Anda membuat contoh perhitungan limit ungsi yang ternyata cara substitusi menhasilkan jawaban yang salah? Hal ini mungkin dilakukan bila nilai ungsi setelah disubstitusikan terdeinisi, yaitu diperoleh bilangan yang bukan berbentuk nol per nol atau bentuk tak tentu yang lain. Limit dengan bentuk demikian (bentuk tak tentu) akan dibahas pada sub bab selanjutnya. Berikut siat-siat limit ungsi, selanjutnya tugas Anda membuat contoh ungsi ( dan ungsi g( yang memenuhi siat tersebut. Misal lim ( L danlim g( G, maka () lim ( g( L G () lim ( g( L G (3) ( g( LG a ( lim a g( L G, bilag 0 (5) a a a a lim (4) lim n ( n n lim ( L untuk L > 0 bila n genap. Sebagai a a catatan bahwa siat-siat di atas juga berlaku untuk limit sepihak (limit kiri dan limit kanan). Bagaimana cara yang Anda lakukan untuk menguji keberadaan limit dari ungsi, 3 () (, dan () lim? Jelaskan langkah-langkah yang anda, 4 lakukan. Bagaimana cara yang harus Anda lakukan untuk mendapatkan nilai a dan b agar ungsi a ; 3 ( a b ; 3 3 limitnya ada di = - 3 dan = 3? b 5 ; 3 5 Kekontinuan Fungsi Pada pembahasan limit ungsi, nilai limit ungsi di suatu titik kadangkala sama dengan nilai ungsi di titik tersebut. Graik ungsi yang demikian dinamakan graik ungsi yang kontinu. Pengertian ormal dari ungsi kontinu diberikan berikut. Fungsi ( dikatakan kontinu pada suatu titik = a bila nilai limit ( pada mendekati a sama dengan nilai ungsi di = a atau (a). Secara lebih jelas, ( dikatakan kontinu di = a bila berlaku () (a) terdeinisi atau (a) () lim ( ada, lim ( lim ( dan (3) lim ( ( a). Bila minimal salah satu dari a a a a persyaratan di atas tidak dipenuhi maka ( dikatakan tidak kontinu atau diskontinu di = a dan titik = a disebut titik diskontinu. Secara geometris, graik ungsi kontinu tidak ada loncatan atau tidak terputus. Bilamana kita menggambarkan suatu graik ungsi sembarang dengan menggerakkan pensil kita di atas kertas dan tanpa pernah mengangkat pensil tersebut sebelum, selesai maka akan kita dapatkan ungsi kontinu. Perhatikan ungsi ( 3., Untuk menentukan nilai ungsi di = - maka digunakan rumusan ungsi ( = - sehingga nilai ungsi ( di = - yaitu (-) = -3. Kemudian limit sepihak ditentukan sebagai berikut, Page 7 o
3 lim ( lim lim 3 4 dan lim ( lim 3. Sebab nilai limit kanan tidak sama dengan nilai limit kiri maka nilai limit ungsi ( di = - tidak ada. Jadi ungsi tidak kontinu di = - atau dapat dikatakan bahwa = - merupakan titik diskontinu dari (. Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan kekontinuan dari ungsi dengan dua aturan seperti contoh di atas dapat dilakukan dengan lebih sederhana. Nilai ungsi ( di = - akan sama dengan nilai limit ( untuk mendekati - dari arah kanan, sehingga kekontinuan ungsi dapat ditentukan apakah nilai ungsi di = - sama dengan nilai limit dari ( untuk mendekati - dari arah kiri. 6 Kekontinuan Fungsi pada Interval Fungsi ( dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) bila ( kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut, Sedangkan ( dikatakan kontinu pada interval tutup [a,b] bila () ( kontinu pada (a,b), () ( kontinu kanan di = a lim ( ( a) dan (3) ( kontinu kiri a di = b lim ( ( b). Bila ( kontinu untuk setiap nilai maka dikatakan ( kontinu b atau kontinu dimana-mana. Bagaimana cara menetukan nilai k agar ungsi k, ( kontinu di = -? Jelaskan langkah-langkah yang Anda buat., 7 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Dalam sub bab ini pengertian limit tak hingga dan limit di tak hingga dijelaskan secara intuisi diberikan melalui contoh berikut. Misal diberikan ungsi. Maka Nilai ungsi ( untuk beberapa nilai yang mendekati baik dari kanan maupun dari kiri diberikan pada tabel berikut,... 0,9 0,99 0,999......,00,0,... (... -0-00 -000... td... 000 00 0 Catatan: td = tidak terdeinisi Page 8 o
Gambar 0 Menggunakan table di atas atau Gambar 0, maka nilai ungsi ( menuju tak hingga () untuk mendekati dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga (-) untuk mendekati dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut, lim ( dan lim ( Bila maka nilai ungsi ( untuk mendekati darin arah kanan maupun arah kiri diberikan pada table berikut,... 0,9 0,99 0,999......,00,0,... (... 00 0000 000000... td... 000000 0000 00 Catatan: td = tidak terdeinisi Gambar Menggunakan tabwel di atas atau Gambar, maka didapatkan nilai limit kiri dan limit kanan dari ungsi ( untuk mendekati yaitu lim ( dan lim (. Karena nilai limit kanan dan nilai limit kiri dari ( di = sama maka nilai limit ungsi ( di = ada dan dituliskan lim (. Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak hingga, yaitu nilai ungsi ( untuk mendekati sama dengan tak hingga (). 3 Misal diberikan limit berikut, lim. Nilai dari pembilang untuk mendekati 3 dari 3 3 arah kanan adalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negati bilangan yang sangat kecil. Bila 6 dibagi oleh bilangan negati kecil sekali akan menghasilkan bilangan yang 3 sangat kecil. Jadi lim. 3 3 Page 9 o
8 Limit di Tak Hingga Bentuk limit di titik mendekati tak hingga diilustrasikan berikut. Misal diberikan ungsi, maka nilai ungsi ( untuk beberapa nilai diberikan pada tabel berikut. 0 00 000 0000 5 0 6 0... ( 0, 0,0 0,00 0,000 5 0 6 0... Gambar Dari table dia atas atau Gambar, untuk nilai semakin besar (cukup besar = menuju tak hingga) maka nilai ungsi akan mendekati nol. Hal ini dikatakan limit dari ungsi ( untuk mendekati tak hingga ada (sama dengan nol) dan dinotasikan: lim 0. Sedangkan untuk semakin kecil (cukup kecil = menuju minus tak hingga) maka nilai ungsi ( juga akan menedekati nol. Hal ini dikatakan limit dari ungsi ( untuk mendekati tak hingga ada dan dinotasikan: lim 0. Graik ungsi ( yang ditunjukkan pada Gambar, nampak nilai ungsi menuju nol untuk semakin besar atau semakin kecil. Bila diberikan ungsi maka nilai ungsi ( untuk semakin besar dan semakin kecil diberikan pada tabe; berikut. 0 00 000 0000 5 0 6 0... ( 0, 0,0 0,00 0,000 5 0 6 0... Page 0 o
Gambar 3 Graik ungsi ditunjukkan pada Gambar 3. Dengan menggunakan tabel di atas atau Gambar 3 maka dapat disimpulkan bahwa nilai limit ungsi ada dan sama dengan nol untuk menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan dengan, lim 0 dan lim 0 nb n,. Secara umum, limit ungsi dari untuk mendekati tak hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, dituliskan dengan () lim 0 n lim n 0. Bila ( merupakan ungsi rasional, misal dan () p( ( dengan p( dan q( merupakan q( polinom maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dari ( dilakukan dengan cara sebagai berikut, Untuk Pangkat p( pangkat q(. Dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat pangkat tertinggi yang terjadi di penyebut. Untuk Pangkat p( > pangkat q(. Dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebut terlebih dahulu sehingga diperoleh suku rasional dengan pangkat pembilang kurang dari atau sama dengan pangkat penyebut, kemudian baru ditentukan nilai limitnya. 3 Berikut cara menerapkan metode di atas. Untuk menghitung limit lim 3, caranya bagilah ungsi pembilang dengan ungsi penyebut. Berapakah hasil yang diperoleh? Hasil yang Anda peroleh mestinya berupa dua suku. Suku pertama berupa polinom dan suku kedua berupa ungsi rasional. Masing-masing Anda hitung limitnya, hasilnya anda jumlahkan sehingga ketemu nilai limit tersebut. Bagaimana detail perhitunggannya? Page o
Beberapa pengertian dari nilai mutlak dapat diterapkan untuk menghitung limit ungsi seperti lim dan lim. Siat nilai mutlak yang mana yang digunakan untuk 4 4 menyelesaikan limit teserbut? Jelaskan. Selanjutnya hitung nilai limit tersebut. Page o