Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika, da IPA Uiversitas Idraprasta Abstrak. Ruag metrik dikataka mempuyai sifat bola tertutupya kompak jika setiap bola tertutup di dalamya merupaka himpua kompak. Dalam tulisa ii aka dibahas da dipelajari ruag metrik yag demikia, khususya masalah kekompaka, kelegkapa da separabel. Disampig itu juga aka dibahas fugsi jarak himpua terhadap titik da himpua dega hipua di dalam ruag metrik yag mempuyai sifat bola tertutupya kekompaka. Kata kuci: Kekompaka, kelegkapa da separabel Abstract. Metric spaces is said to have the properties of a compact closed ball (CCB) if every closed ball i it is a compact set. I this paper will be discussed ad studied i such a metric spaces, especially the compactess, completeess ad separable. Besides that it also covered the set distace fuctio to poit ad the set to the other set i metric spaces that have a compact closed ball. Keywords: compactess, completeess ad separable. PENDAHULUAN Perkembaga ilmu matematika bayak dimafaatka oleh para ilmuwa utuk keperlua pegembaga disipli ilmuya. Pemafaata matematika tidak terbatas pada kalaga matematikawa saja aka tetapi meliputi para ahli di luar bidag matematika, khususya para ahli rekayasa maupu para ahli di bidag aalisis. Cabag matematika teoritis yag cukup petig adalah bidag aalisis, da salah satu pedekata megeai pembahasa aalisis ii adalah megguaka metrik. Pedekata metrik utuk aalisis termasuk yag palig tua dalam matematika muri da sagatlah mearik utuk dibahas lebih medalam. Di dalam suatu ruag metrik sebarag cukup dikeal bahwa setiap himpua bagia yag kompak adalah tertutup da terbatas, aka tetapi utuk kodisi sebalikya belum tetu berlaku. Oleh karea itu perlu dicari suatu ruag metrik yag memeuhi peryataa di atas sehigga utuk kodisi sebalikya juga berlaku, yaitu setiap himpua yag tertutup da terbatas adalah kompak. Dalam hal ii teryata ada ruag metrik yag demikia yaitu ruag metrik dega sifat setiap bola tertutup di dalamya merupaka himpua kompak. Ruag metrik yag demikia oleh Aubi (1977, hal 258) diberi ama ruag bersifat Compact Closed Balls (CCB) da selajutya aka disigkat dega ruag bersifat CCB. Da salah satu cotoh ruag yag bersifat CCB ii adalah ruag Euclides R, dega N. Melalui ruag metrik yag bersifat CCB ii aka dipelajari da dibahas lebih lajut megeai sifat-sifat apa saja yag bisa dituruka dari ruag metrik ii. - 283 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat TINJAUAN PUSTAKA Metrik da Ruag Metrik Misalka X meyataka sebuah himpua da d: X x X R + sebuah fugsi dari X x X ke himpua bilaga real buka egatif R + yag memeuhi sifat-sifat berikut ii. Utuk semua x, y da z dalam X (i) d(x,y) = 0 jika da haya jika x = y (ii) d(x,y) = d(y,x) (iii) d(x,z) d(x,y) + d(y,z) Selajutya d disebut metrik atau jarak pada pada X, da d(x,y) disebut jarak dari x ke y. Himpua X yag dilegkapi dega metrik d disebut ruag metrik, diyataka (X,d). (Kusrii, Susiswo, 2005) Sekitar da Titik Limit Defiisi 1. Diberika ruag metrik (X,d). Jika p sebarag titik di dalam ruag metrik X, da bilaga r > 0, maka himpua N r (p) = {x X d(p,x)<r} diamaka daerah sekitar (Neighbourhood) titik p dega radius r. Titik p diamaka pusat sekitar N r (p). (Soematri,1993) Secara umum sekitar dalam ruag metrik X adalah himpua B r (p) ={x X d(p,x)< r} yag disebut bola terbuka yag berpusat di p dega radius r>0. Sedagka B r (p)={x X d(p,x) r} disebut bola tertutup dega pusat di p da radius r > 0. (Aubi,1977) Defiisi 2. Diberika (X,d) ruag metrik da E X. Titik p X disebut titik limit dari E jika setiap sekitar titik p memuat palig sedikit satu titik q p da q E atau p = titik limit > 0, p \ p Ε Ø (Soematri,1993) Ν ε Himpua Terbuka da Himpua Tertutup Defiisi 3. Diberika ruag metrik X. Semua titik da himpua yag disebut dalam defiisi berikut adalah titik didalam X da subset dari X. 1. Titik p disebut suatu titik iterior himpua E jika terdapat suatu sekitar dari p yag merupaka subset dari E atau ( p titik iterior E ) ( r> 0)(N r (p) E) 2. Himpua E disebut himpua terbuka jika setiap aggotaya merupaka titik iterior himpua E atau ( E himpua terbuka ) ( p E p titik iterior E ) 3. Himpua E disebut himpua tertutup jika semua titik limitya.termuat di dalam E atau ( E himpua tertutup) ( p titik limit E p E) Himpua semua titik limit himpua E diberika otasi E. Jadi E tertutup E E. (Soematri,1993) Teorema 4. Di dalam sebarag ruag metrik berlaku: E terbuka E c tertutup. ( ) Aka dibuktika jika E terbuka maka E c tertutup. Diketahui E terbuka. Diambil p titik limit E c, maka utuk setiap sekitar N r (p) berlaku (N r (p) \{p}) E c Ø berarti utuk setiap r>0 maka sekitar N r (p) E. Karea E terbuka da N r (p) E, r > 0 maka p E, jadi p E c dega kata lai E c tertutup. ( ) Aka dibuktika jika E c tertutup maka E terbuka. Diketahui E c tertutup. Diambil sembarag titik x E, berarti x E c. Jika x E c da E c tertutup maka x buka titik limit E c. Jadi terdapat r>0 sedemikia higga N r (x) E c = Ø atau N r (x) E. Dega kata lai x adalah titik iterior E. Terbukti E terbuka. Teorema 5. Diberika sembarag himpua A (berhigga atau tak berhigga). Utuk keluarga himpua-himpua terbuka { G a :a A} maka a A G a juga terbuka. Aka dibuktika bahwa sembarag titik x S = a A G a adalah titik iterior S. - 284 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Diambil sembarag titik x S, tetulah ada a A sehigga x G a. Karea G a terbuka maka ada sekitar N r (x) yag subset G a da tetulah juga subset S. Sehigga didapat utuk sembarag titik x S maka N r (x) S atau x titik iterior S, dega kata lai S terbuka. Teorema 6. Dalam sembarag ruag metrik, setiap sekitar adalah himpua terbuka. Diberika sembarag ruag metrik (X,d), p sembarag titik di dalam X, da N r (p) suatu sekitar dari p. Ambil q N r (p) maka d(p,q) < r. Dimisalka d(p,q) =h <r da ambil t = r-h >0. Dibuat sekitar N r (q), jika x N r (q) maka d(q,x)<t sehigga meurut ketaksamaa segitiga berlaku d(p,x) d(p,q) + d(q,x) < h + (r-h) = r berarti x N r (p). Jadi N r (q) N r (p) atau q titik iterior N r (p),terbukti utuk setiap q N r (p) maka q adalah titik iterior N r (p) dega kata lai N r (p) terbuka. Defiisi 7. Diberika sub-ruag (Y,d) dari ruag metrik (X,d) da E Y maka himpua E disebut terbuka relatif terhadap Y jika utuk setiap titik yag diberika p aggota E, dapat dicari r>0, sehigga utuk semua y Y dega d(p,y)<r maka y E. (Soematri, 1993) Teorema 8. Jika Y sub-ruag dari X da E subset Y, maka E terbuka relatif terhadap Y, jika da haya jika terdapat suatu himpua G yag terbuka terhadap X da E = G Y. ( ) Jika E terbuka relatif terhadap Y maka utuk setiap p E ada r>0 sehigga utuk semua y Y dega d(p,y)<r maka y Y. Kemudia utuk setiap p E dibetuk sekitar N r (p) = {x X: d(p,x)<r}, da G = p E N r (p). Meurut teorema 5 da 6 maka himpua G terbuka terhadap X. Jelas bahwa E G Y. Jika diambil y G Y maka terdapatlah suatu p E da y N r (p), jadi d(p,y)<r yag berarti y E. Karea E G Y da G Y E maka E=G Y ( ) Diadaika terdapat himpua G yag terbuka terhadap X da E = G Y. Jika diambil p E, maka jelas bahwa p G. Karea G terbuka terhadap X, maka terdapat r>0 sehigga utuk semua x X dega d(p,x)<r berakibat titik x G. Karea Y X, maka semua y Y dega d(p,y)<r berlaku y G Y=E. Jadi utuk setiap titik p E terdapat r>0 sehigga y E utuk semua y Y da d(p,y)<r. Terbukti E terbuka relatif terhadap Y. Himpua Terbatas Himpua E dalam ruag metrik X disebut terbatas jika terdapat titik p X da bilaga M > 0 sehigga utuk setiap x E maka jarak d(p,x) M. (Soematri,1993) Barisa Titik di dalam Ruag Metrik Diberika (X,d) ruag metrik. Barisa titik di dalam X adalah suatu fugsi dari N ke dalam X, ditulis f()=x da diotasika dega, N. Barisa dikataka koverge ke x X jika >0 N N sehigga utuk setiap N berlaku d(x, x}< da ditulis x da utuk setiap k N maka disebut sub barisa dari. (Soematri, 1993) Barisa disebut barisa Cauchy jika > 0 N N, m N berlaku d(x, x m ) <. Jika setiap barisa Cauchy di dalam ruag metrik ii koverge maka ruag metrik ii disebut ruag metrik legkap.(soematri, 1993) Teorema 9. Di dalam sebarag ruag metrik, setiap barisa Cauchy adalah terbatas. Dimisalka = 1 maka utuk sembarag barisa Cauchy terdapat bilaga bulat positif N sehigga utuk semua m, N berlaku d(x m, x ) < 1. Diambil m = N maka d(x N, x ) < 1 utuk semua N. Sekarag kita ambil M = maks {d(x N, x 1 ), d(x N, x 2 ),..., d(x N, x N-1 ), 1}. Dega demikia diperoleh hasil bahwa d(x N, x ) M utuk semua N. Jadi terbukti terbatas. - 285 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Peutup Himpua Defiisi 10. Jika X suatu ruag metrik da E meyataka himpua semua titik limit himpua E, maka peutup himpua (closure set) E diotasika dega adalah himpua E E (Soematri, 1993) Teorema 11. Jika (X,d) sebarag ruag metrik da E X, maka: (i) tertutup (ii) E tertutup =E (i) Utuk membuktika bahwa tertutup, maka harus diperlihatka bahwa ( c terbuka. Diambil x Karea = E E da x berarti x E da x E. Artiya ada N r (x) sekitar dari x, sehigga N r (x) E = Ø. Kemudia di dalam N r (x) tetu tidak ada titik limit E maka N r (x) = Ø sehigga N r (x) ( ) c, berarti ( ) c terbuka. Berdasarka teorema 4 maka tertutup. (ii) ( ) Jika E tertutup maka aka dibuktika bahwa = E Diketahui E tertutup maka E E berarti = E E =E. Jadi ( ) Jika maka aka dibuktika bahwa E tertutup. Meurut (i) tertutup da berarti E tertutup. Defiisi 12. Diberika X ruag metrik da E X. Himpua E dikataka rapat (dese) dalam X jika memeuhi salah satu peryataa dibawah ii: (i) (ii) utuk setiap p X terdapat barisa didalam E yag koverge ke p. (Soematri, 1993) Defiisi 13. X disebut separabel jika ada himpua terbilag D yag dese (rapat) dalam X. (Aubi,1977) Himpua Kompak Defiisi 14. Diberika ruag metrik X da E X. Keluarga semua himpua terbuka {G : A }, A himpua ideks. G disebut selimut terbuka (ope cover) utuk E jika utuk setiap x E, terdapat A sehigga x G da memeuhi E G. Misal G = {G: A} selimut terbuka utuk E, jika G 0 G dega G 0 masih mampu meyelimuti E maka G 0 disebut sub selimut terbuka utuk E. (Soematri,1993) Defiisi 15. Diberika (X,d) ruag metrik da K X. K disebut himpua kompak jika memeuhi salah satu syarat berikut: (i) Setiap selimut terbuka utuk K memuat subselimut berhigga yag masih meyelimuti K. (Soematri,1993) (ii) Setiap barisa tak higga dega x K mempuyai setidakya satu titik limit yag termuat di dalam K. (Aubi, 1977) Teorema 16. Jika K Y da Y sub ruag ruag metrik X, maka K kompak relatif terhadap Y jika da haya jika K kompak relatif terhadap X. ( ) Jika K kompak relatif terhadap Y da {G } sembarag selimut terbuka utuk K terhadap X maka keluarga {V } dega V = G Y merupaka selimut terbuka utuk K terhadap Y. Maka terdapat V 1, V 2,..., V, yag meyelimuti K, sebab K kompak relatif terhadap Y. Dega demikia keluarga berhigga G 1, G 2,..., G, merupaka sub selimut berhigga dari {G } yag meyelimuti K. Jadi K kompak relatif terhadap X. ( ) Jika K kompak relatif terhadap X da {V } keluarga himpua terbuka relatif terhadap Y da yag meyelimuti K. Meurut teorema 8 maka V = G Y dega G himpua terbuka terhadap X. Dega demikia {G } merupaka selimut terbuka utuk - 286 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat K terhadap X. Karea K kompak relatif terhadap X, maka {G } memuat sub-selimut berhigga yag meyelimuti K. Himpua-himpua V yag terkait dega himpua G aggota sub-selimut tadi, merupaka sub-selimut berhigga dari {V } yag meyelimuti K. Jadi K kompak terhadap Y. (Soematri,1993) Defiisi 17. Ruag metrik X disebut kompak lokal jika utuk setiap titik x X ada sekitar N r (x) yag closureya kompak. (Royde, 1989) Teorema 18. Diberika (X,d) ruag metrik sembarag da K X. Jika K kompak maka K tertutup da terbatas. (a) Utuk membuktika bahwa K tertutup maka cukup ditujukka bahwa K c terbuka. Diambil p K c, kemudia utuk setiap titik x K dibuat sekitar V x dega pusat x da sekitar W x dega pusat p yag radiusya kurag dari Jadi V s W x = Ø utuk semua x K. Jelas bahwa keluarga (V x : x K ) adalah selimut terbuka utuk K. Karea K kompak maka dapat ditetuka x 1, x 2,..., x aggota K sehigga K V x1 V x2... V x = V Perhatika himpua W=W x1 W x2... W x. Himpua W merupaka suatu sekitar titik p da himpua bagia semua W xi utuk i = 1,2,3,...,. Jadi W V xi = Ø utuk semua i = 1,2,..., sehigga Dega demikia W K = Ø atau W K c. Terbukti p titik iterior K c sehigga K c terbuka. Berdasarka teorema 4 maka K tertutup. (b) Aka dibuktika bahwa K terbatas. Utuk setiap x K dibetuk sekitar N 1 (x) dega pusat x da radius 1. Keluarga { N 1 (x): x K } merupaka selimut terbuka utuk K. Karea K kompak maka terdapat x 1, x 2,x 3,...,x m K sehigga K N 1 (x 1 ) N 1 (x 2 )... N 1 (x m ). Dipilih p X, p =x 1 sebagai titik tetap. Dimisalka M-1 = maks {d(p,x 2 ), d(p,x 3 ),..., d(p,x m )}. Utuk sembarag y K terdapat x j K dega 1 j m sehigga y N 1 (x j ). Berarti d(y,x j ) 1. Dega ketaksamaa segitiga didapat: d(p,y) d(p,x j ) + d (x j, y) (M-1) + 1 M y K Jadi terbukti K terbatas. Teorema diatas telah membuktika bahwa jika K kompak dalam ruag metrik sebarag maka K merupaka himpua yag tertutup da terbatas. Tetapi utuk kodisi sebalikya belum tetu berlaku, seperti cotoh dibawah ii: Cotoh: Diberika ruag metrik Q dega jarak biasa, maka himpua A = {x Q: 2 < x 2 < 3} da A Q adalah tertutup da terbatas tetapi tidak kompak. Dega megguaka teorema berikut ii aka didapatka bahwa dalam ruag Euclides R utuk sebarag bilaga bulat positif, himpua tertutup da terbatas adalah kompak. Teorema 19. Jika barisa selag-selag tertutup dalam R, sedemikia higga I I +1 (=1,2,3,...), maka tidak kosog. Dimisalka I =[a,b ] da E = { a : N}. Maka E tidak kosog da terbatas ke atas, utuk semua bilaga a b 1. Karea R mempuyai sifat batas atas terkecil maka terdapatlah x didalam R sehigga x = sup E. Megigat I I +1 utuk semua, maka utuk sebarag p da q bulat positif berlaku a p a p+q b p+q b q - 287 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Jadi utuk sebarag p N da sebarag q N berlaku a p b p, sehigga b q merupaka batas atas utuk E. Dega demikia maka sup E = x b utuk semua N. Jadi utuk semua berlaku a x b, sehigga x. Terbukti bahwa tidak kosog. (Soematri, 1993) Teorema 20. Di dalam R selag tertutup adalah kompak. Diberika selag tertutup I = {x: a x b}. Diadaika bahwa I tidak kompak. Jadi terdapat suatu selimut terbuka {G } tapa sub - selimut berhigga yag dapat meyelimuti I. Oleh titik c = selag ii terbagi mejadi dua sub-selag [a,c] da [c,b]. Karea {G } tidak memuat sub-selimut berhigga [a,b] maka palig sedikit satu dari kedua selag ii tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G }. Misalka I 1 = [a 1, b 1 ] adalah sub-selag yag tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G }. Kemudia I 1 ii dibagi lagi mejadi dua sub-selag [a 1,c 1 ] da [c 1, b 1 ] oleh titik c 1 = Salah satu dari kedua selag ii tetu tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari G.. Demikia proses ii dikerjaka terusmeerus sehigga diperoleh barisa selag tertutup dega sifat: (a) I I 1 I 2 I 3...; (b) I tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G }; (c) Jika x da y di dalam I maka x-y Megigat (a) da teorema 19 terdapatlah suatu titik p sehigga p I. Karea p [a,b] maka terdapatlah suatu sehigga p G. Karea G terbuka maka terdapatlah r > 0 sehigga selag terbuka (p-r, p+r) G. Dipilih bilaga asli yag cukup besar sehigga < r. Meurut (c) ii berarti bahwa I G, sebab I (p-r, p+r) G. Tetapi jika demikia berarti bahwa I dapat diselimuti oleh satu saja himpua terbuka aggota {G }. Terdapat kotradiksi dega (b). Jadi pegadaia di atas salah, da [a,b] harus kompak. (Soematri, 1993) Teorema 21. Jika barisa sel- di dalam R sedemikia higga I 1 I 2 I 3..., maka tidak kosog. Dimisalka I = {x = (x 1,x 2,...,x }: a j x j b j, 1 j }. Jadi utuk j tertetu (a j ) kita mempuyai barisa selag tertutup dega I j = {x: a j x j b j }, = 1,2,3,... meurut teorema 19, tidak kosog, jadi terdapatlah sehigga a j b j utuk semua = 1,2,3,... karea ii berlaku juga utuk semua j = 1,2,3,...,, maka aka diperoleh x * = ( ) sehigga x * I tidak kosog. Teorema 22. Utuk bulat positif, di dalam R sel- adalah kompak. Dimisalka I adalah suatu sel- yag merupaka himpua x = ( x 1, x 2,..., x ) dega a j < x j < b j. Jika h = b j a j j 1 2 maka utuk semua x da z di dalam I berlaku x - z < h. Diadaika I tidak kompak, maka terdapat suatu selimut terbuka {G a } utuk I yag tidak memuat sub-selimut berhigga utuk I. Diambil bilaga real C j = 2 1 (aj + b j ), j = 1,2,,. Maka terbetuklah selag tertutup [a j, c j ] da selag tertutup [c j, b j ], j = 1,2,. Selag-selag ii membetuk 2 sel- sebut V i (1 < i < 2 ) yag gabugaya sama dega I. Palig sedikit satu himpua V i tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G a }, himpua V i ii disebut I 1. Demikia proses ii kita kerjaka terus- - 288 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat meerus seperti pada bukti teorema 7.7, diperoleh dibarisa I dari sel-sel - k dega sifat sebagai berikut: (a) I I 1 I 2 I 3.; (b) I 1 tidak dapat diselimuti oleh sub-keluarga berhigga dari {G a }; (c) Jika x da z di dalam I maka x - z < 2 h. Selajutya dega memperhatika teorema 8.7 da (a) terdapatlah suatu titik p sehigga p I. Karea p [a j, b j ] maka terdapatlah suatu sehigga p G a. Karea G a terbuka maka terdapatlah r > 0 sehigga selag terbuka (p-r, p + r) G. Dipilih bilaga asli yag cukup besar sehigga 2 h< r. Meurut (c) ii berarti bahwa I G, sebab I (pr, p + r) G. Tetapi jika demikia berarti bahwa I dapat diselimuti oleh satu saja himpua terbuka aggota {G a }. Terdapat kotradiksi dega (b). Jadi pegadaia diatas salah, da [a j, b j ] harus kompak. (Soematri, 1993) Teorema 23. Setiap himpua bagia tertutup dari ruag metrik yag kompak adalah kompak. Diberika himpua kompak K da F sub himpua tertutup dari K. Diadaika {G } suatu selimut terbuka utuk F. Karea F tertutup maka F c terbuka. Perhatika keluarga {G } { F c }. Keluarga ii mejadi selimut terbuka utuk K, sebab himpua bagia K yag belum terselimuti oleh {G } sekarag diselimuti oleh F c. Karea K kompak maka selimut ii memuat sub selimut yag berhigga dega F c suatu aggota dalam sub selimut ii. Dimisalka sub selimut berhigga ii { G 1, G 2,.. G, F c }. Tetu saja G 1, G 2,.. G meyelimuti F da merupaka sub selimut berhigga selimut yag diberika utuk F. Jadi jika {G } suatu selimut terbuka utuk F maka {G } memuat sub selimut berhigga utuk F, sehigga F kompak. Teorema 24. Jika x suatu barisa di dalam ruag metrik X yag kompak maka x memuat sub barisa yag koverge ke suatu titik di dalam X. (a) Jika x barisa yag berhigga di dalam X. Karea x merupaka fugsi dega domai himpua tak berhigga N maka palig sedikit ada satu eleme x x sehigga x = x utuk tak berhigga bayak ideks, dega demikia kita dapat membetuk suatu barisa ( k: k N) sehigga 1 < 2 < 3 <.. da x 1 = x 2 = x 3 =.= x. Jadi yag kita peroleh ii merupaka suatu sub barisa yag koverge ke x X. (b) Jika x barisa tak berhigga di dalam X. Karea x sub himpua ruag metrik X kompak, maka x mempuyai titik limit p di dalam X. Dibetuk suatu barisa didalam x yag koverge ke p. Pilih 1 sehigga d(x 1, p) < 1 Pilih 2 sehigga d(x 2, p) < ½ : : : : Pilih k sehigga d(x k, p) < 1 / k dega 1 < 2 < < k Terbetuklah sub barisa x yag koverge ke p utuk k. Sebab jika diberika > 0 sembarag, dapat dicari N bilaga bulat positif sehigga utuk semua k p berlaku 1 / k <. Jadi d(x 1, p) < 1 / k < utuk semua k N berlaku 1 / k < da dega demikia lim k x k p - 289 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Teorema 25. Jika X kompak da ke suatu titik didalam X. Meurut teorema sebelumya (teorema 24), karea x barisa cauchy di dalam X, maka x koverge x suatu barisa di dalam ruag metrik X yag kompak maka x memuat suatu sub barisa x yag koverge ke suatu titik x X. Karea suatu barisa koverge ke suatu titik jika da haya jika semua sub barisaya juga koverge ke titik tersebut, maka tiggal dibuktika bahwa x koverge ke x. Diberika > 0 sembarag. Karea x koverge ke x X, maka terdapat suatu N 1 N, sehigga d(x,x k ) < utuk setiap k 2 N 1. Karea x suatu barisa cauchy, maka terdapat N 2 N, sehigga d(x m, x ) < 2 utuk setiap, m N 2. Dipilih N = maks {N 1, N 2 }, maka utuk setiap N N 1 da N = m N N 2 berlaku d(x,x N ) < 2 da d(x, x N ) < 2 sehigga utuk setiap N berlaku: d(x,x) d(x,x N ) + d(x N, x) < 2 + 2 = Jadi terbukti bahwa x koverge ke x X. Fugsi kotiu Defiisi 26. Diberika ruag metrik (X, d 1 ) da (Y, d 2 ). E X, p E da f fugsi dari E ke Y. Fugsi f dikataka kotiu di titik p jika utuk setiap > 0 terdapat suatu >0 sehigga utuk semua x E da d 1 (x, p) < berlaku d 2 (f(x). f(p)) <, asalka f terdefiisi di titik p. Jika f kotiu disetiap titik aggota E, maka dikataka bahwa f kotiu pada E. (Soematri, 1993) Defiisi 27. Diberika fugsi f dari ruag metrik (X,d 1 ) ke dalam (Y, d 2 ). Fugsi f dikataka kotiu seragam pada X jika utuk setiap >0 terdapat suatu > 0 sehigga utuk semua p da q di dalam X dega d 1 (p, q) < berlaku d 2 (f(p), f(q)) <. (Soematri, 1993) Jarak Himpua Defiisi 28. Diberika (X,d) ruag metrik dega A,B X. (i) Jarak titik x X ke himpua A didefiisika: d(x,a) = d({x}, A) = If y A d(x,y) (ii) Jarak dari himpua A ke himpua B didefiisika: d(a,b) = If x A If y B d(x,y) (Aubi,1977) Lemma 29. Diberika ruag metrik (X,d) da A tidak kosog, A X. Maka pemetaa fugsi jarak f: X R yag didefiisika f(x) = d(x,a) utuk setiap x X merupaka fugsi yag kotiu seragam pada X. Diambil z A utuk setiap x,y X, maka dega ketaksamaa segitiga berlaku d(x,z) d(x,y) + d(y,z) da d(y,z) d(y,x) + d(x,z) sedagka d(x, A) = if {d(x,z) ; z A - 290 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat if { d(x,y) + d(y,z): z A} =d(x,y) + if {d(y,z);z A} =d(x,y) + d(y,a) Berarti d(x,a)-d(y, A) d(x,y) atau f(x)-f(y) d(x,y)...(1) Sebalikya d(y, A) = if {d(y,z) ; z A if { d(y,x) + d(y,z): z A} =d(y,x) + if {d(x,z);z A} =d(y,x) + d(x,a) Berarti d(y,a)-d(x, A) d(x,y) atau f(y)-f(x) d(x,y)...(2) Dari (1) da (2) didapat f(x)-f(y) d(x,y)<. Pilih = maka f(x)-f(y) )< < Sehigga terbukti fugsi jarak adalah kotiu seragam pada X. Ruag Berorma X ruag vektor berilai real, orma pada X adalah pemetaa x x, x X Pada R sedemikia higga: i. x 0, x = 0 x = 0 ii. x + y x + y, x,y X iii. x = x, x X R pasaga (X, ) disebut ruag berorma. (Aubi, 1977) Preposisi 30. Norma mempuyai sifat: i. -x = x ii. x - y x y i. -x = (-1) (x) = -1 x = x ii. x = x y + y x y + y x - y x y...(1) Karea y-x = (-1)(x-y) = -1 x - y = x - y maka y = y x + x y x + x = x y + x - x y x - y...(2) Dari (1) da (2) didapat x y x - y Proposisi 31. Jika (X, ) ruag berorma maka fugsi d didefisika sebagai: d(x,y) = x-y adalah jarak pada X yag memeuhi kodisi dibawah ii: i. d(x +z, y+z) = d (x,y) ii d( x, y) = d(x,y) Lebih dulu aka dibuktika bahwa d adalah metrik. 1. d(x,y) = 0 2. d(x,y) = 0 = 0 x y = 0 x = y 3. d(x,y) = = = d(x,z) + d(z,y) Jadi terbukti bahwa d adalah metrik. Selajutya aka dibuktika kedua kodisi di atas. i. d(x+z, y+z) = - 291 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat = = d(x,y) ii. d( x, y) = = = = d (x,y) Dari preposisi ii dapat disimpulka bahwa setiap ruag berorma adalah ruag metrik. 11. Teorema F. Riesz. Ruag vektor berorma X adalah kompak lokal jika da haya jika X berdimesi berhigga. ( ) Dimisalka X ruag vektor berorma yag kompak lokal. Dibetuk bola tertutup B ( ) dega pusat da radius > 0 di dalam X maka B ( ) kompak. Jadi ada x 1, x 2, x 3..., x B ( ) sedemikia higga B ( ). Perhatika Y sub ruag berdimesi yag dibagkitka oleh titik-titik x i (1 i ). Selajutya aka ditujukka bahwa X=Y. Diadaika Y X. Maka ada x X da x Y, karea Y berdimesi berhigga maka Y legkap da tertutup. Kemudia didefiisika d(x 0, Y) = karea < + maka + buka batas bawah, artiya ada y 0 Y sedemikia higga - d(x 0, Y) d(x 0, Y) + = Misalka z 0 = tetu z 0 B ( ) sehigga = da = dimaa ( ). Betuk y = x 0 - = y 0 + x 1 Karea y 0, x 1 Y maka y Y, sehigga didapat = Terjadi kotradiksi, sehigga pastilah x 0 Y da X = Y. ( ) Jika X berdimesi berhigga maka X isomorfis ke ruag R. Karea sekitar N (x i ) dalam R adalah kompak maka R kompak lokal da X isomorfis R berarti X juga kompak lokal. PEMBAHASAN Ruag metrik X dikataka mempuyai sifat bola tertutupya kompak jika setiap bola tertutup dari ruag metrik ii merupaka himpua yag kompak. Selajutya ruag metrik X yag bersifat seperti ii oleh Aubi(1977) diberi ama Metric Spaces With Compact Closed Balls (CCB) atau ruag metrik dega sifat bola tertutupya kompak da selajutya aka disebut sebagai X bersifat CCB (Compact Closed Balls) atau ruag bersifat CCB. Tetapi ada juga yag meamaka ruag metrik ii dega Metric Spaces With Nice Closed Balls atau ruag metrik dega sifat bola tertutup rapi (Beer G, 1987). Sedagka salah satu cotoh ruag bersifat CCB ii adalah ruag Euclides berdimesi (R ) da ruag diskrit. Dimisalka B bola tertutup dalam R maka B aka tertutup da terbatas dalam sel- yag kompak. Jelas B kompak. Begitu juga dega ruag diskrit, dapat diperlihatka secara sederhaa bahwa ruag diskrit merupaka ruag bersifat CCB. Dalam tulisa diatas telah disebutka bahwa himpua yag kompak dalam suatu ruag metrik sebarag aka tertutup da terbatas, sebalikya belum tetu berlaku. Disiilah mearikya ruag metrik yag bersifat CCB ii, karea di dalam ruag metrik ii dapat - 292 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat dibuktika bahwa setiap sub himpua yag tertutup da terbatas dari X merupaka himpua kompak. Pembahasa selajutya aka membuktika sifat diatas serta membicaraka sifat-sifat apa saja yag bisa dituruka dari ruag metrik tersebut da aka diyataka dalam betuk preposisi berikut ii. Preposisi 1. Ruag metrik X bersifat CCB jika da haya jika setiap sub himpua yag tertutup da terbatas dari X adalah kompak. ( ) Aka dibuktika jika X bersifat CCB maka sub himpua yag tertutup da terbatas dari X merupaka himpua kompak. Diambil himpua F yag tertutup da terbatas di dalam X, sedemikia higga F B dega B bola tertutup dalam X. Karea X bersifat CCB maka pastilah B kompak, jika B kompak da F B maka (meurut teorema 8.10) dapat disimpulka bahwa F kompak. ( ) Aka dibuktika jika sub himpua yag tertutup da terbatas di dalam X merupaka himpua yag kompak, maka X bersifat CCB. Diambil B bola tertutup dalam X, maka B pastilah terbatas. Karea B merupaka sub himpua tertutup dari X yag kompak maka B kompak. Da sesuai defiisi jelas bahwa X bersifat CCB. Preposisi 2. Pada ruag metrik sebarag maka setiap himpua yag kompak aka bersifat CCB. Diambil bola tertutup B di dalam X. Maka B merupaka himpua tertutup didalam X. Karea X kompak da B X maka meurut teorema 8.10 maka B pastilah kompak. Kesimpulaya X bersifat CCB. Preposisi 3. Setiap sub himpua tertutup dari ruag CCB adalah ruag CCB. Sedagka sub himpua terbuka dari ruag CCB pada umumya buka ruag CCB. Aka dibuktika bahwa setiap sub himpua tertutup dari ruag CCB adalah ruag CCB. Misalka diambil sebarag himpua tertutup F dari X yag bersifat CCB. Jika F berupa bola tertutup, da F didalam ruag CCB jelas bahwa F kompak. Sesuai preposisi 2 maka F bersifat CCB. Jika F buka bola tertutup dega kata lai F merupaka himpua tertutup biasa, maka diambil sebarag bola tertutup B didalam F. Karea F X maka B X. Karea X bersifat CCB maka pastilah B kompak.sehigga didapat B bola tertutup yag kompak di dalam F, dega kata lai F bersifat CCB. Sedagka utuk membuktika bahwa sub himpua terbuka dari ruag CCB pada umumya buka ruag CCB kita guaka cotoh. Cotoh: Diberika (R, d) sebagai ruag CCB. Diambil E = (0,2) da E R. Pilih B bola tertutup dalam E dega pusat da r =, maka: B = ( ) = {x E d(, x ) } = (0,1] Bola diatas aka tertutup relatif terhadap E tapi tidak tertutup dalam R sehigga meurut teorema 23 B tidak kompak dalam R. Karea B E da E R maka B tidak kompak dalam E sebab suatu himpua kompak dalam E jika da haya jika himpua tersebut kompak dalam R. Proposisi 4. Dimisalka (X, d ) ruag metrik. Jika X ruag yag bersifat CCB maka: (i) X legkap (ii) X kompak lokal, da (iii) X separabel - 293 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat (i) Diambil sebarag barisa Cauchy x di dalam ruag metrik X yag bersifat (ii) CCB. Karea x barisa terbatas di dalam X, maka daerah jagkau E = {x } merupaka himpua terbatas didalam X. Dega demikia terdapat bola tertutup B di dalam X, sehigga E B. Karea X bersifat CCB da B X maka B kompak. Meurut teorema 25 x barisa cauchy di dalam himpua B yag kompak maka x koverge ke x B terbukti bahwa X legkap. Diambil sebarag sekitar N r (p) dega pusat p X da jari-jari r > 0. Maka Nr(p) X dimaa Nr(p) = {x X d(p,x) < r}. Peutup dari Nr(p) merupaka bola tertutup B sehigga B={ x X d(p,x) r } = closure (Nr(p)) = Nr ( p) Da B X, karea X bersifat CCB, maka B = Nr( p) kompak lokal. kompak. Terbukti X (iii) Diambil sebarag bola tertutup B di dalam X. Karea X bersifat CCB maka B kompak. Utuk setiap N, dimisalka D himpua berhigga di dalam B. Karea B kompak maka setiap x B terdapat y D sedemikia higga d(x,y) < pilih y = y 1 D d(x,y 1 ) < 1 pilih y = y 2 D d(x,y 2 ) < : : : : pilih y = y D d(x,y ) < maka N y D. Misal D = = {y 1,y 2,y 3,... }. Maka terdapat D yag terbilag. Utuk maka y x X dega kata lai D dese dalam X. Jadi terbukti X separabel. Proposisi 5. Diberika (X,d) ruag metrik yag bersifat CCB, maka: (i) Setiap himpua tertutup A dari X da x X, a A sehigga d(x,a) = d(x,a). (ii) Jika A sub himpua yag kompak pada X da B himpua tertutup dari X maka ada a A da b B sehigga d(a,b) = d(a,b). (i) Diambil A X da A tertutup. Karea X bersifat CCB maka ada bola tertutup B yag kompak sedemikia higga A B. Karea A tertutup da A B dega B kompak maka A juga kompak. Diambil x X maka d(x,a) = if {d(x,a) ;a A}. Artiya ada y k A sedemikia higga. Karea A kompak maka ada a A sehigga da fugsi d(x,a) kotiu berakibat d(x,a) = Terbukti ada a A sehigga d(x,a) = d(x,a). (ii) Diambil a A maka d(a,b) = meurut (i) ada b B sehigga d(a,b) = d(a,b).diambil ifium meliputi semua a A maka artiya ada y k A sedemikia higga d(y k,b) = d(a,b). Karea A kompak maka ada sub barisa, misalka diambil <y k > sedemikia higga y k a A. Sehigga. Jadi terbukti d(a,b) = d(a,b) - 294 -
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat Proposisi 6. Ruag berorma adalah ruag bersifat CCB jika da haya berdimesi berhigga ( ) Dimisalka X ruag berorma yag bersifat CCB, aka dibuktika X berdimesi berhigga. Karea X ruag berorma yag bersifat CCB maka X ruag metrik yag bersifat CCB (preposisi 2) sehigga X kompak lokal (preposisi 4). Da meurut teorema F. Riesz maka X berdimesi berhigga. ( ) Misal X ruag berorma yag berdimesi berhigga maka meurut teorema F. Riesz maka X kompak lokal. Ambil sembarag bola tertutup B di dalam X maka B kompak. Jadi terbukti X ruag bersifat CCB. PENUTUP Kesimpula Pada ruag metrik (X,d) yag bersifat CCB berlaku, atara lai: 1. Setiap sub himpua yag tertutup da terbatas di dalam X adalah kompak. 2. Himpua yag kompak bersifat CCB. 3. bersifat CCB. Sedagka utuk sub himpua yag terbuka pada umumya buka ruag bersifat CCB. Sara Masih ada sifat-sifat lai yag mugki bisa dituruka da bisa dipelajari/ dibuktika lebih lajut megeai ruag metrik yag bersifat CCB ii, misalya di ruag R, apakah masih berlaku sifat CCB ii jika metrik yag diguaka adalah metrik Euclides d ( metrik yag didefiisika dari pegertia orma) da bagaimaa juga apabila diguaka metrik lai yag ekivale yaitu, masih berlaku atau tidak, atau jika (X, d) dipadag sebagai ruag metrik yag kompak lokal da separable kira-kira sifat apa yag bisa dituruka dari ruag metrik ii. DAFTAR PUSTAKA Aubi, J.P. 1977. Applied Abstract Aalysis. New York: Wiley. Beer, G. 1987. Metric Spaces with Nice Closed Balls ad Distace Fuctio for Closed Set. Bull. Australia Math, Soc. Ia Maturida, D., YD Sumato. 2009. Himpua-himpua Kompak dalam Ruag Hausdorff. Thesis Uiv. Muhammadiyah Malag. Kuriasih, N. 2011. Sifat-sifat Topologi Ruag Liear. ejural, umpwr. Kusrii, Susiswo. 2005. Pegatar Topologi. Jakarta: Uiversitas Terbuka. Kustiawa, Cece. 2012. Himpua Kompak pada Ruag Metrik. Jural Ifiity. Rohmawati, Laily. 2009. Himpua Kompak dalam ruag Topologi. Thesis Uiv. Muhammadiyah Malag. Royde, H.L. 1989. Real Aalysis. New York: Macmilla Publishig Compay. Soematri, R. 1993. Aalisis Real I. Jakarta: Peerbit Karuika U.T. Sukmarigga, Deki. 2011. Sifat Ruag Metrik Topologis. Skripsi Udip Semarag. - 295 -