Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi Wibowo Jurusa Matematika MIPA UNS Abstrak Kurva-kurva kotiu tetapi mempuyai struktur yag tidak teratur (fraktal seperti fugsi aak tagga Lebesgue-ator (fugsi sigular Lebesgue-ator dimaa fugsi ii tidak terdiferesial hampir dimaa-maa, sehigga fugsi ii buka merupaka solusi dari persamaa diferesial biasa. Sebagai kosekuesiya, kalkulus biasa tidak dapat diaplikasika utuk meyelesaika masalah yag terkait dega fugsi ii. Sehigga perluya dikostruksika suatu derivatif dalam hal ii derivatif-,yag dapat bekerja pada suatu himpua fraktal. Dalam makalah ii dibahas hubuga atara order derivatif- fugsi f : dega dimesi-γ dari himpua fraktal. Dega megguaka sifat-sifat derivatif- da dimesi-γ, dapat dibuktika bahwa dimesi-γ himpua perfek- sama dega order derivatif fugsi f : terhadap derivatif -. Kata kuci : fugsi sigular Lebesgue-ator, order derivatif-, dimesi-γ himpua fraktal PENDAHULUAN Kurva-kurva kotiu tetapi mempuyai struktur yag tidak teratur (fraktal seperti fugsi sigular Lebesgue-ator (fugsi aak tagga ator dimaa fugsi ii tidak terdiferesial hampir dimaa-maa, sehigga fugsi ii buka merupaka solusi dari persamaa diferesial biasa. Sebagai kosekuesiya, kalkulus biasa tidak dapat diaplikasika utuk meyelesaika masalah yag terkait dega fugsi ii, sehigga perluya dikembagka kalkulus baru, dalam hal ii seperti pedekata Riema dalam itegral-riema, yag didasarka pada himpua fraktal. Dalam kalkulus baru ii juga memuat formulasi tetag derivatif da itegral dega,1 berdasarka himpua fraktal, selajutya berturut-turut disebut order ( ] derivatif- da itegral-. Jika himpua berdimesi (,1], maka dega derivatif-, turua dari fugsi aak tagga ator S pertigaa ator adalah fugsi karakteristik χ ( berilai ol utuk yag lai. ugsi aak tagga ator S himpua fraktal mejadi fugsi aak tagga S dega = 3 l 2 da himpua, yaitu fugsi yag berilai satu pada da dapat diperumum utuk sebarag dega (,1] da himpua fraktal. ugsi aak tagga memaika pera setral dalam kalkulus-, dalam derivatif- kuatitas ( S ( y S meggatika posisi ( y, pajag iterval [ y, ] atau jarak atara da y dalam kalkulus biasa (Parvate da Gagal, 23 da 25.,1, dalam ugsi sigular Lebesgue-ator terdiferesial hampir dimaa-maa pada [ ] artia fugsi tersebut mempuyai turua order satu pada himpua [,1] yag berdimesi satu, tetapi tidak mempuyai turua biasa (berilai tak higga pada himpua berukura ol = 3 l 2 (Bartle, 21. Tampak yaitu himpua pertigaa ator [,1] yag berdimesi M-33
Supriyadi Wibowo/Hubuga Atara Order bahwa ada hubuga erat atara order derivatif suatu fugsi dega dimesi domai dimaa fugsi tersebut terdefiisi. Dalam peelitia ii aka diselidiki hubuga atara order derivatif- suatu fugsi dega dimesi-γ dari domai dimaa fugsi tersebut terdefiisi. LANDASAN TEORI Berikut aka dikostruksika fugsi sigular ator-lebesgue atau Devil s staircase L :,1 secara rekursif sebagai berikut fuctio [ ] fugsi L : 1 [,1 ] adalah fugsi liear sepotog-sepotog (piecewise liear fuctio dega L ( =, L = 1 2, utuk [ 1 3, 2 3] da L (1 = 1. 1 1 1 ugsi L2 :[,1] adalah fugsi liear sepotog-sepotog dega 2 2 2 [ ] [ ] L ( =, L = 1 4, utuk 1 9,2 9, L = 1 2,utuk 1 3,2 3, [ ] Secara umum, fugsi L :[,1] L = 3 4,utuk 7 9,8 9 da L (1 = 1. 2 2 L ( =, L (1 = 1 1 da berilai 1 2, 2 2,..., 2 2 iterval-iterval peghapusa dalam membetuk adalah fugsi liear sepotog-sepotog dega pada iterval-iterval tertutup yag berkorespodesi dega. Dari uraia di atas tampak bahwa barisa fugsi { L } memeuhi sifat-sifat berikut L adalah fugsi kotiu pada [,1 ] utuk = 1,2,3,... i. fugsi,1 utuk = 1,2,3,.... ii. fugsi L adalah fugsi aik pada [ ] Berdasarka i da ii diperoleh beberapa sifat fugsi L :[,1], sebagai berikut Teorema 2.1 (Bartel, 21 da Barra, 1981 Diberika fugsi sigular ator-lebesgue L :,1, maka berlaku sifat-sifat berkut [ ] i. fugsi L adalah kotiu pada [,1 ] ii. fugsi L adalah aik pada [,1 ] iii. turua D( L 1, =., [,1] Berikut diberika gambar fugsi sigular ator-lebesgue L :[,1]. Gambar 2.1 Gambar fugsi sigular ator-lebesgue L M-34
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 Diberika himpua himpua bagia bilaga real. Berikut aka didefiisika kote (cotet atau massa- dari di dalam [ ab, ], yaitu massa [ ab, ] dega order-, < 1.Defiisi 2.2 ( Parvate ad Gagal, 23 Subdivisi (subdivisio P [ ab, ] (P dari iterval [ ab, ], a< b adalah himpua titik-titik berhigga { a =, 1,..., = b}, i < i + 1. Sebarag iterval yag berbetuk [ i, i + 1] disebut iterval kompoe (compoet iterval atau kompoe (compoet dari subdivisi P. Jika Q adalah sebarag subdivisi dari [ ab, ] da P Q, maka dikataka Q sebagai peghalus dari P. Jika a b a adalah haya subdivisi dari [ ab, ]. =, maka himpua { } Defiisi 2.3 ( Parvate ad Gagal, 23 Utuk himpua da subdivisi P [ ab, ], a< b, fugsi γ ab,, didefiisika oleh massa γ ( 1 ( i+ 1 i = δ { P[ ab, ]: P δ} i= Γ ( + 1 dega θ (, [ i, i+ 1] = 1 jika [ i, i + 1] P = (. ( [ i i+ 1] ab,, lim if θ,, ma i+ 1 i o i 1 tidak kosog da ol utuk yag lai, serta Motivasi dari defiisi di atas berasal dari kalkulus fraksioal (fractioal calculus da kostruksi ukura Hausdorff. Sifat peskalaa da traslasi utuk fugsi massa diberika oleh teorema berikut Teorema 2.4 ( Parvate ad Gagal, 23 Diberika da λ, misalka + λ meotasika himpua + λ = { + λ: } da misalka λ meotasika himpua λ = { λ: }, maka berlaku (a Traslasi : γ ( + λ, a+ λ, c+ λ = γ ( ab,, (b Peskalaa ( λ : γ ( λ, λa, λc = λγ ( ab,,. Remark : Jika himpua adalah sebagu diri (self-similar diperoleh λ [ λa, λb] = [ λa, λb] utuk suatu λ, maka dega sifat peskalaa dapat dituliska sebagai (, a, c γ λ λ = λ γ ( ab,,. Sebagai cotoh himpua pertigaa ator (middel 1 ator set dega, 1 3 a= b= da 1 λ =. 3 Defiisi 2.5 ( Parvate ad Gagal, 23 Misalka a adalah sebarag bilaga real tetapi tertetu. ugsi itegral aak tagga (staircase S dega order utuk himpua diberika oleh γ ( a,,, S =. γ (, a,, < ugsi S adalah fugsi aak tagga (staircase fuctio utuk himpua fraktal dega 3 order < 1, merupaka perumuma fugsi aak tagga ator S dega = l 2 da himpua pertigaa ator. Berikut diberika gambar fugsi aak tagga ator Γ + S. 1 M-35
Supriyadi Wibowo/Hubuga Atara Order Gambar 2.2 Gambar fugsi aak tagga ator Γ ( + 1 S Berikut diberika beberapa sifat fugsi aak tagga S ( ab,, γ. terkait dega fugsi massa Teorema 2.6 ( Parvate ad Gagal, 23 Diberika da < 1. Jika ab,, y, ab, dega < y, memeuhi sifat-sifat berikut γ <, maka utuk semua (a S adalah aik di. (b Jika ( ab, =, maka S adalah kosta di [, ] (c S ( y S = γ ( y,,. (d S adalah kotiu pada ( ab,. y. Berdasarka keserupaa defiisi atara fugsi massa dega ukura luar Hausdorff (Hausdorff outer measure, maka fugsi massa dapat diguaka utuk medefiisika dimesi fraktal, serta diberika hubuga dega dimesi fraktal yag lai yaitu dimesi Hausdorff da dimesi kotak. Defiisi 2.7 ( Parvate ad Gagal, 23 Dimesi- γ dari [ ab, ] dim γ ( [ ab, ], didefiisika sebagai dim γ ( [ ab, ] = if { : γ ( ab,, = } = sup : γ ( ab,, = { }, diotasika Hubuga atara dimesi Hausdorff, dimesi-γ da dimesi kotak (bo dimesio berturut-turut dituliska dega dim H, dim γ da dim B diberika oleh Parvate da Gagal (23, sebagai berikut dim ab, dim ab, dim ab,. H ( [ ] γ ( [ ] B( [ ] Dalam bagia ii aka diberika limit da kekotiua megguaka topologi dega metrik iherited dari. M-36
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 Defiisi 2.8 ( Parvate ad Gagal, 23 Diberika, f : da. Bilaga l dikataka limit- utuk y, jika diberika sebarag ε >, terdapat δ > yag memeuhi : y da y < δ f ( y l < ε. Jika bilaga tersebut ada, maka dituliska dega l = lim f y. Defiisi ii tidak termasuk ilai fugsi di y jika y, juga limit- tidak terdefiisi di titik-titik. Sebagaimaa turua order satu, derivatif- utuk < 1 juga merupaka limit pembagia, tetapi dega limit- sedagka peyebutya adalah ilai dari fugsi aak tagga S di dua titik aggota himpua perfek- ( -perfect yaitu himpua tertutup da semua titikya adalah titik limit-. Defiisi 2.9 ( Parvate ad Gagal, 23 Jika adalah himpua perfek- ( -perfect utuk < 1, maka derivatif dari fugsi f didefiisika oleh: f ( y f lim, ( y D f = S ( y S, jika limit- ada. Sifat kelieara derifatif- berikut. adalah kosekuesi dari Defiisi 2.9 da diberika oleh teorema Teorema 2.1 ( Parvate ad Gagal, 23 Diberika fugsi f da g pada [ ab, ]. (i Jika D ( f ada utuk semua [ ab, ], maka D ( λ f ada da berlaku D ( λf = λd ( f. (ii Jika D ( f da D ( g ada utuk semua [ ab, ], maka D ( f g da berlaku D ( f + g = D ( f + D ( g. + ada Lemma 2.11 ( Parvate ad Gagal, 23 Derifatif- dari fugsi S karakteristik χ, yaitu D S = χ utuk < 1. Bukti: Jika, D ( S =. Jika, maka S ( y S D ( S = lim = 1 S y S utuk < 1. adalah fugsi 3. Pembahasa M-37
Supriyadi Wibowo/Hubuga Atara Order M-38 Berikut diberika teorema yag memberika hubuga atara da, utuk sebarag, (,1] pada dimesi-γ, kemudia hasil tersebut diguaka utuk meetuka hubuga atara order- da order-, utuk sebarag, (,1] pada derivatif-. Teorema 3.1 Diberika da utuk setiap ab,. i. Jika γ ( ab,, <, maka ( ab ii. Jika γ ( ab,, >, maka ( ab γ,, =,< < 1 Bukti Diberika da utuk setiap ab,. i. Utuk 1 σ berakibat γ,, =, < < 1. < < dega γ ( ab,, ( 1 [ P, ] P σ [ P, ] Γ ( + 1 <, maka diperoleh ( 1 ( 1 γδ ( ab,, δ γδ ( ab,, Limit utuk δ, diperoleh γ ab,, = utuk < < 1. (3.1 < < dega < γ ( ab,,, adaika γ ( ab,, ( 1 [ P, ] P σ [ P, ] Γ ( + 1 ii. Utuk 1 σ berakibat ( 1 ( 1 γδ ( ab,, δ γδ ( ab,, Limit utuk δ, diperoleh ( ab γ,, = utuk < < 1. Kotradiksi dega < γ ( ab,,, jadi pegadaia γ ( ab,, γ ( ab,, = utuk 1.. +, maka diperoleh + salah. Terbukti < <. (3.2 Defiisi 3.2 ugsi f : dikataka mempuyai order- terhadap derivatif- utuk semua titik, jika = if { : D ( f =, < 1} = sup { : D ( f =, < 1}. Teorema 3.3 Diberika himpua perfek- da fugsi f :. D f D f = utuk semua da < < 1 i. jika <, maka ii. jika D f <, maka D f Bukti Diberika himpua perfek- da fugsi f :. Diberika sebarag y,, diperoleh: = utuk semua da < < 1.
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 lim D ( y lim f S y S = = D ( f lim S y S lim ( γ = lim γ f ( y f S ( y S f ( y f S ( y S ( y,, ( y,, γ ( y,, ( γ ( y,, D f = lim D f. (3.3 ( ( i. jika D f <, maka dari (3.1 da dega Teorema 3.1.i, diperoleh D f ii. jika D f D f = utuk semua da < < 1. <, maka dari (3.1 da dega Teorema 3.2.ii, diperoleh = utuk semua da < < 1. orollary 3.4 Diberika himpua perfek- da fugsi f :. Utuk semua, berlaku, < < 1 < D ( f < jika haya jika D ( f =., < < 1 Bukti (syarat perlu Diberika D f < <, dega Teorema 3.3 diperoleh, < < 1 D ( f =., < < 1, < < 1 (syarat cukup Diberika D ( f =,, < < 1 dega Defiisi 3.2 diperoleh ( < D f <. ( ]. D f 1 Gambar 3.1 Order derivative fugsi f terhadap derivatif- pada himpua fraktal M-39
Supriyadi Wibowo/Hubuga Atara Order Dari Teorema 3.1 da Teorema 3.3 dapat disimpulka bahwa dimesi-γ himpua fraktal sama dega order derivatif fugsi f : terhadap derivatif -. otoh 3.5 Diberika himpua pertigaa ator da fugsi aak tagga S dimesi-γ utuk himpua pertigaa ator adalah Teorema 3.3, diperoleh ( = D S tetapi D S 1, χ =, [,1], < < 1 ( =, < < 1 ugsi aak tagga ator S dega order log 2 =. log 3 log 2 log 3 = ( dim ( utuk semua [,1] dega da l 2 γ =, maka dega l 3 log 2 =. log 3 tidak terdiferesial biasa (order satu, tetapi terdiferesial- DATAR PUSTAKA Bartle.R.G (21 A Moder Theory of Itegratio America Mathematical Society De Barra.G (1981 Measure Theory ad Itegratio Ellis Hardwood Ltd. Eglad Parvate.A ad Gagal.A.D (23 alculus o ractal Subsets of Real Lie-I: ormulatio http://ariv.org/abs/math-ph/3147v1 Parvate.A ad Gagal.A.D (25 ractal Differetial Equatios ad ractal-time Dyamical System Pramaa. Joural of Physics.Vol. 64, o, 3. March 25. pp. 389-49 M-31