DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3, maka simbol dari Turunan pertama y 1 atau Turunan kea y 11 atau d( ) B. Rumus Dasar Deferensial Jika y = n maka d (3) atau ditulis atau d y n n Contoh : y = 10 maka harga = 0 C. Kaidah-kaidah Deferensial 1. Diferensiasi Penjumlahan/Pengurangan fungsi y = U + V dimana maka contoh : y = 8 5 + 4 3,. Diferensiasi Perkalian Fungsi 1 U = g(), V = h(), maka y = U. V dimana U = g(), V = h(), maka dv dv U. V 4 40 1 contoh : y = ( 6 ) ( 5 3 ) 3. Diferensiasi Pembagian Fungsi 3 (6 )(15 ) (5 )(1) = 90 4 + 60 4 = 150 4 U y = ; U g( ); V h( ) maka harga V 1
V. U. V dv 5 5 contoh : y = 3 3 4 (5 ) 5 (3 ) 5 6 (6) 75 30 4 9 6 = 45 9 5 4. Diferensiasi Fungsi Berpangkat y = U n ; u = g(), n = konstanta n 1 nu contoh : y = ( + 3 ) 3 ( 3)( 3) ( = 4 3 + 18 + 18 3 6 3 9) 5. Diferensiasi Fungsi Logaritmik y = a log, maka 1 ln atau a a log e contoh : y = 5 log 7 maka harga = 1 7 ln 5 atau = 5 log e 7 6. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik y = a log u ; u = g() maka a log e. u
y = ( 5) log U ( 7) ( 5) ( 7) ( 7)(1) ( 5)(1) ( 7) ( 7) log e. ( 5)/( 7) ( 7) log e ( 5)( 7) 7. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat y = ( a logu ) n ; U g( ) dimana n = konstanta, maka harga n( a logu ). n1 a log e. U contoh : y = ( log 6 ) 3 U = 6 ; jadi 1 log e 3(log ). (1) 6 = 36(log 6 ) 6 log e 6(log 6 ) log e 8. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier Log. Napier logaritma yang bilangan pokoknya e Harga bilangan e =,7188 Bilangan e log a ditulis dengan ln = a Jadi harga ln 10 bisa ditulis e log 10 Turunan logaritma napier : y = ln u; u = g() 3 1. u
contoh : y = ln ( 5 + 7 ) U = 5 + 7 harga 1 10.10 (5 7) (5 7) 10 9. Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat Y = ( lnu ) n ; U = g() ; n = konstanta n(lnu ) contoh : n1 1.. U y = ( ln 3 ) 4 U = 3 V. U contoh v1 y = 7 5 5.7 U 5 1 v.7 7 lnu U 7 7 5 4 V = 5 5 ln 7.5 = 49 5 4 +35 ln.7 = 35 5 4 ( 9/7 + ln 7 ) 10. Deferensial Fungsi Eksponensial 5 Jika y = a dimana a = konstanta, maka harga = a ln a 4 4 Contoh y = 6 maka harga = 6 ln 6 11. Deferensial Fungsi Komposit Eksponensial 4
Jika y = a u dimana u = g() maka harga = au ln a Contoh : y = 5 ( 4) maka harga = 5( 4) ln 5 1. Deferensial Fungsi kompleks Jika y = u v Maka harga 13. Diferensiasi Fungsi Balikan dimana u = g () dan v = h () Jika y = f()dan = g(y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka 1 / = v uv 1 + uv ln u dv contoh : = 10y + 3y 4 maka 3 10 1y sehingga 3 5 D. Deferensial Baku Fungsi Trigonometri 1 10 1y 1. y = sin maka / = cos. y = cos / = -sin 3. y = lg / = sec 4. y = cotg / = -cosec 5. y = sec / = sec tg 6. y = cosec / = -cosec ctg 7. y = sinh / = cosh
8. y = cosh / = sinh Bila U = f() dapat diturunkan, maka d sinu cosu contoh 1. Hitunglah no. s/d 8 identik dari y = cos 3 5 Penyelesaian : contoh. d 5 cos 3(cos 5 ) rumus no. = 3(cos d5 5)(-sin5) = -15 sin 5 cos 5 Hitunglah dari y = ctg cosec Penyelesaian : ingat y = U.V maka d cos ec dctg ctg cos ec = ctg ( - cosec.ctg ) + cosec ( - cosec ) U dv V = ctg ( - cosec ). + cosec ( - cosec ) = - cosec ( ctg + cosec ) Karena ctg cos ec 1, maka : = - cosec [( cosec 1 ) + cosec ] = - cosec ( cosec 1 ) = cosec 4 cosec 3 6
INGAT! sin + cos 1 1 + ctg cosec 1 + tg sec E. Deferensial Fungsi Implisit y = 4 + fungsi eksplisit dari 4 y = fungsi implisit dari contoh : jka + y 6y + 5 = 0, tentukan di titik = 3, y = Penyelsaian : + y 6y + 5 = 0 + y 6 0 ( y 6 ) 1 y 6 y 3 1 3 di ( 3, ) 3 1 F. Diferensiasi Logaritmik Lebih Dari Dua Faktor Jika y = U.V W U = f() V = g() ; W = h() Maka untuk mencari turunan pertamanya adalah dengan logaritma dengan bilangan dasar e U V log y e log ingat Sifat bil logaritma W e. Persamaan tersebut dirubah menjadi 7 ln a.b = ln a + ln b ln a/b = ln a ln b atau lg a.b = log a + log b log a/b = log a-log b
ln y = ln U + ln V ln W 1 1 1.. y U V dv 1 dw. W 1 1 dv 1 y... U V W jadi jika y = U.V W maka dw U. V 1 1 dv 1... W U V W dw Catatan : Gunakanlah selalu cara diferensial logaritmik bila ada lebih dari a fungsi dalam suatu perkalian atau pembagian maupun aanya. Contoh:.sin Carilah harga dari persamaan y = cos Penyelesaian : ln y = ln ( ) + ln ( sin ) ln ( cos ) 1 1 1 1/y / =..cos ( sin ) sin cos ingat : jadi cos sin ctg ; tg sin cos 1 cos sin. y sin cos 1. y ctg tg sin (/ ctg tg ) cos 8
G. Diferensiasi Parsial Adalah turunan dari suatu fungsi yang terdiri dari beberapa variabel, dan penyelesaiannya dilakukan bagian demi bagian. Contoh : Z = 3y + 4y atau Z = y (, y ) Dalam fungsi tersebut ada a variabel bebas, yaitu dan y, maka berapakah dz/ dan dz/? Cara penyelesaian : Ada beberapa anggapan/kemungkinan, a.l : 1. variabel berubah-ubah, y konstan. Maka Z = fungsi Turunannya ke atau dz/ Z = 3y + 4 y dz 4 3y 0 4 3y. Kemungkinan variabel y berubah-ubah, konstan maka Z = fungsi y Turunannya ke y atau dz/ Z = 3y +4y dz 0 3 8y 3 8y dz dz 3. Atau untuk mencari dan, fungsi tersebut dirubah menjadi fungsi implisit Z = 3y + 4y Jika ditulis dalam bentuk implisit : - 3y + 4y - = 0 dz a. perlakukan y konstan dan cari d( ) d(3y) d(4y ) d( z) 0 9
dz 4 3y + 0-0 dz 4 3y dz b. perlakukan konstan dan cari 3y + 4y z = 0 d( ) d(3y) d(4y dz 0 3 + 8y - 0 dz 3 8y contoh : Z = ( y ) 4 Carilah dz/ dan dz/ Penyelesaian : Z = ( y ) 4 a. perlakukan y konstan dz d y y ) 3 ( 4( ). b. perlakukan konstan dz d y y ) 3 ( 4( ). = 4 ( y ) 3 ( -1 ) = -4 ( y ) 3 ) dz 0 10
H. Harga Maksimum dan Minimum dari Suatu Fungsi Y A (maks) C (titik belok) y = f() B (min) 0 1 3 Keterangan : A = harga maksimum (pada = 1), karena harga y dititik ini lebih besar daripada y di kanan kirinya. B = harga minimum (pada = ), karena harga y di titik ini lebih kecil daripada harga y di kanan kirinya. C = titik belok/point of inflection yaitu dari lengkung kanan menjadi lengkung kiri (atau sebaliknya) 11
Perhatikan gambar di bawah ini : Y A y = f() C y B 0 1 3 y = f 1 () 0 1 3 d y y = f II () 0 1 3 Y1 Dari gambar di atas bahwa : 1. Harga maks, min dan titik belok tercapai bila / = 0. Untuk harga y maksimum (titik A), maka turunan ke-a d y/ = negatif 3. Untuk harga y minimum (titik B), maka turunan ke-a d y/ = positif 4. Untuk titik belok (titik C), maka turunan ke-a d y/ = 0 Untuk Aplikasi dalam memecahkan suatu persoalan hal yang perlu di INGAT BAHWA : Harga maksimum atau minimum dari suatu fungsi akan tercapai bila turunan 1 pertamanya = 0 atau ditulis 0
Contoh : 1. Akan dibuat buah ruangan bersisian dengan memanfaatkan dinding yang sudah ada. Bahan pembuat ruang cukup dengan sekat, tersedia untuk 300 meter agar. Tentukan ukuran ruangan agar luas ruangan keanya maksimum. Jawab Y Y Y Keliling = 3 Y + 4 300 = 3 Y + 4 Y = 100-4 3 Luas (L) =. Y = (100-4 3 ) = 00-8 3 Luas akan maksimum akan dicapai bila Harga dl = 00-16 3, sehingga dl = 0 00-16 3 = 0 maka harga = 37,5 m Harga Y = 100-4 3, maka harga Y = 50 M Jadi agar luas ruangan tersebut di atas, maka ukuran = 37, 5 m Y = 50 m 13
Keterangan Bukti : Harga Harga Y Luas = 00-8 3 Hasil 37,5 50 Terbukti Perhitungan Dicoba 40 Dicoba 30. Akan dibuat kemasan untuk kaleng cat yang berisi 5 liter dengan tutupnya. Berapakahbesarnya ukuran Jari-jari dan tinggi kaleng ( R dan T) agar bahan yang digunakan minimum? Jawab : Gambar bukaan kaleng cat seperti di bawah ini T R πr Luas ( L) = πr T + πr Volume = πr T 5000 = πr T sehingga harga T = Luas (L) = πr 5000 π R + πr = + πr 14
Agar volume maksimum, maka luasnya juga harus maksimum agar luasnya maksimum, maka turunan pertama luas terhadap jari-jari harus dl sama dengan nol atau ditulis = 0 dr dl dr = 10.000 + 4 R πr 0 = 10.000 R + 4 πr, semua dikalikan dengan R Maka R 3 = 10.000 4 π R = 9,7 cm dan T = 5000 π R = 18,537 cm Bukti : Harga R Harga T Luas Bahan (L)= πr T + πr Keteranga n Hasil Perhitungan 9,7 18,537 Minimum Dicoba 1 Dicoba 8 3. Sebuah batang AB yang beratnya 0 kg/m ditumpu dengan a tumpuan seperti gambar. Batang tersebut dibebani muatan titik sebesar 100 kg yang terletak meter dari B. Tentukan panjang bentang AB agar gaya reaksidi A sekecil-kecilnya serta berapa besar gaya reaksi di A dan di B ( RA dan RB )? Jawab : P = 100 kg A 15 a = m B
Misal gaya reaksi di A = Y kg, sehingga Y = R1 + R Dimana R1 = beban akibat gaya P dan R = beban merata R1 = P.a dan R = 0.5. 0. = 10 Y = P.a 100. + 10 = + 10 = 00 + 10 Y = 00 + 10 Sehingga harga = 00 + 10 Agar harga Y sekecil-kecilnya, maka harga 00 + 10 = 0, harga = 0 = 4,47 m = 0, sehingga Untuk harga = 4,47, maka besarnya gaya reaksi di titik A atau Y adalah sebagai berikut Y = 00 + 10 = 00 + 10. 4,47 = 89,44 kg Besarnya gaya reaksi di titik B = jumlah total beban - gaya reaksi di titik A atau (Y) Gaya Reaksi di titik B = 100 + ( 0. 4,47) Y = 100 + (0. 4,47) 89,44 = 99,99 kg Latihan Soal 1. Penampang suatu saluran terbuka berbentuk trapesium dengan alas (sisi bawah) panjangnya 60 cm dan sisi miring panjangngnya 100 cm. Tentukan panjang sisi atas agar saluran tersebut dapat menampung air sebanyak-banyaknya. 16
. Akan dibuat bak penampung bahan berbentuk bujur sangkar dengan sisi 10 cm. Untuk ini dilakukan pemotongan tiap-tiap ujung plat dengan bentuk bujur sangkar kecil dan kemudian dilipat ke atas. Berapa luas bujur sangkar kecil harus dipotong dari tiap-tiap ujung agar volume tersebut maksimum? 3. Akan dibuat bak sampah dari plat baja berbentuk silnder yang dapat memuat air sebanyak 1 m 3 (tanpa tutup). Tentukan ukuran diameter dan tingginya agar plat yang dgunakan minimal. 4. Akan dibuat talang dari seng berbentuk U. Tentukan lebar dan tinggi talang agar dapat menampung air yang sebanyak-banyaknya dengan bahan talang yang terbatas, yaitu lebar seng 90 cm. 5. Kawat sepajang 100cm dipotong menjadi a, dan akan dibentuk benda yang berbentuk lingkaran dan benda lain berbentuk bujur sangkar. Tentukan ukuran masing-masing benda tersebut agar ke-a luas benda tersebut maksium. 17