5 Geetri Analitik Datar dan Ruang 4.. DEFINISI PARABOLA Parabla adalah tepat kedudukan titik (hipunan titik) ang berjarak saa terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Titik tertentu itu disebut Fkus (F), dan garis tetap itu disebut Direktrik Berdasarkan defenisi di atas, kita dapat elukis parabla titik dei titik dengan langkah-langkah sebagai berikut :. Tetapkan garis g dan titik F.. Tarik sebuah garis elalui titik F (diperleh subu x) tegak lurus () garis g sehingga garis ini etng g di s.. Titik O (0,0) pada garis FS, sehingga OS = OF 4. Buatlah lingkaran ang berpusat di F dan berjari-jari r OF 5. Lakukan seperti langkah 4*) dari titik S sehingga etng SF di A. 6. Buatlah garis tegak lurus SF sehingga etng busur lingkaran A pada titik B, B adalah salah satu pada parabla. 7. Ulangi langkah n. 4, 5, dan 6 untuk endapatkan titik lain pada parabla. 8. Setelah beberapa titik diteukan, hubungkanlah titik itu dengan sebuah kurva ang ulus, kurva itulah disebut parabla. Sb. Y B 4 P(x,) B B B S 0 A A A A 4 F(p,0) Sb. X g g g g 4 g = - p B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 5 4.. PERSAMAAN PARABOLA S g = - p 0 Sb. Y A B F(p,0) P(x,) Sb. X - Garis g disebut direktrik - Titik F(p,0) disebut fkus - Titik O(0,0) disebut puncak - FS disebut subu sietri - FS = p = Paraeter - AB garis ang disebut latus rectu, tegak lurus subu parabla elalui titik F. Panjang latus rectu = 4p. Dari keterangan gabar diatas, dapat diturunkan persaaan parabla sebagai berikut : FP Karena FS = p, aka eksentritas parabla (e) : e = = PQ F(p, 0) dan P(x, ) pada parabla x = g = -p, direktrik PF = QP Karena FP = QP = = ( x p) ( x p) ( ( x p) ) Maka titik akan terletak di parabla, jika dan hana jika : ( x p) = ( x p) (x p) + = ( x + p ) x xp + p + = x + xp + p = xp + xp = 4xp persaaan parabla dengan puncak O (0,0) Catatan. Untuk persaaan parabla = 4px - Jika p 0, parabla terbuka ke kanan - Jika p 0, parabla terbuka ke kiri. Untuk parabla ang epunai F(0,p) dan direktrik = -p, aka persaaan parabla x = 4p - Jika p 0, parabla terbuka keatas - Jika p 0, parabla terbuka kebawah
54 Geetri Analitik Datar dan Ruang Sketsa grafikna. Parabla = 4px Sb. Y Sb. Y Sb. X F(-p,0) F(p,0) Sb. X g x = - p g x = p. x = 4p Sb. Y g = p F(0,p) Sb. X F(0,-p) g = - p Analg : - Untuk persaaan parabla dengan dengan puncak (a, b), aitu : ( b) = 4p (x a). Dengan F (p + a, b), subu sietri = b, dan garis direktrik g x = a p - Untuk parabla denga puncak (a, b), tapi F (a, p + b), Subu sietri x = a, dan garis direktrik L = b p, adalah (x a) = 4p ( b) Cnth:. Gabarlah grafik dari parabla = 8x! Penelesaian : Krdinat puncakna O (0,0) 4p = 8 p = Titik F(,0) Persaaan direktriks g = x = - p Subu sietrina = 0 = - Sb. Y Sb. X B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 55. Gabarlah grafik dari parabla 4x 5 = 0! Penelesaian : 4x 5 = 0 4x = 5 Sb. Y x = 5 4 Krdinat puncakna (0,0) 4p = 5 4 5 p = 6 (-5,4) 0 F 5 0, 6 (5,4) Sb. X = 5 6 5 Titik F(0, ) 6 5 Persaaan direktriks = - 6 Subu sietrina = 0. Gabarlah grafik dari parabla a) 4x 9 = 0! b) x x 9 = 4! Penelesaian : a) 4x 9 = 0 + = 4x + 9 ( ) = 4x + 9 + 5 ( ) = 4 x 5 Puncak parabla, Paraeter : 4p = 4 p = Titik fkus F ( + 5, ) F, Persaaan direktriks g = x = a p Persaaan ltus rectuna x = = = - 5
56 Geetri Analitik Datar dan Ruang Sketsa grafikna : F, 5 x b) x x 9 = 4 x x + = 4 + 9 (x ) = 4 + 9 + 5 (x ) = 4 5 Puncak parabla, Paraeter : 4p = 4 p = Titik fkus F (, + 5 ) F, F, x x 9 = 4 Persaaan direktriks g = = b p Persaaan ltus rectuna = = = - 5 l B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 57 4. Carilah persaaan bla ang epunai F(0,-) dan puncakna O (0,0) dan sebutkan seua sifat dan gabarna! Karena puncakna O (0,0) dan F(0,-), aka persaaan parabla adalah x = 4p x = 4 (-) x = - 8 4.. Garis Singgung Sifat-sifat parabla ini sebagai berikut : - F(0,-) dan puncak (0,0) - Subu sietri x = 0 - Persaaan direktriksna = - Paraeterna p = - - Persaaan ltus rectuna = - - Panjang ltus rectuna 4 p = 8. Persaaan garis singgung dengan kefisien arah pada parabla = 4px Misalkan persaaan garis = x + n eninggung parabla = 4px (x + n) = 4px Dengan diskriinan (D) = b 4ac (n 4p) 4 n x + nx + n 4px = 0 Ingat : - Jika D 0, garis g tidak etng parabla - Jika D 0, garis g etng parabla - Jika D = 0, garis g eninggung parabla Jadi, sarat agar garis g eninggung parabla adalah : D = b 4ac = 0 (n 4p) 4 n = 0 4 n 6np + 6p 4 n = 0 6np = - 6p n = 6 p 6p p n = Jadi, persaaan garis singgung dengan gradien terhadap parabla = 4px adalah = x + n p = x + Analg : Untuk persaaan garis singgung dengan gradien pada parabla x = 4p adalah = x p
58 Geetri Analitik Datar dan Ruang Analg : Untuk persaaan garis singgung dengan gradien pada parabla b 4 px a adalah ( b) = (x a) + p Begitu pula untuk persaaan garis singgung dengan gradien pada parabla x a 4 p b adalah b = (x a) - p Cnth 4 Carilah persaaan garis singgung pada gradien, terhadap (asing-asing gabar grafikna) a) Parabla 8x b) Parabla x 6 Penelesaian : a) Persaaan garis singgung denagan = pada parabla 8x x p x (karena 4p = 8, p = ) x Titik singgungna : 8x x 8x 4x 4x 8x 0 4x 4x 0 x 0 x 0, x Untuk x, =. + = Titik singgungna, Fcus parabla F,0) 8x Persaaan direktriksna x = Panjang latus rectuna 4 p 8 Persaaan latus rectuna x puncak 0(0,0,0) B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 59
60 Geetri Analitik Datar dan Ruang b) Persaaan garis singgung dengan = pada parabla 6 b = (x a) p + = (x ) p + = x 6 ( 6) + = x = x Titik singgungna didapat dengan prses x 6x x 6x 9 x x 6x 9 0 x, x 0 Untuk x = -, Sketsa grafikna : Puncak (,-) 5 F, Panjang ltus rectu Persaaan direktriksna = - 7, titik singging (-,-7) b p = 4 p 4 = 6 x adalah = x 5 F, x 6. Persaaan garis singgung pada parabla = 4px di titik S(x, ) Misalkan garis singgungna = x + n, aka absis titik singgungna dapat diperlah dari persaaan = 4px B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 6 (x + n) = 4px x +nx + n = 4px x +nx + n - 4px = 0 x + (n 4p) x + n = 0 karena hana ada titik singgung, aka absisna diperleh ; x x b a n 4 p p n x p n x Dan rdinatna, = x + n p n = n p n n p p Sedangkan persaaan garis dengan gradien adalah = (x x ), sehingga; p x x px x p x x...(i) Titik S (x, ) elalui = 4px, sehingga = 4px...(ii) Persaaan (i) dan (ii) = p (x x ) 4px = px px = 4px px +px = p (x + x ), persaaan garis singgung di titik S (x, ) pada = 4px Analg : Untuk persaaan garis singgung pada parabla ( b) = 4p (x-a) di titik S(x, ) adalah ( b) ( b) = p (x + x -a)
6 Geetri Analitik Datar dan Ruang Cnth 5:. Carilah persaaan garis singgung di titik ( 4,) pada parabla: a) b) x 8x Penelesaian: a) Persaaan garis singgun di ( 4,) pada parabla p x x 4 p p 4 ` x 4 4 x x x 4 x b) Persaaan garis singgung di ( 4,) pada parabla 8x p x x 4p 8 p 4 x 4 4x 6 4x 6 0 x 8 0. Tentukan persaaan garis singgung ang elalui titik A(-,-) pada parabla = 8x Penelesaian : Misalkan titik singgungna S(x, ), aka persaaan garis singgung di S pada parabla = 8x p( x ) x ( x x ), karena 4p = 8 4 p = Karena titik A(-,-) pada garis singgung 4( x ) 4x 8 atau...(i) Karena S(x, ) juga pada parabla = 8x B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 6 8 8x x (ii) (i) 4x 8 4 8 8...(ii) 6 6 8 6 0 6 0 8 0 = - 8 = Untuk Untuk = - 8 x = 8, diperleh S (8,-8) = x = 8, diperleh S, Jadi persaaan garis singgung di S 8 4( x 8) x 8 Jadi persaaan garis singgung di S 4 x 4.4. Garis Nral 4x Garis nral parabla adalah garis tegak lurus pada garis singgung parabla di titik singgung itu. Jika SR garis singgung PS SR, aka PS garis nral PS = subu sietri parabla (subu Nral) RS = subu tangens Persaaan garis singgung di titik S (x, ) pada = 4px = p (x + x )
64 Geetri Analitik Datar dan Ruang p kfisien garis singgung =, karna garis singgung parabla tegak lurus dengan garis nral aka s n = - p n = -, n = - p Sehingga diperleh persaaan garis nral di titik S(x, ) pada = 4px adalah; p x x Cnth 6 : Diketahui puncak suatu parabla (,) dan F(4,), tentukanlah : a) Persaaan parabla tersebut b) Persaaan garis singgung di (,6) c) Persaaan garis nralna di (4,0) penelesaian : a) persaaan parabla dengan puncak (,) dengan F(4,), berarti P = ( ) 4.( x ) 4 4 x 4 6 x b) persaaan garis singgung di (,6) pada parabla ( ) = (x ) adalah p( x ) x 6.( x ) 6 6x 0 6x 6 0 c) persaaan garis nralna di (4,0) adalah ( x x p 6 6 ( x ) x 6 x ) 4.5. Garis Tengah Sekawan Garis tengah sekawan pada parabla adalah tepat kedudukan titik-titik tengah dari tali busur. - Jika T, T, dan T adalah titik tengah tali busur A B, A B dan A B - A B // A B // A B, aka garis T ang elalui T, T, dan T disebut garis tengah sekawan B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 65 B B B T T T A A A
66 Geetri Analitik Datar dan Ruang Persaaan Garis Tengah Sekawan Misalkan kita abil persaaan tali busur = x + n, dan persaaan parabla = 4px, sehingga ; (x + n) = 4px x + nx +n = 4px x +nx 4px + n = 0 x + (n 4p)x + n = 0 Atau = x + n x = n x = 4px = 4p = n n 4 p 4 pn - 4p + 4pn = 0 = 4p 4pn + = b a 4 p = = 4 p T titik tengah A B t = t = Cnth 7 : t t 4 p p t =, persaaan garis tengah sekawan sejajar subu X. Diketahui partabla x dan garis tengah sekawan = -. jika tali busurna etng subu x dan ebentuk sudut, hitunglah besar sudut! Penelesaian : B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c
Bab IV : Parabla 67 = x p = = p = tg = tg = tg 5 0 = 5 0. Tentukan persaaan tali busur suatu parabla 4x, jika (,-) erupakan titik tengah sekawan tali busur itu! Penelesaian : Misalkan persaaan tali busur = x + c, ptngkan dengan parabla x c x c c 4 4 + 4c = 0 + = b a 4 + = t = + = - 4 + = 4 4 4 = - 4x Tali busur elalui (,-)
68 Geetri Analitik Datar dan Ruang x c ( )() c c c Persaaan tali busur ang diaksud adalah x c = - x + = - x + B : Turudi E-ail : tered@ah.c.id blg: www.tered.wrdpress.c