GEOMETRI ANALITIK Pertemuan 3: persamaan normal garis, jarak titik ke garis, jarak garis ke garis (yang saling sejajar)
Jika ada pertanyaan materi sebelumnya, silahkan
Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menentukan persamaan normal garis 2. Mahasiswa dapat menentukan formula jarak antara titik ke garis dan mengaplikasikannya dalam soal 3. Mahasiswa dapat menentukan jarak dua garis lurus yang saling sejajar
Persamaan garis bentuk normal O Y n P(x 1,y 1 ) Q (x,y) g X Suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan panjang n yang tegak lurus (normal) dari titik O (titik asal) ke garis tersebut. Sedangkan sudut adalah sudut arah positif yang dibentuk oleh sumbu-x dengan arah garis normalnya yang ditetapkan sebagai arah dari titik asal terhadap garis. (lihat gambar)
Persamaan garis bentuk normal O Y n P(x 1,y 1 ) Q (x,y) g X Jika sembarang titik Q (x,y) pada garis g, maka kita dapat membuat sebuah hubungan antara panjang n, sudut, dan koordinat sembarang titik Q (x,y) tersebut Pada akhirnya kita akan dapatkan persamaan normal garis g
Persamaan garis bentuk normal Persamaan bentuk normal dari persamaan garis lurus yang panjang normalnya n dan besar sudut normalnya adalah x cos + y sin n = 0 Perhatikan penjelasan di papan tulis (diskusikan dan tanyakan jika ada hal yang belum jelas)
Persamaan garis bentuk normal Jika persamaan garis berbentuk Ax + By + C = 0, maka persamaan normalnya adalah Ax + By + C ± A 2 + B 2 = 0 Tanda A 2 + B 2 dipilih yang berlawanan dengan tanda C Jika A 0, B 0, C = 0, maka tanda A 2 + B 2 dipilih sedemikian hingga koefisien y bernilai positif. Jika Jika A 0, B = 0, C = 0, maka tanda A 2 + B 2 dipilih sedemikian hingga koefisien x bernilai positif.
Persamaan garis bentuk normal Jika persamaan garis berbentuk Ax + By + C = 0, maka persamaan normalnya adalah Ax + By + C ± A 2 + B 2 = 0 PERHATIKAN BAGAIMANA MENDAPATKANNYA Tanda A 2 + B 2 dipilih yang berlawanan dengan tanda C MENGAPA?? Jika A 0, B 0, C = 0, maka tanda A 2 + B 2 dipilih sedemikian hingga koefisien y bernilai positif. Jika Jika A 0, B = 0, C = 0, maka tanda A 2 + B 2 dipilih sedemikian hingga koefisien x bernilai positif.
Latihan 1. Tentukan persamaan bentuk normal dari garis dengan dan p yang diberikan berikut ini, dan konstruksikan grafiknya: (a) = 45, n = 4, (b) = 60, n = 5, (c) = 90, n = 3, (d) = 150, n = 10, (e) = 180, n = 7, (f) = 270, n = 2, (g) = 300, n = 3 (h) = 225, n = 6, (i) = 0, n = 13/2 2. Cari bentuk normal masing-masing persamaan berikut, dan konstruksikan grafiknya: (a) 5x + 12y 26 = 0 (b) 3x 4y + 30 = 0 (c) 6x 8y 15 = 0 (d) 2x + 3y + 12 = 0 (e) 5x 12y = 0 (f) 5x + 12 = 0
Latihan 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( 3, 2) dan berjarak 2 satuan dari titik asal (ada dua jawaban) 4. Tentukan semua nilai k sedemikian hingga garis 15x + ky 51 = 0 sejauh 3 satuan dari titik asal
Jarak titik ke garis Y P(x 1,y 1 ) Jika titik P (x 1,y 1 ) berada di luar garis g: Ax + By + C = 0, maka bagaimana mencari jarak (d) titik P ke garis g? O X Selanjutnya jarak titik P ke g dapat dinotasikan d (P,g) g: Ax + By + C = 0
Jarak titik ke garis Y P(x 1,y 1 ) Kita dapat proyeksikan titik P(x 1,y 1 ) ke garis g. Misalkan proyeksi titik P ke garis g adalah P (x 2,y 2 ) P (x 2,y 2 ) O X g: Ax + By + C = 0
Jarak titik ke garis Y P(x 1,y 1 ) Maka tentunya PP g (ingat definisi dari proyeksi suatu titik pada garis/bidang) P (x 2,y 2 ) O X g: Ax + By + C = 0
Jarak titik ke garis Y d P(x 1,y 1 ) Maka tentunya PP g (ingat definisi dari proyeksi suatu titik pada garis/bidang) O P (x 2,y 2 ) X Sehingga d = panjang PP adalah merupakan jarak titik P(x 1,y 1 ) ke garis g g: Ax + By + C = 0 Lalu apa formula jaraknya?
Jarak titik ke garis Y P(x 1,y 1 ) Jika d adalah jarak titik P(x 1,y 1 ) ke garis g, maka diperoleh formula d O P (x 2,y 2 ) X d (P,g) = Ax 1 + By 1 + C A 2 + B 2 g: Ax + By + C = 0 Kita diskusikan bagaimana formula ini muncul (perhatikan penjelasannya pada papan tulis)
Latihan 1. Tentukan jarak garis y = 2x 6 terhadap titik: a. (4, 5), b. (3, 5), c. ( 3, 8), d. ( 10, 2) 2. Tentukan jarak garis 5x + 12y 30 = 0 terhadap titik: a. (9, 2), b. (2, 7), c. ( 4, 2), d. ( 6, 5) 3. Sebuah garis memotong sumbu-y di (0,2). Tentukan kemiringan garis itu jika jaraknya terhadap titik (3, 4) adalah 6 4. Tentukan c sedemikian hingga jarak dari garis 4x 3y 24 = 0 terhadap titik (c, 2) sama dengan 6 satuan panjang 5. Tentukan semua panjang garis tinggi dari segitiga dengan koordinat titik-titik sudutnya A (1, 1), B (4, 6), dan C ( 1, 7)
Jarak garis ke garis Y d h: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 P(x 1,y 1 ) Jika g sejajar h (g h), maka kita dapat menentukan jarak keduanya, yaitu dengan menentukan sebarang titik pada h, kemudian menghitung jarak titik tersebut terhadap garis g O X g: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
Jarak garis ke garis Y d h: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Atau bisa sebaliknya, yaitu dengan menentukan sebarang titik pada g, kemudian menghitung jarak titik tersebut terhadap garis h O P(x 1,y 1 ) X g: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
Jarak garis ke garis Y O d h: Ax + By + C 2 = 0 g: Ax + By + C 1 = 0 X Atau kita dapat turunkan formula jarak dua garis sejajar dengan bentuk g: Ax + By + C 1 = 0 dan h: Ax + By + C 2 = 0 (syarat koefisien x dan y sama), sebagai berikut: d (g,h) = C 1 C 2 A 2 + B 2 atau d (g,h) = C 2 C 1 A 2 + B 2
Latihan 1. Tentukan jarak antara garis g: 2x 5y + 5 = 0 dan h: 2x 5y + 8 = 0 2. Jika garis k adalah berjarak sama terhadap garis g: 2x 5y + 5 = 0 dan h: 2x 5y + 8 = 0, maka tentukan persamaan garis k
SOAL-SOAL YANG BELUM TERBAHAS HARAP DIKERJAKAN/DIDISKUSIKAN
TERIMAKASIH