MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
|
|
- Farida Halim
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Sistem koordinat ini sangat banyak diterapkan dalam kehidupan nyata. Salah satu di antaranya, seperti diilustrasikan pada Gambar 1 berikut. Gambar 1. 1 Peta Alamat Rumah Buk Dosen Metmatika A Afdhal dan Riska ingin berkunjung ke rumah dosen matematikanya. Namun, mereka belum tahu alamat rumahnya secara pasti. Ibu dosennya hanya memberikan informasi bahwa rumahnya berjarak 1,7 km dari Jalan Diponegoro dan berjarak 2 km dari Jalan Sudirman. Afdhal dan Riska berangkat bersama dari kampus, mereka menempuh jalan yang berbeda, warna merah adalah rute perjalanan yang dilalui Afdhal, warna biru adalah rute perjalanan yang dilalui Riska seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1. Ternyata Afdhal berhasil menemukan rumah Bu dosen itu terlebih dahulu. Mengapa Riska lebih lambat
2 2 menemukan rumah Bu Dosennya? Permasalahan seperti ini dapat diselesaikan dengan menggunakan system koordinat. Suatu garis yang titik-titiknya dikaitkan dengan bilangan-bilangan real disebut garis bilangan real (atau sumbu real). Skala yang ditempatkan pada garis bilangan disebut koordinat garis. Bilangan yang menyatakan suatu titik yang diberikan disebut koordinat titik tersebut, dan titik itu disebut grafik dari bilangan. Untuk merepresentasikan titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan, maka ditentukan dua garis bilangan bersilangan dan, dan tentukan skala pada masing-masing garis itu. Titik potong kedua garis itu digunakan sebagai titik pusat (titik acuan). Bilangan positif ditempatkan pada sebelah kanan titik garis mendatar dan sebelah atas titik garis ke vertikal. Sedangkan bilangan negatif ditempatkan pada sebelah kiri titik garis mendatar dan sebelah bawah titik garis ke vertikal. Biasanya arah positif ditandai dengan tanda panah pada garis bilangan. Garis disebut sumbu-x dan garis disebut sumbu-y. Titik disebut titik pusat koordinat. Dua garis yang bersilangan itu disebut sumbu koordinat. Sebuah titik di bidang, biasanya dinayatakan dengan pasangan berurutan,. Bilangan pada, dinamakan absis yang menyatakan jarak titik, ke sumbu, dan bialangan y menyatakan jarak titik (x, y) ke sumbu x. Sebagai contoh, misalkan sebuah titik, dilukiskan pada Gambar 2 berikut. Gambar 2. Menyajikan Titik A (a,b) pada bidang kartesius Pada Gambar 2, posisi titik A(a, b) adalah berjarak a satuan ke sumbu y, dan berjarak b satuan ke sumbu x. Sistem koordinat kartesius dapat pula diperluas pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, misalnya dimensi 3, dengan menggunakan tiga sumbu koordinat yang sering disebut sumbu x, sumbu y dan sumbu z.
3 3 Istilah kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah nama latin untuk Descartes). Ide dasar ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes yang pada bagian kedua dari tulisannya, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Pada modul 1 ini terdiri atas 2 kegiatan belajar. Tujuan dari kedua kegiatan belajar ini adalah Anda akan menggambarkan sistem koordinat di bidang dan di ruang, kemudian menghitung jarak antara dua titik di bidang dan di ruang dan membedakan sebuah titik yang terletak di antara dua titik lain pada suatu ruas garis dengan perbandingan :.
4 4 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang. A. Sistem Koordinat Tegak Lurus 1.1 Koordinat Kartesius di Bidang Agar anda dapat memahami cara menentukan koordinat kartesius di bidang, bacalah ilustrasi dibawah ini. Ilustrasi 1.1 Pernahkah Anda menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain? Perhatikanlah peta pulau jawa berikut ini. y C A B A x Gambar Peta Pulau Jawa
5 5 Jika garis berarah mendatar adalah sumbu X dan garis berarah vertikal adalah sumbu Y, maka Kota Jakarta berada pada koordinat berapa? Pilihlah satu dari empat jawaban di bawah ini. a. (2, C) c. (2, B) b. (3, B) d. (9, A) Dari ilustrasi 1.1 tersebut dengan menggunakan sistem koordinat anda dapat menentukan letak/ posisi/ koordinat dari suatu wilayah. Agar lebih pahamnya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 1.1. Menggambarkan koordinat Suatu Titik Pada bidang Misalkan kita ingin menentukan koordinat titik 6, 2. Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Gambarlah dua garis yang saling tegak lurus. Garis pertama mendatar (horizontal) beri nama sumbu X dan garis kedua tegak (vertikal), beri nama sumbu Y. 2. Beri nama titik 0 pada titik potong dua sumbu tersebut atau sering juga disebut titik asal/ awal/ pusat (0,0). 3. Dari titik 0 ke kanan atau ke atas disebut arah positif, maka tulis bilangan real positif 1,2,3, dengan jarak yang sama. Dari titik 0 ke kiri atau ke bawah disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real negatif, 1, 2, 3 dengan jarak yang sama juga. 4. Buatlah garis putus-putus vertikal yang melalui bilangan real positif (6) pada sumbu X dan garis putus-putus horizontal yang melalui bilangan real negatif ( 2) pada sumbu Y. Pertemuan antara kedua garis putus-putus tersebut merupakan koordinat dari titik T(6, 2) tersebut. Dari kegiatan 1.1 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat suatu titik di bidang (dimensi 2). CATATAN (1) Misalkan suatu titik di bidang di tulis,. Bilangan pada, disebut absis titik yang menyatakan jarak titik, terhadap sumbu. Bilangan pada, disebut ordinat titik T yang menyatakan jarak titik T(x, y) terhadap sumbu Y. Koordinat-koordinat titik T adalah pasangan bilangan terurut (x,y).
6 6 Sumbu-sumbu datar dan tegak membagi bidang datar menjadi 4 bagian/daerah yang masing-masing disebut kuadran. Sebuah titik T(x, y) terletak pada: kuadran I : jika absis x > 0, dan ordinat y > 0, atau Tx,y >0,>0. kuadran II:. Jika absis x < 0, dan ordinat y > 0, atau Tx,y <0,>0 kuadran III : Jika absis x < 0, dan ordinat y < 0, atau Tx,y <0,<0 kuadran IV: Jika absis x > 0, dan ordinat y < 0, atau Tx,y >0,<0. Y Kuadran II: Kuadran I <0 >0 Kuadran II: <0 <0 >0 >0 Kuadran II: >0 <0 X Gambar 1.2 kuadran di bidang Perhatikan masalah 1.1 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.1 Gambarlah sepasang sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat A(3, 2), B( 2, 4), C( 4, 2), dan D( 2, -3), serta tuliskan koordinatkoordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.1 kita dapat menyelesaikan masalah 1.1 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.1, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.
7 7 Gambar 1.3 Jawaban Masalah Koordinat Kartesius di Ruang Lakukanlah kegiatan 1.2 berikut ini agar Anda dapat menentukan koordinat kartesius di ruang (dimensi 3). Kegiatan Menggambarkan koordinat koordinat suatu titik pada ruang Andaikan kita ingin menggambarkan koordinat suatu titik T6,2,3. Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Gambarlah tiga buah garis yang saling tegak lurus. Garis pertama dibuat mendatar (horizontal) dan beri nama sumbu Y. Garis kedua dibuat tegak (vertikal) dan beri nama sumbu Z. Z Sedangkan garis ketiga dibuat miring memotong kedua sumbu Y dan sumbu Z dan diberi nama sumbu x. 2. Beri nama titik pada perpotongan ke tiga sumbu tersebut. Titik O ini sering disebut dengan titik asal/ awal/ pusat (0,0,0). 3. Dari titik 0 pada sumbu yang mengarah miring ke Anda, pada sumbu Y ke kanan, dan pada sumbu ke atas disebut arah positif, maka tulis bilangan real positif 1,2,3, dengan jarak yang sama. Dari titik 0 pada sumbu X yang miring berlawanan arah dengan Anda, pada sumbu ke bawah, dan pada sumbu Y ke kiri disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real negatif 0, 1, 2, 3, dengan jarak yang sama juga. (Bolehkah satuan jarak bilangan antara sumbu berbeda? Jawabannya boleh. Kenapa?) 4. Letakkan pena Anda pada bilangan 6 di sumbu, lalu jalankan pena tersebut ke kanan sejajar dengan sumbu Y sejauh 2 satuan. Selanjutnya jalankan pena Anda tersebut ke atas sejauh 3 satuan. 5. Dari langkah 4 tersebut maka titik terakhir pada pena Anda tersebut adalah merupakan tempat atau posisi dari titik 6,2,3.
8 8 Dari kegiatan 1.2 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat suatu titik di ruang (dimensi 3). CATATAN (2) Misalkan sebuah titik di ruang dinyatakan dengan titik,,. Bilangan pada,, disebut absis titik,, yang menyatakan jarak titik T(x, y, z) ke bidang YOZ. Bilangan y pada,, disebut ordinat titik,, yang menyatakan jarak titik,, ke bidang XOZ. Bilangan z pada,, disebut aplikat titik,, yang menyatakan jarak titik,, ke bidang. Ketiga sumbu, sumbu, dan sumbu membagi ruang atas tiga bidang koordinat, yaitu bidang yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu, bidang yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu, dan bidang yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu. Gambar 1.4 adalah satu bentuk penggambaran ke tiga sumbu koordinat di ruang dimensi tiga. Gambar 1.4 Sistem koordinat kartesius di ruang Ketiga bidang,, dan membagi ruang menjadi 8 bagian/daerah yang masing-masing disebut oktan. Suatu titik,, di ruang dimensi tiga dikatakan terletak pada: Oktan I : jika absis x > 0, ordinat y > 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z >0,>0,>0 Oktan II : jika absis x < 0, ordinat y > 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z <0,>0,>0 Oktan III : jika absis x < 0, ordinat y < 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z <0,<0,>0. Oktan IV : jika absis x > 0, ordinat y < 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z >0,<0,>0
9 9 Oktan V : jika absis x > 0, ordinat y > 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z >0,>0,<0. Oktan VI : jika absis x < 0, ordinat y > 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z <0,>0,<0 Oktan VII : jika absis x < 0, ordinat y < 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z <0,<0,<0 Oktan VIII : jika absis x > 0, ordinat y < 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z >0,<0,<0. Gambar 1.4 Pembagian Bidang Sistem koordinat kartesius di ruang Perhatikan masalah 1.2 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.2 Gambarlah sumbu-sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat A(3, 2, 2), B( 2, 4, 3), C( 4, 2, 1), dan D( 2, 3, 2), serta tuliskan koordinatkoordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.2 kita dapat menyelesaikan masalah 1.2 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.2, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.
10 10 Gambar 1.5 Jawaban Masalah 1.2 B. Persamaan Bidang Rata Sejajar Bidang Koordinat Lakukanlah kegiatan 1.3 berikut ini agar anda dapat menentukan persamaan bidang rata sumbu koordinat Kegiatan Menentukan persamaan bidang rata sejajar s bidang koordinat Untuk menentukan persamaan bidang rata sejajar bidang koordinat lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah 8 titik pada ruang sehingga titik-titik tersebut merupakan titik-titik sudut dari balok T(ABCDEFGH), dimana titik-titik tersebut bercirikan sebagai berikut. a. titik A(x,0,0) yang mempunyai ordinat y = 0 dan aplikat z = 0 sehingga titik tersebut berada pada sumbu X. b. titik B(x,y,0) yang mempunyai aplikat z = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang XOY. c. Titik C(0,y,0) yang mempunyai absis x = 0 dan aplikat z = 0, sehingga titik tersebut berada pada sumbu Y. d. Titik D(0,0,0) yang mempunyai x = y = z = 0, sehingga titik tersebut berada pada titik asal. e. Titik E(x,0,z) yang mempunyai y = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang XOZ f. Titik F(x,y,z) yang titik tersebut sejajar sumbu Y dengan titik E dan tegak lurus sumbu Z dengan titik B sehingga titik tersebut sama panjang dengan garis AE. g. Titik G(0,y,z) yang mempunyai x = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang YOZ h. Titik H(0,0,z) yang mempunyai x = y = 0 sehingga titik tersebut berada pada sumbu Z.
11 11 2. Dari ciri-ciri titik di atas Anda dapat menggambar sebuah balok bukan? 3. Coba bandingkan hasil gambar yang Anda buat dengan gambar teman di samping Anda, apakah sama atau berbeda? Setelah melakukan kegiatan di atas, selanjutnya kerjakanlah latihan berikut ini. Rangkuman 1. Sistem koordinat kartesius pada bidang (dimensi 2) ditentukan dari dua garis XY yang saling tegak lurus. Garis X yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut absis dan garis Y yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut ordinat, serta 0 adalah titik potong dari sumbu XY. Y X 2. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 4 kuadran. Y Kuadran II: Kuadran I <0 >0 Kuadran II: <0 <0 >0 >0 Kuadran II: >0 <0 X 3. Sistem koordinat kartesius pada ruang (dimensi 3) ditentukan dari tiga garis XYZ yang saling tegak lurus. Garis X yaitu garis yang memotong sumbu Y dan Z disebut absis dan garis Y yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut ordinat dan garis Z yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut aplikat, serta 0 adalah titik potong dari sumbu XYZ.
12 12 4. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 8 oktan, yaitu Oktan I : jika absis x > 0, ordinat y > 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z >0,>0,>0 Oktan II : jika absis x < 0, ordinat y > 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z <0,>0,>0 Oktan III : jika absis x < 0, ordinat y < 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z <0,<0,>0. Oktan IV : jika absis x > 0, ordinat y < 0, dan aplikat z > 0 atau Tx,y,z >0,<0,>0 Oktan V : jika absis x > 0, ordinat y > 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z >0,>0,<0. Oktan VI : jika absis x < 0, ordinat y > 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z <0,>0,<0 Oktan VII : jika absis x < 0, ordinat y < 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z <0,<0,<0 Oktan VIII : jika absis x > 0, ordinat y < 0, dan aplikat z < 0 atau Tx,y,z >0,<0,<0.
13 13 KEGIATAN BELAJAR 2 JARAK DUA TITIK Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang, 3. menentukan koordinat titik pada ruas garis dengan perbandingan m:n. A. Jarak Dua Titik di Bidang Agar anda dapat memahami bagaimana cara menentukan jarak dua titik di bidang, bacalah ilustrasi di bawah ini. Ilustrasi 2.1 Perhatikanlah gambar 2.1 berikut ini. Gambar 2.1. Tiga anak berdiri membentuk segitiga siku-siku Pada gambar 2.1 tersebut pernahkan anda mengukur berapa jarak yang antara orang A dengan orang B? Untuk menjawab pertanyaan ilustrasi 2.1 tersebut bias diselesaikan dengan menggunakan rumus jarak dua titik di bidang. Untuk menemukan rumus jarak dua titik di bidang, lakukanlah kegiatan 2.1 di bawah ini.
14 14 Kegiatan 2.1. Menentukan jarak dua titik di bidang Untuk menentukan jarak antara titik P(x 1, y 1 ) dan Q(x 2, y 2 ) lakukanlah langkahlangkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XY (dimensi 2). 2. Buatlah tiga titik berupa segitiga siku-siku, yang semua titik tersebut berada pada kuadran I. 3. Beri nama segitiga tersebut segitiga PQR, dimana titik tersebut yaitu titik P(x 1, y 1 ), titik Q yaitu Q(x 2, y 2 ) dan titik R adalah titik R(x 2, y 1 ) atau R(x 1, y 2 ) dengan titik R sebagai titik sudut siku-siku. 4. Kita akan peroleh = = 5. karena PRQ merupakan segitiga siku-siku di R maka kita bisa menggunakan Teorema Phytagoras yaitu: = + = + = + 6. sehingga kita peroleh jarak antara titik P(x 1,y 2 ) ke Q(x 2,y 2 ) adalah = + (1) Dari kegiatan 2.1 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua buah titik di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.1 berikut ini. Masalah 2.1 Tentukan jarak antara titik A(4,-7) dan B(-1,5). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.1 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.1 dengan menggunakan rumus pada persamaan (1) tersebut, sehingga diperoleh = + = = = 169 =13 Jadi, jarak antara titik A ke B adalah 13.
15 15 B. Jarak Dua Titik di Ruang Lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini agar anda dapat menetukan jarak dua titik di ruang. Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang Untuk menentukan jarak antara titik P(x 1,y 1,z 1 ) dan Q(x 2,y 2,z 2 ) lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XYZ (dimensi 3). 2. Buatlah bangun datar berupa balok, yang semua titik tersebut berada pada oktan I. 3. Beri nama titik balok tersebut dengan titik ABCPQDEF dengan titik P terhubung pula dengan titik B dan titik Q. 4. Kita akan peroleh = = = 5. Berdasarkan Teorema Phytagoras maka diperoleh PB 2 = PA 2 + AB 2, karena QB bidang ABCP, berarti QB PB sehingga diperoleh: PQ 2 = PB 2 + BQ 2 PQ 2 = PA 2 + AB 2 + BQ 2 PQ 2 = Sehingga diperoleh jarak antara titik P(x 1,x 2,x 3 ) dan Q(y 1,y 2,y 3 ) adalah = + + (2) 7. selanjutnya jika jarak antara titik asal O(0,0,0) ke titik P(x 1,x 2,x 3 ) maka diperoleh persamaan: = + + (3) Dari kegiatan 2.2 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua buah titik di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.2 berikut ini. Masalah 2.2 Tentukan jarak antara titik P(1,2,2) dan Q(3,5,4) pada gambar di bawah ini.
16 16 Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3) Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.2 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.2 dengan menggunakan rumus pada persamaan (2) tersebut, sehingga diperoleh Titik A(1,2,2) dan B(3,5,4) Jarak PA = 2, jarak AB = 3 dan jarak BQ = 2 PQ 2 = PB 2 + BQ 2 PQ 2 = PA 2 + AB 2 + BQ 2 PQ 2 = PQ 2 = = 17 Jadi, jarak antara titik P ke Q adalah 17. C. Koordinat Titik yang Membagi Ruas R Garis PQ Atas Perbandingan m : n 2.1 Pembagian Luas Garis dalam Bidang lakukanlah kegiatan 2.3 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam bidang. Kegiatan 2.2. Pembagian luas garis dalam bidang Untuk menentukan koordinat suatu titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XY (dimensi 2). 2. Buatlah 3 titik ATB dengan A(x 1,y 1 ) dan B(x 2,y 2 ) dan T(x t,y t ) terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, seperti terlihat pada gambar dibawah ini.
17 17 Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2) 3. Selanjutnya, Perhatikan AT 1 T dan AB 1 B. Karena AT 1 T sebangun dengan AB 1 B maka mengakibatkan AT : AB = RR 1 : BB 1, sehingga + = =+ = + + = + + = + = Selanjutnya dengan cara yang sama, AT : AB = AT 1 : AB 1 + = =+ = + + = + + = + = Dari langkah 3 dan 4 diperoleh koordinat titik T adalah,=, 6. Jika T berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah,=, Dari kegiatan 2.3 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik T di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.3 berikut ini. Masalah 2.3 Tentukan titik P yang terletak pada AB dengan A(-5, 1) dan B(3, -5), sehingga AP : PB = 3 : 5. (4) (5)
18 18 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.3 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.3 dengan menggunakan rumus pada persamaan (4) tersebut, dengan diketahui m = 3 dan n = 5 sehingga diperoleh = +, =, = 16 8, 10 8 = 2, 5 4. Setelah memahami masalah di atas, lanjutkanlah dengan mempelajari pembagian luas garis dalam ruang di bawah ini Pembagian Luas Garis dalam Ruang lakukanlah kegiatan 2.4 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam ruang. Kegiatan 2.3. Pembagian luas garis dalam ruang Untuk menentukan koordinat suatu titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR : RQ = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XYZ (dimensi 3). 2. Buatlah dua buah titik sembarang yaitu titik P(x 1,y 1,z 1 ) dan Q(x 2,y 2,z 2 ). Titik R terletak pada garis PQ, sedemikian sehingga PR : RQ = m : n, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
19 19 Gambar 2.4. Titik R memotong garis AB 3. Proyeksikan garis PQ terhadap bidang XOY dengan hasil proyeksinya P Q. 4. Buat garis yang melalui R sejajar dengan P Q (AB // P Q ). 5. Perhatikan PAR dan BQR. Karena PAR sebangun dengan BQR maka mengakibatkan PA : BQ = PR : RQ, sehingga diperoleh = = = + = + + = + = Dengan cara yang sama, jika garis PQ diproyeksikan ke bidang ZOX maka diperoleh persamaan = Dan jika garis PQ diproyeksikan ke bidang YOZ maka diperoleh persamaan: = Sehingga diperoleh koordinat titik R adalah,, = +, +, Jika R berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah,, =,, (6)
20 Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R adalah,, =, CATATAN (1) Syarat :, Jika k > 0 maka R terletak di antara P dan Q., 1 Jika -1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P). Jika k = -1 maka menunjukkan suatu titik di tak berhingga. Jika k < -1 maka R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q). (7) Dari kegiatan 2.4 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik R di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.4 berikut ini. Masalah 2.4 Tentukan koordinat titik R sehingga membagi PQ dengan P(-4, 2,1), Q(6,4,2) dibagi atas -2 : 1 Penyelesaian Dari kegiatan 2.4 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.4 dengan menggunakan rumus pada persamaan (6) tersebut, dengan diketahui m = -2 dan n = 1 sehingga diperoleh = = 2 1 = 2 = + 1+, + 1+, =, , = 16 1, 6 1, 3 1 = 16,6,3. Karena k = -2 berarti titik R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q). Selanjutnya, kerjakanlah latihan 2 di bawah ini untuk mencoba menyelesaikan sendiri persoalan yang diberikan. Rangkuman 1. Jarak antara 2 titik, misalkan titik, ke, adalah = + 2. Jarak antara 2 titik, misalkan titik,, ke,, adalah = + +
21 21 3. Jika titik asal O(0,0,0) ke titik,, diperoleh persamaan = Koordinat titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n adalah,= +, Jika T berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah,= +, Koordinat titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR:RQ=m:n adalah,, = +, +, Jika R berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah,, = +, +, Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R adalah,, = + 1+, + 1+, +, 1 1+
MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang
Lebih terperinciJARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2
1 KEGIATAN BELAJAR 2 JARAK DUA TITIK Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang, 3. menentukan
Lebih terperinciSISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang.
1 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan
Lebih terperinciModul. Geometri Analitik Ruang. Jero Budi Darmayasa
Modul Geometri Analitik Ruang Pada perkuliahan Geometri Analitik Ruang, diawali dengan diskusi tentang sistek koordinat tegak lurus pada ruang. Untuk pembicaraan saat ini, terdapat beberapa kajian yaitu
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS A. Menggambar grafik garis lurus Langkah langkah mengambar grafik persamaan garis lurus sama dengan langkahlangkah membuat grafik pada sistim koordinat. Gambarlah grafik persamaan
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperincikombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara
Sistem Koordinat Cartesius.. Geometri Analitik Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG. sofyan mahfudy-iain Mataram
GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG PERKENALAN Nama : Sofyan Mahfudy Tempat tgl lahir : Pacitan, 29 Maret 1985 Status : Menikah Pendidikan : Universitas Muhammadiyah Surakarta dan Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciBab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.
Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian
Lebih terperinciSUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd
SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinci2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperincisyarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah
2 Tempat Kedudukan dan Persamaan 2.1. Tempat Kedudukan Tempat kedudukan (locus) adalah himpunan titik-titik yang memenuhi suatu syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan
Lebih terperinciPEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA BINTANG PERTAMA MORLEY DI DALAM SEGITIGA SEMBARANG Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNSRI
PEMBUKTIAN RUMUS LUAS SEGITIGA BINTANG PERTAMA MORLEY DI DALAM SEGITIGA SEMBARANG Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNSRI Ambarsari Kusuma Wardani Email : ambarkusuma8@yahoocom Abstrak
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciPengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius
Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam
Lebih terperinciA. PERSAMAAN GARIS LURUS
A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4
BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk
Lebih terperinciA. Menentukan Letak Titik
Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis
Lebih terperinciGeometri dalam Ruang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah July 11, 2011 Koordinat Cartesius: Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z); Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciBab. Sistem Koordinat
H E G F - - - - - - - 0 - - - - - - - Bab Sistem Koordinat Sebelum mempelajari sistem koordinat, kita akan membahas bagaimana cara pembuatan denah dan untuk apakah denah dibuat? Membuat denah atau menentukan
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinci53
LAMPIRAN 53 54 55 56 57 RENCANA PELAKSAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMP Negeri 1 Sooko Ponorogo Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : VIII / 1 Materi Pokok : Persamaan Garis Lurus Alokasi
Lebih terperinciSekayu. Prabumulih. Muarainim. Baturaja
07 Tujuan Pembelajaran Setelah belajar bab ini, siswa dapat: Menggambar letak benda pada denah. Mengenal Koordinat posisi suatu benda. Menentukan posisi titik dalam sistem koordinat kartesius. Sumatera
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciBab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus
Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak
Lebih terperinciKing s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:
Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciKUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8
KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 Dirangkum oleh Moch. Fatkoer Rohman Website: http://fatkoer.co.cc http://zonamatematika.co,cc Email: fatkoer@gmail.com 009 Evaluasi Bab 1 Untuk nomor 1 sampai 5 pilihlah
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
Bab 4 PERSAMAAN GARIS LURUS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciPENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan
Lebih terperinciPersamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r.
PERSAMAAN LINGKARAN Pusat Lingkaran (0, 0) Melalui titik (x, y ) pada lingkaran Jika diketahui gradient m xx y mx r yy r m x y r Persamaan Garis singgung Melalui titik (x, y ) diluar lingkaran Jari Jari
Lebih terperincierkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciKEGIATAN BELAJAR SISWA
KEGIATAN BELAJAR SISWA Bidang studi : Matematika Satuan Pendidikan: SLTP Kelas: 3 (tiga) Caturwulan: 1 (satu) Pokok Bahasan: Transformasi Subpokok Bahasan: Refleksi Waktu: 150 Menit Endang Mulyana 2003
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan
Lebih terperinciParabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada
Parabola 6.1. Persamaan Parabola Bentuk Baku Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA VEKTOR
MODUL MATEMATIKA VEKTOR Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Negeri Manado Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika 007 Kata Pengantar Modul pembelajaran ini dirancang
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 01 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 0 soal isian singkat dan tes
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR Jenis-jenis soal program linear yang sering diujikan adalah soal-soal tentang :
PROGRAM LINEAR Jenis-jenis soal program linear yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Menggambar daerah yang memenuhi 2. Menentukan system pertidaksamaan suatu daerah 3. Menentukan nilai optimum
Lebih terperinciRasio. atau 20 : 10. Contoh: Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika:
Rasio Rasio adalah perbandingan ukuran. Rasio digunakan untuk membandingkan besaran dengan pembagian. Misal dua segitiga memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda. Salah satu sisinya yang seletak
Lebih terperinciMAKALAH SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT 2 DIMENSI DISUSUN OLEH : HERA RATNAWATI 16/395027/TK/44319
MAKALAH SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT DIMENSI DISUSUN OLEH : HERA RATNAWATI 16/9507/TK/19 DEPARTEMEN TEKNIK GEODESI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS GADJAH MADA 017 1 KATA PENGANTAR Puji dan syukur kehadirat
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciBab VIII Bidang Kartesius
Bab VIII Bidang Kartesius K ata Kunci Titik Asal Sumbu-X Sumbu-Y Jarak K D ompetensi asar. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.. Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri dan keterkaitan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS. Dua garis sejajar mempunyai gradien sama, sehingga persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (3,4) adalah
PERSAMAAN GARIS. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 9 Diketahui adalah garis l yang dinyatakan oleh det( A) dimana A x y, persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (,4) adalah... A. x y 7 C. x y E. x
Lebih terperinciPersamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10
1 KEGIATAN BELAJAR 10 Persamaan Parabola Setelah mempelajari kegiatan belajar 10 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan Parabola 2. Melukis Persamaan Parabola Anda tentu sangat mengenal
Lebih terperinciMAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS
MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang Dosen Pengampu : NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd Disusun Oleh Yani Novita Murni
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciD. GEOMETRI 2. URAIAN MATERI
D. GEOMETRI 1. TUJUAN Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat memahami dan dapat menjelaskan unsur-unsur geometri, hubungan titik, garis dan bidang; sudut; melukis bangun geometri; segibanyak;
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan
I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Persamaan dan Pertidaksamaan GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL
Lebih terperinci" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
KALKULUS Oleh : A.B. Panggabean Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku
Lebih terperinciGEOMETRI TRANSFORMASI SETENGAH PUTARAN
GEOMETRI TRANSFORMASI SETENGAH PUTARAN Disusun Oleh : Kelompok Empat (V1 A) 1. Purna Irawan (4007178 ) 2. Sudarsono (4007028 p) 3. Mellyza Vemi R. (4007217 ) 4. Kristina Nainggolan (4007013 ) 5. Desi Kartini
Lebih terperinciSilabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
Lebih terperinciTRANSFORMASI. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab 0 TRNSFORMSI. KOMPETENSI DSR DN PENGLMN BELJR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran transformasi siswa mampu:. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin,
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd
GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susanto, MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012 KATA PENGANTAR Puji
Lebih terperinciBAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN
STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN
Lebih terperinciPENGAYAAN ULANGAN AKHIR SEMESTER SMP ISLAM SABILILLAH MALANG TAHUN PELAJARAN 2014/2015
PENGAYAAN ULANGAN AKHIR SEMESTER SMP ISLAM SABILILLAH MALANG TAHUN PELAJARAN 2014/2015 http://matematohir.wordpress.com/ Mata Pelajaran Kelas / Semester : Matematika : VIII / Ganjil Nama : Mathematics
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciPENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR. a. Unsur-Unsur Vektor. b. Notasi Vektor
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR Vektor adalah ruas garis yang memiliki nilai dari arah. Nilai vektor disini adalah panjang vektor. Vektor adalah notasi
Lebih terperinci1. Fungsi Objektif z = ax + by
Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif, Program Linear, Fungsi Objektif, Cara Menentukan, Contoh Soal, Rumus, Pembahasan, Metode Uji Titik Sudut, Metode Garis Selidik, Matematika Nilai Optimum Suatu Fungsi
Lebih terperinciPertemuan 2 KOORDINAT CARTESIUS
Kalkulus Pertemuan 2 KOORDINAT CARTESIUS Koordinat Cartesius 1 2 3 Jarak y Hitunglah jarak dari A(3,-5) ke B(4,2) A(3,-5) maka x 1 = 3 dan y 1 = -5 B(4,9) maka x 2 = 4 dan y 2 = 2 sehingga d(a, B) = (x
Lebih terperinciModul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS
Modul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS A. Pengantar Materi yang akan di bahas pada kegiatan pembelajaran ini terdiri atas pengertian simetri lipat, simetri putar, setengah putaran,
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciGARIS SINGGUNG LINGKARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN POKOK BAHASAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Oleh: ZAINUL GUFRON SYAHRONI NIM. 070210191048 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1
GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan
Lebih terperinciSOAL UN DAN PENYELESAIANNYA 2009
1. 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. 2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis diatas adalah... A. Saya giat belajar dan
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciDatar Sederhana. Bab 4 Unsur-Unsur Bangun. Tema 9 Negara Kelas Dewi
Bab 4 Unsur-Unsur Bangun Datar Sederhana Tema 9 Negara Kelas Dewi Tujuan Pembelajaran Pembelajaran ini bertujuan agar kamu mampu: mengelompokkan bangun datar mengenal sisi-sisi bangun datar mengenal sudut-sudut
Lebih terperinciPembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat
Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 013 Seleksi Tingkat Provinsi Tutur Widodo Bagian Pertama : Soal Isian Singkat 1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r =, yang saling bersinggungan. Total luas dari
Lebih terperinciKEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK
1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciPERSAMAAN ELLIPS. Setelah mempelajari kegiatan belajar 12 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan elips. 2. Melukis persamaan elips
1 KEGIATAN BELAJAR 12 PERSAMAAN ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 12 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan elips. 2. Melukis persamaan elips Anda tentu sangat mengenal sekali
Lebih terperinciModul Matematika XI MIA Semester 1 Lingkaran
Lingkaran XI MIA 017/018 Modul Matematika XI MIA Semester 1 Lingkaran Oleh : Markus Yuniarto, S.Si 1 Tahun Pelajaran 017/018 SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. Bandung Lingkaran XI MIA 017/018 Peta Konsep
Lebih terperinci2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R
. Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b
Lebih terperinciKONSTRUKSI BATAS-BATAS WILAYAH YANG BERJARAK MINIMUM DENGAN MENGGUNAKAN GEOMETRI TAXICAB
KONSTRUKSI BATAS-BATAS WILAYAH YANG BERJARAK MINIMUM DENGAN MENGGUNAKAN GEOMETRI TAXICAB Magdalena Rosario Mega Sanusi 1), Regina Hesty Kurnianingtyas ) 1 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Lebih terperinciSIMETRI BAHAN BELAJAR MANDIRI 3
BAHAN BELAJAR MANDIRI 3 SIMETRI PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep simetri lipat dan simetri putar serta penerapannya ke dalam papan geoboard. Setelah mempelajari
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinci