GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG. sofyan mahfudy-iain Mataram

Transkripsi

1 GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG

2 PERKENALAN Nama : Sofyan Mahfudy Tempat tgl lahir : Pacitan, 29 Maret 1985 Status : Menikah Pendidikan : Universitas Muhammadiyah Surakarta dan Universitas Sebelas Maret Alamat : Perumahan LA Green, Terong Tawah, Labu Api No. HP : / sofyan_mahfudy@iainmataram.ac.id Blog :

3 DESKRIPSI MATA KULIAH Mata kuliah ini dimaksudkan supaya mahasiswa dapat memiliki pengetahuan, pemahaman tentang : Sistem koordinat kartesius, jarak dua titik, Persamaan garis lurus, Jarak dua garis lurus, Persamaan normal garis jarak titik dan garis, Lingkaran, Persamaan lingkaran, Kuasa dua lingkaran, Kedudukan garis dan lingkaran, Persamaan parabola, Persamaan ellips, Persamaan hiperbola, Sistem koordinat ruang, Persamaan bidang datar dan persamaan normal, Sudut antara dua bidang rata, Jarak antara titik bidang, dan bidang ke bidang, Garis lurus dalam ruang, Tempat kedudukan dalam ruang, dan Bola. Serta dapat mengaplikasikan teori yang ada dalam menyelesaikan soal soal.

4 TUJUAN MATA KULIAH Setelah mengikuti perkuliahan Geometri Analitik Bidang dan Ruang, mahasiswa diharapkan memiliki pengetahuan dan pemahaman, serta mampu mengaplikasikannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan Sistem koordinat kartesius, jarak dua titik, Persamaan garis lurus, jarak dua garis lurus, Persamaan normal garis jarak titik dan garis, Lingkaran, Persamaan lingkaran, Kuasa dua lingkaran, Kedudukan garis dan lingkaran, Persamaan parabola, Persamaan ellips, Persamaan hiperbola, Sistem koordinat ruang, Persamaan bidang datar dan persamaan normal, Sudut antara dua bidang rata, jarak antara titik bidang, dan bidang ke bidang, Garis lurus dalam ruang, Tempat kedudukan dalam ruang, dan Bola.

5 RENCANA PERKULIAHAN Pertemuan 1 Pertemuan 2 Pertemuan 3 Pertemuan 4 Pertemuan 5 Pertemuan 6 Pertemuan 7 Pertemuan 8 Pertemuan 9 Pertemuan 10 Pertemuan 11 Pertemuan 12 Pertemuan 13 Pertemuan 14 Pertemuan 15 Pertemuan 16 Sistem koordinat kartesius, jarak dua titik Persamaan garis lurus, jarak dua garis lurus Persamaan normal garis jarak titik dan garis Lingkaran Persamaan lingkaran, kuasa dua lingkaran Kedudukan garis dan lingkaran Persamaan parabola Persamaan ellips UTS Persamaan hiperbola Sistem koordinat ruang Persamaan bidang datar dan persamaan normal Sudut antara dua bidang rata, jarak antara titik bidang, dan bidang ke bidang Garis lurus dalam ruang Tempat kedudukan dalam ruang Bola

6 REFERENSI D Suryadi H.S. Teori dan Soal: Ilmu Ukur Analitik Ruang. Fakultas MIPA Universitas Indonesia Sukirman. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Universitas Terbuka (dalam proses pemesanan) E-book (file): silahkan download di

7 KONTRAK KULIAH

8 BENTUK TUGAS Mahasiswa harus mengerjakan tugas yang diberikan. Tugas terbagi menjadi 2 bagian yaitu tugas I dan tugas II. Tugas I akan diberikan sebelum pelaksaanaan Ujian Tengah Semester (UTS) dan diserahkan pada saat pelaksanaan UTS sebagai prasyarat mengikuti UTS. Tugas II akan diberikan sebelum pelaksaanaan Ujian Akhir Semester (UAS) dan diserahkan pada saat pelaksanaan UAS sebagai prasyarat mengikuti UAS. Mahasiswa yang belum menyerahkan tugas tidak bias mengikuti ujian Kuis akan diberikan sebanyak 3 atau 4 kali

9 BENTUK TUGAS Ujian Tengah Semester (UTS) akan dilaksanakan pada pertemuan ke-9 dan Ujian Akhir Semester (UAS) akan dilaksanakan setelah pertemuan ke-16 Mahasiswa harus mengikuti perkuliahan minimal 75% dari kehadiran. Jika kurang dari 75% kehadiran, maka mahasiswa TIDAK DAPAT mengikuti UAS. Jika pun diperbolehkan maka harus dengan SYARAT PENUGASAN KHUSUS dengan NILAI AKHIR akan dikurangi sesuai prosedur penilaian yang telah dibuat (dapat dilihat pada Kriteria Penilaian)

10 KRITERIA PENILAIAN Penilaian akan dilakukan oleh dosen pengampu dengan menggunakan kriteria sebagai berikut ini: Penilaian akan dilakukan terhadap 3 komponen yaitu Nilai Tugas (T), Nilai Ujian Tengah Semester (U), dan Nilai Ujian Akhir Semester (A) Formula Penilaian adalah sebagai berikut: 2 T + 3 U + (5 A) Nilai Akhir (NA) = 10 Catatan: Jika persentase kehadiran mahasiswa < 70%, maka akan digunakan penilaian dengan formula sebagai berikut: 2 T + 3 U + (5 A) Nilai Akhir (NA) = %

11 KRITERIA PENILAIAN Penilaian akan dilakukan oleh dosen pengampu dengan menggunakan kriteria sebagai berikut ini: Penilaian akan dilakukan terhadap 3 komponen yaitu Nilai Tugas (T), Nilai Ujian Tengah Semester (U), dan Nilai Ujian Akhir Semester (A). Formula Penilaian adalah sebagai berikut: 2 T + 3 U + (5 A) Nilai Akhir (NA) = 10 Catatan: Jika persentase kehadiran mahasiswa < 75%, maka akan digunakan penilaian dengan formula sebagai berikut: 2 T + 3 U + (5 A) Nilai Akhir (NA) = %

12 KRITERIA PENILAIAN 2 T + 3 U + (5 A) Akhir (NA) = Nilai Angka Nilai Huruf (Kualitatif) Bobot Nilai Predikat (Kuantitatif) 10 Catatan: A+ Jika persentase 91 kehadiran 100 mahasiswa 4,00 < 70%, maka Cumlaude akan digunakan penilaian dengan formula sebagai berikut: A ,50 Memuaskan 2 T + 3 U + (5 A) Nilai Akhir B+ (NA) = ,25 80 % Sangat Baik 10 A ,75 Sangat Memuaskan B ,00 Baik B ,75 Cukup C ,50 Lebih dari cukup C ,25 Cukup D < 55 2,25 Kurang

13 TATA TERTIB PERKULIAHAN & TES/UJIAN Batas toleransi keterlambatan adalah 10 menit dari waktu kehadiran dosen Jika mahasiswa datang terlambat > 10 menit maka mahasiswa dapat mengikuti perkuliahan, TETAPI harus mengisi FORM KETERLAMBATAN yang berisi alasan keterlambatan, lama waktu keterlambatan, jam kedatangan, tanda tangan, dll. FORM diisi dengan JUJUR. Selanjutnya ini akan menjadi CATATAN KHUSUS bagi dosen yang dapat berdampak pada penilaian Jika dosen terlambat 30 menit tanpa ada keterangan/informasi maka perkuliahan dikosongkan. Mahasiswa yang hadir saat itu dihitung masuk

14 TATA TERTIB PERKULIAHAN & TES/UJIAN Perilaku (attitude) mahasiswa dalam kelas akan menjadi catatan bagi dosen Mahasiswa yang tidak sopan dan tidak bisa diatur dikeluarkan dari ruang kuliah Ketahuan mencontek pada saat ujian/tes/kuis maka jawaban tidak akan dikoreksi dan mendapatkan nilai 0. Oleh karena itu JUJUR-lah saat ujian

15 GEOMETRI ANALITIK Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara aljabar.

16 Apa perbedaan geometri murni dengan geometri Analitik Lingkaran -2 2 O 2 Lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari jari 2 satuan misalnya dapat dinyatakan dengan ekspresi: x 2 + y 2 = 4-2

17 Garis Bilangan x 2 O x 1 Jarak antara dua buah titik pada garis adalah sama dengan nilai mutlak selisih kedua absis titik-titik tersebut. Oleh karenanya pada gambar di atas jarak Antara titik x 1 dan x 2 adalah x 1 x 2 atau x 2 x 1

20 Koordinat Kartesius Koordinat kartesius dikenalkan oleh Rene Descartes ( , Filsuf dan Matematikawan Perancis, terkenal dengan karyanya La geometrie (1937) dan ucapannya Cogito ergo sum ). Dasar pemikirannya adalah bagaimana menunjukkan kedudukan sebuah titik P pada bidang dengan dua bilangan yang dituliskan dengan (x,y)

21 Koordinat Kartesius Untuk merepresentasikan titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan, kita tentukan dua garis bilangan bersilangan OX dan OY, dan tentukan skala pada masing-masing garis. Titik potong kedua garis itu digunakan sebagai titik pusat. Bilangan positif ditempatkan pada sebelah kanan titik O garis mendatar OX dan sebelah atas titik O garis ke vertikal OY. Sedangkan bilangan negatif ditempatkan pada sebelah kiri titik O garis mendatar OX dan sebelah bawah titik O garis ke vertikal OY.

22 Koordinat Kartesius Biasanya arah positif ditandai dengan tanda panah pada garis bilangan. Garis OX disebut sumbu-x dan garis OY disebut sumbu-y. Dua garis yang bersilangan itu disebut sumbu koordinat

23 Koordinat Kartesius Y O X Bilangan-bilangan pada sumbu X disebut dengan absis dan bilangan-bilangan pada sumbu Y disebut ordinat. Kedua sumbu membagi bidang datar menjadi 4 bagian yaitu: kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV

24 Koordinat Kartesius kuadran II kuadran III Y O kuadran I kuadran IV X Bilangan-bilangan pada sumbu X disebut dengan absis dan bilangan-bilangan pada sumbu Y disebut ordinat. Kedua sumbu membagi bidang datar menjadi 4 bagian yaitu: kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV

25 Koordinat Kartesius Dapat dibuat tabel tanda untuk setiap kuadran sebagai berikut: Kuadran Tanda absis (x) Tanda ordinat (y) I + + II + III IV +

26 Koordinat Kartesius Y O A X Titik A (4,2) berada di kuadran I Titik A memiliki absis 4 dan ordrdinat 2 Titik B (-2,-4) berada di kuadran III Titik B memiliki absis -2 dan ordrdinat -4 B

27 Latihan Tentukan di kuadran manakah titik-titik berikut: a. P ( 2,6) b. Q ( 2, 6) c. R (2, 6) d. S (2,6) Bangun apakah yang terbentuk jika keempat titik itu dihubungkan? Berapa luas bangun tersebut

28 Latihan Tentukan di kuadran manakah titik-titik berikut: a. P ( 2,6) b. Q ( 2, 6) c. R (2, 6) d. S (2,6) Bangun apakah yang terbentuk jika keempat titik itu dihubungkan? Berapa luas bangun tersebut

29 Latihan Tentukan di kuadran manakah titik-titik berikut: a. P ( 2,6) b. Q ( 2, 6) c. R (2, 6) d. S (2,6) Bangun apakah yang terbentuk jika keempat titik itu dihubungkan? Berapa luas bangun tersebut?

30 Jarak antara dua titik sembarang y 2 Y Q Jarak antara titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) adalah PQ = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 y 1 P x 1 x 2 X

31 Jarak antara dua titik sembarang y 2 Y Q Jarak antara titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) adalah PQ = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 y 1 P x 1 x 2 X

32 Jarak antara dua titik sembarang y 2 Y Q Jarak antara titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) adalah PQ 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 y 1 P x 1 x 2 X Karena jarak selalu bernilai positif, maka PQ = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2

33 Jarak antara dua titik sembarang y 2 Y Q Jarak antara titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) adalah PQ 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 y 1 P x 1 x 2 X Karena jarak selalu bernilai positif, maka Darimana muncul rumus tersebut?? DISKUSIKAN PQ = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2

34 Jarak antara dua titik sembarang y 2 y 1 Y P Q x 1 x 2 X Selanjutnya notasi jarak antara titik P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) adalah sama panjang ruas garis PQ. Sehingga dapat Anda tuliskan PQ = PQ PQ = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2

35 Latihan a. Diketahui titik-titik: A (2,5), B ( 4,6), C (1, 7) Carilah AB, BC dan AC? Manakah yang mempunyai jarak paling pendek? b. Diketahui titik P ( 3,2), Q (4,2) dan R (0,y) Carilah koordinat titik R sehingga luas segitiga PQR adalah sebesar 28 satuan luas?

36 Latihan c. Tunjukkan bahwa segitiga AOB dengan titik-titik sudutnya berupa titik pusat O, titik A (a, b), dan B ( ½(a + b 3), ½(b a 3)) adalah sama sisi. d. Jarak titik A (x, 5) ke titik B ( 5, 4) adalah tiga kali terhadap jarak A titik itu ketitik C (10, 1). Tentukan nilai x (ada dua jawab)

37 Antara dua titik pada yang segaris Y A B C Misalkan B adalah titik yang terletak pada ruas garis AC Dan diketahui A (x A,y A ) dan C (x C,y C ) serta perbandingan AB BC = p : q, maka dapatkah kita mencari koordinat titik B? DISKUSIKAN TERLEBIH DAHULU O X

38 Antara dua titik pada yang segaris Y A B C Misalkan B adalah titik yang terletak pada ruas garis AC Dan diketahui A (x A,y A ) dan C (x C,y C ) serta perbandingan AB BC = p : q, maka dapatkah kita mencari koordinat titik B? DISKUSIKAN TERLEBIH DAHULU O X

39 Antara dua titik pada yang segaris Y Misalkan B adalah titik yang terletak pada ruas garis AC C Dan diketahui A (x A,y A ) dan C (x C,y C ) serta perbandingan AB BC = p : q, maka dapatkah kita mencari koordinat titik B? B A Diperoleh, koordinat titik B (x B,y B ) dengan: O X x B = px C +qx A p+q dan y B = py C +qy A p+q

40 Latihan a. Diketahui titik A (5,2) dan C ( 6, 4). Jika titik B terletak ditengahtengah ruas AC. Tentukan koordinat titik B? b. Diketahui titik P (1,7) dan Q ( 2,5). Titik T adalah titik yang terletak di ruas garis PQ dengan perbandingan PT : TQ = 3 : 1. Carilah koordinat titik T? c. Diketahui titik A, B, dan C segaris. Titik B terletak diantara titik A dan C. Jika koordinat titik B ( 2, 1) dan C (3,2) dan perbandingan AB : BC = 4 : 1. Carilah koordinat titik A?

41 Sistem koordinat polar/kutub Cara lain untuk menentukan kedudukan suatu titik pada bidang adalah dengan sistem koordinat polar (kutub) Untuk mengenal koordinat kutub, kita dapat memulai dengan menggambar sebuah setengah garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal di titik O. Titik tersebut dinamakan titik kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan oleh karena itu disebut sumbu x positip pada system koordinat cartesius

42 Sistem koordinat polar/kutub Setiap titik P adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r,θ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P. Untuk memperjelas pemahaman Anda lihat gambar disamping

43 Hubungan Antara koordinat kutub dan koordinat kartesius Y y A (r,θ) Dari gambar disam r O θ x X

44 Hubungan Antara koordinat kutub dan koordinat kartesius Y y r A (r,θ) Dari gambar disamping titik A (r,θ) Dapat dinyatakan dengan A (x, y) dengan O θ x X x = r cos θ dan y = r cos θ Jadi setiap titik yang dinyatakan dalam system koordinat kartesius dapat dinyatakan dalam koordinat polar dan sebaliknya

45 Latihan a. Nyatakan dalam koordinat kartesius titik-titik berikut: P (2, 1 3 π) Q (4, 2 3 π) R (8, 5 6 π) b. Nyatakan dalam koordinat kartesius titik-titik berikut: A (2,2 2) B ( 3,3) C (4, 4 3)